Sáng kiến kinh nghiệm Số nguyên tố trong trường trung học cơ sở với đối tượng là học sinh khá và giỏi

a cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư thì số đó là nguyên tố.
Cách 2:
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố
Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản:
Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số khôngvượt quá ăA.
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không.
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
+Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
Hệ quả:
Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến ăA thì A là một nguyên tố.
(Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.).
IV/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
Giả sử: A = p1X1 . p2X2 ......pnXn	
Trong đó: pi e P ; xie N ; i = I, n 	 
a) Số các ước số của A tính bằng công thức:
T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .....(xn + 1)
Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Thật vậy: 	Ư(30) ={ 1;2;3;5;6;10;15;30}
	Ư(30) có 8 phân tử
ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố.
3100 có (100 + 1) = 101 ước
1000 000 000 = 109 = 29.59 có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
	ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa.
	b) Tổng các ước một số của A tính bằng công thức:
	 p1X1 + 1 - 1	p2X2 + 1 	 - 1	pnXn + 1 - 1
	(A) = p1 - 1	 p2 - 1	 pn - 1 
	V/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
	1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
	a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1	a,b e N
	2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
	3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
	4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) = 1
	5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
	 a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
	VI/ Một số định lý đặc biệt
	1) Định lý Đirichlet
	Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
	p = ax + b 	(x ẻ N, a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau).
 	Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt.
	Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng 2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....
	2) Định lý Tchebycheff
	Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n ỏ 2).
	3) Định lý Vinogradow
	Mọi số lẻ lớn hơn 33 là tổng của 3 số nguyên tố.
	Các định lý 2 và định lý 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải một số bài tập. 
Phần II
Một số bài toán cơ bản
Về số nguyên tố lớp 6
Dạng 1:
Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b (với x ẻN và (a,b) = 1)
Bài tập số 1:
Chứng minh rằng: có vô số số nguyên tố có dạng: 3x – 1 (xỏ1)
Giải:
Giáo viên gợi ý và hướng dẫn học sinh để học sinh tự rút ra nhận xét:
Mọi số tự nhiên không nhỏ hơn 2 có 1 trong 3 dạng: 3x; 3x + 1; hoặc 3x - 1
+) Những số có dạng 3x (với x>1) là hợp số
+) Xét 2 số có dạng 3x + 1: đó là số (3m + 1) và số (3n + 1)
Xét tích (3m + 1)(3n + 1) = 9mn + 3m + 3n + 1 = 3x + 1
Tích trên có dạng: 3x + 1
+) Lấy một số nguyên tố p có dạng 3x – 1 (với p bất kỳ e p) ta lập tích của p với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi ta có:
M = 2.3.5.7....p – 1 = 3(2.5.7....p) – 1 
M có dạng: 3x – 1
Có 2 khả năng xảy ra:
* Khả năng 1: M là số nguyên tố, đó là số nguyên tố có dạng (3x – 1) > p, bài toán được chứng minh.
* Khả năng 2: M là hợp số: Ta chia M cho 2, 3, 5,....,p đều tồn tại một số dư khác 0 nên các ước nguyên tố của M đều lớn hơn p, trong các ước này không có số nào có dạng 3x + 1 (đã chứng minh trên). Do đó ít nhất một trong các ước nguyên tố của M phải có dạng 3x (hợp số) hoặc 3x + 1....
Vì nếu tất cả có dạng 3x + 1 thì M phải có dạng 3x + 1 (đã chứng minh trên). Do đó, ít nhất một trong các ước nguyên tố của M phải có dạng 3x + 1, ước này luôn lớn hơn p.
Vậy: Có vô số số nguyên tố dạng 3x – 1.
Bài tập số 2:
Chứng minh rằng: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3 (với x ẻ N)
Nhận xét: Các số nguyên tố lẻ không thể có dạng 4x hoặc 4x + 2.
Vậy chúng chỉ có thể tồn tại dưới 1 trong 2 dạng
4x + 1 hoặc 4x + 3. Ta sẽ chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4x + 3
+) Xét tích 2 số có dạng 4x + 1 là: 4m + 1 và 4n + 1
Ta có: (4m + 1)(4n + 1) 	= 16mn + 4m + 4n + 1
	= 4(4mn + m + n) + 1
	= 4x	+ 1
Vậy tích của 2 số có dạng 4x + 1 là một số cũng có dạng 4x + 1
+) Lấy một số nguyên tố p bất kỳ có dạng 4x – 1, ta lập tích của 4p với tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn p rồi trừ đi 1 khi đó ta có:
N = 4(2.3.5.7 ..... p) – 1 	Có 2 khả năng xảy ra
* Khả năng 1:
N là số nguyên tố => N = 4(2.3.5.7....p) – 1 có dạng 4x – 1. 
Những số nguyên tố có dạng 4x – 1 cũng chính là những số có dạng 4x + 3 và bài toán được chứng minh.
* Khả năng 2:
N là hợp số: Chia N cho 2, 3, 5, ...., p đều được các số dư khác 0 => các ước nguyên tố của N đều lớn hơn p.
Các ước này không thể có dạng 4x hoặc 4x + 2 (vì đó là hợp số). Cũng không thể toàn các ước có dạng 4x + 1 vì như thế N phải có dạng 4x + 1. Như vậy trong các ước nguyên tố của N có ít nhất 1 ước có dạng 4x – 1 mà ước này hiển nhiên lớn hơn p.
Vậy: Có vô số số nguyên tố có dạng 4x – 1 (hay có dạng 4x + 3).
Trên đây là mộ số bài toán chứng minh đơn giản của định lý Đirielet: Có vô số số nguyên tố dạng ax + b trong đó xẻ N ,(a,b) = 1.
Mục đích của những bài tập dạng này là: Rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy sâu, cách xem xét và kết luận về một vấn đề toán học bằng cách xét hết các khả năng có thể xảy ra, dùng những vấn đề toán học đã được chứng minh hoặc đã biết để loại bỏ các khả năng không thể xảy ra và làm sáng tỏ vấn đề cần phải chứng minh.
Sau khi thành thạo dạng toán này học sinh lớp 6 hiểu được sâu sắc hơn, có khái niệm rõ ràng hơn. Thế nào là chứng minh một vấn đề toán học và có được những kỹ năng, kỹ xảo chứng minh cần thiết.
Tuy nhiên, với dạng toán này, ở trình độ lớp 6 các em chỉ giải quyết được những bài tập ở dạng đơn giản. Việc chứng các bài tập ở dạng này phức tạp hơn, các em sẽ gặp nhiều khó khăn chứ không thể dễ dàng chứng minh được. Chẳng hạn chứng minh về vô số số nguyên tố có dạng 4a + 1; 6a + 1......... phức tạp hơn nhiều.
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố có dạng 6x+5.
Bài 2: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố dương n có dạngn 4k + 3(k ẻN)
Dạng 2
Các bài toán chứng minh
Số nguyên tố
Bài tập số 1:
Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố.
Giải:
+) Xét trường hợp p là hợp số:
Nếu p là hợp số thì p là tích của các thừa số nguyên tố nhỏ hơn p và số mũ các luỹ thừa này không thể lớn hơn số mũ của chính các luỹ thừa ấy chứa trong (p – 1)!.
Vậy: (p – 1) ! M p (điều phải chứng minh).
+) Xét trường hợp p là số nguyên tố:
Vì p e P => p nguyên tố cùng nhau với mọi thừa số của (p –1)!
(vì p>p-1 => (p – 1)! M p (điều phải chứng minh)
Bài tập số 2:
Cho 2m – 1 là số nguyên tố
Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố
Giải:
Giả sử m là hợp số => m = p.q(p,q ẻN; p,q > 1)
Khi đó: 2m – 1 = 2pq - 1 	= (2p)q – 1 
	= (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)
vì p > 1 (giả thiết) của điều giả sử => 2p – 1 > 1
và (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1
Dẫn đến 2m – 1 là hợp số (trái với giả thiết 2m –1 là số nguyên tố)
Điều giả sử không thể xảy ra.
 Vậy m phải là số nguyên tố (điều phải chứng minh)
Bài tập số 3:
Chứng minh rằng: 1994! – 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 1994.
Giải: (Chứng minh bằng phương pháp phản chứng)
Gọi p là ước số nguyên tố của (1994! – 1)
Giả sử p Ê1994 => 1994. 1993 ..... 3. 2. 1 M p
 1994! M p
mà (1994! – 1) Mp => 1 M p (vô lý)
Vậy: p không thể nhỏ hơn hoặc bằng 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh).
Bài tập số 4:
Chứng minh rằng: n > 2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố (từ đó suy ra có vô số số nguyên tố).
Giải:
	Vì n > 2 nên k = n! – 1 > 1, do đó k có ít nhất một ước số nguyên tố p.
	Ta chứng minh p > n .Thật vậy: nếu p Ê n thì n! M p
	Mà 	k Mp => (n! – 1) M p.Do đó:	1 M p 	(vô lý)
Vậy:	p > n=>n < p < n! – 1 < n! (Điều phải chứng minh)
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Cho a và b là hai số nguyên tố . Chứng minh rằng số dư của phép chia b-1 bội số đầu tiên của a cho b tạo thành dãy số b-1 số số tự nhiên đầu tiên.
Bài 2 : Chứng minh rằng: nếu p là số nguyên tố thì tích2.3.4...(p-3)(p-2)là một bội số của p thêm 1.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố không chia hết số athì p phải chia hết số ap –1 –1 (Định lý FerMat)	.
Bài 4 : Cho p và q làhai số nguyên tố phân biệt .Chứng minh rằng:
 (pq-1 + q p-1 -1) M (p-q)
Bài 5: Chứng minh rằng nếu x,y không chia hết cho một số nguyên tố p thì 
(xp-1-yp-1) Mp
Dạng 3
Tìm số nguyên tố
Thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tập số 1:
Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để: p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
Giải: (Phương pháp: Chứng minh duy nhất)
+ Nếu p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13
và p + 14 = 3 + 14 = 17 đều là các số nguyên tố
p = 3 là giá trị cần tìm
+ Nếu p ạ 3 => p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k – 1
* Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) M 3
* Nếu p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9 = 3(k + 3) M 3
Vậy nếu p ạ 3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số. 
=> không thỏa mãn bài ra
Do đó: giá trị duy nhất cần tìm là p = 3
Bài tập số 2:
Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 	đều là số nguyên tố.
Giải:
Bằng cách giải tương tự bài tập số 1, học sinh dễ dàng tìm được p = 5 thoả mãn bài ra. Xong không chứng minh được p = 5 là giá trị duy nhất vì dễ dàng thấy p = 11 cũng thoả mãn bài ra.
Vậy với bài tập này, học sinh chỉ cần chỉ ra một vài giá trị của p thoả mãn là đủ.
Bài tập số 3:
Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3;....k +10 có nhiều số nguyên tố nhất.
Giải:
Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có nhiều nhất là 1 số nguyên tố chẵn là 2). 
Vậy: trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố
+) Nếu k = 0, từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7
+) Nếu k = 1 từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11
+) Nếu k > 1 từ 3 trở đi không có số chẵn nào là số nguyên tố. Trong 5 số lẻ liên tiếp, ít nhất có 1 số là bội số của 3 do đó, dãy sẽ có ít hơn 5 số nguyên tố.
Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1; k + 2, ..... k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố nhất (5 số nguyên tố).
Bài tập số 4:
Tìm tất cả các số nguyên tố p để: 2p + p2 cũng là số nguyên tố
Giải:
Xét hai trường hợp:
+) 	p Ê 3 p = 2 hoặc p = 3
* Nếu p = 2 => 2p + p2 = 22 + 22 = 8 ẽP
* Nếu p = 3 => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 ẻP
	+) 	p > 3 ta có 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1)
	vì p lẻ =>	(2p + 1) M 3
	và p2 – 1 = (p + 1)(p – 1) M 3 => 2p + p2 ẽP 
	Vậy: Có duy nhất 1 giá trị p = 3 thoả mãn bài ra.
	Bài tập số 6:
	Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho:
	p | 2p + 1
	Giải:
	Vì p eP 	,p | 2p + 1 => p ạ 2
	Ta thấy: 2/p vì p ạ 2
	Theo định lý Fermatm ta có: p | 2p-1 – 1
Mà p | 2p + 1 (giả thiết) 	=> p | 2.2p-1 – 2 + 3
	=> p | 2(2p-1 – 1) + 3
	=> p | 3 [vì p | 2(2p-1 – 1)]
Vì p ẻP 	p | 3 => p = 3
Vậy: p = 3 là số nguyên tố thoả mãn tính chất p | 2p + 1
Tóm lại:
Các bài toán thuộc dạng: Tìm số nguyên tố thoả mãn các điều kiện cho trước là loại toán không khó trong các loại bài toán về số nguyên tố. Qua loại toán này, giáo viên cần cố gắng trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản nhất về số nguyên tố. Đặc biệt giúp học sinh nắm vững: Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất và nhỏ nhất của tập số nguyên tố.
Dựa vào cách viết số nguyên tố dạng a.x + b, (a,b) = 1. Rèn kỹ năng xét các trường hợp có thể xảy ra, phương pháp loại trừ các trường hợp dẫn đến điều vô lý.
Qua dạng toán này, giáo viên cần giúp học sinh rèn luyện tư duy lôgic, tư duy sáng tạo, tính tích cực chủ động khi làm bài.
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho các số 7p+q ;pq +11 cũng là các số nguyên tố.
Bài 2 : Tìm n thuộc N để với p là số nguyên tố thì
pn là số nguyên tố
pn +p là số nguyên tố
Bài 3: Tìm các số nguyên tố a,b,c biết:
abc < ab+ bc + ca
Bài 4 : Tìm tất cả các số nguyên tố a,b,c, biết
 a(a+1) + b( b+1) = c(c+1)
Bài 5 :a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của p để tích của p số tự nhiên đầu tiênbắt đầu từ 1 , cộng thêm 1 không phải là số nguyên tố.
 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên tố p để tích của các số nguyên tố từ 2 đến p , cộng thêm 1 không phải là số nguyên tố.
Bài 6 : Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng vừa là hiệu của hai số 
Bài 7 : Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q ,r sao cho p2, q2,r2 cũng là số nguyên tố.
Bài 8 : Tìm số nguyên tố p sao cho
a/2p+1 là lập phương của một số tự nhiên
b/13p +1 làlập phương của một số tự nhiên
Bài 9 : Tìm tất cả các giá trị số nhuyên tố p thoả mãn
P+6,p+8 ,p+12,p+14 đều là các số nguyên tố
Dạng 4
Nhận biết số nguyên tố
Sự phân bố số nguyên tố trong n
Bài tập số 1:
Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số ?
Giải:
+) Nếu p = 2 => 8p +1 = 17 ẻP , 8p – 1 = 15 ẽP
+) Nếu p = 3 => 8p – 1 = 23 ẻP , 8p – 1 = 25 ẽP
+) Nếu p khác 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p – 1; 8p và 8p + 1. Trong 3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số 8p + 1 và 8p – 1 chia hết cho 3.
Kết luận: Nếu p ẻP và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 ẻP thì số còn lại phải là hợp số.
Bài tập số 2:
Nếu p ỏ 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số 
Giải:
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + 2
Trong 3 số ắt có một số là bội của 3
Mà p ỏ 5, p ẻP nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+) Nếu p = 3k + 1 thì 4p = 4(3k + 1) 3Q + 1 = p
và 4p + 2 = 4(3k + 1) + 2 p = 3.Q M 3
Mặt khác: 4p + 2 = 2(2p +1) = 3Q nên 3Q M 3
=> 2(2p + 1) M 3;	(2;3) = 1 nên (2p + 1) M 3 (trái với giả thiết)
+) Nếu p có dạng 3k + 2
Khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3M : 3
=> 4p + 1 là hợp số
Vậy trong 3 số ắt có một số là bội của 3.
Bài tập số 3:
Trong dãy số tự nhiên có thể tìm được 1997 số liên tiếp nhau mà không có số nguyên tố nào hay không ?
Giải:
Chọn dãy số:
a1 = 1998! + 2	a1 M 2
a2 = 1998! + 3	a2 M 3
a3 = 1998! + 4 	a3 M 4
....................	...........
a1997 = 1998! + 1998	a1997 M 1998
Như vậy: Dãy số a1; a2; a3; ..... a1997 gồm có 1997 số tự nhiên liên tiếp không có số nào là số nguyên tố.
Bài tập số 4: (Tổng quát bài số 3)
Chứng minh rằng có thể tìm được 1 dãy số gồm n số tự nhiên liên tiếp (nỏ1) không có số nào là số nguyên tố ?
Giải:
Ta chọn dãy số sau:
a1 = (n+1)! + 2	a1:2	a1>2 nên a1 là hợp số
a2 = (n+1)! + 3	a2:3	a2>3 nên a2 là hợp số
.......................	.......................
an = (n+1)! + (n+1)	an:(n+1)	an > (n+1) nên an là hợp số
Dãy a1; a2; a3; .....an ở trên sẽ gồm có n số tự nhiên liên tiếp trong đó không có số nào là số nguyên tố cả.
Tóm lại:
Qua các bài toán dạng: Nhận biết số nguyên tố, sự phân biệt số nguyên tố trong N, giáo viên cần giúp cho học sinh hướng suy nghĩ để chứng minh hoặc xem xét 1 số có phải là số nguyên tố hay không? Thông qua việc phân tích và xét hết khả năng có thể xảy ra, đối chiếu với giả thiết và các định lý, hệ quả đã học để loại bỏ các trường hợp mâu thuẫn. Bài tập số 3 là bài tập tổng quát về sự phân bố số nguyên tố trong N. Qua đó giáo viên cho học sinh thấy được sự phân bố số nguyên tố “càng về sau càng rời rạc”. Từ bài toán này có thể phát triển thành bài toán khác giúp học sinh rèn luyện kỹ xảo chứng minh.
Bài tập đề nghị:
Bài 1 : Tìm hai số tự nhiên liên tiếp đồng thời là số nguyên tố
Bài 2 : Nếu p và 8p2+1 là các số nguyên tố thì 8p2-1 và 8p2+2p+1 là các số nguyên tố hay hợp số.
Bài 3 : Hai số 2n+1 và 2n-1 (n>2)có thể đồng thời là số nguyên tố hay đồng thời là hợp số được không?
Bài 4 : Cho m và m2 + 2 là hai số nguyên tố. Chứng minh rằng m3 +2 cũng là số nguyên tố
Bài 5 : Tìm các số tự nhiên n để n1988 + n1987 +1 là số nguyên tố
Dạng 5
Các bài toán
Liên quan đến số nguyên tố
Bài tập số 1:
Tìm 3 số nguyên tố sao cho tích của chúng gấp 5 lần tổng của chúng
Giải:
Gọi 3 số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có:
a.b.c = 5(a+b+c) => abcM5
Vì a, b, c có vai trò bình đẳng
Giả sử: 	aM5, vì a ẻ P => a = 5
Khi đó: 	5bc = 5(5+b+c) 	 5+b+c = bc bc-b-c +1 = 6
 b(c-1) – (c-1) = 6
(c-1)(b-1) = 6
Do vậy: 	b-1 = 1	=>	b = 2
	Và	c-1 = 6	và	c = 7	
	b-1 = 2	=>	b = 3 	(loại vì c = 4 ẽP )
và 	c-1 = 3	và	c = 4
	Vai trò a, b, c, bình đẳng
Vậy bộ số (a,b,c) cần tìm là (2.5.7)
Bài tập số 2:
Tìm p, q ẻP sao cho p2 = 8q + 1
Giải:
Ta có: p2 = 8q + 1 => 8q=p2 – 1 8q = (p+1)(p-1)	(1)
Do 8q + 1 lẻ => p2 lẻ
Đặt p = 2k + 1	(2)
Thay (2) vào (1) ta có:	8q = 2k(2k + 2)
2q = k(k + 1)	(3)
Nếu q = 2 => 4 = k(k+1) => không tìm được k
Vậy q ạ 2, vì q ẻ P , q ạ 2 => (2,q) = 1
Từ (3) ta có:	k = 2	và	 q = k + 1 => k = 2 và q = 3
Thay kết quả trên vào (2) ta có:
p = 2.2 + 1 = 5
Hoặc
q = k và 2 = k + 1	
 ị q = 1, k = 1 ( không thoả mãn )
 Vậy cặp số q,p là (5,3) là cặp số cần tìm.
Tóm lại:
Ngoài các dạng bài tập cơ bản về số nguyên tố. Phần số nguyên tố còn có nhiều bài tập ở các dạng khác mà khi giải chúng học sinh cần phải vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức có liên quan: ước số, bội số, chia hết và vẫn phải lần lượt xét các khả năng có thể xẩy ra. Khi giảng dạy giáo viên cần giúp học sinh giải quyết theo từng dạng bài để củng cố và khắc sâu kỹ năng giải từng loại bài.
Bài tập đề nghị:
Bài 1 : Tìm 1 số A gồm có các thừa số 2,5,7, biết rằng 5A có hơn A là 8 đơn vị và 8A có hơn A là 18 ước số.
 Bài 2 : Tìm số nhỏ nhất có 9 ước số, có 15 ước số.
 Bài 3 : Tìm số a biết a có 2 ước nguyên tố khác nhau , có 6 ước và tổng các ước số bằng 28.
 Bài 4 : Cho a =	 với nẻN*
 Bài 5 : Cho a+b=p, pẻ P .Chứng minh rằng (a,b)=1.
Bài 6 : Cho p là số nguyên tố, chứng minh rằmg tồn tại một số viết chỉ bằng chữ số 1 chia hết cho p (p>5, pẻ P ).
Lời Kết
Thông qua đề tài này, chúng ta có thể khẳng định rằng: Toán học có mặt trong mọi công việc, mọi lĩnh vực của cuộc sống quanh ta, nó không thể tách rời và lãng quên được, nên chúng ta phải hiểu biết và nắm bắt được nó một cách tự giác và hiệu quả.
Trong chương trình toán học cơ sở, với đối tượng học sinh còn nhỏ, khả năng tư duy còn nhiều hạn chế nên tôi chỉ chọn những bài tập mang tính chất hệ thống không khó lắm.
Mục đích của đề tài này là trang bị những kiến thức cơ bản có đào sâu có nâng cao và rèn luyện tư duy toán học cho học sinh, tạo ra nền tảng tin cậy để các em có vốn kiến thức nhất định làm hành trang cho những năm học tiếp theo.
Với điều kiện có nhiều hạn chế về thời gian, về năng lực trình độ nên trong khuôn khổ đề tài này phân chia dạng toán, loại toán chỉ có tính tương đối. Đồng thời cũng mới chỉ đưa ra lời giải chứ chưa có phương pháp, thuật làm rõ ràng.
Tuy đã có cố gắng nhiều nhưng tôi tự thấy trong đề tài này còn nhiều hạn chế. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo cùng bạn đọc để toán học thật sự có ý nghĩa cao đẹp như câu ngạn ngữ Pháp đã viết: “Toán học là Vua của các khoa học” và “Số học là Nữ hoàng”.
Xin chân thành cảm ơn !
Người thực hiện
Mục lục
Lời nói đầu	
Trang 1
Phần I: Tóm tắt một số kiến thức cơ bản về số nguyên tố
Trang 4
Phần II: Một số bài toán cơ bản về số
nguyên tố lớp 6
Trang 9
Dạng 1
Trang 9
Dạng 2
Trang 12
Dạng 3
Trang 14
Dạng 4
Trang 17
Dạng 5
Trang 20
Phòng giáo dục & đào tạo huyện kim thành
Trường trung học cơ sở cổ dũng 
Chuyên đề
số nguyên tố
trong chương trình số học bậc thcs
(Dành cho học sinh khá, giỏi)
Người viết : Nguyễn Xuân Hiếu
 Tổ : Tự nhiên
Năm học 2004 - 2005