Sáng kiến kinh nghiệm Giải bài toán bằng cách lập phương trình trong Toán học

Phần I;
những vấn đề chung.
I: Lý do chọn đề tài.
Lập phương trình nghĩa là biểu diễn sự liên hệ giữa cácđại lượng đã cho (đã biết) và những đại lượng phải tìm (chưa biết) dưới dạng toán học.
Đôi khi sự liên hệ ấy được diễn đạt trong bài toán khá rõ ràng đến nỗi việc lập phương trình chỉ đơn thuần là việc chuyển từng lời của bài toán sang ngôn ngữ của các ký hiệu toán học. Tuy nhiên thông thường sự liên hệ giữa các đại lượng đã cho và các đại lượng phải tìm, không được chỉ ra một cách trưc tiếp. Sự liên hệ ấy phải được thiết lập lên từ cácđiều kiện của bài toán. Vì vậy không thể đưa ra hết được điều hướng dẫn để lập phương trình hay đưa ra một phương pháp cụ thể nào. Vấn đề này đòi hỏi học sinh sự áng tạo, linh hoạt trong làm bài.
Từ lý do đó dẫn đến một điều khá phổ biến trong quá trình dạy học là khi học "Giải bài toán bằng cách lập phương trình" hay "lập hệ phương trình" thì vấn đề "lập phương trình" là đa số học sinh gặp khó khăn. Đặc biệt là các bài toán có nội dung lý, hoá học.
Xuất phát từ thực tế như vậy trong đề tài này tôi mạnh dạn đề ra một phương pháp định hướng cho học sinh lập hệ phương trình dễ dàng và có hệ thống hơn.
II: Muc đích của đề tài:
Lập phương trình là một bước vấn đề khó khi : " Giải bài toán bằng cách lập phương trình". Đặc biệt là với những bài toán có nội dung lý, hoá học không những đòi hỏi học sinh phải ảnh, nắm vứng kiến thức về phương trình mà cần phải biết các công thức lý, hoá học đặc biệt là khả năng tư duy sáng tạo. Vì vậy học sinh rất bế tắc ở khâu này.
Phương pháp hướng dẫn học sinh lập phương trình khi "Giải bài toán bằng cách lập phương trình nhằm khai thông những bế tác đó, đồng thời với phương pháp này học sinh có thể vận dụn để tìm hưởng giải những bài toán phần cơ học trong vật lý.
III: giới hạ đề tài: 
Giải bài toán bằng cách lập phương trình có rất nhiều dạng.
Bài toán có nội dung vật lý.
Bài toán có nội dung hoá học.
Bài toán có nội dung hình học.
Bài toán có nội dung tìm hệ số của đa thức...
Song phạm vi đề tài này về cơ bản tôi chỉ xét tới tính ứng dụng trong những bài toán có nội dung vật lý và hoá học đặc biệt là dạng toán CĐ.
Phần 2 .
Nội dung cơ bản.
1) Cơ sở của vấn đề này là: 
Ta cho giá trị của các đại lượng chưa biết (Hoặc nhiều đại lượng chưa biết) một số (hoặc nhiều số được chọn một cách ngẫu nhiên và thử xem nghiệm mà ta chọn là đúng không. Nếu ta thực hiện được phép thử đó và phát hiện được điềudự đoán của chúng ta hoặc đúng, hoặc sai (Phần lớn lài sai) thì dưa vào đó ta có thể lập phương trình được một acchs nhanh chóng, cụ thể là ta viết lại những phép tính đã làm khi tiến hành thử chỉ cần thay số dự đoán bằng ký hiệu bằng ẩn số rồi dựa vào mối liên hệ giữa hai đại lượng bằng nhau lập nên phương trình.
2) Những kiến thức liên quan.
a) Đối với dạng toán chuyển động.
+ Quảng đường đi: S - V .t
+ Thời gian:	t = 
+ Phương trình của CĐ thẳng đều: x = x0 + V (t - to)
Với: xo là toạ độ của vật tại thời điểm ban đầu to so với vật được chọn làm gốc.
V là vận tốt của vật CĐ thẳng đều.
x là toạ độ của vật ở thời điểm t.
+ Đối với bài toán có thời gian về đích sớm hay muộn hơn dự định cần chú ý. 	t1 - t2 = t*.
Trong đó:
t1 là thời gian đi với vận tốc nhỏ.
t2 là thời gian đi với vận tốc lớn.
t* là thời gian về sớm hơn dự định hoặc muộn hơn dự định.
+ Bài toán CĐ trên sông.
- Vận tốc khi xuông dòng bằng vận tốc thực cộng với vận tốc dòng nước.
- Vật tốc đi ngược dòng bằng vận tốc thực trừ đi vận tốc dòng nước.
b) Bài toán liên quan đến khối lượng của vật.
m = D.v 	m là khối lượng.
	D là khối lượng riêng.
	m là thể tích,
c) Bài toán trao đổi nhiệt 
Q toả ra = Q thu vào
Trong đó:	Q = mc (t2 - t1)
	m là khối lượng.
	c nhiệt dung riêng.
	t2là nhiệt độ khi cân bằng nhiệt.
	t1 là nhiệt độ ban đầu.
d) Bài toán có nội dung hoá học.
+ Nồng độ dung dịch là tỷ số giữa chất tan và khối lượng dung dịch.
3) Các bước tiến hành khi lập phương trình.
 Ước lượng gía trị của đại lượng chưa biết.
‚ Cho giá trị của đại lượng chưa biết một số bất kỳ (chọn một cách ngẫu nhiên).
ƒ Thực hiện phép thử số vừa chọn với điều kiện bài toán.
„ Viết lại các phép tính vừa làm, khi thử đồng thời thay giá trị chọnban đầu bằng ký hiệu của ẩn.
… Từ mối liên hệ giữa hai đại lượng bằng nhau (theo dữ kiện đầu bài) để lập phương trình.
Chú ý: Ta có thể chọn đại lượng chưa biết trực tiếp nghĩa là những đại lượng phải tìm theo yêu cầu của đề hoạc cũng có thể chọn gián tiếp để từ đó suy ra đại lượng phải tìm.
4) Ví dụ minh hoạ.
Bài 4: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 150 km đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tóc của mỗi ô tô, biết rằng vận tốc nếu vận tốc ô tô A tăng thêm 15 km/ giờ sẽ bằng hai lần vận tốc ô tô B.
Cách lập phương trình:
Giả sử vận tốc ô tô A là 55 km/giờ.
Thì vận tốc ô tô B là: km/giờ.
Sau hai giờ xe A đi được: 55 x 2 = 110 km.
Sau hai giờ xe B đi được: x 2 = 70 km.
Vậy quãng đường AB là 110 + 70 = 180 (km)
Kết quả này không đúng với đề bài cho. Nhưng nếu ta thay 55km/giờ.
Là vận tốc của ô tô A bằng X (km) x > 0, thì theo quy trình thử trên ta có:
Vận tốc ô tô B là: (km/giờ)
Sau hai giờ ô tô A đi được quảng đường là: 2 x X (km)
Sau hai giờ ô tô B đi được quãng đường là: 2 x (km)
Vì tổng hai quãng đường này là: 150 km nên ta có:
2X + 2 = 150 
Đây chính là phường trình ta cần lập.
(Sách giáo khoa đại 9 TV 68)
Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/ giờ thì đến chậm mất hai giờ, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/giờ thì đến sớm mất một giờ. tính AB và thời gian dự định.
Cách lập phương trình:
GS quãng đường ADlà 300 km ta có: 
Thời gian xe có vận tốc 35 km/giờ đi hết AB là: giờ
Thời gian xe có vận tốc: 50km/giờ đi hết AB là giờ.
Vậy thời gian dự định bằng - 2 = + 1
Nếu thay chiều dài AB là: 300 km = x thì ta có:
Thời gian xe có vận tốc 35km/giờ đi hết AD là: giờ
Thời gian xe có vận tốc 50km/giờ đi hết AD là: giờ.
Theo bài ra ta có phương trình: - 2 = + 1.
Đây là phương trình cần lập:
Bài 28 cách hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp 29.
Bài 3: Bài toán liên quan đến khối lượng của vật.
Một thỏi hợp kim đồng và kẽm có thể tích 1dm3 nặng 8,14 kg, hỏi có bao nhiêu đồng chứa trong đó. Biết khối lượng riêng của đồng là 8,9 kg/dm3, của kẽm là 7,0 kg/ dm3.
* Cách lập phương trình: Ta thấy rằng thể tích của đồng hoặc kẽm không quá dm3.
+ Chọn ngẫu nhiên thể tích của đồng là: 0,3 dm3.
+ Thực hiện phép thử:
- Khối lượng đồng trong hợp kim là: 0,3 x 0,9 = 2,67 kg.
- Thể tích kẽm trong hợp kim: 1- 0,3 = 0,7 dm3.
- Khối lượng kẽm trong hợp kim: 	0,7 x 7 = 4,9kg.
- Khối lượng chung của đồng và kẽm. 	 4,9 + 2,67 = 7,57 kg.
Ta thấy kết quả không đúng với điều kiện bài toán đã cho ( khối lượng hợp kim là 8,14 kg) nhưng đã mở ra cho ta hướng lập phương trình: Ta thay 0,3 dm3 bằng x ta có:
- Khối lượng đồng trong hợp kim: 	8,9 . x (kg).
- Thể tích kẽm trong hợp kim : 	(1 - x) (dm3).
- Khối lượng kẽm trong hợp kim: 	7 . (1 - x) (kg).
- Khối lượng chung của đồng và kẽm bằng 8,14 nên:
8,9x + 7 (1- x) = 8,14.
Đây là phương trình cần lập.
Bài 4: 200g dung dịch chứa 50 g muối. Cần pha thêm bao g nước để được dung dịch chứa 10% muối.
* Cách lập phương trình.
+ Chọn lượng nước pha thêm vào dung dịch là 50g.
Gọi lượng nước pha thêm là x 
Điều kiện x > 0 (g)
+ Thực hiện phép thử:
. Khối lượng dung dịch sau khi pha: 
Theo bài ra ta có:
200 + 50 = 250g.
Khối lượng dung dịch sau khi pha là: 
200 + x (g)
. Nồng độ dung dịch sau khi pha.
Vì nồng độ dung dịch sau khi pha là 10% nên ta có phương trình.
 = = = 20 %.
Kết quả không đúng với điều kiện bài toán nhưng mở cho ta hướng lập phương trình
 = 
Đây là phương trình cần lập
Bài 5: 2 kg nước nóng pha vào 3 kg nước ở 100c được nước 400c. Tính nhiệt độ