Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác trong một số bài tập về đường tròn - Chương II - Hình học 9

A. Đặt vấn đề
Để thực hiện mục tiêu giáo dục hiện nay, nhằm nâng cao chất lượng, hiệu quả của việc dạy và học, làm cho kết quả học tập của học sinh ngày càng được nâng cao. Vì vậy nhiệm vụ của thày và trò là phải dạy và học như thế nào để đạt hiệu quả cao nhất.
Cùng với các môn học khác, Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong trường phổ thông. Dạy Toán tức là dạy phương pháp suy luận, học Toán là rèn luyện khả năng tư duy lôgic. Giải toán luôn là một hoạt động bổ ích và hấp dẫn. Nó giúp các em nắm vững thêm kiến thức, phát triển từng bước năng lực tư duy toán học, hình thành và hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, giúp các em có thể học tốt các môn tự nhiên khác cũng như vận dụng hiệu quả kiến thức toán học vào thực tế đời sống.
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển trí tuệ. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh ( người học toán ) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học .
Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng hợp lý các phương pháp dạy học, từ đó góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học toán học sinh được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán.
***
	Trong chương II: Đường tròn - Hình học 9 THCS có một số bài toán mà muốn giải được nó một cách nhẹ nhàng thì học sinh phải sử dụng được tính chất về góc ngoài của một tam giác.
	Một số năm dạy bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của trường tham gia kì thi học sinh giỏi các cấp và dạy học sinh ôn thi vào trung học phổ thông, cũng như tham khảo đề thi chọn học sinh giỏi của một số huyện, tỉnh khác tôi nhận thấy: Nhiều bài toán trong đề thi, trong các sách tham khảo có đề cập tới việc sử dụng tính chất về góc ngoài của một tam giác và nếu không sử dụng tính chất này thì nhiều bài toán không giải quyết được, đặc biệt là những bài toán thuộc chương II: Đường tròn - Hình học 9.
	Qua nghiên cứu tài liệu, thực tế giảng dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi viết nên bản kinh nghịêm: Sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập về Đường tròn, chương II - Hình học 9, nhằm góp phần nâng cao khả năng giải quyết các bài toán hình học cho học sinh.
B. Giải quyết vấn đề
I. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu vấn đề.
 Trong những năm học trước, sau khi học sinh được học phần kiến thức về định nghĩa và sự xác định đường tròn, tôi yêu cầu các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi làm bài toán sau:( Cho học sinh làm bài trong 15 phút)
	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), . BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC ().
	Chứng minh bốn điểm B, E, F, O cùng thuộc một đường tròn.
 Kết quả: Không có học sinh nào giải được bài toán trên.
 Vấn đề đặt ra ở đây là phải hướng dẫn cho học sinh biết cách sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác vào giải bài tập dạng này của chương II: Đường tròn
II. Các phương pháp nghiên cứu:
1. Đối với giáo viên:
+ Nghiên cứu tài liệu, lựa chọn các bài tập để minh hoạ cho việc sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác vào bài tập cụ thể.
+ Tổ chức cho học sinh được học bồi dưỡng để triển khai đề tài.
+ Sử dụng các phương pháp: 
	. Phương pháp điều tra.
	. Phương pháp thống kê.
	. Phương pháp so sánh đối chứng.
	. Phương pháp phân tích, tổng hợp.
2. Đối với học sinh:
+ Làm các bài tập giáo viên giao để xem mình vướng mắc ở đâu.
+ Sau khi được giới thiệu các cách làm thì phải nắm chắc và biết vận dụng vào các bài toán cùng loại.
+ Nắm chắc các kiến thức cơ bản và các phương pháp chứng minh hình học khác để phụ trợ cho việc chứng minh, tính toán.
III. Nội dung của kinh nghiệm
1. Cơ sở lí thuyết: 
* Học sinh cần nắm chắc các vấn đề sau:
+ Định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
+ Các hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
+ Các kiến thức của chương II: Đường tròn
...
2. Các bài toán minh hoạ:
Bài toán 1:
 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), . BE và CF là hai đường cao của tam giác ABC ().
 Chứng minh bốn điểm B, E, F, O cùng thuộc một đường tròn.
* Phân tích: 
Để chứng minh 4 điểm B, E, F, O thuộc một đường tròn cần chứng minh được , muốn vậy phải chứng minh .
Khi chưa có kiến thức về góc nội tiếp, việc chứng minh khá khó khăn đối với HS, nhưng nếu biết cách sử dụng tính chất góc ngoài của một tam giác thì sẽ chứng minh dễ dàng.
Giải:
Kẻ đường kính AM của (O)
OA = OB cân tại O (1)
Vì là góc ngoài của (2)
Từ (1) và (2) (3)
Chứng minh tương tự ta có: (4)
Từ (3) và (4) 
 (Theo GT) 
 (Theo GT) 
 5 điểm O, E, B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
 4 điểm B, E, F, O cùng thuộc một đường tròn.
Bài toán 2:
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A có đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO. Vẽ (O; OK), đường tròn này cắt cạnh AB tại D, cắt cạnh AC tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của (O) với đường thẳng AB. Chứng mimh:
	a) là tam giác cân;	
	b) D, A, O, E cùng thuộc một đường tròn.
* Phân tích: 
Khi đã chứng minh được vuông cân tại A ở câu a) ta sẽ có . Để chứng minh 4 điểm A, O, D, E thuộc một đường tròn ta phải chứng minh . Thực hiện cách làm tương tự như ở ví dụ 1 ta cũng chứng minh được 
Giải:
a) Kẻ 
Tứ giác AMON có AMON là hình chữ nhật (1)
Vì vuông cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường phân giác 
AO là tia phân giác của (2)
Từ (1) và (2) AMON là hình vuông 
Xét và có: 
Từ (3) và (5) cân tại A.
b) Vì vuông cân tại A (C/minh trên) 
Kẻ đường kính FI của đường tròn (O) 
OD = OF (bán kính của (O)) cân tại O 
Vì là góc ngoài của tam giác ODF 
Chứng minh tương tự: 
Từ (6) và (7) 
 O và A thuộc đường tròn đường kính DE
 4 điểm O, A, D, E cùng thuộc một đường tròn.
Bài toán 3:
 Cho (O; R) có hai đường kính AB và EF vuông góc với nhau. D là một điểm thuộc cung AE nhỏ; M là giao điểm của AD và OE; N là giao điểm của OE và DB. Chứng minh rằng: MA.MD = ME.MF = MN.MO.
* Phân tích: 
Để chứng minh: 
MA.MD = ME.MF = MN.MO ta cần chứng minh:
+ Việc chứng minh MA.MD = MN.MO không khó khăn.
+ Để chứng minh MA.MD = ME.MF cần phải chứng minh được hai tam giác MAF và MED đồng dạng với nhau, muốn vậy phải chứng minh được .
Nếu đã học chương III: Góc với đường tròn, thì việc chứng minh hai góc trên bằng nhau không khó, nhưng ở chương II thì muốn chứng minh hai góc trên bằng nhau phải sử dụng được tính chất về góc ngoài của tam giác.
Giải:
+) Vì D thuộc đường tròn đường kính AB 
 và có là góc chung và đồng dạng với nhau 
+) Kẻ đường kính DK của (O)
 cân tại O 
Vì là góc ngoài của 
Chứng minh tương tự ta có: 
Vì D thuộc đường tròn EF 
 vuông cân tại O (3)
Từ (2) và (3) (4)
Xét và có:
 đồng dạng với (5)
Từ (1) và (5) MA.MD = ME.MF = MN.MO
Bài toán 4:
 Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính lần lượt là R và r. Biết .
 Tính diện tích tam giác ABC theo R và r.
* Phân tích: 
Để tính được ta sử dụng công thức: (p là nửa chu vi tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác).
Dễ dàng chứng minh được: . Để tính được AD và BC ta cần tính được và , việc này đơn giản nếu sử dụng tính chất góc ngoài của một tam giác
Giải:
+) Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC; D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của ( I ) với AB, AC, BC. 
 =
AD = AE, BD = BF, CE =CF (Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)
+) Vì 
Mà (Tổng ba góc của một tam giác)
Trong : 
+) Kẻ đường kính AM của (O).
OA = OB (= R) cân tại O 
Vì là góc ngoài của 
Chứng minh tương tự: 
Từ (1), (2) 
Kẻ 
Trong : 
Bài toán 5:
 Cho (O; R) đường kính AB, C là một điểm thuộc bán kính OA. Trong nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Cx và Cy sao cho . Các tia Cx và Cy cắt (O; R) thứ tự tại hai điểm D và G. Qua điểm C vẽ dây DE của (O; R).
Chứng minh rằng là tam giác đều;
Biết R = 8cm, không dùng bảng số và máy tính, hãy tính DG.
* Phân tích: 
Khi đã chứng minh được đều ở câu a) ta sẽ có . Để tính được DG cần phải tính được . Tương tự như các ví dụ trên, muốn tính được ta phải sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác. 
Giải:
a) Kẻ tại H, tại K
(Hai góc đối đỉnh) 
Xét và có: 
Xét và có:
Từ (3) và (4) 
 cân tại C (5)
 (6)
Từ (5) và (6) là tam giác đều.
b) Kẻ đường kính EM 
+) OD = OE (=R) cân tại O 
Vì là góc ngoài của 
Chứng minh tương tự: 
Vì là tam giác đều (C/minh trên) 
+) Kẻ đường cao ON của tam giác cân ODG 
 và 
Trong : 
.
Bài toán 6:
 Trong đường tròn (O; R) cho hai dây và (B và C nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường AO).
 Tính các góc của tam giác ABC.
* Phân tích: 
Dựa vào GT, tính dễ dàng được số đo và . Để tính được số đo các góc của có nhiều cách, song nếu sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác thì việc tính toán sẽ đơn giản hơn.
Giải:
+) ; 
 vuông tại O (Theo định lí Pytago đảo)
+) Kẻ và 
Trong 
+) Kẻ các đường kính BF và CE của (O)
 cân tại O 
Vì là góc ngoài của 
 (1)
Chứng minh tương tự ta có: (2)
Từ (1) và (2) 
Tính tương tự ta có: 
Trong : 
3. Một số bài tập cùng loại:
Bài 1:
 Cho (O; R), dây . C là một điểm trên cung lớn AB sao cho có ba góc nhọn. Gọi H là trực tâm của ; các đường thẳng AH và BH cắt (O) lần lượt tại M và N.
 Chứng minh rằng: MN là đường kính của đường tròn (O).
Bài 2:
 Cho ; trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh BA lấy điểm N, trên cạnh CA lấy điểm P sao cho BM = BN, CM = CP. Gọi D là tâm đường tròn nội tiếp .
 Chứng minh rằng: Tổng số đo của hai góc BAC và NDP không đổi khi M chuyển động trên cạnh BC.
Bài 3:
 Cho tam giác ABC có , . Lấy BC làm cạnh dựng tam giác đều BMC sao cho A và M thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ BC. 
 Tính số đo .
Bài 4:
 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2 cm, tiếp điểm trên một cạnh chia cạnh đó thành hai đoạn thẳng 4 cm và 6 cm.
 Tính các cạnh còn lại của tam giác.
4. Những kết quả đạt được:
 Sau khi triển khai chuyên đề: Sử dụng tính chất: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập của chương II: Đường tròn - Hình học 9, học sinh có thêm một công cụ khá hiệu quả để giải được một số bài tập trong chương II: Đường tròn - Hình học 9. Nếu không có công cụ này, nhiều bài tập thuộc chương II sẽ không giải quyết được hoặc phải sử dụng các cách làm khá phức tạp. Mặt khác, thông qua chuyên đề này học sinh còn nắm vững các kiến thức cơ bản khác của hình học đồng thời rèn kĩ năng phân tích, suy luận hợp lí, phát triển tư duy sáng tạo.
 Kiểm tra các học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi của trường năm học 2009 - 2010 với hai bài tập 1 và 2 nêu ở trên thì kết quả thu được là rất tốt: Tất cả các em đều làm tốt. Ngoài ra, trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2009 - 2010 thì các em trong đội tuyển đi thi đều đạt kết quả cao.
IV. Bài học kinh nghiệm:
 Bồi dưỡng học sinh giỏi là một công việc đòi hỏi cả trò và thày phải đầu tư về kiến thức và thời gian. Để có được chất lượng học sinh giỏi tốt thì nhân tố học sinh quyết định cơ bản nhưng vai trò của thày trong công việc này cũng vô cùng quan trọng, thày phải có kiến thức vững vàng, hướng dẫn cho học sinh các phương pháp học tập tích cực, phương pháp tự học, tự nghiên cứu các tài liệu tham khảo; thày phải giúp được học sinh phân loại các được các dạng bài tập, hướng dẫn thông qua các ví dụ để học sinh nắm được bản chất của phương pháp từ đó động viên, khuyến khích các em làm các bài tập cùng loại, tìm tòi các cách giải khác nhau cho một bài toán, biết phát triển bài toán, lật ngược vấn đề để tạo ra các bài toán mới.
 Kiến thức dùng để làm các bài tập trong chương II: Đường tròn-Hình học 9 đa dạng và phong phú, vì vậy đòi hỏi học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, trọng tâm từ đó biết phân tích tìm tòi lời giải khoa học và hiệu quả.
 Cụ thể hơn, qua thực tế giảng dạy tôi thấy để thực hiện một cách có hiệu quả kinh nghiệm này cần phải có các điều kiện sau:
1. Về phía giáo viên :
* Cần đầu tư chuẩn bị kỹ bài, sắp xếp hệ thống câu hỏi thật lô gíc.
* Cần chịu khó nghiên cứu tìm tòi, sưu tầm các bài toán hay để mở rộng vốn kiến thức.
* Cần chuẩn bị các tình huống có vấn đề gây sự tò mò hứng thú cho học sinh để phát huy trí lực cho các em. 
* Khi gặp các tình huống có vấn đề cần xử lý linh hoạt, phải thường xuyên bổ sung phần kiến thức còn hổng cho các em. Cần phân tích và chỉ rõ những sai lầm, thiếu sót mà học sinh thường mắc phải, đặc biệt trong cách trình bày.
* Cần kiểm tra thường xuyên sự chuẩn bị của học sinh để động viên khích lệ các em chuẩn bị bài.
 2. Về phía học sinh :
* Phải chủ động, tự giác, quyết tâm và phát huy tính cực trong học tập của mình.
* Cần có vốn kiến thức hình học vững vàng, nắm vững và vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt để giải toán.
* Cần chuẩn bị thật kỹ bài, đầu tư nhiều thời gian, phải phân tích thật kỹ các bài toán và cần có tính kiên trì trong học tập, có tố chất. 
3. Về phía nhà trường:
* Phải có nề nếp và phong trào học tập tốt.
* Phải quan tâm và đầu tư về mọi mặt cho các hoạt động dạy và học.
V. Phạm vi áp dụng của kinh nghiệm:
 Kinh nghiệm: Sử dụng tính chất: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập của chương II: Đường tròn - Hình học 9 áp dụng khi dạy các bài tập trong chương II: Đường tròn - Hình học lớp 9 cho đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 9.
Vi. những vấn đề còn tiếp tục nghiên cứu: 
 Trên đây chỉ là một kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi rút ra trong quá trình giảng dạy, tuy nhiên với mỗi bài toán có thể còn có những cách giải khác nữa mà bản thân tôi có thể chưa nghĩ tới. Đồng thời với những bài toán đó cũng có thể đưa ra những cách giải tổng quát hơn , hoặc có thể có những cách giải ngắn gọn, độc đáo hơn các cách giải trên, cũng như có thể vận dụng các kiến thức hình học khác để giải. Đó là những vấn đề mà tôi tự đặt ra với bản thân để tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới, cũng như nêu vấn đề để các đồng nghiệp cùng suy ngẫm và nghiên cứu.
C. Kết luận
 Kinh nghiệm: Sử dụng tính chất: “Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó” trong một số bài tập về đường tròn, chương II -- Hình học 9 đã phần nào giúp học sinh có thêm vốn kiến thức trong việc giải các bài tập hình học. Ngoài ra nó cũng giúp học sinh mà chủ yếu là học sinh giỏi phát huy được tính sáng tạo, linh hoạt trong học tập để từ đó nâng cao kết quả học tập, phát triển tư duy.
Trên đây là một vài vấn đề mà tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy. Cho dù phương pháp nêu trên chưa hẳn đã mẫu mực và đầy đủ, nhưng dù sao nó cũng giúp học sinh phần nào bớt đi khó khăn trong việc giải một số bài toán về đường tròn trong chương II, hình học 9. Các em có tiến bộ, yêu thích môn Toán hơn, trình bày mẫu mực và chặt chẽ hơn. Các em tự tin hơn trong việc tìm tòi, lĩnh hội kiến thức, tạo niềm say mê, sáng tạo và hứng thú. Từ đó thúc đẩy phong trào học tập của trường ngày càng tiến bộ. Bản thân tôi cũng cảm thấy tự tin hơn, thoải mái hơn và giảm đi được phần nào sự băn khoăn, trăn trở khi dạy toán.
 Đề tài về sử dụng tính chất góc ngoài của một tam giác đã được khá nhiều sách và tác giả đề cập, song với lòng say mê bộ môn và mong muốn được học hỏi để nâng cao trình độ bản thân, làm giảm bới khó khăn cho học trò tôi viết bản kinh nghiệm này. Trong quá trình viết đề tài, do điều kiện thời gian và trình độ có hạn, đề tài có thể còn chưa sâu sắc, chưa đày đủ hoặc còn thiếu sót. Tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp quý báu của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
Tài liệu tham khảo
1. Nâng cao và phát triển toán 9.
	(Tác giả: Vũ Hữu Bình)
 2. Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS.
	(Tác giả: Trần Văn Tấn)
 3. Tuyển chọn các bài tập toán hình học 9.
	(Tác giả: Vũ Hữu Bình - Hoàng Lâm)
 4. Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 9.
	(Tác giả: Vũ Dương Thuỵ - Nguyễn Ngọc Đạm)
 5. Tuyển chọn bài thi học sinh giỏi toán THCS( phần hình học)
 (Tác giả: Lê Hồng Đức - Đào Thiện Khải)
Mục lục
Nội dung
Trang
A. Đặt vấn đề.
B. Giải quyết vấn đề.
I. Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu vấn đề.
II. Các phương pháp nghiên cứu.
III. Nội dung của kinh nghiệm.
IV. Bài học kinh nghiệm.
V. Phạm vi áp dụng của kinh nghiệm.
VI. Những vấn đề còn tiếp tục nghiên cứu
C. Kết luận.
* Tài liệu tham khảo.
4
6
6
6
6
16
17
17
18
19