Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh Lớp 11 thông qua một số dạng bài tập cơ bản

là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết B = và . Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Lời giải:
Áp dụng tính chất 1.1, ta có: SH (ABC), với H là hình chiếu vuông góc của S lên BC.
Lại có: SH = SB.Sin30o = 
 	 dt∆ABC = 
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 0. Đường chéo AC(SBD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải:
AC(SBD) =>SBD) (ABCD).
Áp dụng tính chất 1.1, ta có chân đường cao hình chóp nằm trên BD.
Từ giả thiết, ta có: ∆SBD tại S => với H là hình chiếu của S lên BD.
Dễ dàng tính được dtABCD 
=> VS.ABCD 
Nhận xét: Nếu học sinh không nhận dạng đúng và không nắm được tính chất 1.1 thì không xác định được chân đường cao của hình chóp, khi đó sẽ rất khó để giải 2 bài tập trên.
Dạng 1.2: Biết hai mặt của hình chóp nằm trên hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (Biết đường cao của hình chóp).
Đối với dạng toán này, đề bài thường gắn giả thiết góc giữa cạnh bên và mặt đáy hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy hoặc việc tính độ dài đường cao, diện tích đáy khá phức tạp. Học sinh cần nắm vững cách xác định góc và một số kĩ năng tính diện tích tam giác, tứ giác.
Ví dụ 3: (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a; Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Biết (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.	 
Lời giải:
(SBI) (SCI) = SI
Theo tính chất 1.2, ta có SI (ABCD) => SI là đường cao của khối chóp.
Điểm khó của bài toán là tích SI. Cần khai thác giả thiết góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt phẳng (ABCD).
Vì I (ABCD), S (SBC) và SI BC nên từ I hạ IH BC tại H => 
=> 
Lưu ý: Khi xác định góc của một mặt (P) của hình chóp với mặt phẳng (Q) chứa đáy của hình chóp, ta chọn S (P) và chân đường cao H (Q). Khi đó, SH ∆ = (P) (Q). Từ đó dễ dàng xác định góc giữa hai mặt phẳng .
Như vậy, chìa khóa bài toán trên là xác định chân đường cao của hình chóp. Nếu học sinh nắm được tính chất 1.2 thì bài toán hoàn toàn được giải quyết.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AB//CD, AB = 2CD = 4a, , biết mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SAB) là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời giải: 
(SAC) (SBD) = SO.
Từ giả thiết và tính chất 1.2 => SO (ABCD) nên SO là đường cao của hình chóp.
Tính diện tích hình thang và SO:
Gọi H là hình chiếu của C lên AB, M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta có: => CH = 3a => OM = 2a, ON = a => ∆OAB vuông cân tại O => OA = OB do đó SO = OB .
Suy ra VS.ABCD .
Nhận xét: Để giải bài toán trên ngoài việc xác định chân đường cao của hình chóp, cần rèn cho học sinh một số tính chất của hình thang cân.
Dạng 1.3. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng nhau.
Ví dụ 4: (Đề thi HSG tỉnh Nghệ An - 2012)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh 2a, SA = SB = SC = 2a. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD, chứng minh 
Lời giải: (Theo hướng dẫn chấm)
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Dễ thấy ∆SOC = ∆BOA => SO = BO => ∆BSD vuông tại S. 
Do đó:
 mà 
suy ra . 
Vì AO(SBD) nên VS.ABCD = 2VS.ABD .
Mà: . Vậy V2a3.
Nhận xét: Lời giải trên không tự nhiên, vì việc C/m ∆BSD vuông tại S và chứng minh AO(SBD) là không đơn giản đối với học sinh khi dự thi.	
Cách giải bài toán trên bằng việc áp dụng tính chất 
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC => I BD.
Do SA = SB = SC, áp dụng tính chất 2.3.3) ta có I là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) => SI là đường cao của hình chóp SABC.
Đặt; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC.
Theo định lí Sin, ta có 
 => đpcm.
Dạng 1.4. Hình chóp có các mặt bên nằm trên mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy những góc bằng nhau.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp.
(Bài tập 7 - Ôn tập chương 1).
Nhận xét: Đây là bài toán gây nhiều khó khăn cho học sinh nếu không nắm được tính chất 1.4.
Lời giải:
Áp dụng tính chất 1.4, ta có I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) => SI là đường cao của hình chóp.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB .
Để tính SI, ta tính IH.
Ta có: Theo công thức Hêrông , p = 9a.
Suy ra SI = IH.tan60o = 
Vậy 
2. Dạng toán thường giải theo phương pháp gián tiếp
Cho khối chóp (H) dễ dàng tìm được thể tích của (H’) là khối chóp nội tiếp của khối chóp (H). Tính V(H’).
Một số tính chất
2.1. Nếu khối đa diện (H) chia thành hai khối (H1) và (H2) thì 
2.2. Cho khối chóp SABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khác S. Khi đó 
2.3. Gọi S1 là diện tích đa giác đáy của (H’); S2 là diện tích đa giác đáy của (H); h1 , h2 lần lượt là độ dài đường cao của hai khối chóp (H’) và (H).
Khi đó, 
2.4. Nếu khối chóp (H) và (H’) có đa giác đáy cùng nằm trên một mặt phẳng thì đường cao của (H) và (H’) hoặc song song hoặc trùng nhau.
Một số ví dụ
Ví dụ 1: (Trích đề thi ĐH khối A - 2007).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a.
Lời giải: (Trích đáp án của bộ giáo dục và đào tạo).
Gọi H là trung điểm của AD, , 
 và , từ M hạ MH1 HB tại H1 thì MH1 = , 
Cách giải gián tiếp:
Khối chóp SDCB và MPCN có đáy ∆SCD và ∆PCN cùng nằm trên một mặt phẳng, M là trung điểm của SB 
=> d(S;(ABCD)) =2d(M; (ABCD)).
Áp dụng tính chất 2.3), ta có: 
(Lưu ý: Thể tích VSDCB dễ dàng tính được).
Ví dụ 2: (Trích đề thi ĐH khối B - 2006)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, , SA = a và SA (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Lời giải: (Trích đáp án của bộ giáo dục và đào tạo).
Trước hết c/m AI BI.
Gọi O là giao điểm của AC và BD NO // SA và 
Do AIB tại I nên suy ra 
Nhận xét: Lời giải trên không tự nhiên khi c/m AIB tại I. Trên thực tế, việc chứng minh AIB tại I cũng không dễ.
Cách giải gián tiếp: 
Ta có SABM và NABI là hai khối chóp có hai đa giác đáy là AMB và ABI cùng nằm trên mặt phẳng (P) và N là trung điểm của SC nên h1 = SA = 2h2. Trong đó h1 là độ dài đường cao của SABM, h2 là độ dài đường cao của NABI.
Do 
Ví dụ 3: (Trích đề ĐH khối A - 2011).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính VSBCNM.	
Nhận xét: Đây là dạng toán (H) và (H’) có đáy cùng nằm trên một mặt phẳng và chung đường cao nên 
Lời giải: 
Từ giả thiết => 
Dễ dàng c/m 
Ví dụ 4: (Trích đề thi ĐH khối B - 2008)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a, AD = 2a, SA (ABCD) và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Tính VSBCNM. 
Lời giải:
Áp dụng tính chất đã nêu, ta có:
, 
Suy ra VSBCNM = VSBCN + VSCNM 
Một số bài tập tự luyện
1. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a Tính thể tích khối chóp SABCD.
2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AD = 4a, các cạnh bên bằng nhau và bằng . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) khi thể tích khối chóp SABCD là lớn nhất.
	(Báo toán học tuổi trẻ).
3. Cho hình chóp SABCD có mặt phẳng (SBC) và (SDC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thoi có cạnh , , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45o. Tính thể tích khối chóp SABCD.	
(Thi thử đại học Vinh).
4.Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy. Tam giác SAB vuông tại S, góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD.
5. Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông cạnh , tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (SBC) một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABCD.
6. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân, , BC = 6a, các mặt bên tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp SABC.
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, Gọi CM là đường cao của SAC. Chứng minh M là ftrung điểm SA và tính VSMBC.
	(Tríchđề thi ĐH khối D - 2010)
Lưu ý: Dạng toán (H) và (H’) chung đường cao và đáy cùng nằm trên một mặt phẳng.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và . Tính VS.CDNM.
	(Trích đề thi ĐH khối A - 2010)
Lưu ý: Dạng toán (H) và (H’) chung đường cao và đáy cùng nằm trên một mặt phẳng.
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a, , , mặt phẳng (SAB) (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính VSNDC.
IV. Kỹ năng chuyển đổi giải bài toán hình học bằng phương pháp véc tơ
4.1. Cơ sở lí thuyết
Quy trình giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ.
- Bước 1. Lựa chọn “hệ vectơ gốc”.
- Bước 2. “Phiên dịch” các giả thiết và kết luận của bài toán ra ngôn ngữ “vectơ”
- Bước 3. Thực hiện các yêu cầu bài toán thông qua việc tiến hành các phép biến đổi các hệ thức vectơ theo hệ vectơ gốc.
- Bước 4. Chuyển các kết luận vectơ sang tính chất hình học tương ứng.
 	Giải bài toán bằng phương pháp véctơ theo 4 bước đã nêu đã được đã có nhiều đề tài trình bày.
Trong nội dung của đề tài này chúng ta tiếp cận theo hướng dùng véc tơ để giải bài toán cực trị hình học.
Với cách tiếp cận bằng phương pháp hình học không gian thuần túy, chúng ta có thể sẽ phải mất rất nhiều thời gian để có thể giải quyết bài toán bằng cách kẻ thêm những hình phụ phức tạp cũng như việc tính toán, lựa chọn cách tiếp cận bài toán bằng cách đại số hóa nhờ việc vận dụng linh hoạt phương pháp vectơ trong không gian. 
 	“Đại số hóa bài toán tìm cực trị hình học bằng phương pháp véc tơ”
4.2. Bài toán về tỉ lệ thức
Đối với các dạng bài tập toán liên quan đến tỉ lệ thức, để đại số hóa bằng phương pháp vectơ ta thường sử dụng các kiến thức liên quan sau:
- Ba điểm phân biệt thẳng hàng 
- Bốn điểm đồng phẳng với mọi điểm 
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và là trung điểm của . Một mặt phẳng chứa và lần lượt cắt các cạnh tại các điểm khác . 
Chứng minh rằng 
 (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bình Định 2017)
Lời giải.
Ta có Do là hình bình hành nên: . 
Suy ra 
Lại có đồng phẳng nên: 	 . 
Kết hợp với . 
Đặt ta có bài toán: Cho Chứng minh rằng . 
Thật vậy: 
	(1)
Lại có 
nên 	(2)
Kết hợp và suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Cho tứ diện có , mặt phẳng đi qua trọng tâm của tứ diện, cắt cạnh lần lượt tại (khác ). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . 
(Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Quảng Bình 2012)
Lời giải.
Do đồng phẳng nên 
với 
Lại do nên ta có 
 . 
Kết hợp với suy ra 
Từ , kết hợp với ta có . 
Áp dụng BĐT ta có . 
Dấu  xảy ra khi đó mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng 
Ví dụ 3: Cho hình lập phương . Một mặt phẳng cắt các tia lần lượt tại . Gọi là hình chiếu của lên . Chứng minh .
 	 (Trích đề thi HSG Tỉnh 12 – Hà Nội 2019)
Lời giải.
Đặt khi đó 	 và .
Ta có ; 
Do đồng phẳng nên: 
.
Gọi là hình chiếu của lên là hình chiếu của lên Khi đó mà . 
Ta cũng có: 
 và 
Khi đó ta có: 
 (luôn đúng) đpcm.
Bình luận. Nếu áp dụng bất đẳng thức ta cũng có:
4.3. Bài toán về độ dài.
Đối với các bài toán về độ dài, để đại số hóa bằng phương pháp vectơ ta sử dụng tính chất 
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại Biết lần lượt là các điểm di động trên và sao cho và Xác định vị trí của để độ dài đoạn ngắn nhất. 
Lời giải.
Đặt Khi đó . 
Giả sử và Ta có:
; 	
Suy ra 
Ta có , suy ra suy ra lần lượt là trung điểm của và.
Ví dụ 2: Cho hình lập phương cạnh bằng trên đường thẳng lấy điểm trên đường thẳng lấy điểm sao cho đường thẳng qua cắt tại điểm Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn 
Lời giải.
Ta có 
Giả sử khi đó : 
Từ 
Đường thẳng đi qua điểm , 	. 
Từ 
hay và 
Ví dụ 3: Cho hình lập phương cạnh Các điểm lần lượt là trung điểm của Điểm thuộc đoạn thuộc đoạn Đường thẳng tạo với mặt phẳng một góc Chứng minh 
Lời giải.
Đặt 
Khi đó 
Do 
 . 
Suy ra 
Lại có . Khi đó 
Thay vào ta được .
Dấu xảy ra và 
Ví dụ 4: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh Đặt Tìm theo để tích đạt giá trị lớn nhất. 
(Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2018)
Lời giải.
Đặt . 
Khi đó:
, 
với 
Ta có: 
Do đó 
Dấu xảy ra 
Khi đó: 
4.4. Bài toán về góc
Đối với các bài toán về góc ta sử dụng các tính chất sau để đại số hóa bài toán hình học không gian:
- Gọi là góc giữa hai đường thẳng và ta có 
- Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta có , trong đó vectơ có giá vuông góc với mp
- Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và ta có trong đó các vectơ có giá vuông góc với các mặt phẳng và .
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh Đặt Tìm theo để tích đạt giá trị lớn nhất. 
 (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2018)
Lời giải.
Đặt 
Khi đó 
và . Ta có:
+) 
+) Giả sử 
mà 
 .
Chọn khi đó . Do đó 
và 
nên	. Dấu xảy ra 
Vậy góc tạo bới đường thẳng và mplớn nhất khi và chỉ khi 
Ví dụ 2: Cho hình thoi có Gọi là trung điểm của Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm thay đổi khác . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .Tính theo độ dài của để góc giữa và có số đo lớn nhất. 
 (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2016)
Lời giải.
Đặt khi đó 
và 
Giả sử mà 
Chọn và suy ra . 
Lại có 
Khi đó . 
Đồng thời 
Khi đó . 
Dấu xảy ra 
Ví dụ 3: Cho hình chóp có Gọi là trung điểm của là điểm thay đổi trên đường thằng Gọi là góc tạo bởi và Xác định vị trí của để đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải.
Đặt . Ta có: 
Giả sử mà 
suy ra: 	
Chọn suy ra . Giả sử ; 
Khi đó ; ; . 
Khi đó Do nhỏ nhất lớn nhất đạt được hay là trung điểm 
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình thoi cạnh góc  ; mặt bên là tam giác cân tại góc và là đường cao của hình chóp với là trung điểm Tìm giá trị của sao cho góc và lớn nhất ?
Lời giải.
Đặt , ta có , 
Giả sử mà . 
Chọn thì . 
Lại có Do đó ; 
; 
Khi đó . 
Dấu xảy ra 
Ví dụ 5: Cho hình vuông tâm , cạnh Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại lấy điểm thay đổi khác . Gọi là trung điểm của và đối xứng với qua Gọi lần lượt là trung điểm của và Tính độ dài của theo sao cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo lớn nhất.
Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bà Rịa Vũng Tàu 2017
Lời giải.
Đặt Khi đó và 
Ta có ; 
Giả sử mà . 
Chọn suy ra 
Đồng thời ta cũng có Do đó 
Dấu xảy ra hay 
Ví dụ 6: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng và Gọi lần lượt là góc giữa các mặt phẳng với các mặt phẳng và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
(Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Bà Rịa Vũng Tàu 2012)
Lời giải.
Đặt . Khi đó và 
Ta có: 
Giả sử mà 	 .
Chọn suy ra 
Khi đó kết hợp với ta có:
+) 
+) 
+) 
Từ .
Vậy đạt được 
4.5. Bài toán về diện tích
Để đại số hóa các cực trị hình học không gian liên quan đến diện tích ta sử dụng tính chất 
Ví dụ 1: Cho tam giác đều cạnh bằng Vẽ hai tia cùng chiều và vuông góc với mặt phẳng Trên lần lượt lấy các điểm sao cho Xác định vị trí của các điểm sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải.
Đặt với và Khi đó:
+) ; 
+) 
Suy ra (Do ). 
Ví dụ 2: Cho tam giác đều cạnh bằng Vẽ ba tia cùng chiều và vuông góc với mặt phẳng Trên lần lượt lấy các điểm sao cho Xác định vị trí của điểm trên sao cho tam giác có diện tích nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải.
Đặt Gọi là hình chiếu vuông góc của lên . Ta có: và , 
Đặt ,
ta có 
và Ta có:
+)	
+)	
Khi đó 
 đạt được 
Ví dụ 3: Cho tam giác đều cạnh có độ dài bằng nằm trên mặt phẳng . Gọi là đường thẳng đi qua và vuông góc với là điểm di động trên không trùng với là hình chiếu vuông góc của lên Xác định vị trí trên để tam giác có diện tích lớn nhất.
	 (Trích đề thi HSG Tỉnh 11 – Nghệ An 2014)
Lời giải.
Giả sử Đặt 
Ta có 
Ta có 
Lại có: ; 
Từ 
(Để ý là cân tại nên ) 
Từ áp dụng bất đẳng thức ta được 
Dấu “=” xảy ra hay Vậy lớn nhất bằng khi và chỉ khi 
Ví dụ 4: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng và là tam giác vuông tại với Gọi là điểm di động trên cạnh là hình chiếu vuông góc của trên Đặt . Tính khoảng cách từ đến theo và Tìm các giá trị của để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải.
Ta có 
Đặt . Ta có , đồng thời 
Ta có với ; .
Suy ra 
Lại có 
Xét hàm số 
Phương trình có nghiệm 
Vậy và 
Vậy và 
Ví dụ 5: Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng và là hình thang vuông đường cao Biết đường thẳng vuông góc với Gọi là một điểm trên đoạn đặt . Tính độ dài đường cao trong tam giác theo và Tìm để có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Lời giải.
Đặt 
Ta có và . 
Từ	
Đặt , ta có . 
Giả sử với . Ta có: 
+) 
+) và . Lại có 
 . 
Xét hàm số ta có 
Vậy và hay và 
4.6. Xây dựng bài toán cực trị hình học không gian từ quy trình giải toán bằng phương pháp vectơ
Để xây dựng bài toán cực trị hình học không gian từ quy trình giải toán bằng phương pháp vectơ ta cần lựa chọn những bài toán có sẵn “hệ vectơ gốc” làm cơ sở, chẳng hạn ta xét một số mô hình sau:
Mô hình 1: Lựa chọn hệ vectơ gốc thỏa mãn
Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh 
Mô hình 2: Lựa chọn hệ vectơ gốc thỏa mãn 
Ví dụ 2: Cho tam giác đều cạnh Trên tia vuông góc với mặt phẳng lấy điểm khác 
Kết luận: Trong dạy học giải bài tập toán nói chung và dạy học giải bài tập toán cực trị trong hình học không gian nói riêng, việc xây dựng các bài toán riêng lẻ thành một hệ thống theo một trình tự logic có sự sắp đặt của phương pháp và quy trình giải toán sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học, đồng thời có thể phát triển tư duy học toán cũng như tạo ra niềm vui và sự hứng thú trong học toán.
PHẦN II. KẾT LUẬN
Qua thời gian nghiên cứu viết sáng kiến và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy chúng tôi rút ra một số kêt luận sau:
- Trong các nhiệm vụ của môn Toán ở trường THPT, cùng với truyền thụ tri thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên. Để rèn luyện kỹ năng giải Toán cho học sinh cần đưa ra một hệ thống các bài tập thích hợp, sắp xếp một cách hợp lí từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng phát triển tư duy và biết áp dụng Toán học vào thực tiễn. 
- Người giáo viên phải là người dẫn kỹ năng giải toán cho học sinh bằng cách định hướng cụ thể qua lời giải từng bài tập toán cho học sinh, qua đó góp phần tạo niềm tin và hứng thú học tập.
- Đề tài đã trích dẫn các khái niệm về kỹ năng và kỹ năng giải Toán.
- Đề tài đã hệ thống được một một số kỹ năng cần phải rèn luyện cho học sinh giải bài tập toán khi dạy học phần Hình học không gian chương trình hình học 11.
- Đề tài đã xây dựng được một dạng bài tập toán nhằm rèn luyện kỹ năng cho học sinh khi dạy học phần Hình học không gian chương trình hình học 11.
- Chúng tôi thiết nghĩ đề tài có thể áp dụng để giảng dạy phù hợp cho nhiều đối tượng học sinh từ học sinh trung bình đến các em khá giỏi. Có thể vận dụng cho cả việc dạy chính khóa và ngoại khóa trong các tiết luyện tập, đề tài cũng có thể sử dụng để dạy và làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi ĐH - CĐ, đó chính là tính ứng dụng thực tiễn của đề tài. 
Vinh, tháng 02 năm 2020.
 	Tác giả
 Mai Thị Khánh Xuân
MỤC LỤC
Trang
Rèn luyện kỹ năng giải bài tập Hình học không gian cho học sinh lớp 11
 thông qua một số dạng bài tập cơ bản