Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện học sinh Lớp 11 kĩ năng giải phương trình lượng giác

I. TÊN ĐỀ TÀI.
RÈN LUYỆN HỌC SINH LỚP 11 KĨ NĂNG 
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II. ĐẶT VẤN ĐỀ.
Phương trình lượng giác (PTLG) là kiến thức rất quan trọng trong chương trình môn Toán trung học phổ thông nói chung và trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng. Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn có mặt. Tuy nhiên, đứng trước một phương trình lượng giác học sinh thường lúng túng không biết giải bằng cách nào hay dùng công thức nào để giải. Vì vậy, để học tốt phần này, ngoài việc đòi hỏi học sinh phải có một kĩ năng biến đổi lượng giác thành thạo, mà còn đòi hỏi các em phải biết nhận xét, quan sát, sử dụng công thức lượng giác phù hợp để có hướng biến đổi đúng đắn nhằm đưa một PTLG đã cho về một PTLG đơn giản hơn. Vì vậy, trong những năm dạy môn Toán ở các lớp 11 nâng cao, tôi luôn suy nghĩ là làm thế nào để giúp các em có được một kĩ năng giải PTLG. Với suy nghĩ đó, đứng trước một PTLG tôi luôn tập các em phải biết quan sát, nhận xét về mối liên hệ giữa các góc cung và các hàm số lượng giác có mặt trong phương trình, từ đó sử dụng công thức lượng giác phù hợp để tìm ra lời giải.
Giới hạn nghiên cứu đề tài:
- Các dạng phương trình lượng giác: Cơ bản và Nâng cao.
- Một số phương trình lượng giác trong kì thi Đại học – Cao đẳng.
III. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Nhiệm vụ trọng tâm ở trường THPT là hoạt động dạy của Thầy và hoạt động học của Trò. Đối với người thầy, việc giúp học sinh nắm vững những kiến thức phổ thông nói chung, đặc biệt là kiến thức thuộc bộ môn Toán học là việc làm rất cần thiết.
Muốn học tốt môn Toán, học sinh phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn Toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể. Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic và suy nghĩ linh hoạt. Vì vậy, trong quá trình dạy học, giáo viên cần giúp cho học sinh cách học và biết sử dụng các kiến thức đã học vào từng bài toán cụ thể. Mục đích là làm cho học sinh khi đứng trước một bài toán, các em biết cách phân tích, nhận dạng, biết chuyển bài toán mới về bài toán đơn giản hơn hoặc một bài toán quen thuộc đã biết cách giải. Đối với bài toán giải PTLG cũng vậy, khi dạy học sinh phần này, ngoài việc phải trang bị cho các em những kiến thức cần thiết và phương pháp giải những dạng PTLG thường gặp, bên cạnh đó giáo viên cần phải dạy các em cách nhận dạng một bài toán, biết phân tích các yếu tố về cung góc, biết nhận xét về các hàm số lượng giác có mặt trong mỗi bài toán để từ đó có thể có các bước biến đổi phù hợp nhằm đưa bài toán cần giải quyết về một bài toán đơn giản hơn.
IV. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Xuất phát từ thực tế giảng dạy phân môn Giải tích lớp 11. Cụ thể chương I – Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác. Đối với phần PTLG, mục tiêu của chương là học sinh biết cách tìm nghiệm của PTLG cơ bản và phương pháp giải một số dạng PTLG đơn giản. Về kĩ năng, học sinh phải biết giải một số dạng PTLG không quá phức tạp có thể quy được về phương trình lượng giác đã biết cách giải. Tuy nhiên, trong thực tế các PTLG trong các đề thi Đại học khá phức tạp. Vì vậy, để học sinh học tốt phần này, ngoài việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi lượng giác thật thành thạo, giáo viên cần phải dạy học sinh cách sử dụng các công thác đã học vào việc giải phương trình lượng giác như thế nào cho phù hợp.
V. NỘI DUNG.
Trước khi bắt tay vào việc giải phương trình lượng giác, các em phải thuộc lòng tất cả các công thức lượng giác đã học và phải có kĩ năng biến đổi lượng giác thành thạo. Tiếp đến, các em phải nắm vững công thức nghiệm của các PTLG cơ bản và nắm vững phương pháp giải các PTLG thường gặp. Ngoài những PTLG thường gặp mà học sinh đã được học và đã có cách giải riêng cho từng loại, các em sẽ gặp phải một lớp các phương trình không nằm trong các dạng thường gặp, đó là PTLG không mẫu mực. Trong quá trình dạy phần này cho học sinh, tôi đặc biệt quan tâm đến việc phân tích các yếu tố về cung, góc và các hàm số lượng giác có mặt trong PTLG để từ đó hướng dẫn các em nên sử dụng các công thức lượng giác nào cho phù hợp. 
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG
¶¶¶
 Công thức cơ bản
	● 	● 	● 
	● 	● 	● 
‚ Công thức cung nhân đôi – Công thức hạ bậc – Công thức cung nhân ba
	● ● 
	● ● 
	● ● 
ƒ Công thức cộng cung
● ● 
● ● 
● ● 
„ Công thức biến đổi tổng thành tích
● ● 
● ● 
● ● 
… Công thức biến đổi tích thành tổng
 ● 
 ● 
 ● 
† Một số công thức thông dụng khác
	● 
	● 
	● 	
	● 
Để giải được phương trình lượng giác, các bạn học sinh cần nắm vững tất cả những công thức lượng giác. Đó là hành trang, là công cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang tên: "Phương trình lượng giác"
@ Một số lưu ý: 
Điều kiện có nghiệm của phương trình là: .
Khi giải phương trình có chứa các hàm số hoặc , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa , điều kiện: .
Phương trình chứa , điều kiện: .
Phương trình chứa cả và , điều kiện: .
Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện:
Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.
Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm.
Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác có số đo là với thì có điểm trên đường tròn lượng giác cách đều nhau".
Ví dụ 1: Nếu sđ thì có một điểm tại vị trí (ta chọn ).
Ví dụ 2: Nếu sđ thì có 2 điểm tại vị trí và (ta chọn ).
Ví dụ 3: Nếu sđ thì có 3 điểm tại các vị trívà , .
Ví dụ 4: Nếu sđ thì có 4 điểm tại các vị trí ,, ; (ứng với các vị trí ).
Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung và 
	Biểu diễn cung trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: và 
p/3
5p/6
4p/3
–p/6
O
	Biểu diễn cung trên đường tròn thì có
	2 điểm tại các vị trí: và .
	Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và
 cung tổng hợp là: 
Đối với phương trình ta không nên giải
trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 
. Tương tự đối với phương trình ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức . Lúc đó: 
Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo '' 
Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.
Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: 
Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: 
Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 900) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: 
Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: 
Giải phương trình lượng giác: 
Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình , vậy còn phương trình thì sao ?
Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: 
	. 
Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 
thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa. 
Một số cung góc hay dùng khác: 
 và .
 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
 Dạng: 	Đặc biệt: 
‚ Dạng: 	Đặc biệt: 
ƒ Dạng: 	Đặc biệt: 
„ Dạng: 	 Đặc biệt: 
Sau đây tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho một số PTLG không mẫu mực thông qua một số ví dụ minh họa.
1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung.
Trong khi giải PTLG, thì việc xem xét mối quan hệ giữa các cung là việc làm hết sức cẩn thiết, từ đó kết hợp với các công thức lượng giác để đưa về PTLG quen thuộc là một vấn đề then chốt. Chúng ta xét các ví dụ sau đây để thấy được việc xem xét mối liên hệ giữa các cung quan trọng như thế nào.
Bài 1: (ĐHXD – 1997)
Giải phương trình: 
Ø Nhận xét: Trước hết ta để ý:
Tổng nên và cung 2x có thể đưa về cung 4x bằng công thức nhân đôi. Với nhận xét trên ta có cách giải bài toán như sau:
Giải:
Điều kiện: 	ó 
	ó ó ó 
Pt ó ó 
ó ó 
ó ó 
ó ó ó ó 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : 
Ø Chú ý: Đối với PTLG trên, việc nhận xét tổng hai cung là rất cần thiết, bởi nếu không có sự nhận xét đó mà quy đồng và biến đổi thì phương trình trở nên rất phức tạp. Với sự nhận xét về tổng hai cung như bài toán trên, giáo viên có thể cho học sinh rèn luyện thêm bài toán tương tự sau:
Bài 2: (ĐHGTVT – 1999)
Giải phương trình: 
Bài 3: (ĐHĐB B-2003)
Giải phương trình: 
Giải:
Ø Nhận xét 1: Trong phương trình chỉ xuất hiện cung 4x và cung x, ta nghĩ đến việc đưa 4x về cung x bằng công thức nhân đôi, cụ thể như sau:
Từ đó ta có cách giải sau:
Cách 1: Phương trình ó (pt bậc 6 chẵn)
Đặt: 
Khi đó ta có: ó (thỏa đk)
Với 
Với 
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : 
 Ø Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cosx ta có thể nghĩ đến việc chuyển về cung 2x bằng công thức hạ bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi, với hướng suy nghĩ đó, ta có cách giải khác như sau:
Cách 2: 
óó ó 
ó ó 
Ø Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau, ta nghĩ đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình tích. Từ đó, ta có cách giải sau:
Cách 3: 
ó 
ó 
ó ó 
 ó ó ó 
ĐS: 
Bài 4: (ĐH – B 2003)
Giải phương trình: 
Giải:
Ø Nhận xét: Từ sự xuất hiện cotx – tanx và sin2x ta xem chúng có mối quan hệ nào, có đưa được về nhân tử chung hay cùng một cung hay không?
Ta có: , từ đó ta có cách giải như sau:
ĐK: ó 
 ó 
(thỏa đk)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm : 
Bài 5: (ĐH – A 2008)
Giải phương trình: 
Ø Nhận xét: Với bài toán này, có lẽ khó khăn mà các em gặp phải đó là sự xuất hiện của hai cung và . Từ sự xuất hiện hai cung và chúng ta nghĩ đến việc đưa hai cung về một cung x. Để làm được việc đó, đầu tiên ta nghĩ đến sử dụng công thức cộng hoặc công thức về cung góc có liên quan đặc biệt. Với suy nghĩ đó ta có cách biến đổi sau:
Giải:
+ Cách 1: Sử dụng công thức cộng.
Ta có: 
+ Cách 2: Sử dụng công thức cung góc có liên quan đặc biệt.
Ta có: 
Hoặc: 
Giải:
ĐK: 
 (thỏa)
KL: Nghiệm của phương trình là: 
Bài 6: (ĐH – D 2009)
Giải phương trình: 
Ø Chú ý: Đối với phương trình dạng thì phương pháp giải tương tự như đối với phương trình dạng . Để khắc sâu dạng này, giáo viên cho học sinh giải thêm các phương trình sau:
a) 
b) (ĐH – B 2012)
HD:
a) 
b) 
2. Biến đổi tổng thành tích và ngược lại.
Trong PTLG nếu xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi thành tích (mục đích là làm xuất hiện nhân tử chung). Đặc biệt khi dùng công thức biến đổi tổng thành tích ta thường ghép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau.
Bài 1: Giải phương trình: 
Giải:
Ø Nhận xét: Khi giải phương trình mà gặp dạng tổng (hoặc hiệu) của sin (hoặc cos) ta cần để ý đến cung để sao cho tổng hoặc hiệu các cung bằng nhau. Cụ thể:
Bài 2: Giải phương trình: 
Ø Nhận xét: Đối với phương trình này, nếu ta sử dụng công thức nhân ba thì cũng đưa đến được phương trình giải được nhưng khá phức tạo, hơn nữa học sinh lại ít nhớ công thức này. Vì vậy, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh khéo léo phân tích để áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.
Giải:
KL: Nghiệm của phương trình là: 
Cách 2: Ngoài cách trên, học sinh có thể sử dụng công thức nhân ba, tuy nhiên khi dùng công thức này học sinh phải chứng minh và việc chứng minh cũng khá đơn giản.
Ta có:
pt
Do đó, 
Bài 3: (ĐH – D 2012)
Giải phương trình: 
Ø Nhận xét: Trong vế trái của phương trình xuất hiện các cặp , đồng thời , ta nghĩ đến công thức biến đổi tổng thành tích để xuất hiện nhân tử chung cos2x.
Giải:
3. Sử dụng công thức hạ bậc.
Khi giải phương trình lượng giác, gặp bậc của sin và cos là bậc hai ta thường giảm bậc bằng cách dùng các công thức hạ bậc, từ đó đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Bài 1: 
Giải phương trình: 
Ø Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của sin và tổng , ta nghĩ đến việc hạ bậc và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, tiếp đến nhóm các hạng tử đưa về phương trình tích. Cụ thể:
Bài 2: (ĐH – B 2002)
Giải phương trình: 
Giải:
Ø Nhận xét: Từ sự xuất hiện bậc chẵn của hàm sin và cos ta nghĩ đến việc hạ bậc và kết hợp với công thức biến đổi tổng thành tích để đưa về phương trình tích. Cụ thể:
Bài 3: (ĐH – A 2005)
Giải phương trình: 
Giải:
Bài 4: (ĐH – D 2003)
Giải phương trình: 
Giải: ĐK: (*)
Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 
Ø Chú ý: Trong phương trình trên, ta loại nghiệm bằng cách biểu diễn ngọn cung điều kiện và ngọn cung đáp số trên trên đường tròn lượng.
4. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và các đẳng thức lượng giác thường gặp.
Bài 1: (ĐH – D 2007)
Giải phương trình: 
Giải:
: PTBN đối với sinx và cosx
ĐS: 
Qua ví dụ này, giáo viên nên nhắc lại cho học sinh ghi nhớ phép biến đổi quen thuộc:
 hoặc biến đổi ngược lại khi cần.
Bài 2: (ĐH – D 2005)
Giải phương trình: 
Giải:
Ø Nhận xét: Từ đẳng thức và ta nghĩ đến việc đưa về cùng một cung đó là 2x. Cụ thể:
* Qua ví dụ này, giáo viên nên lưu ý cho học sinh biểu thức có thể đưa về theo , cụ thể:
Hoặc cũng có thể biến đổi theo , cụ thể:
Bài tập tương tự:
5. Đưa về phương trình tích.
Đây là loại phương trình phong phú và đa dạng nhất. Phương trình loại này không có phương pháp giải cụ thể, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm, khả năng biến đổi lượng giác của mỗi học sinh, mục đích cuối cùng là làm xuất hiện nhân tử chung. Xu thế trong để thi Đại học của các năm gần đây, phương trình lượng giác thường đưa về phương trình tích bằng cách sử dụng các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác, các kĩ năng tách nhóm, đặt nhân tử chung. Sau đây là một số lưu ý và các ví dụ minh họa.
Ø Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung:
* Các biểu thức:
 có nhân tử chung là: 
* Các biểu thức:
 và có nhân tử chung là 
* Các biểu thức:
 và có nhân tử chung là 
Bài 1: (ĐH – D 2004)
Giải phương trình: 
Giải: 
pt
Bài 2: (ĐH – A 2007)
Giải phương trình: 
Giải:
Với pt (1) ta có 
Với pt (2): Đặt , ta được pt: 
Giải pt 
ĐS: 
Bài 3: (ĐH – B 2007)
Giải phương trình: 
Giải:
Bài 4: (ĐH – D 2008)
Giải phương trình: 
Giải:
Bài 5: (ĐH – B 2010)
Giải phương trình: 
Giải:
Bài 6: (ĐH – D 2010)
Giải phương trình: 
Giải:
 (tách )
Ø Nhận xét: Trong bài tập trên, để đưa phương trình đã cho về phương trình tích ta đã khéo léo tách .
Bài 7: (ĐH – A 2010)
Giải phương trình: 
Giải: ĐK: và . Khi đó:
(loại)
Ø Chú ý: Trong phương trình trên, ta đã kết hợp nghiệm bằng phương pháp biểu diễn nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trình ban đầu qua cùng một hàm số lượng giác.
Bài 8: (ĐH – A 2011)
Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
 (do )
Bài 9: (ĐH – A 2012)
Giải phương trình: 
Ø Nhận xét: Trong phương trình trên, ta nhận thấy có sự xuất hiện của sin2x, 2cosx và cox2x+1 ta nghĩ đến dùng công thức nhân đôi biến đổi sin2x, 1+cos2x để xuất hiện nhân tử chung 2cosx.
Giải:
Ngoài việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải PTLG, thông qua mỗi ví dụ trên – giáo viên cần rèn luyện cho sinh kỹ năng kết hợp nghiệm trong PTLG có điều kiện. Để giúp các em có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm, thông qua một số ví dụ giáo viên có thể đúc kết lại một số phương pháp phổ biến thường dùng khi kết hợp nghiệm.
Cách 1: Biểu diễn nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trình ban đầu qua cùng một hàm số lượng giác.
Ví dụ 1: (Tạp chí Toán học Tuổi trẻ tháng 11/2009)
Giải phương trình: 
Giải:
ĐK: 
Đối chiếu với điều kiện ta được: 
Ví dụ 2: (ĐH – B 2006)
Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
 (thỏa mãn đk) 
Khi dùng phương pháp này, các em có thể kiểm tra điều kiện ngay trong quá trình giải chứ không cần phải đến kết quả cuối cùng. Chẳng hạn, các PTLG trong đề thi ĐH B – 2003, A – 2011, ĐHXD – 1997.
Cách 2: Thử trực tiếp.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
*Với thì: 
*Với thì: 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
 (thỏa đk), do đó ta được: 
*Thay và vào (2) ta được: (vô lý). Tức là các nghiệm của (2) đều thỏa mãn điều kiện.
Giải (2) ta được: (với )
KL: Nghiệm của phương trình đã cho là: 
Cách 3: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG).
Khi gặp PTLG mà việc biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung đáp số không quá phức tạp, học sinh có thể dùng ĐTLG để kết hợp nghiệm. Giáo viên hướng dẫn học sinh biểu diễn trên ĐTLG những ngọn cung không thỏa mãn điều kiện (đánh dấu “X”) và những ngọn cung đáp số tìm được (đánh dấu “o”). Những ngọn cung được đánh dấu “o” mà không trùng với những ngọn cung đánh dấu “X” chính là những ngọn cung thỏa mãn điều kiện. Ngoài các ví dụ trong phần trên, giáo viên cho học sinh rèn luyện thêm thông qua các ví dụ sau:
Ví dụ 1: (ĐH – D 2011)
Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
Khi đó phương trình đã cho trở thành
KL: Nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 2: (ĐH – A 2006)
Giải phương trình: 
Giải: ĐK: 
Khi đó phương trình đã cho trở thành
KL: Nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
Giải: ĐK: Khi đó: 
KL: Nghiệm của phương trình là: 
VI: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Trong những năm giảng dạy bộ môn Toán ở lớp 11, tôi rất quan tâm đến việc dạy như thế nào để giúp các em học tốt phần phương trình lượng giác. Với mong muốn đó, ngay từ những tiết ôn tập về công thức lượng giác và hiểu sâu sắc bản chất của mỗi công thức, rèn luyện các em kĩ năng biến đổi lượng giác thật thành thạo. Để chuẩn bị cho việc giải PTLG sau này, tôi lưu ý cho các em một số phép biến đổi đặc biệt, các đẳng thức lượng giác thường gặp, cách biến đổi một biểu thức lượng giác từ tổng sang tích và ngược lại Với cách làm đó, các em gặp rất nhiều thuận lợi khi học phương trình lượng giác. Cuối cùng, nhờ vào cách phân tích, nhận xét cụ thể đối với mỗi phương trình lượng giác, hầu hết các em đã giải được các PTLG đơn giản, các học sinh khá, giỏi có thể giải được các PTLG trong các đề thi Đại học, Cao đẳng. Cụ thể, kết quả bài kiểm tra cuối chương I ở lớp 11NC có 98% học sinh đạt điểm trên trung bình, lớp 11CB có 94% học sinh đạt điểm trên trung bình và rất nhiều học sinh đạt điểm khá, giỏi.
VII. KẾT LUẬN.
Lượng giác nói chung và đặc biệt là phương trình lượng giác không thể thiếu trong các đề thi Đại học, Cao đẳng. Chính vì thế ngoài việc nắm bắt các công thức lượng giác và vận dụng chúng một cách linh hoạt, đòi hỏi học sinh phải thành thạo các kĩ năng, quan sát một cách tinh tế mới có thể làm được.
T
rên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phần PTLG cho học sinh lớp 11. Bài tập về PTLG rất đa dạng và phong phú, đối với mỗi bài toán lại có cách biến đổi khác nhau. Vì vậy, thông qua một số ví dụ minh họa nêu trên, hy vọng giúp các em có được kĩ năng biến đổi phương trình lượng giác và rút ra được bài học kinh nghiệm cho bản thân trong quá trình giải PTLG.
	Phước Long, ngày 01 tháng 03 năm 2015
	Người viết
	Nguyễn Văn Việt