Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải bài tập Toán

c sinh, d­íi sù tæ chøc h­íng dÉn cña gi¸o viªn. Häc sinh tù gi¸c, chñ ®éng t×m tßi, ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt nhiÖm vô nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc ®· häc vµo bµi tËp vµ thùc tiÔn, trong ®ã cã ®æi míi d¹y häc m«n To¸n. Trong tr­êng phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng To¸n häc. §èi víi häc sinh cã thÓ xem viÖc gi¶i To¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ qu¸ tr×nh rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p suy nghÜ, ph­¬ng ph¸p t×m tßi vµ vËn dông kiÕn thøc vµo thùc tÕ. Th«ng qua viÖc gi¶i to¸n thùc chÊt lµ h×nh thøc ®Ó cñng cè, kh¾c s©u kiÕn thøc rÌn luyÖn ®­îc nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n trong m«n to¸n. Tõ ®ã rót ra ®­îc nhiÒu ph­¬ng ph¸p d¹y häc hay, nh÷ng tiÕt lªn líp cã hiÖu qu¶ nh»m ph¸t huy høng thó häc tËp cña häc sinh, gãp phÇn n©ng cao chÊt l­îng gi¸o dôc toµn diÖn.
Phương trình bậc hai và Định lý Vi-et học sinh được học trong chương trình Đại số 9 và đặc biệt biệt Định lí Vi-et có ứng dụng rất phong phú trong việc giải các bài toán bậc hai như: nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích của chúng, lập phương trình bậc hai có các nghiệm cho trước, tìm mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.Tuy nhiên, trong sách giáo khoa chỉ trình bày một số ứng dụng cơ bản với thời lượng chưa nhiều.
Với các bài tập có liên quan đến Định lí Vi-et và phương trình bậc hai phần lớn học sinh vận dụng kiến thức chậm hoặc không biết làm thế nào để xuất hiện mối liên hệ của các dữ kiện cần tìm với các yếu tố đã biết để giải bài tập.
Đối với học sinh khá giỏi thì các dạng bài tập về phương trình bậc hai trong SGK thường chưa làm các em thoả mãn vì tính ham học, muốn khám phá tri thức mới của mình. 
Hiện nay, trong kì thi vào lớp 10 THPT các bài toán có ứng dụng Định lí Vi-et khá phổ biến.
Xét trên thực tế qua những năm giảng dạy lớp 9 tôi nhận thấy nhu cầu học tập của học sinh, muốn được tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong các kì thi cấp THCS, kì thi vào THPT hoặc một số trường, lớp chất lượng cao là rất cần thiết. Vì vậy tôi mạnh dạn thực hiện đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải Toán”. 
* Đề tài “Ứng dụng Định lý Vi-et trong giải toán” đã có nhiều người nghiên cứu – là những giáo viên giảng dạy lớp 9 tại các trường THCS. Các thầy cô giáo tập trung vào việc nghiên cứu các dạng bài tập, các dạng toán cơ bản liên quan đến Định lý Vi-et, các dạng bài tập tổng hợp có liên quan đến Định lý Vi-et. Điểm mới trong đề tài này, tôi tập trung trang bị đầy đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et. Đối với mỗi dạng toán đưa ra phương pháp giải cụ thể và tập trung phân tích kĩ các ví dụ và bài tập áp dụng. Trong đề tài này tôi đưa ra đầy đủ các dạng toán từ dễ đến khó, các bài tập nâng cao dành cho học sinh khá giỏi. Khi gặp dạng toán học sinh dễ nắm bắt và vận dụng.
1.2. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
- Đề tài thực hiện tại trường đang giảng dạy
- Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lí Vi-et trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS.
2. PHẦN NỘI DUNG
2.1. Thực trạng việc dạy và học Toán: 
a) Đối với giáo viên:
- Giáo viên đạt trình độ chuyên môn, có tinh thần trách nhiệm cao trong giảng dạy. Luôn có ý thức học tập, bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, năng lực sư phạm
- Luôn được ban giám hiệu Nhà trường, Tổ chuyên môn quan tâm chỉ bảo trong công tác. Được đồng nghiệp chỉ bảo, giúp đỡ trong giảng dạy
b) Đối với học sinh:
- Học sinh đa phần chăm ngoan, có ý thức trong học tập, có tinh thần học hỏi, xây dựng bài, lĩnh hội kiến thức tốt. 
- Phần lớn học sinh là con em gia đình làm nghề nông nên nhận thức về việc học tập còn hạn chế. Đồng thời, thời gian dành cho việc học tập của các em chưa nhiều.
- Khả năng nhận thức Toán học của một số học sinh còn chậm.
- Nội dung Ứng dụng Định lí Vi-ét để giải bài toán bậc hai rất đa dạng và tương đối khó với học sinh. Khả năng tiếp thu và vận dụng kiến thức của một số học sinh còn chậm. Mặt khác, nội dung này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức liên quan như: phương trình, hằng đẳng thức, bất đẳng thức, biến đổi biểu thức đại sốTrong khi đó, rất nhiều học sinh không nắm vững kiến thức đã học nên việc vận dụng vào các dạng bài tập là rất khó khăn.
c) Số liệu khảo sát trước khi áp dụng đề tài:
Trước khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau:
0 - < 2
2 - < 5
5 - < 6,5
6,5 - < 8
8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
/
/
6
20
9
30
10
33,3
5
16,7
* Kết quả:
- Cơ bản học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-ét và những ứng dụng của Định lý
- Bên cạnh đó còn nhều học sinh chưa vận dụng được nội dung của Định lý vào giải toán. Các dạng bài tập liên quan đến phương trình có chứa tham số: lập phương trình bậc hai, biến đổi các biểu thức chứa nghiệm của phương trình bậc hai, tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số... còn chậm
- Kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập của học sinh còn hạn chế, nhiều em chưa biết cách biến đổi các biểu thức chứa nghiệm, kĩ năng giải phương trình, biến đổi biểu thức đại số, vận dụng các hằng đẳng thức còn chậm. Đặc biệt là dạng toán tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số nhiều em chưa nắm được cách giải
2.2. Các giải pháp
2.2.1. Cung cấp kiến thức cơ bản
a) Hệ thức Vi-ét: 
Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) thì: 
b) Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai 
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = 
- Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = -
c) Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
 Nếu có hai số u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghiệm của phương trình: 
x2 – Sx + P = 0.
 (Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P ³ 0)
- Hướng dẫn và lưu ý cho học sinh các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng bài tập nhất là các bài toán có thể đưa về bài toán bậc hai quen thuộc đối với học sinh.
- Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm.
- Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hướng dẫn và phân loại cho các em một số dạng bài tập có ứng dụng Định lí Vi-et.
2.2.2. Trang bị đủ các dạng bài tập vận dụng Định lý Vi-et cho các đối tượng học sinh.
I. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai
1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1
Phương pháp: Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c
Ví dụ. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a) 	 b) 
Giải:
a) Ta có: nên phương trình có một nghiệm là , nghiệm còn lại là 
b) Ta có: nên phương trình có một nghiệm là , 
nghiệm còn lại là 
Bài tập. Tìm nghiệm của phương trình:
a) 	 b) 
2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:
Phương pháp: - Thay giá trị 1 nghiệm vào phương trình để tìm hệ số 
 	 - Áp dụng định lí Vi-et viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm (tổng hoặc tích hai nghiệm) để tính nghiệm còn lại
Ví dụ 1: 
a) Phương trình có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình
b) Phương trình có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình
Giải
a) Thay vào phương trình ta được 
Phương trình đã cho trở thành 
Theo Vi-et: ( hoặc )
b) Thay vào phương trình ta được 
Phương trình đã cho trở thành 
Theo Vi-et 
Ví dụ 2:
a) Phương trình biết hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của phương trình
b) Phương trình có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó
Phương pháp: - Viết hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm theo đề bài kết hợp với một hệ thức của Định lí Vi-et để tìm các nghiệm đó
 - Tìm hệ số chưa biết
Giải
a) Theo đề bài ta có 
 Theo định lí Vi-et: 
=> q = 
b) Ta có . 
Theo định lí Vi-et ta có 
Với thì , = 10 + 5 = 15
Với thì , = (- 10) + (- 5) = - 15
Bài tập: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình
a) biết một nghiệm bằng – 5
b) biết một nghiệm bằng – 3
c) biết một nghiệm bằng 3
II. Lập phương trình bậc hai
1. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó
Phương pháp: - Từ 2 nghiệm đã cho tính tổng và tích của chúng
 - Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích
Ví dụ 1. Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2
Giải:	Ta có 
Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: 
Ví dụ 2. Cho 	; 
Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2
Giải
Ta có: 
Nên: 	
Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là x2 - x + = 0
Hay 2x2 - 2x + 1 = 0
Bài tập: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:
a) 8 và -3	b) 36 và – 104	
c) và 	d) và 
	2. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm thỏa mãn biểu thức của 2 nghiệm của phương trình cho trước
Ví dụ 1. Cho phương trình có hai nghiệm . 
Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 
- Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:
Cách 1: - Tính trực tiếp bằng cách: Tìm nghiệm của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính 
Phương trình có nên phương trình có hai nghiệm là 
Ta có 
- Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm (dạng 2.1)
Phương trình cần lập có dạng: hay 
hay 
Cách 2: Không tính mà áp dụng Định lí Vi-et tính sau đó lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 
Theo Định lí Vi-et ta có:
Phương trình cần lập có dạng: hay 
hay 
Ví dụ 2: Cho phương trình có hai nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 
Giải:	Theo Định lý Vi-et ta có: 
Ta có: 
Vậy phương trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0
Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình có hai nghiệm . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 
Bài 2. Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 
Bài 3. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn: 
III. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng
Phương pháp: Nếu có hai số u và v thoã mãn: 
thì u và v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0.
 (Điều kiện để có hai số u và v là: S2 – 4P ³ 0)
Ví dụ 1. Tìm hai số u và v biết u + v = - 3, uv = - 4
Giải: 
Hai số u và v là nghiệm của phương trình 
Giải phương trình trên ta được 
Vậy nếu u = 1 thì v = - 4; nếu u = - 4 thì v = 1
Ví dụ 2. Tìm hai số u và v biết S = u + v = 3, P = uv = 6
Giải: 
Hai số u và v là nghiệm của phương trình 
Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn đề bài
Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay
 nên không tồn tại hai số u và v thỏa mãn yêu cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình
Bài tập.
Bài 1. Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20
Bài 2. Tìm hai số x, y biết:
a) x + y = 11; xy = 28	b) x – y = 5; xy = 66
Bài 3, Tìm hai số x, y biết: 
IV. Dạng toán về biểu thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
	Biến đổi một số biểu thức thường gặp
Chú ý: Mọi biểu thức đều được biến đổi xuất hiện x1 + x2 và x1 . x2
1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm
Phương pháp: - Không giải phương trình bậc hai, ta biến đổi biểu thức đã cho dưới dạng tổng và tích các nghiệm
	 - Vận dụng Định lý Vi-et để tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính
a) 	b) 	
Giải
	Theo Định lý Vi-et ta có: 
a) 	
b) 
Bài tập. 
Bài 1. Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính
a) 	b) 	
Bài 2. Cho phương trình có hai nghiệm hãy tính
a) 	b) 
	2. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước	
Phương pháp: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm 
- Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m
- Đối chiếu với điều kiện để xác định m 
Ví dụ 1. Tìm giá trị của tham số m để các nghiệm x1, x2 của phương trình
mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoã mãn 
Giải:
Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: m ¹ 0 ; D' ≥ 0
D' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4
D' ³ 0 Û m £ 4.
Với 0 ¹ m £ 4, theo Định lý Vi-et: 
Do đó: 
Û 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m = m2
Û m2 - 10m + 16 = 0
Û m = 2 hoặc m = 8
Giá trị m = 8 không thoã mãn 0 ¹ m £ 4
Vậy với m = 2 thì = 1
Ví dụ 2. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0 (1)
	Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2x1 + 3x2 = 13.
Giải
	Để phương trình có 2 nghiệm thì 
	Theo Định lý Vi-et và theo bài ra ta có: 
 Vậy với m = 418 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13.
Ví dụ 3. Cho phương trình bậc hai x2 – mx +m – 1 = 0 
Tìm giá trị của m để A = x12 +x22 – 6 x1x2 = 8
Giải
Ta có : 
 	Nên phương trình luôn có 2 nghiệm x1, x2
 	Theo Định lý Vi-et ta có: 
A = (x1 +x2)2 – 8x1x2 = m 2 - 8 (m - 1) = m2 – 8m + 8 
A = 8 m2 – 8m +8 = 8 m2 - 8m = 0 m = 0 hoặc m = 8
Vậy với m = 0 hoặc m = 8 thì A = 8 
Ví dụ 4. Cho phương trình 3x2 – 4x + m + 5 = 0
	Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho : 
(Đề kiểm tra học kì II – Năm học 2009-2010)
Giải
	Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:
	Theo Định lý Vi-et ta có: 
	Ta có: 
	Vậy với m = -12 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : 
Bài tập: 
Bài 1. Cho phương trình . 
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 
Bài 2. Cho phương trình 
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
(Đề thi thử vào THPT năm học 2013-2014)
Bài 3. Cho phương trình 
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
	3. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào giá trị của tham số 
Phương pháp: - Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (; hoặc a.c < 0).
 - Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình .
 - Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P Đó là hệ thức độc lập với tham số.
Ví dụ 1: Cho phương trình: 
CMR phương trình luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với m
(Đề thi thử vào THPT năm học 2013-2014)
Giải
	a) Ta có: 
	Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
	b) Theo Định lý Vi-et ta có: 
	 không phụ thuộc vào giá trị của m
Ví dụ 2: Cho phương trình 
	Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m
(Đề thi thử vào THPT năm 2013-2014)
Giải
	Ta có: 
	Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m
	Theo Định lý Vi-et ta có: 
	 không phụ thuộc vào giá trị của m
Ví dụ 3: Gọi là nghiệm của phương trình 
Chứng minh biểu thức không phụ thuộc giá trị của m
Giải
Để phương trình có hai nghiệm thì: 
Theo Định lí Vi-et ta có: 
Thay vào A ta được: = 
Vậy = 0 với và 
hay biểu thức A không phụ thuộc vào m
Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2 Cho phương trình 
a) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm 
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m
	4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa nghiệm
Phương pháp: * Tìm giá trị nhỏ nhất của A :
 - Phân tích A = + M (M là một hằng số)
 - A có giá trị nhỏ nhất khi f(x) = 0 
 - Giải f(x) = 0 tìm x
 - Giá trị nhỏ nhất của A là M
 * Tìm giá trị lớn nhất của A: 
 - Phân tích A = M - (M là hằng số)
 - A có giá trị lớn nhất khi f(x) = 0
 - Giải f(x) = 0 tìm x
 - Giá trị lớn nhất của A là M
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 = 0
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
(Đề kiểm tra HKII – Năm học 2008-2009)
Giải
Ta có: 
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Theo Định lý Vi-et ta có: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 3 khi m = 0
Ví dụ 2. Cho phương trình 
Gọi 2 nghiệm là x và x, tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
	Theo Định lý Vi-et ta có: 
	= 
 Vậy GTNN của là khi m =
Ví dụ 3. Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =½x1x2 - 2x1 - 2x2½
Giải
Để phương trình đã cho có nghiệm thì:
D' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ³ 0
Þ - 5 £ m £ - 1
Theo Định lý Vi-et ta có: 	
Vì nên 
Suy ra: A = = £ 
Dấu “ = ” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4
 Vậy A đạt giá trị lớn nhất là khi m = - 4
Bài tập.
Bài 1. Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
a) đạt giá trị lớn nhất
b) đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2. Cho phương trình: x2 – mx + (m - 2)2 = 0
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A = x1x2 + 2x1 + 2x2
Bài 3. Cho phương trình 
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Gọi là hai nghiệm của phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
V. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
 Các trường hợp xét dấu của nghiệm
- Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu 
- Phương trình có 2 nghiệm dương 
- Phương trình có 2 nghiệm âm 
 - Phương trình có 2 nghiệm trái dấu 
Phương pháp: - Tính tổng và tích hai nghiệm theo Định lý Vi-et
 - Dựa vào điều kiện để xét dấu của tổng và tích
Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + 3x – m = 0
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Giải
	Phương trình có hai nghiệm cùng dấu 
Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 - 2(m + 2)x + m = 0 
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm 
Giải
a) Ta có : 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
Vậy với m 0 và m > - 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 
b) Theo Định lý Vi-et ta có: 
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm 
Vậy với thì phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm 
Bài tập:
Bài 1. Cho phương trình: x2 - 2( m - 2)x - 6m = 0 
Giải phương trình khi m = 3
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
Bài 2. Cho phương trình (1)
a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 3. Xác định m để phương trình 
a) có hai nghiệm cùng dấu
b) có ít nhất một nghiệm không âm
II.1. Kết quả khảo sát sau khi áp dụng đề tài
Sau khi áp dụng đề tài tôi tiến hành khảo sát với nội dung kiến thức liên quan đến Định lý Vi-ét và ứng dụng của Định lý Vi-ét trên 30 học sinh. Kết quả đạt được như sau:
0 - < 2
2 - < 5
5 - < 6,5
6,5 - < 8
8 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
/
/
2
6,7
9
30
9
30
10
33,3
*Kết quả:
- Sau khi áp dụng đề tài thì số lượng học sinh yếu giảm, số lượng học sinh đạt điểm khá giỏi tăng lên
- Đa số học sinh nắm được nội dung của Định lý Vi-et và ứng dụng trong giải toán, nhiều em vận dụng vào làm bài tập khá tốt
- Học sinh đã biến đổi khá thành thạo các biểu thức chứa nghiệm, biết cách tìm giá trị tham số thỏa mãn các biểu thức chứa nghiệm, tìm hệ thức độc lập với tham số
C. PHẦN KẾT LUẬN
1. Ý nghĩa của đề tài:
Trong quá trình thực hiện đề tài nay, tôi đã hướng dẫn cho học sinh phân loại các dạng bài tập, cách phân tích tìm lời giải đối với từng dạng bài, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố cần tìm với các yếu tố đã biết để vận dụng các kiến thức liên quan vào việc giải toán.
Ngoài các ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã nêu trong sách giáo khoa tôi đã cung cấp thêm cho học sinh một số dạng bài tập khác phù hợp với năng lực của học sinh. Đồng thời, việc tôi cùng các em học sinh trao đổi, giải bài tập giúp phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, giúp các em tự tin và có hứng thú học tập hơn. Nhờ đó khi làm bài tập học sinh đã thực hiện nhanh hơn và có hiệu quả hơn, có một số em còn đưa ra những cách giải rất hay và ngắn gọn cho cùng một bài toán.
Trên đây là những dạng bài tập ứng dụng của Định lí Vi-ét mà tôi đã lựa chọn để truyền đạt đến học sinh, mong rằng qua đó các em sẽ vận dụng tốt và phát huy hơn nữa năng lực học tập bộ môn. Qua thực tế giảng dạy và tìm hiểu tài liệu tôi đã cố gắng thể hiện đề tài nghiên cứu này. Tuy nhiên trong quá trình thực hiện không thể tránh khỏi những tồn tại, thiếu sót rất mong quý thầy cô, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để vấn đề mà tôi đưa ra được ứng dụng thiết thực và có hiệu quả cao hơn.