Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

lim 1 0nu
n
     (Theo nguyên lí kẹp) 
lim 1nu  
Biết dãy số  nu thỏa mãn 3
1
1 ;nu n
n
   . Chứng minh rằng lim 1nu  
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 14 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Ví dụ 2: (Bài 4.4/SBT Đại số & Giải tích 11 NC/Trang 133/NXBGD2007) 
Phân tích: Với ví dụ này, việc xác định CTSHTQ của dãy  nu sẽ gặp nhiều khó 
khăn, nhưng nếu sử dụng bất đẳng thức để đánh giá và nguyên lí kẹp thì bài toán được 
giải quyết rất đơn giản. 
Lời giải: 
a) Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng minh được 0 ,nu n  
* Chứng minh 
1
,
4
nu n  bằng phương pháp quy nạp: 
Với n = 1 ta có: 
1
1 1
4 4
u   . Đúng 
Giả sử BĐT 
1
; 1
4
ku k   đúng, ta cần chứng minh BĐT 1
1
; 1
4
ku k    cũng đúng 
Thật vậy: Do 2
1 1
0
4 16
k ku u    và 
1
2 8
ku  nên 2
1
1 1 3 1
2 16 8 16 4
k
k k
u
u u       
Vậy 
1
0 ,
4
nu n   
b) Từ câu a) suy ra 1
1 1 1 3
,
2 4 2 4
n
n
n
u
u n
u
       
Cho dãy số  nu xác định bởi : 
1
2
1
1
4
, 1
2
n
n n
u
u
u u n



    

a) CMR: 
1
0 ,
4
nu n   
b) CMR: 1
3
,
4
n
n
u
n
u
   . Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 15 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Do đó ta có 
1
1 2
1 1
1 2 1
3 3 3 1 3
0 . ...... . . ..... . . ,
4 4 4 4 4
n
n n
n
n n
u u u
u u u n
u u u


 
 
     
 
Mà 
1
1 3
lim0 0;lim . 0
4 4
n
 
  
 
, nên theo nguyên lí kẹp thì lim 0nu  
Ví dụ 3: (BT 4.5/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 134/NXBGD2007) 
Hƣớng dẫn: 
a) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp được 0, nu n 
Từ hệ thức truy hồi ta có 1
1 1
, 1
1 2
    

n
n
u
n
u n
b) Từ câu a) ta có : 1 2 1
1 2 1
1 1 1 1 1
0 . ....... . . ..... . , 1
2 2 2 2 2
n
n n
n
n n
u u u
u u n
u u u

 
 
      
 
Mà 
1
lim0 0;lim 0
2
n
 
  
 
 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 0 
Ví dụ 4: (BT 4.11/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 135/NXBGD2007) 
Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
1
10
, 1n n
u
u u n


  
. Tính lim nu 
Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
1
1
2
, 1
1
n
n
u
u
u n
n




   
 
a) CMR: 0nu  và 
1 1 ,
2
n
n
u
n
u
   
b) Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 16 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Hƣớng dẫn: 
Dễ ràng chứng minh được 1;nu n  bằng phương pháp quy nạp toán học. 
Hơn nữa theo bất đẳng thức Cosi, ta có 1
1
1.
2
n
n n n
u
u u u

   . Tuy nhiên dấu 
“=” không xảy ra vì 1;nu n  . Do đó 1
1
,
2
n
n
u
u n

  1
1
1 ,
2
n
n
u
u n

    (*) 
Áp dụng (*) liên tiếp nhiều lần ta có: 
1 2 1
2 1 1 1
1 1 1 9 9
0 1 .... , 1 1 1 , 1
2 2 2 2 2
n n
n nn n n
u u u
u n u n 
  
  
               
Mà lim(
1
9
1
2n
 ) = 1 nên theo nguyên lí kẹp ta có limun = 1 
Ví dụ 5: (BT 4.74/SBT Đại số &Giải tích 11 NC/Trang 148/NXBGD2007) 
Hƣớng dẫn: 
Dễ dàng chứng minh được: 1 0,nu n    bằng chứng minh quy nap. 
Từ đó suy ra 
2
1 1 0,
1 1
n
n
u n
u
    

 
 1
2
1 1
1 1 , 1
11
n n
n n
n
u u
u u n
u

 
      

Do đó dãy ( )nu là dãy giảm 1 11 .... 0, 1n nu u u a n         
Cho dãy số (un) xác định bởi : 
1
1
2
1
1, 1
1
n
n
n
u a
u
u n
u



    
 
, (với – 1 < a < 0) 
a) CMR: 1
2
1
0 1 ( 1), 1
1
n nu u n
a
     

b) Tính limun 
lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 17 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
n n
n
u a u a
u a
       
 
Nên 
1
2 2
1 1
0 1 ( 1), 1
1 1
n
n n
n
u
u u n
u a


      
 
2 1
1 2 1
2 2 2
1 1 1
0 1 ( 1) ( 1) .... ( 1), 1
1 1 1
n
n n nu u u u n
a a a

 
   
              
     
Hay 
1
2
1
1 .( 1) 1, 1
1
n
nu a n
a

 
       
 
Vì 
1
2 2
1 1
0 1 lim ( 1) 1 1
1 1
n
a
a a
  
        
    
. 
Do đó theo nguyên lí kẹp ta được limun = -1 
4. Bài tập tƣơng tự: 
Bài 1: (Đề thi HSG lớp 11 cấp tỉnh tỉnh Hà Tĩnh năm học 2009 – 2010) 
Bài 2: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2007 – 2008) 
Cho dãy số  nu , xác định bởi: 2
1
0
, 1
n
n n n
u
u u u n


   
a) CMR 
1
, 1nu n
n
   
b) Tính lim nu (ĐS: lim 0nu  ) 
Cho dãy số  nu , xác định bởi: 
1
1
1
1
, 1
2
n n n
u
u u n



   

a) CMR 
1 1
1
, 1
2
n n n
u u n     
b) Tính lim nu (ĐS: lim nu = 1) 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 18 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Bài 3: (Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2006 – 2007) 
C – KĨ THUẬT 3: TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY 
HỒI BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TIÊU CHUẨN (ĐỊNH LÍ) WEIERSTASS 
1. Mục đích: 
 Tìm giới hạn của dãy số  nu bằng cách sử dụng tiêu chuẩn Weierstass. 
 Nội dung tiêu chuẩn Weierstass (Định lí 4/SGK Đại số & Giải tích NC/Trang 
154/NXBGD2007) : 
“ a) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn 
 b) Dãy số giảm và bị chặn dƣới thì có giới hạn hữu hạn” 
2. Phƣơng pháp: 
 Bƣớc 1: Chỉ ra dãy số tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới 
 Bƣớc 2: Tính giới hạn của dãy số 
Việc tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi bằng cách sử dụng tiêu 
chuẩn (định lí) Weierstass còn cần thêm một số kiến thức bổ sung sau: 
- Nếu dãy số ( nu ) thõa mãn điều kiện , nu M n và tồn tại giới hạn lim nu 
thì lim nu M ; nếu dãy số ( nu ) thõa mãn điều kiện , nu m n và tồn tại giới hạn 
lim nu thì lim nu m 
Cho dãy số  nu xác định bởi 
0
2
1
1
2
1
, 0, 1k k k
u
u u u k n
n




     

a) CMR: 
1
1 1nu
n
   
b) Tính lim
nu (ĐS: lim 1nu  ) 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 19 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
- Giả sử dãy số (
nu ) có giới hạn hữu hạn thì 1lim lim 
 
n n
n n
u u 
3. Một số ví dụ: 
Ví dụ 1: (Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN) 
Phân tích: Ta có thể tìm được CTSHTQ của dãy (un) là 12cos , 12
n n
u n


   , tuy 
nhiên việc xác định CTSHTQ của (un) không phải là đơn giản. Ta có thể sử dụng phần 
C - Kĩ thuật 3 để giải bài toán này. 
Lời giải: 
* Chứng minh dãy số ( nu ) tăng bằng phương pháp quy nạp 1: , 1n nCM u u n    
Với n = 1 ta có 2 1 12 2 2 2     u u u . Đúng 
Giả sử 1 k ku u , khi đó 2 1 12 2      k k k ku u u u . 
Vậy 1nu > , 1 nu n nên dãy số ( nu ) tăng và bị chặn dưới bởi 1 2u  . 
* Chứng minh dãy ( nu ) bị chặn trên bởi 2 bằng quy nạp : 
Khi n = 1 ta có 1 2 2 u 
Giả sử 2, 1  ku k , khi đó 1 2 2 2 2     k ku u . 
Vậy dãy số (un) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. 
* Tìm giới hạn của dãy số (un) : 
Giả sử limun = a, thì 2 2a  . Ta có 1lim lim 2n nu u   
Cho dãy số (
nu ) xác định bởi 
1
1
2
2 , 1n n
u
u u n
 

   
. Tính lim nu 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 20 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Hay 2
1
2 2 2
2
a
a a a a a
a
 
        
. Vậy lim 2nu 
Ví dụ 2: (Giáo trình giải tích 1 - Jean-Maria Monier) 
Hƣớng dẫn: 
* HS chứng minh 0,nu n  bằng phương pháp quy nạp 
* Xét tính tăng – giảm của dãy số  nu : 
Từ hệ thức: 
3
1 12 2 2
0
1 1 1
n n n
n n n n
n n n
u u u
u u u u
u u u
 

       
  
Dãy  nu giảm 
Vậy dãy số  nu giảm và bị chặn dưới nên dãy  nu có giới hạn hữu hạn 
* Tìm giới hạn của dãy số  nu : 
Giả sử lim nu a , chuyển qua giới hạn của hệ thức 1 2 1
n
n
n
u
u
u
 

 ta có phương trình: 
2
0
1
a
a a
a
  

. Vậy lim 0nu  
Ví dụ 3: 
Lời giải: 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1 2
1 1
1
, 2n n n
u u
u u u n 
 

   
. Tính lim nu 
Cho dãy số thực  nu xác định bởi: 
1
1 2
1
, 1
1
n
n
n
u
u
u n
u




   
Chứng minh rằng dãy số  nu có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm giới 
hạn đó? 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 21 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Ta thấy 
1 2 1u u  , 3 2 4 3 2 31 1 2 ; 2 1u u u u u u         . 
Dự đoán dãy số (un) là dãy dương và tăng. 
Ta chứng minh dự đoán này bằng phương pháp quy nạp, tức là 1 , 2n nu u n    
Rõ ràng 0, 1nu n   . Khi n = 2 ta có 3 22 1u u   
Giả sử 
1 , 2k ku u k    . Ta có 2 1 1 1, 2k k k k k ku u u u u u k          
Nên dãy (un) là dãy số dương tăng 1 1, 1nu u n     
Hơn nữa, ta thấy 1 23, 2n n n n n nn u u u u u u        
Hay 2 4 4( 0)n n n nu u u do u    . Nên (un) bị chặn trên bởi 4 
Do đó dãy số (un) tăng và bị chặn trên nên dãy số (un) có giới hạn hữu hạn. 
Giả sử limun = a, khi đó 1a . Chuyển qua giới hạn của hệ thức hệ thức truy hồi 
1 1lim lim limn n nu u u   ta có phương trình: 
2
0
4
4
a
a a a a a
a

      
Do 1a > 0 nên a = 4. Vậy lim 4nu  . 
Nhận xét: Ta có thể gặp những bài toán có dạng tương tự, ví dụ như trong quyển Bài 
tập giải tích - W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK có bài toán sau: 
CMR dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
2
1 1
1
2
, 2n n n
u
u
u u u n 
 



   
 có giới hạn hữu hạn khi 
n . Tìm giới hạn đó? (Đáp án: lim 4nu  ) 
Ví dụ 4: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Ngãi năm học 2010 – 2011) 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
2
1
2010
2 . 2011 0 , 1n n n
u
u u u n


    
Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó. 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 22 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Lời giải: 
Trước hết ta nhận thấy: u1 = 2010 > 0. Giả sử 0, 1ku k   , ta chứng minh 1 0ku   
Từ hệ thức truy hồi suy ra 
2
2
1 1
2011
2 . 2011 0 0
2
k
k k k k
k
u
u u u u
u
 

      
Lại có: 
2
1
2011 1 2011 2011
. 2011, 1 2011
2 2
Cauchy
n
n n n n
n n n
u
u u u n u
u u u

 
        
 
 
Mặt khác ta có 
2
1
2 2
2011 1 2011 1 1
1
2 2 2 2 2
n n
n n n
u u
u u u
       (vì 2011nu  ) 
Vậy dãy số (un) giảm và bị chặn dưới bởi 2011 nên dãy (un) có giới hạn hữu hạn. 
Giả sử limun = a, khi đó 0 2010a  , chuyển qua hệ thức truy hồi 
2
1
2011
2
n
n
n
u
u
u


 
ta có phương trình:
2
22011 2011 2011
2
a
a a a
a

     . Vậy lim 2011nu  
Ví dụ 5: (Đề thi HSG cấp tỉnh khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2010 – 2011) 
Lời giải: 
Từ hệ thức truy hồi ta có 
2
1 10, 1(*) , 1
2010
n
n n n n
u
u u n u u n          , do đó 
dãy (un) là dãy số tăng 1 1 0, 1nu u n      
Từ (*) suy ra 
2
1
1 1
2010.
. .
n n n
n n n n
u u u
u u u u

 

 hay 
1 1
1 1
2010( )n
n n n
u
u u u 
  
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
2
1
1
, 1
2010
n
n n
u
u
u u n



   

Tính lim 1 1
2 2 1
( ..... )

   n
n
u u u
u u u
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 23 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
 1 2
2 3 1 1 1 1
1 1 1
..... 2010( ) 2010(1 )n
n n n
uu u
u u u u u u  
        
Do đó lim 1 2
2 3 1 1
1
( ..... ) lim2010.(1 )n
n n
uu u
u u u u 
     
Giả sử (un) bị chặn trên, khi đó dãy (un) có giới hạn hữu hạn, giả sử limun = a 
Vì 1, 1 1nu n a     . Chuyển qua hệ thức truy hồi 
2
1
2010
n
n n
u
u u   ta có phương 
trình: 
2
0
2010
a
a a a    (vô lý). Vậy (un) không bị chặn, tức là lim nu   
1lim nu    . Vây lim
1 1
2 2 1
( ..... ) 2010n
n
uu u
u u u 
    
Ví dụ 6: 
Lời giải: 
Dễ thấy: 0,nu n  (Chứng minh bằng phương pháp quy nạp) 
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1
1
( ) ,
2
n n
n
a
u u a n
u
     
Vậy dãy số ( nu ) bị chặn dưới bởi a 
Mặt khác, ta có 1
2
1
2 2
n
n n
u a
u u
   mà 
2
1 1
, 2
2 2
n
n
u a n
u a
     
Do đó 1 12
1 1
1 , 1
2 2 2 2
n
n n
n n
u a a
u u n
u u a

         nên ( nu ) là dãy giảm. 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
1
0
1
( ), 1
2
n n
n
u
a
u u n
u




   

 (a > 0). Tính limun 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 24 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Vậy dãy số (
nu ) có giới hạn hữu hạn. Giả sử lim nu = L, khi đó L > 0. Chuyển qua hệ 
thức truy hồi 1
1
( )
2
n n
n
a
u u
u
   ta có phương trình: 
1
(L )
2
a
L L a
L
    do L > 0 
Vậy limun = a 
Nhận xét: Bài toán trên là một bài toán tổng quát, có thể áp dụng rộng rãi. Trong Giáo 
trình giải tích 1 của Jean-Maria Monier có bài toán sau: 
Cho dãy số (
nu ) xác định bởi 
1
1
1
1 2011
( ), 1
2
n n
n
u
u u n
u




   

Chứng minh rằng dãy số ( nu ) có giới hạn hữu hạn khi n . Tìm giới hạn đó? 
Đáp số: Dãy số ( nu ) có giới hạn hữu hạn khi n và limun = 2011 
Ví dụ 7: (Bài tập giải tích W.J.KACZKOR-M.T.NOWAK) 
Lời giải: 
Bằng phương pháp chứng minh quy nạp ta chứng minh được 
3
2
2
nu  
Từ hệ thức 1 13 2n nu u    1 1 13 2 0, , 1n n n n n nu u u u n u u n            , 
do đó ( nu ) là dãy số tăng và bị chặn nên dãy số ( nu ) có giới hạn hữu hạn. 
Giả sử lim nu = a, 
3
2
2
a  , chuyển qua hệ thức truy hồi 1 13 2n nu u   ta được 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
1 1
3
2
3 2, 2n n
u
u u n 



    
 . 
CMR dãy số ( nu ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 25 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
phương trình: 2
1 3
3 2 3 2 0 2 do 2
2 2
a
a a a a a a
a

           
. 
Vậy limun = 2. 
4. Bài tập tƣơng tự: 
Bài 1: 
Bài 2: (Đề thi chọn HSG Quốc gia khối 12 tỉnh Quảng Bình năm 2009 – 2010) 
Bài 3: (VMO -2009) 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
2
1
1
2
4
, 1
2
n n n
n
u
u u u
u n




 
  

Chứng minh rằng dãy
2
1
1
lim
n
n
n
k k
y
u 
  có giới hạn hữu hạn và tính 
giới hạn đó (ĐS: limyn = 6) 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
2
1
3
1
2, 1
2
n n n
u
u u u n



    
Tính 
1
1
lim
n
n
k ku


 (ĐS: 
1
1
lim 1
n
n
k ku


 ) 
 (ĐS: x 3 ) 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
1
0
6 , 1n n
u
u u n


   
CMR dãy số ( nu ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó? 
(ĐS: 0 3,nu n   , dãy tăng, lim 3nu  ) 
 (ĐS: x 3 ) 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 26 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Bài 4: (Tạp chí THTT tháng 10/2010) 
 Bài 5: (Các bài toán về dãy số - PHAN HUY KHẢI) 
Với số ít bài tập nhỏ này, hy vọng các bạn sẽ có một tài liệu hữu ích để có thể áp 
dụng vào bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi. Đặc biệt, 
khi đọc phần C – Kĩ thuật 3 chắc chắn sẽ có nhiều bạn thắc mắc rằng làm sao tác 
giả lại tìm đƣợc giá trị bị chặn của mỗi dãy số? Câu trả lời của tôi nhƣ sau: 
- Bƣớc 1: Căn cứ vào đề bài để tôi có thể suy đoán dãy đã cho tăng hay giảm 
(thử một vài giá trị đầu của dãy là biết ngay) 
- Bƣớc 2: Nên giải phƣơng trình chuyển qua giới hạn trƣớc các bạn nhé, 
việc này vô cùng quan trọng vì đó là căn cứ quyết định giúp chúng ta suy 
đoán ra giá trị bị chặn của dãy số cho bởi công thức truy hồi đó ạ 
- Lƣu ý rằng: Một dãy số tăng luôn bị chặn dƣới bởi 1u nên 1lim nu u , và 
dãy số giảm luôn bị chặn trên bởi 1u nên 1lim nu u 
 KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA SÁNG KIẾN: 
- Các em học sinh khá, giỏi. 
- Các em học sinh Ôn thi ĐH-CĐ cũng có thể ôn tập thông qua sáng kiến này. 
Cho dãy số ( nu ) xác định bởi 
1
1
1
1
, 1
3
n
n
u
u n
u




   
CMR dãy số  nu có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó? 
(ĐS: Dãy số  nu giảm và bị chặn dưới, 
3 5
lim
2
nu
 
 ) 
Cho dãy (
nu ) xác định bởi 
1
2
1
1
, 1n n
u a
u u n
 

  
. Tính 
1 1
lim
1
n
k
n
k k
u
u   
 
(ĐS: 
1
a
) 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 27 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
- Các giáo viên và bạn đọc yêu thích Toán học có thể tham khảo sáng kiến này. 
- Nguồn tư liệu phong phú: 
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƢỢC BẢO MẬT (Nếu có): 
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: 
Giáo án điện tử, phòng học máy chiếu và đối tượng học sinh phù hợp. 
X. ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC HIỆN: 
- Với sáng kiến này Tôi đã giảng dạy cho đội tuyển học sinh khá, giỏi lớp 11 
Trường THPT Triệu Thái, và thấy rằng các em hiểu một bài toán tìm giới hạn của 
dãy số cho bởi công thức truy hồi nên áp dụng kĩ thuật nào vào tìm giới hạn là hợp 
lí với nó. 
- Các em có tri thức, có kỹ năng và rất tích cực, hào hứng giải quyết với loại 
toán khó này. Thực tế đã nhiều em đã giải quyết tốt dạng toán này ở các đề thi 
ĐH-CĐ và thậm chí là khó hơn. 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 28 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
Từ những vấn đề đã trình bày, tác giả có thể rút ra một số kết luận và kiến 
nghị sau: 
1. Một điều chắc chắn là không phải mọi bài toán tìm giới hạn của dãy số cho 
bởi công thức truy hồi nào cũng có thể áp dụng được ngay một trong ba kĩ thuật cơ 
bản trên để giải quyết, có những bài ta phải vận dụng thêm kiến thức của phần HÀM 
SỐ mới có thể chứng minh được tính đơn điệu của dãy số đó. 
 2. Bản SKKN của Tôi đã tổng kết và xây dựng được một số kĩ thuật tính giới 
hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi tương đối rõ ràng và có hệ thống. 
 3. Với sự thay đổi mang tính chất tích cực của ngành giáo dục, Tôi đề xuất các 
Thầy cô nên rèn luyện kỹ năng cho học sinh nhiều hơn để các thế hệ học sinh có thể 
thành thạo trong việc giải toán nói chung, và tìm giới hạn của dãy số cho bởi công 
thức truy hồi nói riêng. 
4. Hy vọng bản SKKN này sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho những học sinh, 
và thầy (cô) giáo và các bạn đọc quan tâm đến việc dạy học, bồi dưỡng môn Toán ở 
bậc THPT. 
Do mặt hạn chế về thời gian nên SKKN của Tôi vẫn còn nhiều thiếu sót, mong 
các quí thầy cô cũng như ai đang quan tâm tới SKKN này chân thành đóng góp ý kiến 
với tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn sự đóng góp nhiệt tình của bạn đọc!. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ 
TRƢỞNG ĐƠN VỊ 
Lập thạch, ngày 27 tháng 01 năm 2019 
NGƢỜI THỰC HIỆN 
Nguyễn Thị Thanh Lan 
 Sáng kiến: Một số kỹ thuật tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi Trang 29 
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc Toán 11 
TÀI LIỆU THAM KHẢO: 
 Tạp chí toán học tuổi trẻ. 
 Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích 11 
 Sách giáo khoa, sách Bài tập Đại số & Giải tích NC 11 
 Các bài toán về dãy số - PHAN HUY KHẢI – NXBGD 2007 
 Nguồn Internet. 
 Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT – 
NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN VĂN TIẾN – NXBGD 2007 
 Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009 
 Tuyển tập đề thi VYOLYMPIC 30/4 – 2008 
 Giải tích những bài tập nâng cao – TÔ VĂN BAN – NXBGD 2005 
 Giáo trình giải tích 1 – JEAN, MARIA MONIER – NXBGD 1999 
 Bài tập giải tích I – Số thực – Dãy số và chuỗi số - W.J.KACZKOR, 
M.T.NOWAW – NXBĐHSP 2003 – Đoàn Chi (biên dịch) – 
GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến (hiệu đính). 
 C¸c d¹ng to¸n vµ ph-¬ng ph¸p gi¶i §¹i sè & Gi¶i tÝch – NGUYÔN 
H÷U NGäC – NXBGD 2008