Sáng kiến kinh nghiệm Khai thác ứng dụng của tứ giác nội tiếp từ một bài toán hình học THCS

iểm MA. Chứng minh rằng: B, I, K thẳng hàng.
Nhận xét :Cách chỉ ra ba điểm B, I, K thẳng hàng dựa vào việc gọi N là trung điểm QB khi đó chứng minh tứ giác CQIN là tứ giác nội tiếp và chỉ ra I là trung điểm QH sau đó có thể dùng bổ đề hình thang để chỉ ra MQ, IK, AH đồng quy tại B từ đó giải quyết được yêu cầu của bài.
Phát triển bài toán
-Nếu B là điểm chính giữa cung lớn AC thì khi đó tứ giác AMQI có còn là tứ giác nội tiếp nữa không,MO có vai trò gì với tam giác MQC ta đến với bài toán sau:
Bài toán 5:Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC(A,C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC . Đường thẳng MO cắt đường tròn tại hai điểm D và B và cắt AC tại I. Qua C kẻ đường vuông góc với AB tại H. Gọi N là trung điểm CH. Tia BN cắt đường tròn tại điểm Q (Q khác B). Chứng minh rằng: MO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp .
Bài giải :Vì IN là đường trung bình của tam giác MAH nên IN//AB 
nên(hai góc đồng vị )
 Trong (O) ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn ) 
 hay do đó tứ giác CQIN là tứ giác nội tiếp (vì có hai đỉnh liên tiếp I, Q cùng nhìn đoạn CN dưới cùng một góc)
 hay 
-Ta có (1)
 (Do (hai góc nội tếp cùng chắn của đường tròn (O) )
Mặt khác (2)
(do (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn ),MOtại I (bài toán 1))
 Từ (1) và (2) suy ra , mà hai điểm Q, M cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa AI do đó tứ giác AMQI là tứ giác nội tiếp.
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung QI)
 Mặt khác (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắn cung QC của đường tròn (O)
, do đó MI là tiếp tuyến tại M của đường tròn ngoại tiếp .
Nhận xét: Chỉ thay đổi một vài yếu tố của bài toán kết hợp với tứ giác nội tiếp ta có nhiều bài toán mới. Điều quan trọng này giúp các em học sinh tạo niềm tự tin hơn trong học môn hình học vốn rất khó khăn .
 Nếu ta thay đổi đường thẳng qua Q vuông góc với AO bằng đường thẳng qua Q song song với BC cắt AC và AM lần lượt tại I và H ,gọi K là điểm đối xứng với C qua B,thế thì điểm K có vai trò gì trong bài toán ta xét bài toán sau: 
Bài toán 6: Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC(A, C là tiếp điểm), B thuộc cung lớn AC sao cho MB nằm giữa MO và MC. Tia MB cắt đường tròn tại Q(Q khác B), cắt CA tại N. Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC và AM lần lượt tại I và H, gọi K là điểm đối xứng với C qua B. Chứng minh rằng M, I, K thẳng hàng.
Bài giải
Gọi giao điểm của MO với AC là E .
Vì MA, MC là hai tiếp tuyến tại A, C của đường tròn tâm O nên MA=MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên M nằm trên đường trung trực của AC
 Mặt khác OA=OC nên O nằm trên đường trung trực của AC
 Vì vậy OM là đường trung trực của AC nên OMAC tại E
Vì MCOC(tính chất tiếp tuyến của đường tròn) nên vuông tại C và OMEC nên MC2=ME.MO(1)
Mặt khác xét và có:là góc chung,(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn của đường tròn tâm O).
Nên (g.g) do đó(2)
Từ (1), (2) 
Từ đó nên hay (*)
Lại có tứ giác QEOB có nên tứ giác QEOB là tứ giác nội tiếp 
(hai góc nội tiếp cùng chắn )
Mà cân tại O nên (**)
Từ (*)và(**) suy ra 
Mà nên do đó EC là tia phân giác của ,HA là phân giác ngoài theo tính chất phân giác suy ra:
Mặt khác QH//BC nên 
 QI//CB nên từ đó nên Q là trung điểm của HI.
-Trong tam giác MCB có HQ//BC nên hay 
 và có (đồng vị )
Nên nên suy ra hai tia MI, MK trùng nhau do đó M, I, K thẳng hàng.
Nhận xét :Ta thấy việc chỉ ra được tứ giác QEOB là tứ giác nội tiếp chính là mấu chốt góp phần quan trọng trong việc chứng minh được bài toán,tuy nhiên không nên dừng bài toán tại đây mà nên tiếp tục khai thác tiếp từ bài toán 2 nếu lấy E là trung điểm MI khi đó MC, EN, IB có quan hệ gì ta xét tiếp bài toán sau: 
Bài toán 7: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Từ điểm M trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn sao cho OM > 2R vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C là tiếp điểm). Đường thẳng MB cắt nửa đường tròn tại Q, cắt AC tại N. Gọi I là giao điểm của MO và AB,gọi E là trung điểm MI .Chứng minh rằng MC,EN,BI đồng quy.
Nhận xét :Từ bài toán trên ta đã có tứ giác BOIQ là tứ giác nội tiếp, gọi D giao điểm của NE với BC, khi đó do BC//IM, E là trung điểm IM thì suy ra được D là trung điểm BC và cũng theo bổ đề hình thang thì suy ra MC, EN, BI đồng quy.
 Vậy là từ một bài toán gốc nếu biết thay đổi một số yếu tố bằng cách thay đổi giả thiết hoặc khai thác sâu các kết luận khác nhau thì ta sẽ được những bài toán mới giúp cho học sinh biết đào sâu suy nghĩ,biết khai thác và liên kết các bài toán khác nhau thành những bài toán hay gần gũi với nhau giúp các em học sinh yêu thích môn hình học hơn. 
 Từ bài toán 3,ta thấy nếu điểm M cố định thì trọng tâm tam giác CQB luôn chạy trên một đường tròn cố định.Vì vậy có thể thay đổi vị trí cát tuyến MQB mà không ảnh hưởng gì tới kết quả bài toán. Do đó ta sẽ đến với bài toán sau:
Bài toán 8:
 Cho đường tròn tâm O. Từ điểm M cố định nằm ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MC(A, C là tiếp điểm), cát tuyến MQB (Q nằm giữa M và B. Qua Q kẻ đường thẳng song song với MC cắt AC tại N. Gọi I là trung điểm của QB .Chứng minh rằng khi cát tuyến MQB thay đổi nhưng luôn đi qua M thì trọng tâm tam giác CQB luôn thuộc một cung tròn cố định. 
Bài giải :Gọi K là trung điểm của MO thì suy ra K cố định
Do điểm I là trung điểm QB nên IO QB nên vuông tại I.
 không đổi.
Gọi G là trọng tâm (tính chất trọng tâm của tam giác)
-Nối C với K, kẻ GH//IK(HMK) theo hệ quả của định lí talét ta có =,mà K, I cố định , H thuộc MK nên H cố định
 Do đó không đổi, H cố định nên G 
Khi B C thì GC,Khi BA thì GG’ với G’ thuộc AC và 
Vậy G thuộc cung CG’ của đường tròn cố định .
* Nhận xét : Bài toán 8 dành cho học sinh giỏi học sinh nhận thức được trong bài có yếu tố điểm G chuyển động thì quỹ tích điểm G chạy trên đường nào. Học sinh phải có kĩ năng rất tốt mới có thể suy luận được bài toán này. Qua bài toán rèn cho học sinh khả năng tư duy, phán đoán và nhận định dựa trên nhận định đó tìm cách chứng minh nó và đề xuất các bài toán mới .
 Trở lại bài toán 1: Nếu từ điểm M không vẽ tiếp tuyến MC mà vẽ cát tuyến MQD (Q nằm giữa M và D), MO cắt BQ và BD tại G và H. Điểm O có vị trí gì trên GH, cách suy luận bài toán như thế nào ta có bài toán sau:
Bài toán 9:Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Từ điểm M trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn vẽ cát tuyến MQD (Q nằm giữa M và D),MO cắt BQ và BD tại G và H. Chứng minh rằng : O là trung điểm của GH
Bài giải :Lấy E là trung điểm QD OE(quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây) nên 
 Vì MA OA(tính chất tiếp tuyến của đường tròn )
 nên tứ giác MAEO là tứ giác nội tiếp.
 từ đó suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EO) (1)
 Qua Q kẻ đường thẳng song song với GH cắt BA và BD lần lượt tại N và K.
Do QK//GH nên (đồng vị) (2)
Từ (1),(2) hay 
Tứ giác NEAQ có hai đỉnh Q, A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ EN và cùng nhìn EN dưới 2 góc bằng nhau nên tứ giác NEAQ là tứ giác nội tiếp .
 (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung QN)
Lại có (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm O)
Do đó , mà hai góc ở vị trí đồng vị nên NE//DB hay NE//KD.
Xét có E là trung điểm QD và có NE//KD nên N là trung điểm QKQN=NK
Trong tam giác BQK có : GH//QK nên, mà QN=NK nên GO=OH nên O là trung điểm của GH.
Nhận xét:Cái hay của bài toán nằm ở chỗ là để chứng minh OG=OH ta phải kẻ thêm đường thẳng song song với GH, để sử dụng định lí talét, khai thác đường thẳng đi qua tâm vuông góc với dây cung,tứ giác nội tiếp.
 Qua các bài toán trên ta thấy Nếu gọi H, E là trung điểm của MC và MO,AH cắt đường tròn tại Q khi đó có những vị trí nào đối với điểm E? Ta xét bài toán sau:
Bài toán 10:Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến MA,MC tới đường tròn(A,C là tiếp điểm)gọi H,E lần lượt là trung điểm của MC và MO,AH cắt đường tròn tại Q .Chứng minh rằng EQCQ.
Bài giải:
*Trường hợp 1:Khi điểm E nằm ngoài đường tròn:
Ta có: MC là tiếp tuyến của đường tròn nên MCCO(tính chất tiếp tuyến của đường tròn) vuông tại C, có E là trung điểm MO nên EC=EM=EA.
 cân tại E
Mà HE là đường trung bình của tam giác MCO nên HE//OC =(hai góc đồng vị), (hai góc so le trong).
Mà =Sđ(góc ở tâm)
Nên =Sđ(1)
Mặt khác = (3600- Sđ)=Sđ (2)
Từ (1) và (2) suy ra =, mà hai điểm E, Q cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ HC do đó tứ giác HEQC là tứ giác nội tiếp. 
MCCO, HE//CO nên HEMCEQCQ.
*Trường hợp 2 :Khi E nằm trong đường tròn .Chứng minh tứ giác HEQC là tứ giác nội tiếp tương tự như trên. 
*Trường hợp 3:Khi E nằm trên đường tròn . Lúc đó là tam giác đều, lúc đó A, Q, H thẳng hàng. Khi đó không tồn tại đường thẳng EQ.
* Nhận xét : Bài toán 10 dành cho học sinh khá giỏi học sinh nhận thức được trong bài có yếu tố điểm M chuyển động thì nhiều khả năng sảy ra và bài toan phụ thuộc vào hình vẽ. Nếu không tinh ý học sinh sẽ mắc lỗi chỉ chứng minh 1 trường hợp theo hình vẽ.
 Trở lại bài toán ban đầu :nếu điểm M thuộc tia Ax sao cho AM=AB. Đường thẳng MB cắt đường tròn tại Q ,lấy P bất kì trên AQ và gọi H và K là hình chiếu của P trên AB và AM, Gọi C là hình chiếu của H trên KQ. Lúc này có nhận xét gì về vị trí các điểm C, P, B. Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi nào?Ta đến với bài toán sau:
Bài toán 11 :
 Cho đường tròn tâm O đường kính AB=2R. Lấy điểm M trên tia tiếp tuyến Ax của đường tròn sao cho AM=AB. Đường thẳng MB cắt đường tròn tại Q, lấy P bất kì trên AQ và gọi H và K là hình chiếu của P trên AB và AM, gọi C là hình chiếu của H trên KQ. Chứng minh rằng:
a,Tứ giác AKCP là tứ giác nội tiếp, điểm H thuộc (O) và C, P, B thẳng hàng.
b,Xác định vị trí điểm P trên AQ để lớn nhất.
c,Chứng minh khi P thay đổi vị trí thì CH luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải:
a,Vì H, K là hình chiếu của P trên AB và AM nên PHAB, PKAM
nên tứ giác AKPH là tứ giác nội tiếp.(1)
Vì C là hình chiếu của H trên KQ nên HCKQ nên 
Mà MAAO(tính chất tiếp tuyến) nên , do đó tứ giác AKCH là tứ giác nội tiếp.(2)
Từ (1) và(2) suy ra 5 điểm A,K,C,P,H cùng thuộc một đường tròn do đó tứ giác AKCP là tứ giác nội tiếp.
Mặt khác ta có tứ giác MKPQ là tứ giác nội tiếp
hay(3) 
Mà AM=AB nên vuông cân tại A, có AQ là đường cao nên đồng thời là đường trung trực là đường trung trực của MB, mà PAQ nên PM=PB
 cân tại P (4)
 Từ (3) và (4) hay (*)
Lại có :
(góc ngoài tại đỉnh P của tam giác PQB) (**)
 (***)
từ (*),(**),(***) suy ra =
mà tứ giác AKCP là tứ giác nội tiếp nên 
 do đó C, P, B thẳng hàng 
b,Kẻ CIAB tại I khi đó =
do AB là đường kính của đường tròn có độ dài không đổi nênlớn nhất khi 
là bán kính của đường tròn 
 Vậy Khi thì lớn nhất=
c,Gọi giao điểm của CH với đường tròn (O) là E
Ta có ,mà nên 
nên CH là tia phân giác của góc ACB hay CE là tia phân giác của góc ACBE là điểm chính giữa của , do đó E cố định.
Vậy khi P di động trên AQ thì CH luôn đi qua điểm E cố định là điểm chính giữa của .
Nhận xét:Qua các bài toán trên ta thấy rằng việc chứng minh các bài toán hầu hết liên quan trực tiếp đến tứ giác nội tiếp,và từ tứ giác nội tiếp ta suy luận được rất nhiều bài toán từ đơn giản,cơ bản đến những bài toán hay và khó khác nhau.
4 .Tính mới và sáng tạo của sáng kiến 
 Xuất phát từ đề thi vào lớp 10 phần hình học của tỉnh Hà Nam năm học 2009-2010, tác giả trình bày cách khai thác ứng dụng của tứ giác nội tiếp bằng cách bổ sung thêm giả thiết ,thay đổi các yếu tố từ giả thiết cũng như kết luận nhằm khai thác được triệt để cách sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các bài toán hình học từ đó dẫn ra được các bài toán từ cơ bản đến những bài toán hay và khó có tác dụng hệ thống được kiến thức trong chương trình hình học THCS.Trên cơ sở đó đề xuất ra các bài toán mới gợi động cơ tích cực học tập ở học sinh .
+ Lựa chọn được phương pháp dạy học tích cực phù hợp với khả năng của học
 sinh.
+Hình thành cho học sinh thói quen suy nghĩ tìm tòi, lựa chọn sử lý thông tin trong các tình huống cụ thể.
+ Sáng kiến góp phần tháo giỡ được cách dạy và cách học hình học ở bậc THCS.
+Chỉ ra cho học sinh từ học sinh trung bình đến học sinh khá giỏi một cách học và thực hành môn hình học một cách hiệu quả, tạo cho các em học sinh cơ hội nói lên được suy nghĩ của bản thân, tạo thói quen chủ động phân tích tìm tòi và vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học hoặc kết quả của một bài toán để đề xuất những bài toán mới và giải chúng một cách thông minh, sáng tạo nhất. Mong rằng các em sẽ trở thành những công dân năng động, có năng lực giải quyết được những vấn đề thường gặp trong cuộc sống. 
+ Học sinh học tập tích cực hơn, không những hoàn thành các bài tập được giao mà còn tìm tòi, khám phá, biết liên kết các kiến thức để lập ra các bài mới từ những bài đã cho, nghĩ ra được nhiều hướng giải khác nhau cho một bài toán +Các em đã đề xuất được nhiều ý kiến hay cho một vấn đề.
+ Sáng kiến đã giải quyết được tình trạng học sinh học yếu môn hình học mà còn tạo được phương pháp học tập mới cho người học.
Sau đây là kết quả khảo sát tôi đã áp dụng cho lớp 9A và lớp đối chứng 9B:
Lớp
Số bài
Điểm <5
ĐiểmTB(5-6)
Điểmkhá (6-7)
Điểm giỏi(9-10)
số bài 
%
số bài
%
số bài
%
số bài 
%
9 A
37
2
5,4%
14
37,8%
12
32,4%
9
24,4%
9 B
44
11
25%
23
52,2%
8
18,2%
2
4,6%
5. Khả năng áp dụng sáng kiến : 
 -Sáng kiến này đã được áp dụng với tất cả các đối tượng học sinh lớp 9 từ trung bình đến khá giỏi
-Giáo viên tâm huyết với nghề có thể dùng sáng kiến làm tài liệu tham khảo dùng cho việc ôn thi hoc sinh giỏi 9 cũng như ôn thi vào lớp 10.
-Phụ huynh cũng có thể dùng sáng kiến để làm tư liệu tham khảo bởi vì đây là một chủ đề hay có ý nghĩa .
 Tóm lại áp dụng sáng kiến là cách làm rất hiệu quả góp phần đổi mới giảng dạy và là tài liệu nghiên cứu tham khảo cho đồng nghiệp và các bậc phụ huynh, giúp cho người học chủ động, sáng tạo trong việc lĩnh hội kiến thức, giáo dục lòng yêu thích bộ môn. 
Đây chính là một sợi dây gắn kết giữa thầy với thầy,phát huy sức mạnh của tổ nhóm chuyên môn, trò với thầy, trò với trò, phụ huynh với nhà trường, đồng thời có thể áp dụng cho các khối lớp theo từng đơn vị kiến thức.
6.Ý nghĩa và lợi ích thiết thực của đề tài 
 Trong quá trình thực hiện sáng kiến, tôi thấy học sinh học tập tích cực hơn, không những hoàn thành các bài tập được giao mà còn tìm tòi, khám phá, biết liên kết các kiến thức để lập ra các bài mới từ những bài đã cho, nghĩ ra được nhiều hướng giải khác nhau cho một bài toán, từ đó chọn cho mình cách giải hay và sáng tạo nhất trong các kỳ thi.
 Các em đã đề xuất được nhiều ý kiến hay cho một vấn đề, nắm kiến thức sâu và chắc . Trong giờ học, không khí học tập rất thoải mái giữa thầy và trò, trò được hoạt động nhiều hơn, được tích cực hơn trong việc khám phá kiến thức cũng như trong việc hoàn thành bài tập được giao.
 Nhiều học sinh trước đây chưa được áp dụng đề tài này thì tỏ rõ sự lo lắng khi học hình, nhưng sau khi áp dụng đề tài thì học sinh đã thấy được sự gắn kết giữa các yếu tố trong hình học.
 Tuy vẫn còn một số tồn tại xong sáng kiến đã giải quyết được tình trạng học sinh học yếu môn hình học mà còn tạo được phương pháp học tập mới cho người học, đồng thời phát huy sức mạnh của tổ nhóm chuyên môn, tạo được mối gắn kết giữa hội đồng sư phạm, giữa nhà trường với phụ huynh, tạo điều kiện tốt nhất cho học sinh học tập và phát triển trí tuệ. 
Bài tập đề nghị 
Bài toán 1:
 Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MA, MC tới đường tròn (A, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AB, đường trung trực của AB cắt BC tại E. Gọi I là giao điểm của MO và AC.
 a, Chứng minh rằng : OI.OM=
 b,Chứng minh rằng : Tứ giác CEMO là hình thang cân.
 c,Đường thẳng qua I cắt đường tròn tại hai điểm N và P. Chứng minh rằng:tứ giác MNOP là tứ giác nội tiếp.
Bài toán 2:
 Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm N sao cho BN=. Vẽ dây CD vuông góc với AB tại N. Tiếp tuyến tại A, C cắt nhau tại M, MD cắt đường tròn tại điểm thứ hai là Q. Đường thẳng CQ cắt MO tại G. Gọi I là giao điểm của AC và MO. Chứng minh rằng :
 a,Tứ giác CNOI là tứ giác nội tiếp.
 b,Tính MG theo R.
Bài toán 3:
 Cho hình bình hành ABCD(AC > BD). Đường tròn đường kính AC cắt AB, AD tại H và I. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) cắt BD tại E. Chứng minh rằng ba điểm I, H, E thẳng hàng.
 Bài toán 4:
 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R và điểm C thuộc nửa đường tròn . Kẻ CH vuông góc AB tại H (H khác O).Gọi E, F là hai điểm bất kì trên nửa đường tròn sao cho . Chứng minh rằng EF luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài toán 5:
 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn(O) kẻ các tiếp tuyến PA, PB tới đường tròn(A, B là các tiếp điểm). Gọi C, D là các điểm thộc cung lớn AB sao cho 
AC= CD . Gọi I là giao điểm của A D và BC, M là trung điểm của AI. Chứng minh rằng P, M, C thẳng hàng.
Bài toán 6:
 Cho tam giác ABC vuông tại A,có AHBC tại H.Gọi I là trung điểm của BH, K là điểm thuộc tia đối của tia AB và thỏa mãn AK=BI. Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp . Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại I cắt KC tại P. Từ P kẻ tiếp tuyến thứ hai PM của đường tròn tâm O. Tính tỉ số .
Bài toán 7:
 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB của đường tròn (B là tiếp điểm), kẻ đường kính B D của đường tròn tâm O. Kẻ BHOA tại H. Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BH tại I. Gọi K là giao điểm của 
AD và OI. Chứng minh rằng tứ giác AHKI là tứ giác nội tiếp.
Bài toán 8:
 Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD thay đổi nhưng không đi qua O(C nằm giữa M và D). Đường thẳng AB cắt OM tại E. Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C,D cắt nhau tại S. Chứng minh rằng:
a,
b,.
c, Chứng minh rằng S nằm trên một đường thẳng cố định.
Bài toán 9:
 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tia tiếp tuyến Ax của đường tròn , lấy C thuộc tia Ax sao cho AC=2R. Từ C kẻ cát tuyến CDE tới đường tròn (O) (D nằm giữa C và E, DE cắt đoạn thẳng OB), gọi H là trung điểm của DE. Đường thẳng BD cắt CO tại M và đường thẳng BE cắt CO tại N. Chứng minh rằng :
a,CA2=CD.CE
b,O là trung điểm của MN 
Bài toán 10
 Cho đường tròn (O) đường kính AB. Từ điểm I nằm ngoài đường tròn kẻ IH vuông góc với AB tại H (H nằm giữa O và A).IA,IB cắt (O) lần lượt tại E, F; EF cắt AB tại P, EH cắt (O) tại điểm thứ hai là M, PM cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi K là trung điểm EF, O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN.
Chứng minh rằng O’H//OK.
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 
1. Kết quả mà sáng kiến mang lại 
* Đối với học sinh: tạo được cho các em cách học hiệu quả, giúp các em nhận thức được muốn học tốt môn toán trước hết phải nắm chắc kiến thức, học lý thuyết nghiêm túc, từ đó mới có thể liên kết được các kiến thức đã học vào thực hành giải toán. Giải xong bài tập là chưa đủ mà còn phải luôn đặt ra các câu hỏi, các tình huống, giả thiết khác nhau. Điều quan trọng nhất là tạo ra cho các em một cách học mới để các em được chủ động nắm bắt kiến thức, được trau dồi, trao đổi các ý kiến của mình lĩnh hội kiến thức có hiệu quả. 
* Đối với giáo viên: ngoài việc chủ động hướng dẫn truyền tải kiến thức tới học sinh một cách tốt nhất còn luôn không ngừng học hỏi để nâng cao tay nghề, tạo mối quan hệ giữa thầy và trò và sự thân thiện giữa các đồng nghiệp, tận dụng sức mạnh của đồng nghiệp và tranh thủ được các ý kiến của phụ huynh để hoàn thành nhiệm vụ của bản thân.
2. Đề xuất khuyến nghị
-Tất cả học sinh khối lớp 9 tính đến thời điểm này đều có thể đọc sáng kiến trên.
-Giáo viên các trường khác muốn dùng sáng kiến thì cần phải là giáo viên thường hay giảng dạy toán 9, hoặc giáo viên quan tâm nhiều đến đối tượng học sinh lớp 9.
-Cần lồng ghép và tích hợp vào các chuyên đề ngoại khóa dành riêng cho môn toán, tạo sân chơi trí tuệ cho các em. 
-Các tổ, khối chuyên môn chú trọng việc giao chất lượng đến từng khối lớp, tránh tình trạng các trường hiện nay tập trung vào khối lớp 9. 
-Phòng giáo dục ,sở giáo dục có thể nhân rộng sáng kiến bằng cách gửi lại các sáng kiến có chất lượng tốt theo môn hoc của từng cấp học vào hòm thư dùng chung cho giáo viên toán thcs của toàn huyện
 Trong quá trình làm sáng kiến không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự đóng góp của quý đồng nghiệp! Xin chân thành cảm ơn.