Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn

I/ Đặt vấn đề :
Trong giải toán hình học một số bài toán nhiều khi phải vẽ thêm đường phụ thì mới đi đến lời giải hoặc có khi vẽ thêm đường phụ giúp lời giải được gọn hơn , hay hơn , nhưng điều khó khăn phức tạp nhất là biết chọn đường phụ nào cho có lợi khi giải bài toán . Đối với các bài toán hình học mà có hai đường tròn tiếp xúc nhau nhiều khi vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn làm xuất hiện những yếu tố liên quan đến cả hai đường tròn , từ đó giúp ta tìm đến lời giải bài toán . 
Căn cứ vào những lí do trên, nên tôi chọn đề tài là: " Chứng minh một số bài toán hình học bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn ". Do nhiều điều kiện cũng như kinh nghiệm còn hạn chế, hơn nữa, đây là vấn đề tương đối rộng nên không thể tránh khỏi sai sót. Rất mong sự chí bảo quí báu của các thầy cô và sự đóng góp chân thành của các bạn đồng nghiệp.
II. Nội dung
1.Cơ sở khoa học và thực tiễn .
 - Xuất phát từ đặc điểm , quá trình tư duy và nhận thức của học sinh trong chứng minh các bài toán hình học đó là :
	+ Tư duy của học sinh đang trong quá trình hình thành và phát triển . 
	+ Nhìn nhận vấn đề ở các bài toán còn hạn chế .
Quan sát quá trình giải toán hình học của học sinh cho thấy việc học sinh loay hoay tìm ra lời giải các bài toán gặp nhiều khó khăn khi bài toán đó cần vẽ đường phụ :
+ 80% học sinh giải bài toán mang tính tự phát , chưa tìm hiểu kĩ dẫn đến không biết cách vẽ đường phụ để từ đó tìm ra lời giải. 
+ 20% Thực hiện kế hoạch giải sai , hoặc giải qua loa đại khái cho xong.
2. Nguyên nhân và biện pháp khắc phục.
 - Khó khăn đầu tiên mà học sinh vấp phải đó là tìm ra hướng chứng minh , cách vẽ đường phụ . Do trình độ nhận thức còn bột phát hoặc mang tính thụ động ít tư duy,nghiên cứu vấn đề chưa kĩ ,hoặc tư duy chưa logic. Bên cạnh đó bài toán hình học các hình vẽ đường phụ thì có nhiều hướng nên học sinh không biết cách vẽ đường nào cho đúng để chứng minh. 
Trong các ví dụ sau đây việc không sử dụng vẽ đường phụ là “ Tiếp tuyến chung của hai đường tròn” dẫn đến chứng minh các bài toán sẽ gặp khó khăn.
Ví dụ bài toán 1: 
Cho đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R’) tiếp xúc trong với nhau tại A. Vẽ các dây cung AB , AC của đường tròn (O) , AB và AC cắt (O’) lần lượt tại D và E ( D khác A , E khác A ) .
 Chứnh minh BC // DE .
Phân tích : Đối với bài toán này để chứng minh BC // DE cần chứng minh ( cặp góc đồng vị bằng nhau ) . Nhưng để chứng minh thì học sinh khó tìm ra cách chứng minh . Thực tế là hai góc nội tiếp của đường tròn (O) và (O’) ,ta chỉ cần một động tác chứng minh bằng góc thứ ba .Vậy ta cần vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A là xAy khi đó xuất hiện góc và .
Hướng dẫn giải :
 x
 B
Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường 
tròn D
 là xAy . 
 O
 y
 E
 C
 A
 O’
Xét đường tròn (O’) có : (1)
( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội 
tiếp cùng chắn cung )
Xét đường tròn (O) có (2)
( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội 
tiếp cùng chắn cung )
Từ (1) và (2) suy ra BC // DE
 Ví dụ bài toán 2 : 
	 Cho hai đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A . Vẽ cát tuyến chung BAC và DAE ( B , D thuộc (O) ; C , E thuộc (O’). ) 
	Chứng minh : BD // CE
Phân tích : Tương tự bài toán 1 để chứng minh BD // EC ta cần chứng minh hoặc . Vậy ta cần chứng minh và bằng góc thứ ba nào đó . Để chứng minh và bằng góc thứ ba thì ta tạo ra gó đó bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A là yAy’.
	 y
 B
Hướng dẫn giải : 
 E
Vẽ tiếp tuyến chung trong yAy’ của 
 O’
hai đường tròn (O) và (O’).
 O
 A
Xét đường tròn (O) ta có : 
 D
 C
(1) (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến 
và góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Xét đường tròn (O’) ta có : 
 y’
(2) ( Góc tạo bởi tia tiếp tuyến 
và góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Mặt khác : (3) ( đối đỉnh)
Từ (1) , (2) , (3) suy ra : (hai góc ở vị trí so le trong) DB // CE Ví dụ bài toán 3:
Cho hai đường tròn (O;R) và đường tròn (O’;R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của đường tròn (O) và đường tròn (O’) ( B (O); C (O’) ). Chứng minh : = 900 .
Phân tích : Với bài toán này học sinh muốn chứng minh = 900 có nhiều em lúng túng tìm cách giải bởi tác động hình vẽ khó tìm dữ kiện để chứng minh = 900 . Vậy để hình vẽ như vậy khó có thể tìm ra lời giải . Thực chất = 900 tức là ABC vuông tại A , muốn chứng minh ABC vuông tại A ta cần tạo ra đường trung tuyến từ đỉnh A của ABC bằng cạnh ấy . Vậy ta cần phải vẽ đường phụ là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O’) tại A.
 Hướng dẫn giải : 
 A
 O
 O’
Vẽ tiếp tuyến chung trong của đường 
tròn (O) và (O’) tại A và cắt BC tại D
 B
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau 
 D
 C
Ta có : DA = DB ; DA = DC
ABC có AD là trung tuyến và AD = BC nên ABC vuông tại A. => = 900
Ví dụ bài toán 4: 
	 Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại điểm A . Gọi BC là một dây của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại điểm D. 
 Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc BAC.
Phân tích : Với yêu cầu chứng minh AD là phân giác của góc BAC hầu hết các em có tư duy là chứng minh nhưng để chứng minh được thì đa phần các em gặp khó khăn . Đối với bài toán này các em khó phát hiện cách vẽ đường phụ để chứng minh.Nhưng thực tế để chứng minh được đơn giản ta phải vẽ đường phụ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A.
Hướng dẫn giải :
 x
Vẽ tiếp tuyến chung Ax của hai đường tròn (O) và (O’).
 E
 B
 Ax cắt BC tại E.
 D
 Nên ta có : EA = ED ( T/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
 C
 A
 Suy ra : (1) 
 O’
 O
 Mặt khác (2)
 (3)( Vì là góc ngoài của ADC)
 Xét đường tròn (O) ta có : (4) 
 (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Từ (2) và (3) ta có : 
	Do , nên 
	Vậy AD là tia phân giác của góc .
Ví dụ bài toán 5 : 
	 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại D. Từ một điểm A trên đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) và cắt đường tròn (O’) tại hai điểm B và C. Chứng minh điểm A cách đều hai đường thẳng BD và CD.
Phân tích : Đối với bài toán này sau khi vẽ hình các em nhiều khi lúng túng tìm ra cách chứng minh , các em khó phát hiện cách chứng minh . Nhưng để chứng minh A cách đều BD và CD thì cần phải chứng minh A thuộc tia phân giác BDx => Phải vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại D từ đó ta chứng minh 
Huớng dẫn giải :
	Vẽ tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O’) tại D cắt AB tại E
	Khi đó ta có : EA = ED ( Tính chất hai tiếp tiếp tuyến cắt nhau )
Nên suy ra : 
 A
Mặt khác: (1)( là góc ngoài của ADC )
 C
E
 B
 (2)
 O’
 O
 Ta thấy : (3)
 x
 D
 (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc
 nội tiếp cùng chắn cung ).
 Từ (1),(2),(3) suy ra : 
 A thuộc tia phân giác của góc 
Vậy A cách đều hai đường thẳng BD và CD .
Kết luận :
 Trong quá trình giảng dạy môn toán THCS mỗi bài toán đặt ra trước hết phải phục vụ cho mục tiêu dạy học .Việc xây dựng và sử dụng cách giải phương pháp nhận dạng các bài toán “chứng minh hình học có sử dụng vẽ đường phụ ” mà tôi trình bày ở trên là nhằm mục đích giúp học sinh có khả năng tư duy khi giải các bài toán chứng minh có hai đường tròn tiếp xúc nhau một cách đơn giản hơn,đồng thời kích thích cho học sinh biết tư duy sáng tạo trong các bài chứng minh hình học.Tuy nhiên để giải một bài toán nó thường được bắt đầu bởi những kiến thức cơ bản,từ đó bản thân vận dụng sáng tạo có hiệu quả vào để chứng minh một cách hợp lý nhất,nhanh nhất, gọn nhất .
 ( Trong quá trình viết còn nhiều khiếm khuyết mong độc giả thông cảm và góp ý )./.