Sáng kiến kinh nghiệm Đường tròn lượng giác giải toán dao động điều hòa cực nhanh hiệu quả

I. MỞ ĐẦU
Môn Vật lí là môn học có nhiều mối liên hệ với thực tế và ứng dụng của bộ môn toán học nhằm giải toán - khảo sát các bài toán Vật lí. Người học Vật lí có thể hiểu thấu được nhiều vấn đề mà với môn học khác có thể chỉ hiểu mơ hồ. Nhưng muốn hiểu sâu hơn về các bài toán Vật lí cần có sự trợ giúp của bộ môn toán học, bộ môn này giúp cho học sinh hiểu rõ bản chất của nhiều hiện tượng thực tế và nhiều bài toán Vật lí hơn thông qua giải toán. Hơn nữa với những kì thi phía trước đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ bài toán và giải nhanh được nó. Việc giải một bài toán Vật lí có rất nhiều cách giải cho ta đi đến đáp số, song việc giải toán thông thường cần nhiều thời gian vì lí do:
 - Cần tính toán và biện luận.
 - Cần các thao tác biến đổi toán học.
 - Có thể dẫn đến đáp số bài toán sai nếu phương pháp giải không đúng hoặc biến đổi dài dẫn đến nhầm ở phần nào đó.
 - Việc giải toán bằng các phương pháp đó nhiều giáo viên và học sinh cảm thấy mất nhiều thời gian nên gây ức chế cho môn học.
Hơn nữa học sinh : 
- Chưa hiểu rõ mối quan hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
- Kĩ năng làm các bài tập tìm thời gian ngắn nhất,quãng đường ngắn nhất – dài nhất, tốc độ trung bình và thời gian đèn sáng tắttrong dao động điều hoà kém.
- Không hứng thú với dạng toán này nói riêng và bộ môn học nói chung.
Do đó việc vận dụng toán học vào giải toán Vật lí là phương pháp cần thiết và hiệu quả.Trong đó đường tròn lượng giác là một chìa khoá quan trọng giúp giáo viên và học sinh giải cực nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan có liên quan đến dao động điều hoà. Đặc biệt trong các kì thi Đại học và Cao đẳng hiện nay có nhiều bài toán cần sử dụng phương pháp này để giải nhanh đến kết quả và cần độ chính xác cao. Thấy rõ được điều đó, tôi mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm của cá nhân khi sử dụng phương pháp này với hi vọng làm đề tài tham khảo cho học sinh và chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm của bản thân, góp phần nhỏ tạo hứng khởi cho người học.
Trong quá trình thực hiện đề tài bản thân đã sử dụng những phương pháp sau: 
Phương pháp điều tra mức độ hiểu của học sinh về dao động điều hoà,
 liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
Phương pháp quan sát thí nghiệm biểu diễn, tranh vẽ.
Phương pháp phân tích suy luận.
Phương pháp dạy học phát huy tính tích cực chủ động của học sinh.
II. MỤC TIÊU
II.1. Về kiến thức:	
- Hiểu rõ được mối quan hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.
- Giải được các bài toán tìm thời gian ngắn nhất,quãng đường ngắn nhất – dài nhất, tốc độ trung bình và thời gian đèn sáng tắt.
II.2. Về kĩ năng:
 Rèn luyện kĩ năng tư duy, quan sát và kĩ năng giải bài tập
III. NỘI DUNG
- Hệ thống lại kiến thức có liên quan đến bài toán về dao động điều hoà.
- Chuẩn bị kiến thức về chuyển động tròn đều và đường tròn lượng giác.
III.1. Cơ sở lí thuyết
+ Trong dao động điều hoà ta có: Một vật dao động điều hoà trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm chuyển động tròn đều lên đường kính là đoạn thẳng đó.
+ Tìm chu kì: .
+ Sử dụng đường tròn lượng giác với lưu ý: = = .t t = 
Dạng 1: Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1đến x2 
Giải bằng phương pháp lượng giác
Phương trình dao động của vật : x = Acos(),(trường hợp bài toán không cho thì việc tìm được phương trình cũng là khó với học sinh).
Gọi t1 ; t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 và x2 thì chúng là nghiệm của hệ phương trình Acos() = x1
 Acos() = x2
Suy ra
 cos() = = cos t1 = , ( kz )
 cos() = = cos t2 = , ( k’z )
	suy ra giá trị nhỏ nhất của t1 ( t1min) và t2 ( t2min) .
Vậy thời gian nhỏ nhất vật đi từ vị trí li độ x1 đến x2 là tmin = 
x1
x2
A
- A
Hình .1
x
0
M1
M2
Phương pháp đường tròn lượng giác
 Ta có thời gian nhỏ nhất vật đi từ vị 
trí li độ x1 đến x2 là :
 = .T 
với và ()
Trường hợp không thuộc dạng hình .1 cần lưu ý:
Đặc biệt x = 0 vật đi theo chiều dương toạ độ thì , vật đi ngược chiều dương toạ độ thì . 
Ngoài ra việc xác định góc còn tuỳ thuộc vào vị trí và chiều vật xuất phát ở vị trí đó để ta lấy giá trị thích hợp cho nó.
Ví dụ 1.1: Một vật dao động điều hoà theo trục 0x ( 0 vị trí cân bằng) với biên độ A = 10 cm. Quan sát thấy trong 10 s vật đi qua vị trí cân bằng 40 lần. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x1 = -5 cm đến vị trí x2 = 5 cm là
A. 1/6 s.	B. 1/12 s.	C. 1/3 s.	D. 5/12 s.
Trả lời: * Giải bằng phương pháp lượng giác
Chọn điều kiện ban đầu thích hợp sao cho phương trình dao động của vật có dạng : x = 10cos( trong đó x tính bằng cm, t tính bằng s)
Gọi t1 ; t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 = - 5 cm và x2 = 5 cm, chúng là nghiệm của hệ phương trình :
 10cos = -5 cos= = cos
 10cos = 5 cos= = cos
Suy ra
 t1 = , ( kz )
 t2 = , ( k’z )
 t1min = s và t2min = s.
Vậy thời gian ngắn nhất vật đi qua vị trí có li độ x1 = - 5 cm và x2 = 5 cm là :
tmin = = s. à ĐA: B
* Phương pháp đường tròn lượng giác
Dễ dàng thấy = rad và = rad 
Trong 1 chu kì vật qua vị trí cân bằng 2 lần. Chu kì dao động của vật T = s.
Vậy t = .T = s. à ĐA: B
Ví dụ 1.2: (ĐH – 2008) Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s2 và p2 = 10. Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là
	A. .	B. .	C. 	D. .
Hình .2 
x
A
-A
Dl 
giãn
O
nén
 Trả lời: Ở VTCB lò xo dãn một đoạn T = 
suy ra = 0,04m. Biên độ A = 0,08m.
Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi 
lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là thời gian vật
đi từ vị trí x1 = 0 ( theo chiều dương toạ độ) đến vị 
trí x2 = - 0,04m ( Hình .2).
 * Giải bằng phương pháp lượng giác
	Phương trình dao động : x = 8cos(5t -), ( trong đó x tính bằng cm, t tính bằng s). Gọi t1 ; t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 = 0 cm và x2 = - 4 cm, chúng là nghiệm của hệ phương trình :
cos(5t1 -) = 0 = cos 
cos(5t2 -) = = cos 
Suy ra
 t1 = 0 + hoặc t1 = ; ( k )
 t2 = + hoặc t2 = + ; ( k’ )
M1
A
- A
-
Hình .3
x
M2
0
 t1min = 0 s và t2min = s.
Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến khi lực 
đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là :
 tmin = = s. à ĐA: B
* Phương pháp đường tròn lượng giác
 Dễ dàng thấy = rad và = rad (Hình .3)
Vậy t = .T = à ĐA: B
Dạng 2: Quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến t2 0. 
Xác định: 
 (với v1 và v2 chỉ cần xác định dấu)
 2.1. Giải bằng phương pháp lượng giác
Phân tích: t = t2 – t1 = n + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < và n = ) 
Quãng đường vật đi được trong thời gian n là S1 = 2nA, trong thời gian Dt là S2 .
Quãng đường tổng cộng là : S = S1 + S2
* Trong đó tính s2 như sau: 
	Nếu v1.v2 > 0 thì S2 = 
	Nếu v1.v2 < 0 thì S2 = 
	Có thể sử dụng đồ thị (là khó với học sinh không nắm vững đồ thị hàm cos, sin)
2.2. Phương pháp đường tròn lượng giác
Phân tích: t = t2 – t1 = n + Dt (n ÎN; 0 ≤ Dt < và n = ) 
Quãng đường đi được trong thời gian n là S1 = nA, trong thời gian Dt là S2.
Quãng đường tổng cộng là : S = S1 + S2
* Trong đó tính s2 như sau: 
 - Nếu sau thời gian n vật ở trên đường tròn lượng giác tại một trong hai vị trí biên A thì : s2 = A - 
- Nếu sau thời gian n vật ở trên đường tròn lượng giác tại một trong hai vị trí mà chiếu xuống 0x có x = 0 (tại M hoặc N Hình .4) thì : s2 = 
A
0
M
N
- A
x
Hình 4
- Trường hợp khác có thể xác định trên đường tròn lượng giác.
* Tốc độ trung bình: 
Chú ý : Trong một chu kì vật đi được 
quãng đường bằng s = 4A. ––> vtb = 
Ví dụ 2.1: Một con lắc lò xo dao động điều hoà dọc theo trục 0x ( 0 vị trí cân bằng ) có phương trình : x = 4cost (trong đó x tính bằng cm, t tính bằng s). Quãng đường vật đi được từ thời điểm ban đầu t0 = 0 đến thời điểm 
t = 2,25 s bằng
	A. 12 cm.	B. 16 cm.	C. 8 cm.	D. 10 cm.
Trả lời: * Giải bằng phương pháp lượng giác
Tại các thời điểm (t0) x0 = 4 cm và ( t ) x = 0.
 v0 = 0 (vật đi theo chiều âm) v > 0
Chu kì : T = 3 s . Phân tích t – t0 = +0,75 (s)
Vậy quãng đường vật đi được là: S = S2 = = 8 + =12 cm 
à ĐA: A
* Phương pháp đường tròn lượng giác
Chu kì : T = 3 s Ta thấy t0 = 0 , x0 = 0 và t = 3 . Vậy quãng đường vật đi được s = 3.4 = 12 cm à ĐA: A
	Ví dụ 2.2: (ĐH – 2010) Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x1 = A đến vị trí x2 = , chất điểm có tốc độ trung bình là
	A. 	B. 	 C. 	 D. 
Trả lời: * Giải bằng phương pháp lượng giác
Giả sử phương trình dao động của chất điểm có dạng: x = Acost
Gọi t1, t2 lần lượt là các thời điểm vật đi qua vị trí có li độ x1 =A và x2 = 
Chúng là nghiệm của hệ phương trình:
cost1 = 1 t1 = 0 + kT ( k z )
cost2 = - t2 = + k’T ( k z )
suy ra t1min = 0 và t2min = . Ta thấy t2 – t1 = < 
Tại các thời điểm : (t1) x1 = A và (t2) x2 = -
 v1 < 0 v2 < 0
Vậy quãng đường vật đi được là: s = s2 = = A + =
Vậy có : vtb = := à ĐA: B
* Phương pháp đường tròn lượng giác
A
0
M
N
- A
x
Hình.5
Dễ dàng thấy = 0 rad và = rad (Hình .5)
 thời gian vật đi t = .T = 
Theo hình vẽ dế thấy quãng đường vật đi 
được là: s = A + =
Vậy có : vtb = := à ĐA: B
Dạng 3. Bài toán tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất vật đi được trong khoảng thời gian 0 < Dt < T/2.
 Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên.
 Sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển đường tròn đều.
 Góc quét Dj = wDt = . 
 	 Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M1 đến M2 đối xứng qua trục sin (hình 6.1)
 	Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M1đến M2 đối xứng qua trục cos (hình 6. 2)
A
-A
M
M
1
2
O
P
x
x
O
2
1
M
M
-A
A
P
2
1
P
P
Hình 6.1
Hình 6.2
 Lưu ý: + Trong trường hợp Dt > T/2 
tách ; 
trong đó 
Trong thời gian quãng đường luôn là 2nA
Trong thời gian Dt’ thì quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất tính như trên. 
 + Tốc độ trung bình lớn nhất và nhỏ nhất của trong khoảng thời gian Dt: 
 và với SMax; SMin tính như trên.
Ví dụ 3.1: Một vật dao động điều hoà với biên độ 10 cm. Quãng đường nhỏ nhất mà vật đi được trong 0,5 s là 10 cm. Tính tốc độ lớn nhất của vật.
A. 41,2cm/s.	B. 41,9cm/s.	C. 39,95cm/s.	D. 40,65cm/s.
Trả lời: Ta có : = 10 => 1 - cos = 
Mà = 0,5 suy ra = => vmax = A = 10.= 41,9cm/s.
è Đáp án là : B
Ví dụ 3.2: Một con lắc lò xo dao động điều hoà theo phương ngang với năng lượng dao động 1 J và lực đàn hồi cực đại là 10 N. Gọi Q là đầu cố định của lò xo. Khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp điểm Q chịu tác dụng của lực kéo bằng 5N là 0,1s. Tính quãng đường lớn nhất mà vật đi được trong 0,4s.
A. 40 cm.	B. 84 cm.	C. 64 cm.	 D. 60 cm.
M
N
0
10N
-10N
-5
5
Hình 7.
Trả lời: Lực đàn hồi là lực do lò xo tác dụng vào điểm Q.
 Fđh = kx = kAcos()
 5 N
Vậy lực tác dụng vào điểm Q cũng 
biến thiên điều hoà với cùng tần số
 với vật. Coi FMax như A’= 10N.
 Vậy khoảng thời gian độ lớn lực kéo tác 
dụng vào điểm treo đạt giá trị F = 5N là 
khoảng thời gian vật đi trên cung tròn M10N tức là bằng t = + =. Suy ra T = 0,6 s.
Cơ năng w = wtMax =KA2 = 1 J (1) với FMax = KA = 10N (2)
Lấy (1) chia (2) ta được A = 0,2m = 20cm
Phân tích thời gian t’ = 0,4 s = ;(Dt’’ = ).Quãng đường lớn nhất vật đi được trong khoảng thời gian này chính là SMax = 2A + 2A.sin 
 với Dj = wDt’’=t’’ = =rad. Vậy SMax = 2A + A = 60 cm.
è Đáp án : D.
 Dạng 4. Tính thời gian đèn huỳnh quang sáng trong một chu kỳ.
Tắt
Tắt
Hình 8.
 Khi đặt điện áp u = U0cos(wt + ju) vào hai đầu bóng đèn, biết đèn chỉ sáng lên khi ≥ U1.
Thời gian đèn sáng trong một chu kì:
 Với , (0 < Dj < p/2)
Ví dụ 4.1: Một đèn ống mắc vào điện áp xoay chiều có u = 110cos100t ( trong đó u tính bằng V, t tính bằng s). Biết đèn chỉ sáng nếu điện áp của đèn có giá trị không nhỏ hơn 110V. Hỏi trong một chu kì của dòng điện, thời gian đèn sáng là bao nhiêu?
	A.  s.	B. 0,10s.	C.  s.	D. 0,20s
Trả lời: Điều kiện để đèn sáng là: 110V
Trong mỗi chu kì, khoảng thời gian đèn sáng là:
∆t =  , với cos =  =  suy ra = rad 
=> ∆t =  s è Đáp án : A
Ví dụ 4.2: Mắc một đèn vào nguồn điện xoay chiều có điện áp tức thời là 
u = 220cos100t ( trong đó u tính bằng V, t tính bằng s ).  Đèn chỉ phát sáng khi điện áp đặt vào đèn có độ lớn không nhỏ hơn 110 V. Xác định tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kỳ của dòng điện.
0
U0
-U0
M1
M2
	A. 2.	B. .	C. 4.	D. .
Trả lời: Điều kiện để đèn sáng là: 110 
Trong mỗi chu kì, khoảng thời gian đèn sáng là:
∆t1 =  , với cos =  =  suy ra = rad 
=> ∆t1 =  s 
và thời gian đèn tắt trong một chu kì là: t2 = T - ∆t1 = s
Vậy, tỉ số thời gian đèn sáng và tắt trong một chu kì là: = è Đáp án : B
III.2. Một số bài tập tham khảo
Câu 1: (Đề thi ĐH,CĐ năm 2007) Một tụ điện có điện dung 10F được tích điện đến một hiệu điện thế xác định. Sau đó nối hai bản tụ điện vào hai đầu một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 1 H. Bỏ qua điện trở của các dây nối, lấy = 10. Sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu ( kể từ lúc nối ) điện tích trên tụ điện có giá trị bằng một nửa giá trị ban đầu?
	A. s.	B. s.	C. s.	D. s.
Câu 2: (Đề thi ĐH,CĐ năm 2007) Dòng điện chạy qua một đoạn mạch có biểu thức i = I0sin100t. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 0,01s cường độ dòng điện tức thời có giá trị bằng 0,5I0 vào những thời điểm
A. s và s. B. s và s. C. s và s. D. s và s.
Câu 3: (Đề thi CĐ năm 2008) Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox, quanh vị trí cân bằng O với biên độ A và chu kỳ T. Trong khoảng thời gian 
, quãng đường lớn nhất mà vật có thể đi được là
A. A. 	 B. .	 C. A .	 	D. A .
Câu 4: (Đề thi CĐ năm 2007) Một vật nhỏ dao động điều hòa có biên độ A, chu kì dao động T , ở thời điểm ban đầu t0 = 0 vật đang ở vị trí biên. Quãng đường mà vật đi được từ thời điểm ban đầu đến thời điểm t = là
A. . 	B. 2A .	 C. A . 	D. .
Câu 5: (Đề thi ĐH 2010)Tại thời điểm t, điện áp u = 200cos(100t - ) (trong đó u tính bằng V, t tính bằng s) có giá trị 100 (V) và đang giảm. Sau thời điểm đó s , điện áp này có giá trị là
A. −100V. 	B. 100 V. 	C. −100 V.	 D. 200 V.
Câu 6: (Đề thi ĐH 2011) Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x =4cost (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm
A. 3015 s. 	B. 6030 s. 	C. 3016 s. 	D. 6031 s.
Câu 7: (Đề thi ĐH 2011) Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là một điểm bụng gần A nhất, C là trung điểm của AB, với AB = 10 cm. Biết khoảng thời gian ngắn nhất giữa hai lần mà li độ dao động của phân tử tại B bằng biên độ dao động của phân tử tại C là 0,2 s. Tốc độ truyền sóng trên dây là
A. 2 m/s. 	B. 0,5 m/s. 	C. 1 m/s. 	D. 0,25 m/s.
Câu 8: (Đề thi ĐH 2011) Trong mạch dao động LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do. Thời gian ngắn nhất để năng lượng điện trường giảm từ giá trị cực đại xuống còn một nửa giá trị cực đại là 1,5.10-4s. Thời gian ngắn nhất để điện tích trên tụ giảm từ giá trị cực đại xuống còn một nửa giá trị đó là
A. 2.10-4s. 	B. 6.10-4s. 	C. 12.10-4 s. 	D. 3.10-4s.
III.3. Kết quả sau khi thực hiện 
Lớp (Tổng số học sinh tham gia)
Giỏi(%)
Khá(%)
Trung bình(%)
yếu(%)
Ghi chú
12A1 ( 25 HS)
80
16
4
0
12A2 ( 30HS)
66,7
26,7
6,6
0
12A4 (12HS)
33,6
16,7
41,7
8
IV.KẾT LUẬN
 Hiện nay các kì thi Đại học và Cao đẳng rất cần những cách giải nhanh - hiệu quả các câu hỏi trắc nghiệm của đề thi liên quan đến dao động đièu hoà. Đây là bài toán khó và mới lạ với nhiều học sinh, nhất là những học sinh ở những vùng cao, vùng xaNếu vận dụng các phương pháp cũ thì mất nhiều thời gian vì bài toán có liên quan đến dao động điều hoà là khó tưởng tượng đối với nhiều Học sinh. Việc dùng đường tròn lượng giác sẽ rất hiệu quả do đây là phương pháp trực quan giúp các em có thể quan sát và hiểu rõ hơn, giải nhanh hơn các bài đó. Qua đó học sinh xác định nhanh được phương trình dao động của chất điểm dao động điều hoà.
Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Hi vọng được sự góp ý trao đổi về nội dung và cách thực hiện từ đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
	Xin chân thành cảm ơn!
Tài liệu tham khảo
SGK vật lí 12 NC Tác giả : Nguyễn Thế Khôi (Tổng chủ biên) – NXB Giáo Dục.
SGK vật lí 12 CB Tác giả : Lương Duyên Bình (Tổng chủ biên) – NXB Giáo Dục.
Bài tập vật lí 12 NC Tác giả : Nguyễn Thế Khôi – Vũ Thanh Khiết ( Tổng chủ biên) – NXB Giáo Dục.
Chuyên đề bồi dưỡng Vạt lí 12 Tác giả : Th.s: Phan Hoàng Văn – Trương Thọ Lương NXB Đà Nẵng .
Nguồn tài liệu trên mạng internet trang violet, thư viện vật lý, vật lí tuổi trẻ 
Mục lục
Mở đầu Trang 1
Mục tiêu - Nội dung.....Trang 2
Kết luận..Trang 15
Tài liệu tham khảo..Trang 16
Mục lục...Trang 17