Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán imo theo nhiều cách và mở rộng bài toán

MỤC LỤC
Danh mục chữ cái viết tắt
Trang 2
1. MỞ ĐẦU
Trang 3
1.1 Lý do chọn đề tài
Trang 3
1.2 Mục đích nghiên cứu
Trang 3
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Trang 4
1.4 Kế hoạch nghiên cứu
Trang 4
1.5 Phương pháp nghiên cứu
Trang 4
2. NỘI DUNG
Trang 4
2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác
Trang 4
2.2 Bài toán IMO 1961
Trang 8
2.3 Mở rộng bài toán trong măt phẳng
Trang 15
2.4. Mở rộng bài toán trong không gian
Trang 20
3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
Trang 22
3.1 Kết quả từ thực tiễn 
Trang 22
3.2 Kết quả thực nghiệm
Trang 23
4. KẾT LUẬN
Trang 24
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Trang 25
MỘT SỐ KÍ HIỆU VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI
Góc trong tam giác ABC
a, b, c
Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C tương ứng
p
Nửa chu vi tam giác ABC
R
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
r
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
S
Diện tích tam giác ABC
Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A
V
Thể tích khối tứ diện ABCD
Diện tích mặt đối diện đỉnh A trong tứ diện ABCD
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
 Toán học là môn học có vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT. Toán học không những giúp cho học sinh kỹ năng tính toán mà còn phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy sáng tạo, khái quát
 Trong toán học, việc phát triển tư duy cho học sinh là việc hết sức quan trọng. Đối với nhiều học sinh, các em thường hài lòng với việc giải xong một bài toán mà không xem xét thêm cách giải khác là khá phổ biến. Trong quá trình dạy học tôi thường khuyến khích học sinh giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, từ đó rèn luyện cho học sinh thói quen giải quyết một vấn đề theo nhiều cách khác nhau, tư duy đó rất có ích trong cuộc sống hiện đại ngày nay. Trong quá trình dạy học tôi thấy bài toán IMO sau đây rất thú vị, bài toán đó là: “ Cho tam giác có độ dài ba cạnh là và có diện tích là . Chứng minh rằng: ” Tôi thấy rằng có rất nhiều cách để tính diện tích tam giác, từ đó ta có thể chứng minh bài toán thú vị này theo nhiều cách khác nhau. Mặt khác, giữa mặt phẳng và không gian có mối liên hệ với nhau, các tính chất trong mặt phẳng có thể mở rộng trong không gian, vì vậy ta có thể mở rộng bài toán này trong không gian cho tứ diện.
 Với những lý do trên tôi chọn đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải bài toán IMO theo nhiều cách và mở rộng bài toán”. Trong đề tài này tôi trình bày 16 cách giải khác nhau cho bài toán đã nêu, đồng thời mở rộng bài toán trong mặt phẳng và trong không gian.
1.2 Mục đích nghiên cứu
 - Giúp học sinh biết cách vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề nhiều cách khác nhau.
 - Rèn luyện kỹ năng mở rộng bài toán theo nhiều hướng.
1.3 Đối tượng nghiên cứu
 Là học sinh khá, giỏi lớp 12I, 12K trường THPT Tây Hiếu
1.4 Kế hoạch nghiên cứu
 - Từ 20/09/2015 đến 15/10/2015: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu.
 - Từ 16/10/2015 đến 20/12/2015: Đọc tài liệu lý thuyết, viết cơ sở lý luận. 
 - Từ 21/12/2015 đến 16/02/2016: Áp dụng đề tài vào thực tiễn.
 - Từ 17/02/2016 đến 15/04/2016: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ chuyên môn và xin ý kiến đóng góp.
 - Từ 16/04/2016 đến 10/05/2016: Hoàn thiện báo cáo.
1.5 Phương pháp nghiên cứu
 - Đọc các tài liệu liên quan để viết cơ sở lý thuyết.
 - Phương pháp thực nghiệm.
 - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
2. NỘI DUNG
2.1 Một số kết quả thường gặp trong tam giác
KQ1. Công thức diện tích tam giác
 ( công thức Hê rông)
 = (1) 
Chứng minh công thức (1) ( các công thức còn lại có trong sách giáo khoa 10)
Cách 1. Theo công thức Hê rông ta có
Cách 2. Áp dụng định lý hàm cosin ta có
KQ2. Trong mọi tam giác ABC ta có
Chứng minh. Xét tam giác ABC có đường tròn nột tiếp tâm I tiếp xúc 3 cạnh BC, CA, AB tại M, N, P. Khi đó ta có 
Trong tam giác vuông API ta có 
Chứng minh tương tự ta có các kết quả còn lại.
KQ3. Trong tam giác ABC ta có
 (2)
 (3)
Chứng minh (2)
Trong tam giác ABC ta có 
Chứng minh (3)
Trong tam giác ABC ta có 
KQ4. Trong tam giác ABC ta có
 (4)
 (5)
 (6)
 (7)
Chứng minh (4)
Trước hết ta chứng minh với Đẳng thức 
xảy ra khi 
Ta có Đẳng thức xảy ra khi 
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Chứng minh (5)
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Chứng minh (6)
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức cơ bản ta có
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Chứng minh (7)
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức cơ bản ta có
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều 
2.2 Bài toán [IMO 1961] 
Cho tam giác có độ dài ba cạnh là và có diện tích là . Chứng minh rằng: 
Cách 1. Ta thấy vế trái là mối liên hệ 3 cạnh, vì vậy ta sử dụng công thức Hê rông để giải bài toán này. Ta có
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 2. Sử dụng công thức Hê rông kết hợp bất đẳng thức Côsi. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức quen thuộc Ta có
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
Lấy căn bậc hai hai vế ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 3. Theo công thức diện tích Hê rông ta có
Với mọi số thực ta có 
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 4. Theo định lý cosin và công thức diện tích , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Xét , ta xem là tam thức bậc hai ẩn a với hệ số bậc hai bằng 1, mà 
Do đó hiển nhiên Vậy bất đẳng thức đã cho là đúng.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 5. Biến đổi tương đương. Ta có 
 từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 6. Theo định lý cosin trong tam giác ta có
Suy ra 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 7. Ta có .
Mặt khác ta có 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 8. Ta có 
Áp dụng công thức diện tích tam giác ta có
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 9. Trước hết ta chứng minh công thức Ta có
Tương tự ta có 
Từ đó ta có
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 10. Ta có Do đó ta có
Mặt khác ta có 
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 11. Gọi G là trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có , do đó
Do nên . Từ đó suy ra
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 12. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, lần lượt là hình chiếu của I lên BC, CA, AB. Ta có 
Thật vậy, đặt Ta có
Suy ra vuông góc . Chứng minh tương tự ta có vuông góc . Mà không cùng phương do đó ta có hay 
Bình phương hai vế đẳng thức ta có 
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 13. Ta sử dụng công diện tích .
Xét tam giác ABC có M trung điểm BC và H là chân đường cao kẻ từ A.
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 14. Không mất tính tổng quát giả sử Khi đó ta có 
Dựng tam giác đều sao cho B, D cùng phía đối với AC. Áp dụng định lý 
cosin cho ta giác ABD ta có
Do nên ta suy ra điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 15. Không mất tính tổng quát giải sử . Dựng tam giác 
vuông tại M có điểm M, C nằm cùng phía với đường thẳng bờ AB. 
Dựng tam giác vuông tại N có điểm N, B nằm cùng phía với 
với đường thẳng bờ AC. 
Ta có 
Áp dụng định lý cosin cho tam giác MAN ta có 
Vì nên ta có 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
Cách 16. Không mất tính tổng quát giải sử . Dựng phía ngoài tam giác 
ABC các tam giác đều ABM và CAN.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác AMN ta có
Mà , suy ra
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều
2.3 Mở rộng bài toán trong mặt phẳng
Bài toán trên phát biểu cho lũy thừa số mũ bằng 2, ta có thể mở rộng bài toán lũy 
thừa với số mũ chẵn bất kì lớn hơn 1.
Cho tam giác ABC có diện tích S và độ dài các cạnh là a, b, c. Với chứng 
minh rằng
Để chứng minh bài toán ta chứng minh các bổ đề sau
Bổ đề 1.
 Cho , chứng minh: 
 Giải
Ta có nên 
Đẳng thức xảy ra khi 
Bổ đề 2.
 Cho chứng minh rằng 
 i) ii) 
Giải
i) 
Cách 1. Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương bất đẳng thức
Đặt (đk: ), ta có bất phương trình
Ta có . Khi đó 
Bảng biến thiên
0 1
 - 0 +
Dựa vào bảng biến thiên ta có 
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Cách 2. Theo bất đẳng thức Becnuli ta có
Đẳng thức xảy ra khi 
ii) Theo câu i) ta có
Đẳng thức xảy ra khi 
Bổ đề 3. Cho , chứng minh
i) ii) 
Giải
i) Nếu hoặc thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
 Nếu thì ta có: , do đó ta có
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
ii) Theo bất đẳng thức i) ta có 
 ( theo bổ đề 2i)
Đẳng thức xảy ra khi 
Bổ đề 4. Trong tam giác ABC ta có
 Hay 
Giải
Cách 1.
Theo cách chứng 10 trong mục 2.1 ta có
Mà từ đó ta có điều phải chứng minh.
Cách 2.
Ta có: 
 (với )
 ( vì ) 
Bất đẳng thức cuối luôn đúng, từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
Quay lại chứng minh bài toán
Trong tam giác ABC ta có 
Do đó, theo bổ đề 1 ta có 
( do bổ đề 3ii)
(theo bổ đề 2ii)
( theo bổ đề 4)
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều. 
2.4 Mở rộng bài toán trong không gian.
Tam giác trong mặt phẳng và tứ diện trong không gian có mối liên hệ biện chứng, 
nhiều tính chất trong tam giác được mở rộng trong không gian đối với tứ diện. 
Do đó, bài toán này ta có thể mở rộng trong không gian thành bài toán sau: 
Cho tứ diện ABCD, đặt , là 
thể tích khối tứ diện ABCD. Chứng minh rằng
Giải
Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau
Bổ đề 5. Với mọi số thực ta có 
Chứng minh. 
Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm 
Khi đó ta có , , 
Mặt khác, ta luôn có , suy ra điều phải chứng 
minh. Đẳng thức xảy ra khi , , cùng hướng hay 
Bổ đề 6. Trong tam giác ABC ta có 
Chứng minh
Theo bài toán 2.1 ta có (*)
Mặt khác ta có 
 (**)
Từ (*) và (**) ta có 
Đẳng thức xảy ra khi tam giác ABC đều.
Quay trở lại bài toán. Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng
(ABC). Gọi E, F, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB, BC, CA.
Đặt Áp dụng định lý Pitago ta có
Do đó 
 ( Theo bổ đề 5)
 = 
 ( Theo bổ đề 6)
Đẳng thức xảy ra khi tứ diện ABCD đều. 
3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1 Kết quả từ thực tiễn.
 Trước khi dạy thực nghiệm tôi khảo sát lớp 12I và 12K. Qua kết quả khảo sát 
tôi thấy rằng phần lớn học sinh bằng lòng với một cách giải mà mình tìm được 
và cũng không hứng thú để tìm cách giải khác.
 Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12I tôi thấy các em có hứng thú hơn khi giải 
toán, các em luôn có xu hướng tìm tòi cách giải khác. Nhiều em đã tìm ra nhiều 
cách giải độc đáo.
3.2 Kết quả thực nghiệm
 Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2015 – 2016
 Thực nghiệm được tiến hành tại lớp 12I (36 học sinh) và 12K (40 học sinh) 
trường THPT Tây Hiếu, thị xã Thái Hòa, Nghệ An. Trong đó lớp 12I được áp
dụng sáng kiến, lớp 12K không áp dụng sáng kiến.
 Sau khi dạy thực nghiệm, tôi cho 2 lớp làm bài kiểm tra sau
TRƯỜNG THPT TÂY HIẾU
ĐỀ KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM
Thời gian: 45 phút
Đề bài: Chứng minh bất đẳng thức sau bằng 4 cách và mở rộng bài toán
Kết quả khảo sát
Loại
Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Kém
12I
13.9%
25%
36.1%
13.9%
11.1%
12K
0%
0%
27.5%
30%
42.5%
Nhận xét kết quả khảo sát: Lớp 12K không dạy thực nghiệm nên hầu hết các em chỉ giải được một cách và không mở rộng được bài toán. Ngược lại, lớp 12I được dạy thực nghiệm nên hầu hết các em giải được hai cách trở lên và mở rộng được bài toán.
Tổng hợp cách giải của học sinh và mở rộng
Cách 1. Áp dụng bất đẳng thức ta có
Đẳng thức xảy ra khi 
Cách 2. Ta có 
Bất đẳng thức cuối đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng.
Đẳng thức xảy ra khi 
Cách 3. Bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức 
 (*)
Xét tam thức bậc hai ẩn a là 
Ta có 
Do đó hay bất đẳng thức (*) đúng. Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Đẳng thức xảy ra khi 
Cách 4. Không mất tính tổng quát, giả sử 
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Cách 5. Không mất tính tổng quát, giả sử 
Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức
 (*)
Do nên bất đẳng thức (*) đúng. Vậy bất đẳng thức đã cho đúng.
Đẳng thức xảy ra khi 
Cách 6. Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi 
Mở rộng 1. Mở rộng theo hướng tăng số mũ.
Cho các số thực a, b, c ta có 
Mở rộng 2. Mở rộng theo hướng tăng số hạng
Cho các số thực ta có
4. KẾT LUẬN
 Việc bồi dưỡng tư duy cho học sinh là việc làm cần thiết và thường xuyên. Đặc biệt là giải bài toán theo nhiều cách khác nhau, qua đó học sinh rèn luyện được cách tiếp cận bài toán theo nhiều hướng khác nhau. Điều này không những tạo hứng thú cho học sinh trong học tập mà còn trau dồi khả năng xử lý tình huống, một kỹ năng quan trọng trọng cuộc sống hiện nay. Qua quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh có hứng thú hơn trong học môn Toán, đặc biệc các em không bằng lòng với một cách giải mà luôn cố gắng tìm tòi nhiều cách giải độc đáo.
 Đề tài này đã được trình bày, trao đổi và góp ý với tổ Toán – Tin và hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm trường THPT Tây Hiếu. Các thành viên đã đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài.
 Mặc dù đã cố gắng nhưng đề tài không tránh khỏi thiếu sót. Mong ban giám khảo cũng như đồng nghiệp giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn.
 Thái Hòa, ngày 12 tháng 05 năm 2016
 Tác giả 
 Võ Nam Phong
TÀI LIỆU THAM KHẢO