Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng tài liệu về số phức nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh

, Hà Nội năm 2006)
Giải hệ phương trình .
2) (Trích đề thi HSG lớp 12, Vĩnh Phúc năm 2010)
Giải hệ phương trình .
3) (Trích đề thi thử ĐH năm 2013, THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN)
Giải hệ phương trình .
4) (Trích đề thi HSG lớp 11, THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN)
Giải hệ phương trình .
5) Tính , kết hợp với việc khai triển nhị thức New-tơn vận dụng tính các tổng sau:
	.
Ø Chú ý: Ngoài hai ứng dụng đã nêu ở trên, số phức còn được ứng dụng để giải các bài toán hình học. Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm trong các tài liệu: Số phức với hình học phẳng của GS Đoàn Quỳnh hoặc Số phức và ứng dụng giải các bài toán hình học phẳng của PGS. TS Nguyễn Hữu Điển.
B. ĐỀ XUẤT PHƯƠNG ÁN SỬ DỤNG TÀI LIỆU NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC CHO HỌC SINH
1. Đối với giáo viên
- Dùng tài liệu này làm tài liệu tham khảo hoặc tài liệu giảng dạy trong các tiết ôn tập, dạy học theo chuyên đề.
- Hướng dẫn học sinh nghiên cứu tài liệu và xác định rõ mục tiêu của từng dạng toán. Giáo viên hướng dẫn học sinh về việc lựa chọn dạng toán để đọc và làm.
- Căn cứ vào trình độ nhận thức của học sinh mà giáo viên có thể lựa chọn một trong ba hình thức sau đây để bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh. Một là, cung cấp tài liệu cho học sinh và nêu yêu cầu về kiến thức, kỹ năng đối với nội dung số phức. Hai là, hướng dẫn học sinh nghiên cứu từng dạng toán sau đó yêu cầu học sinh về đọc và làm bài tập trong tài liệu. Ba là, giáo viên sử dụng các ví dụ minh họa làm bài tập chữa trên lớp, phân tích làm rõ hướng giải quyết cho bài tập đó và yêu cầu học sinh về nhà làm lại các ví dụ minh họa và làm các bài tập trong phần đề nghị. Trong cả ba hình thức đó thì giáo viên phải có hoạt động kiểm tra việc làm bài tập ở nhà của giáo viên một cách thường xuyên nhằm nắm bắt được khó khăn mà học sinh gặp phải trong quá trình nghiên cứu về nội dung này.
- Nhiệt tình giải đáp khi học sinh có những thắc mắc hoặc gặp khó khăn khi tiếp cận các vấn đề trong tài liệu. Tìm hiểu những vướng mắc mà các em gặp phải và sử dụng hiệu quả việc đặt các câu hỏi để học sinh có thể tự mình tìm được hướng giải quyết. Đặc biệt tránh trường hợp nêu câu hỏi theo kiểu "dắt tay chỉ việc".
2. Đối với học sinh
- Với mỗi ví dụ minh họa học sinh tự mình giải quyết với kiến thức đã được học và những kiến thức được tóm tắt trong phần Kiến thức cần nắm. Sau đó đối chiếu lời giải của mình với lời giải được trình bày trong tài liệu. Từ đó rút ra những kinh nghiệm giải toán (phần nào chưa giải được? chưa giải được vì lý do gì? Do chưa khai thác hết giả thiết hay mới khai thác giả thiết dưới một góc nhìn? Đã phân tích làm rõ những liên hệ giữa giả thiết bài toán và kết luận của bài toán chưa? ...).
- Phần bài tập đề nghị thì học sinh tự nghiên cứu, tìm lời giải. Sau đó có thể sử dụng sự trợ giúp của bạn hoặc của thầy, cô hoặc tra cứu trong các tài liệu tham khảo khác.
- Khi hoàn thiện được lời giải của mỗi bài tập, các em cần tìm thêm cách giải quyết khác cho bài tập đó hoặc khai thác, nhìn nhận bài toán dưới những góc độ khác nhau để đề xuất bài tập tương tự, bài tập tổng quát hoặc một kết quả khác.
- Các em học sinh căn cứ vào lực học của mình để lựa chọn các dạng toán để giải quyết. Cụ thể là, ba dạng toán đầu (dạng 1, dạng 2 và dạng 3) dành cho mọi đối tượng học sinh. Đây là các dạng toán cơ bản, điển hình trong các kỳ thi. Các dạng còn lại (dạng 4, dạng 5, dạng 6 và dạng 7) dành cho học sinh khá, giỏi hoặc dành cho những học sinh có hứng thú với việc tìm hiểu về ứng dụng của số phức trong giải toán phổ thông.
- Khi nghiên cứu mỗi dạng bài tập các em cần rút ra hướng giải quyết chung nhất cho dạng bài tập đó. Bài tập nào nếu bằng sự nỗ lực của bản thân mà vẫn chưa giải được thì có thể xem lời giải hoặc nhờ sự trợ giúp của giáo viên. Sau đó các em cần nắm vững cách thức khai thác giả thiết hoặc cách tiếp cận bài toán mà mình chưa nghĩ ra trước đây để khắc sâu kỹ năng hoặc kỹ thuật đó.
BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ SỐ PHỨC
A. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 	(TN THPT 2006)	d) 	(TN THPT 2008)
b) 	(TN THPT 2007)	e) 	(TN THPT 2009)
c) 	(TN THPT 2007)	f) 	(TN THPT 2009)
2. (TN THPT 2008)
Tính giá trị của biểu thức .
3. (TN THPT 2010)
a) Cho hai số phức và . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
b) Cho hai số phức và . Xác định phần thực và phần ảo của số phức .
4. (TN THPT 2011)
a) Giải phương trình trên tập số phức.
b) Giải phương trình trên tập số phức.
5. (TN THPT 2012)
a) Tìm các số phức và , biết .
b) Tìm các căn bậc hai của số phức .
B. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
1. (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2009)
a) Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .
b) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: .
2. (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2010)
a) Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm phần thực và phần ảo của .
b) Giải phương trình trên tập hợp các số phức.
3. (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2011)
a) Cho số phức thỏa mãn . Tính môđun của .
b) Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .
4. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2009). Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện .
5. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2010). Tìm số phức thỏa mãn: là số thuần ảo.
6. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2011). Tìm số phức , biết .
7. (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2009). Tìm số phức thỏa mãn .
8. (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2010). Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn .
9. (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2011)
a) Tìm số phức , biết .
b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
10. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2009). Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức .
11. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2010)
a) Tìm phần ảo của số phức , biết .
b) Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun của số phức .
12. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2011)
a) Tìm tất cả các số phức , biết .
b) Tính môđun của số phức , biết .
13. (Trích đề thi TS CĐ năm 2012)
a) Cho số phức thỏa mãn . Tìm tọa độ điểm biểu diễn của trong mặt phẳng tọa độ .
b) Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính .
14. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2012)
a) Cho số phức thỏa mãn .
Tìm môđun của số phức .
b) Giải phương trình trên tập hợp các số phức.
15. (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2012). Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Viết dạng lượng giác của và .
16. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2012). Cho số phức thỏa mãn . Tính môđun của số phức .
17. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2013). Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tính môđun của số phức .
18. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2013). Cho số phức . Viết dạng lượng giác của . Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
19. (Trích đề thi TS Cao đẳng năm 2014). Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm phần thực và phần ảo của .
20. (Trích đề thi TS ĐH KD năm 2014). Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tính môđun của .
21. (Trích đề thi TS ĐH KB năm 2014). Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tính môđun của .
22. (Trích đề thi TS ĐH KA năm 2014). Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm phần thực và phần ảo của .
23. (Trích đề thi minh họa Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015).
Cho số phức thỏa mãn hệ thức: . Tính môđun của .
24. (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015). Cho số phức thỏa mãn . Tìm phần thực và phần ảo của .
25. (Trích đề thi dự bị THPT Quốc gia năm 2015). Cho số phức thỏa mãn . Tính môđun của .
C. BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ SỐ PHỨC TỪ CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bài tập về biến đổi số phức
1. a) Cho là số phức có phần ảo khác 0 và số phức thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng là một số thực.
b) Chứng minh rằng nếu các số phức thỏa mãn điều kiện thì ta cũng có hệ thức .
c) Chứng minh rằng với mọi số phức , ta luôn có .
2. Tìm các số thực thỏa mãn một trong các điều kiện:
a) 	b) 
c) 	d) 
3. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chu Văn An, Hà Nội)
Cho là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức
.
4. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Huệ, Hà Nội)
Cho hai số phức thỏa mãn và . Tính .
5. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, ĐHBKHN)
Cho số phức thỏa mãn . Tìm .
6. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Phan Bội Châu, Nghệ An)
Cho số phức thỏa mãn . Tính .
7. (BT 19 SGKNC)
a) Xác định phần thực của số phức , biết rằng và .
b) Chứng minh rằng nếu là số ảo thì .
8. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên Hà Tĩnh)
Cho số phức có phần thực dương và thỏa mãn và . Tính .
9. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Cho số phức thỏa mãn . Tính môđun của số phức .
10. (Trích đề thi HSG Toán Trung Quốc năm 1996)
Cho là hai số phức liên hợp thỏa mãn là số thực và . Tính .
11. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Cho các số phức thỏa mãn và . Tính .
12. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Tính môđun của số phức , biết số phức thỏa mãn .
13. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Cho số phức thỏa mãn . Tính .
14. Tìm môđun của số phức , biết .
15. (Trích đề dự bị ĐH KB năm 2010)
Biết là nghiệm của phương trình trên tập số phức. Chứng minh rằng là số thực.
16. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011 trên math.vn)
a) Cho là số phức có phần ảo khác không và số phức thỏa mãn . Chứng minh rằng là số thực.
b) Cho là số phức có phần ảo khác không và số phức thỏa mãn . Chứng minh rằng là số thực.
17. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa-Vũng Tàu)
Tìm các giá trị nguyên dương của để số phức là số thuần ảo.
18. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Chứng minh rằng là số thực.
19. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Tìm tất cả các số nguyên dương thỏa mãn là số thực.
20. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Lương Thế Vinh, Hà Nội)
Cho là số phức thỏa mãn . Xác định phần ảo của số phức .
21. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị)
Tìm phần ảo của số phức , biết rằng , trong đó là số nguyên dương, là số tổ hợp chập của phần tử).
22. (Trích đề thi thử ĐH năm 2012, THPT Thanh Thủy, Phú Thọ)
Tìm phần thực của số phức , biết thỏa mãn .
23. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐH Vinh)
Cho các số phức thỏa mãn . Tính .
24. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, TTLTĐH Nguyễn Trường Tộ, Quảng Trị)
Gọi là nghiệm của phương trình . Tính .
25. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Can Lộc, Hà Tĩnh)
Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tìm phần thực và phần ảo của số phức , biết có phần ảo dương.
26. Viết dạng lượng giác của số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:
a) và một acgumen của là ;
b) và một acgumen của là ;
c) và một acgumen của là .
27. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Viết số phức dưới dạng lượng giác.
28. (Trích đề thi thử THPT Quốc gia trên TC Toán học và Tuổi trẻ số tháng 4/2016)
Cho số phức thỏa mãn .
Bài tập về phương trình nghiệm phức
1. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 	b) 
c) 	d) 
2. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 	b) 
c) 	d) 
3. Giải các phương trình sau trên tập số phức:
a) 	b) 
c) 	d) 
4. Tìm các số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
5. Tìm các số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) và 	b) và .
c) và là số thuẩn ảo.
6. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSPHN)
a) Tìm số phức , biết rằng và có phần ảo bằng 1.
b) Tìm số phức , biết rằng và có một acgumen bằng .
7. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Chu Văn An, Hà Nội)
b) Tìm số phức , biết .
c) Giải phương trình sau trên tập số phức .
8. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, TTBDVH Thăng Long)
a) Tìm số phức có phần thực dương, phần ảo là số thực âm thỏa mãn và .
b) Tìm số phức thỏa mãn và là số thuẩn ảo.
9. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Huệ, Hà Nội)
Tìm số phức thỏa mãn và .
10. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình)
a) Giải phương trình sau trên tập số phức: .
b) Giải phương trình sau trên tập số phức: .
11. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐH Vinh)
a) Tìm số phức thỏa mãn và là số thuần ảo.
c) Tìm số phức thỏa mãn và là số ảo.
12. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Tìm số phức thỏa mãn và .
13. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSPHN)
Tìm số phức , biết và .
14. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Hà Tĩnh)
Tìm số phức thỏa mãn và .
15. (Tuyển chọn theo chuyên đề THTT tập 2)
a) Tìm số phức thỏa mãn mà có acgumen nhỏ nhất.
b) Giải phương trình nghiệm phức .
16. Giải phương trình sau trên tập số phức: .
17. Giải phương trình trên tập số phức, biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo.
18. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Tìm số phức thỏa mãn và .
19. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Thái Phiên, Hải Phòng)
Trong các số phức thỏa mãn , hãy tìm số phức có acgumen bằng .
20. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐH Vinh)
Tìm số phức thỏa mãn và là số ảo.
21. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
a) Tìm số phức , biết .
b) Tìm số phức thỏa mãn hai điều kiện và .
22. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Quỳnh Lưu 1, Nghệ An)
Tìm số phức thỏa mãn và có phần thực dương.
23. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Hà Huy Tập, Nghệ An)
Tìm số phức thỏa mãn và .
24. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, nguoithay.vn)
a) Cho số phức thỏa mãn . Tính .
b) Tìm số phức thỏa mãn phương trình .
25. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp)
Tìm số phức thỏa mãn các điều kiện và là số thực.
26. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên KHTN, ĐHQGHN)
Tìm tất cả các số phức thỏa mãn và là số thuần ảo.
27. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT chuyên Lý Tự Trọng, Cần Thơ)
Tìm số phức biết rằng và .
28. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, TTLTĐH Nguyễn Trường Tộ, Quảng Trị)
Tìm số phức đồng thời thỏa mãn .
29. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Can Lộc, Hà Tĩnh)
Tìm số phức biết là một số thuần ảo và .
30. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014, THPT Hàn Thuyên, Bắc Ninh)
a) Giải phương trình trên tập số phức.
b) Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Viết dạng lượng giác của các số phức và .
31. Tìm tất cả các số phức , biết .
32. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
a) Tìm số phức biết là số thực và .
b) Tìm các số phức thỏa mãn và .
c) Tìm số phức thỏa mãn và có một acgumen là .
d) Giả sử là hai số phức thỏa mãn hệ thức và . Tính giá trị của biểu thức .
33. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Tìm số phức thỏa mãn .
34. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Giả sử là số phức thỏa mãn . Tìm số phức .
35. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Tìm các số phức biết và .
36. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: .
Bài tập về tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Số là một số thuần ảo	b) Số là một số thuần ảo.
c) Số là một số thực	d) Số là một số thực.
3. Gọi là ba điểm biểu diễn 3 nghiệm của phương trình . Chứng minh rằng là tam giác đều.
4. Cho ba số phức phân biệt thỏa mãn điều kiện và cùng có môđun bằng 1. Gọi là ba điểm biểu diễn ba số phức trong mặt phẳng tọa độ . Chứng minh rằng là một tam giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị.
5. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, ĐHBKHN)
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn
.
6. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT Nguyễn Tất Thành, ĐHSPHN)
Cho hai số phức và . Gọi và lần lượt là điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ . Tính diện tích tam giác .
7. (BT 4.46 SBTGTNC)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn từng điều kiện sau:
a) 	b) 
8. (BT 4.50 SBTGTNC)
Tìm tất cả các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn các số phức sao cho là số thực.
9. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011 TTBDVH Thăng Long)
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thỏa mãn là số thực.
10. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện
.
11. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Trong mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức , biết rằng số phức là một số thuần ảo.
Bài tập về số phức có môđun nhỏ nhất, môđun lớn nhất
1. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên ĐHSPHN)
Tìm số phức có môđun nhỏ nhất và thỏa mãn .
2. Giả sử là số phức sao cho là một số thực. Trong các số phức thỏa mãn điều kiện đó, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
3. (Trích đề thi thử ĐH năm 2014 trên moon.vn)
Cho số phức thỏa mãn hệ thức . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
4. (Trích đề thi thử ĐH năm 2011, THPT chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa-Vũng Tàu)
a) Trong các số phức thỏa mãn , tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Cho số phức thỏa mãn có một acgumen bằng một acgumen của cộng với . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
5. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
6. Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau:
a) ;	b) ;	c) 
7. (Trích đề thi HSG Toán Trung Quốc năm 1995)
Cho và là các số phức thỏa mãn . Giả sử là các nghiệm phức của phương trình thỏa mãn điều kiện , với là số phức. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
8. Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức
.
9. a) Cho hai số phức và thay đổi và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
b) Cho hai số phức và thay đổi và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
10. a) Cho hai số phức và thay đổi và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
b) Cho hai số phức và thay đổi và thỏa mãn điều kiện .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
11. Cho hai số phức và thay đổi và thỏa mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Bài tập về ứng dụng của số phức
1. (Trích đề thi VMO năm 1996). Giải hệ phương trình .
2. (Trích đề thi Olympic 30/4/2000). Giải hệ phương trình .
KẾT LUẬN
1. Sáng kiến đã xây dựng được tài liệu và phân loại bài tập thành 7 dạng chính. Cụ thể là:
	- Dạng 1. Biến đổi số phức;
	- Dạng 2. Biểu diễn hình học của số phức;
	- Dạng 3. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước;
	- Dạng 4. Số phức với môđun lớn nhất, môđun nhỏ nhất;
	- Dạng 5. Bất đẳng thức về môđun của số phức;
	- Dạng 6. Dạng lượng giác của số phức;
	- Dạng 7. Số phức và một vài ứng dụng.
2. Sáng kiến đã hệ thống được một số lượng lớn bài tập về Số phức từ dễ đến khó. Các bài tập trong sáng kiến này phù hợp với nội dung ôn thi học kỳ, thi THPT Quốc gia. Đồng thời, trong một mức độ nào đó cũng có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi.
3. Mỗi dạng toán đều đề cập đến ba phần: kiến thức chuẩn bị, ví dụ minh họa và bài tập đề nghị. Trong một số ví dụ có sự nhận xét, đánh giá hoặc bình luận giúp cho học sinh hiểu rõ hơn và sâu sắc hơn nội dung đang được nghiên cứu. Từ đó tạo được hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh.
4. Tác giả đã tiến hành giảng dạy và triển khai thực nghiệm một số phần trong sáng kiến này tại đơn vị công tác từ năm 2011 và sáng kiến được hoàn chỉnh sau mỗi năm học. Thực nghiệm đã thu được kết quả đáng kể (học sinh biết cách nhận dạng bài toán về Số phức, biết tính toán liên quan đến Số phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức, ..., giải tốt các câu hỏi về Số phức trong đề thi Tốt nghiệp và tuyển sinh Đại học, Cao đẳng). Kết quả thực nghiệm bước đầu cho thấy tính hiệu quả, tính khả thi và phổ dụng của sáng kiến này.
5. Nội dung sáng kiến này rất có ý nghĩa đối với tác giả. Là tài liệu tham khảo bổ ích cho các thầy cô và học sinh nhằm nâng cao chất lượng dạy và học. Đồng thời, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh và góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay.
	Tác giả mong nhận được sự góp ý từ các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để việc áp dụng sáng kiến đạt hiệu quả hơn nữa và hoàn chỉnh nội dung của sáng kiến này./.
Xác nhận của Ban giám hiệu
Gia Viễn, ngày 05 tháng 5 năm 2016
Tác giả
Nguyễn Tiên Tiến