Sáng kiến kinh nghiệm Dấu hiệu chia hết - Vận dụng dấu hiệu chia hết trong giảng dạy toán 4-5

ếu, tôi tranh thủ giới thiệu thêm một số dấu hiệu chia hết đơn giản để các em mở rộng thêm kiến thức.
	Đưa ra nhiều dạng bài tập giúp học sinh vận dụng giải các bài tập có liên quan.
	Năm học 2009-2010 này, tôi được phân công dạy lớp 5, khi dạy chương một: Ôn tập và bổ sung phân số tôi tiếp tục áp dụng những biện pháp trên, tôi thấy hiệu quả tiết dạy đạt khá cao, các bài rút gọn phân số, tìm phân số bằng nhau các em thực rất dễ dàng, đơn giản.
2) Nội dung và biện pháp tiến hành:
	Qua việc học tập, nghiên cứu, tìm tòi, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tôi tìm ra một số dấu hiệu chia hết khác dựa vào các kiến thức sau:
a) Vận dụng những kiến thức tôi đã học tập:
 (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
 a = an an-1 a1a0 m u(u.a0 + a1) + a2 m
Kí hiệu : đồng dư
Giải thích: Số tự nhiên m với 10 có ước chung lớn nhất là 1. Tồn tại một số u (u có thể là một số âm), sao cho u . 10 1 modm . Ta giải phương trình đồng dư để tìm ra giá trị của u. 
Cách giải:
u . 10 1 modm ( u . 10 được coi như là số bị chia; m là số chia ; 1 là số dư)
(u.10)-10 modm(Lấy số bị chia trừ số dư thì sẽ được số chia hết cho số chia (m) .
	Tìm được giá trị của u ta thế vào công thức dưới dây thì đã tìm ra dấu hiệu chia hết cho m.
 a = an an-1 a1a0 m u(u.a0 + a1) + a2 m
	Chú ý: Giá trị của u < 10 được xem như Dấu hiệu chia hết sử dụng được.
b) Trường hợp (m , 10 ) 1 thì ta lấy TÍCH các dấu hiệu để tạo ra dấu hiệu mới. Với điều kiện các dấu hiệu đó phải có ước chung lớn nhất là 1.
	VD: Dấu hiệu chia hết cho 6 là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 ( Vì: 2 x 3 = 6 ) mà ( 2 , 3 ) =1 (ƯCLN).
c) Một số dấu hiệu đơn giản, tôi dựa vào các ví dụ trên con số mà tôi tìm ra.
CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT TÌM ĐƯỢC:
FDấu hiệu chia hết cho 4 : 
	Tôi thử đưa ra nhiều ví dụ và rút ra kết luận:
	a 4 a1a0 4	(1)
Hoặc : ( 2)
a 4 2a1 + a0 4
Quy tắc : 
Hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
Hai lần chữ số hàng chục cộng với chữ số hàng đơn vị được chữ số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
VD: 48, 180, 1216, 56120 
FDấu hiệu chia hết cho 6 : 
	Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, dấu hiểu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 6 ( vì 2 x 3 = 6 mà ( 2 , 3 ) = 1 ) : 
 a0 chẳn
a 6 
 3
Quy tắc : 
Số chẵn và có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 6. 
VD: 48, 54, 324, 1524, 
FDấu hiệu chia hết cho 7 : 
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(7 , 10) = 1 5 : 5 . 10 1 mod7
Vì 50 – 1 = 49 7
a 7 5(5(5a0 + a1) + a2)+ a3 7
Giải thích :
	- Đối số có 2 chữ số: Ta lấy a0 x 5 + a1 chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
	- Đối số có 3 chữ số: Ta lấy a0 x 5 + a1 , rồi lấy kết quả vừa có nhân với 5 rồi cộng với a2 được số chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
	- Tương tự áp dụng như vậy đối với các số có 4 chữ số,
VD: 42 (5x2+4 = 14 7 vậy 42 chia hết cho 7 ) 
FDấu hiệu chia hết cho 8 : 
a 8 a2a1a0 8
 Quy tắc 
	Ba chữ số tận cùng lặp thành một chữ số chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8.
VD: 2160, 3168, 4176, 5560,
Hoặc :
a 8 2(2a2 +a1) + a0 8
 VD: 3168 ( 2x(2x1+6)+8 = 24 8 vậy : 3168 8 ) 
 FDấu hiệu chia hết cho 10 :
a 10 a0 = 0
Qui tắc 
	Số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho 10.
	VD: 110, 230, 3690,
FDấu hiệu chia hết cho 11 :
a 11 (+a4 +a2 + a0) – (+ a3 + a1 ) 11
 các số ở vị trí lẻ các số ở vị trí chẳn
Quy tắc 
	Hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các số ở vị trí chẵn (từ phải sang trái) chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11.
	VD: 45848 ( (4+8+8) – (5+4) = 11 11 vậy 45848 11 )
FDấu hiệu chia hết cho 12 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 4, dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 12 ( vì 3 x 4 = 12 mà ( 4 , 3 ) = 1 ) : 
 a 4 2a1 + a0 4
a 12 
 a 3 3
Quy tắc 
Hai chữ số tận cùng chia hết cho 4.
Tổng các chữ số chia hết cho 3.
VD: 588, 11232, 456228, 
FDấu hiệu chia hết cho 13 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(13 , 10) = 1 4 : 4 . 10 1 mod13
Vì 40 – 1 = 39 13
a 13 4(4(4a0 + a1) + a2)+ a3 13
VD: 585 ( 4x(4x5+8)+5=117 : 13 = 9 vậy : 585 13
FDấu hiệu chia hết cho 14 :
	Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, dấu hiệu chia hết cho 7, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 14 ( vì 2 x 7 = 14 mà ( 2 , 7 ) = 1 ) : 
 a 2 a0 chẳn
a 14 
 a 7 5(5(5a0 +a1)+a2)+a37
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 7 thì chia hết cho 14.
VD: 224 
a0 chẵn
5x(5x4+2)+2 = 112 : 7 = 16 vậy : 224 14
FDấu hiệu chia hết cho 15 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 5, dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 15 ( vì 5 x 3 = 15 mà ( 5 , 3 ) = 1 ) : 
 a 5 a0 = 0 hoặc 5
a 15 
 a 3 3
Quy tắc 
 Các số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 15.
VD1 : 1845 15 vì:
a0 = 5
1+8+4+5= 18 3
VD2 : 1860 15 vì:
a0 = 0
1+8+6+0= 15 3
FDấu hiệu chia hết cho 16 : ( chưa tìm được )
FDấu hiệu chia hết cho 17 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(17 , 10) = 1 -5 : -5 . 10 1 mod17
Vì - 50 - 1 = - 51 17
a 17 -5(-5(-5a0 + a1) + a2)+ a3 17
VD: 153 ( -5x(-5x3+5)+1=51 : 17 = 3 vậy : 153 17 )
FDấu hiệu chia hết cho 18 :
FDấu hiệu chia hết cho 19 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(19 , 10) = 1 2 : 2 . 10 1 mod19
Vì 20 - 1 = 19 19
a 19 2(2(2a0 + a1) + a2)+ a3 19
VD: 684 ( 2x(2x4+8)+6=38 : 19 = 2 vậy : 684 19 )
FDấu hiệu chia hết cho 20 :
 a0 = 0
a 20 
 a1 chẵn
Quy tắc 
Số có chữ số tận cùng là 0 và chữ số hàng chục là số chẵn thì chia hết cho 20.
VD: 220, 5400, 1480, 
FDấu hiệu chia hết cho 21 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 7, dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 21 ( vì 7 x 3 = 21 mà ( 7 , 3 ) = 1 ) : 
 a 7 5(5(5a0 +a1)+a2)+a37
a 21 
 a 3 3
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 7 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 21.
VD: 168 21 vì: 
5(5x8+6)+1 = 231:7=33
1+6+8 = 15 3 
Cách khác : Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(21 , 10) = 1 -2 : -2 . 10 1 mod21
Vì - 20 - 1 = -21 21
a 21 -2(-2(-2a0 + a1) + a2)+ a3 21
VD: 189 ( -2x(-2x9+8)+1=21 : 21 = 1 vậy : 189 21 )
FDấu hiệu chia hết cho 22 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, dấu hiệu chia hết cho 11, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 22 ( vì 11 x 2 = 22 mà ( 11 , 2 ) = 1 ) : 
 a 2 a0 chẳn
a 22 
 a 11 (+a4 +a2 + a0) – (+ a3 + a1 ) 11
 vị trí lẻ vị trí chẳn
Quy tắc 
 Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 11 thì chia hết cho 22.
VD: 198 22 vì:
a0 chẳn.
8+1-9 = 0 11 
FDấu hiệu chia hết cho 23 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(23 , 10) = 1 7 : 7 . 10 1 mod23
Vì 70 - 1 = 69 23
a 23 7(7(7a0 + a1) + a2)+ a3 23
VD: 345 ( 7x(7x5+4)+3=276 : 23 = 12 vậy : 345 23 )
FDấu hiệu chia hết cho 24 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 8, dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 24 ( vì 8 x 3 = 24 mà ( 8 , 3 ) = 1 ) : 
 a 8 2(2a2 +a1)+a0 8
 Hoặc : a2a1a0 8
a 24 
 a 3 3
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 7 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 21.
VD: 864 24 vì: 
2(2x8+6)+4 = 48 :24=2
8+6+4 = 15 3 
FDấu hiệu chia hết cho 25 :
a 25 a1a0 25	
Quy tắc 
	Hai chữ số tận cùng lặp thành một số chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25.	
	Vậy các số có hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75 thì chia hết cho 25.
	VD: 625, 750, 1975, 12300,
FDấu hiệu chia hết cho 26 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, dấu hiệu chia hết cho 13, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 26 ( vì 13 x 2 = 26 mà ( 13 , 2 ) = 1 ) : 
 a 2 a0 chẳn
a 26 
 a 13 4(4(4a0 + a1) + a2)+ a3 13
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 13 thì chia hết cho 26.
VD: 1170 26 vì:
a0 chẳn.
4(4(4x0+7)+1)+1 = 117 13 
FDấu hiệu chia hết cho 27 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(27 , 10) = 1 - 8 : - 8 . 10 1 mod27
Vì - 80 - 1 = - 81 27
a 27 -8(-8(-8a0 + a1) + a2)+ a3 27
VD: 324 ( -8x(-8x4+2)+3=243 : 27 = 9 vậy : 324 27 )
FDấu hiệu chia hết cho 28 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 7, dấu hiệu chia hết cho 4, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 28 ( vì 7 x 4 = 28 mà ( 7 , 4 ) = 1 ) 
 a 7 5(5(5a0 +a1)+a2)+a37
a 28 
 a 4 2a1 + a0 4
Quy tắc 
 Các số vừa chia hết cho 7 vừa chia hết cho 4 thì chia hết cho 28.
VD: 448 28 vì: 
5(5x8+4)+4 = 224:7=32
2x4+8 = 16 4 
FDấu hiệu chia hết cho 29 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(29 , 10) = 1 3 : 3 . 10 1 mod29
Vì 30 - 1 = 29 29
a 29 3(3(3a0 + a1) + a2)+ a3 29
VD: 435 ( 3x(3x5+3)+4=58 : 29 = 2 vậy : 435 29 )
FDấu hiệu chia hết cho 30 :
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 10, dấu hiệu chia hết cho 3, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 30 ( vì 10 x 3 = 30 mà ( 10 , 3 ) = 1 ) : 
 a 10 a0 = 0 
a 30 
 a 3 3
Quy tắc 
 Các số vừa chia hết cho 10 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 30.
VD : 180 30 vì:
a0 = 0
1+8+0= 9 3
FDấu hiệu chia hết cho 31 :
Ta có : (m , 10) = 1 u : u . 10 1 modm
(31 , 10) = 1 -3 : -3 . 10 1 mod31
Vì -30 - 1 = -31 31
a 31 -3(-3(-3a0 + a1) + a2)+ a3 31
VD: 527 ( -3x(-3x7+2)+5=62 : 31 = 2 vậy : 527 31 )
FDấu hiệu chia hết cho 32 : ( chưa tìm được )
FDấu hiệu chia hết cho 33 : 
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 3, dấu hiệu chia hết cho 11, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 33 ( vì 11 x 3 = 33 mà ( 11 , 3 ) = 1 ) 
 a 3 3
a 33 
 a 11 (+a4 +a2 + a0) – (+ a3 + a1 ) 11
 vị trí lẻ vị trí chẳn
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 11 thì chia hết cho 33.
VD: 396 33 vì:
3+9+6= 183 
3+6-9 = 0 11 
FDấu hiệu chia hết cho 34 : 
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 17, dấu hiệu chia hết cho 2, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 34 ( vì 17 x 2 = 34 mà ( 17 , 2 ) = 1 ) 
 a 17 -5(-5(-5a0 +a1)+a2)+a317
a 34 
 a 2 a0 chẳn 
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 17 vừa chia hết cho 2 thì chia hết cho 34.
VD: 408 34 vì: 
- a0 chẳn 
-5(-5x8+0)+4 = 204:17=12
FDấu hiệu chia hết cho 35 : 
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 7, dấu hiệu chia hết cho 5, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 35 ( vì 7 x 5 = 35 mà ( 7 , 5 ) = 1 ) 
 a 7 5(5(5a0 +a1)+a2)+a37
a 35 
 a 5 a0 = 0 hoặc 5
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 7 vừa chia hết cho 5 thì chia hết cho 35.
VD1: 560 35 vì: 
5(5x0+6)+5 = 35:7=5
a0 = 0 
VD2 : 595 35 vì:
- 5(5x5+9)+5 = 175: 7 = 25
	a0 = 5
 FDấu hiệu chia hết cho 36 : 
Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 4, dấu hiệu chia hết cho 9, ta tìm được dấu hiệu chia hết cho 36 ( vì 4 x 9 = 36 mà ( 4 , 9 ) = 1 ) 
 a 4 2a1 + a0 4
a 36 
 a 9 9
Quy tắc 
Các số vừa chia hết cho 4 vừa chia hết cho 9 thì chia hết cho 36.
VD : 432 36 vì:
2x3+2 = 8 4 
4+3+2= 9 3
" Tóm lại : Chúng ta có thể dùng kiến thức trên để tìm ra các dấu hiệu chia hết còn lại, ngoại trừ những số đặt biệt như : 16, 32 , 
	Sau đây là giá trị của u trong một số dấu hiệu:
	Ta có : Dấu hiệu chia hết cho 19 thì u = 2
	Dấu hiệu chia hết cho 29 thì u = 3
 	Dấu hiệu chia hết cho 39 thì u = 4
 	Dấu hiệu chia hết cho 49 thì u = 5
	Dấu hiệu chia hết cho 59 thì u = 6
	Dấu hiệu chia hết cho 69 thì u = 7
	Dấu hiệu chia hết cho 79 thì u = 8
	Dấu hiệu chia hết cho 89 thì u = 9
3. Kết quả đạt được :
	Qua quá trình áp dụng tôi thấy hiệu quả của việc giảng dạy và học tập dạy như sau:
	a) Về học sinh :
- Ngoài các dấu hiệu chia hết trong chương trình, các em còn biết thêm một số dấu hiệu chia hết khác. Các em biết kết hợp các dấu hiệu để tạo ra dấu hiệu mới. Điều này đã gây hứng thú trong học tập, kích thích sự tìm tòi, học hỏi nhằm phát triển khả năng tư duy sáng tạo của các em.
	- Các em vận dụng khá thành thạo các dấu hiệu chia hết khi rút gọn phân số, tìm phân số tối giản
	- Trong các trường hợp tử số và mẫu số là những số có nhiều chữ số, các em có thể dùng các dấu hiệu chia hết khác để rút gọn về phân số tối giản chứ không chỉ sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 .
	- Từ bốn dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9 các em có thể kết hợp thành các dấu hiệu :
. Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và 3 tạo thành dấu hiệu chia hết cho 6.
. Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 tạo thành dấu hiệu chia hết cho 10.
. Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2 và 9 tạo thành dấu hiệu chia hết cho 18.
. Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 3 và 5 tạo thành dấu hiệu chia hết cho 15.
. Kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2, 3 và 5 tạo thành dấu hiệu chia hết cho 30.
	- Đối với các em có học lực trung bình cũng có thể vận dụng khá dễ dàng ,không cần phải rút gọn nhiều bước.
	VD: = = 
	( Trước đây đối với học sinh trung bình có thể các em phải làm từ 2 bước : Lấy tử số và mẫu số chia 3 rồi tiếp tục chia 4).
Học sinh có thêm kiến thức và dễ dàng giải những bài toán khó.
VD1: Bài 5/99 (SGK Toán 4 )
Một lớp học có ít hơn 35 học sinh và nhiều hơn 20 học sinh. Nếu học sinh trong lớp xếp đều thành 3 hàng hoặc thành 5 hàng thì không thừa, không thiếu bạn nào. Tìm số học sinh của lớp học đó?
Đối với bài này hướng dẫn học sinh vận dụng kết hợp dấu hiệu chia hết cho 3 và 5 tạo thành dấu hiệu chia hết cho 15 vậy học sinh dễ dàng tìm ra số 30 ( vì trong dãy số từ 21-34 chi có 30 chia hết cho 15).
VD2 : Tìm a,b để 7a8b chia hết cho 2, 3,và 5
Trong bài này giáo viện hướng dẫn kết hợp dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 thành dấu hiệu chia hết cho 30 thì cách giải bài toán trở nên đơn giản hơn. Với điều kiện các em đã được giới thiệu dấu hiệu chia hết cho 30.
Học sinh biết ngay giá tri của b là 0, chỉ cần tìn giá trị của a bằng cách tìm tổng các chữ số chia hết cho 3 (7 + a + 8 + 0 chia hết cho 3 .Ta tìm được a = 0, 3, 6, 9 )
Vậy các số cần tìm : 7080, 7380, 7680, 7980
VD3 : Viết thêm một chữ số vào bên trái và một chữ số vào bên phải số 15 để được một số có 4 chữ số chia hết cho 15.
Đối với bài này học sinh phải biết tách chia hết cho 15 thành chia hết cho 3 và 5.
Ta có : a15b 15 ( b = 0 hoặc 5 và tổng các chữ số chia hết cho 3)
.Xét b= 0 Thì a = 3, 6, 9
. Xét b = 5 thì a = 1, 4, 7
Vậy các số cần tìm : 3150, 6150, 9150, 1155, 4155, 7155
VD4 : Lớp 5A xếp hàng hai bạn được một số hàng không thừa bạn nào, xếp hàng ba bạn hay hàng bốn bạn đều được một số háng không thừa bạn nào. Nếu lấy tổng các hàng xếp được đó thì được 39 hàng. Hỏi lớp 5A có bao nhiêu bạn?
Gợi ý : Số học sinh lớp 5A phải là số chia hết cho 2, 3 và 4. Dễ thấy số nhỏ nhất chia hết cho 2, 3, 4 là 12 ( 2x 3 x 4 = 12 )
Giả sử lớp 5A chỉ có 12 bạn thì:
Số bạn xếp hàng hai là : 12 : 2 = 6 ( hàng )
Số bạn xếp hàng ba là : 12 : 3 = 4( hàng )
Số bạn xếp hàng hai là : 12 : 4 = 3 ( hàng )
Tổng số hàng xếp ở 3 lần là : 6 + 4 + 3 = 13 ( hàng )
39 so với 13 thì gấp : 39 : 13 = 3 ( lần )
Vậy số học sinh lớp 5A là: 12 x 3 = 36 ( học sinh )
Qua các ví dụ cho thấy việc vận dụng các dấu hiệu chia hết một cách linh hoạt sẽ giúp học sinh thực hiện giải các bài toán tương đối khó một cách dễ dàng hơn.
b) Đối với bản thân:
- Qua việc nghiên cứu đề tài này, tôi có thêm kiến thức để dạy các em vận dụng các dấu hiệu chia hết một cách linh hoạt, sáng tạo hơn. Chứ không đơn thuần là những dấu hiệu đơn.
- Vận dụng các dấu hiệu để bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Nắm vững các dấu hiệu chia hết sẽ giúp tôi cho ví dụ có liên quan đến phép chia, ra đề kiểm tra, bài tập cho học sinh làm thêm vào buổi chiều một cách dễ dàng 
c) Đối tổ chuyên môn:
	Cùng nhau trao đổi và được sự đồng tình của các đồng nghiệp,đưa vào áp dụng đạt hiệu quả khá cao.
4. Nguyên nhân thành công và tôn tại:
	- Giáo viên phải nắm vững kiến thức, hướng dẫn học sinh vận dụng linh hoạt sáng tạo trong giảng dạy.
	- Cho nhiều ví dụ ,ra nhiều bài tập để học sinh thực hành.
	- Bài tập phải từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
	- Theo dõi, giúp đỡ, sữa chữa kịp thời đối với các em còn lúng túng trong khi vận dụng. 
	- Học sinh phải thuộc các dấu hiệu chia hết.
	- Các tiết luyện tập buổi chiều , giáo viên cần giới thiệu thêm một số dấu hiệu cơ bản cần thiết, đơn giản cho học sinh.
	- Cần có những bài tập khó ở nhiều dạng khác nhau dành cho học sinh khá giỏi.
	- Nội dung các dấu hiệu chia hết chỉ vỏn vẹn trong 7 tiết, nên thời gian để giáo viên giới thiệu thêm các dấu hiệu và thời gian để cho các em thực hành còn hạn chế.
	- Hệ thống bài tập ở sách giáo khoa còn khá đơn giản , không phát huy tư duy, tính sáng tạo, chưa mở rộng phạm vi ứng dụng của học sinh.
	- Một số dấu hiệu tìm được khá phức tạp học sinh tiểu học không thể áp dụng được.
II. Kiểm nghiệm lại kinh nghiệm:
1. Tác dụng của đề tài:
a) Đối với học sinh :
	- Biết vận dụng kết hợp các dấu hiệu tạo thành dấu hiệu mới, từ đó giúp các em áp dụng thực hành giải các bài toán dễ dàng .
	- Biết thêm một số dấu hiệu mới đơn giản làm hành trang kiến thức bước vào cấp Trung học cơ sở và các cấp học cao hơn.
b) Đối với bản thân:
	- Qua nghiên cứu đề tài này giúp tôi bổ sung thêm vốn kiến thức hữu ích trong giảng dạy cũng như trong việc học tập, bồi dưỡng nâng cao tay nghề	
c) Đối với tổ chuyên môn, trường, ngành:
	- Có thể tham khảo áp dụng trong giảng dạy.
	- Cùng nhau nghiên cứu về nội dung này sâu hơn.
2. Phạm vi áp dụng:
	- Tôi nghĩ với các kiến thức về dấu hiệu chia hết nêu trên không chỉ vận dụng trong dạy học toán ở Tiểu học mà còn áp dụng được cho các cấp Trung học cơ sơ, Trung học phổ thông
	- Là mảng kiến thức cho tất cả giáo viên tham khảo, vận dụng.
3. Những bài học kinh nghiệm:
	- Để hướng dẫn học sinh vận dụng các dấu hiệu chia hết một cách chắc chắn, giáo viên cần nắm vững kiến thức về dấu hiệu chia hết.
	- Ra nhiều bài tập, cho nhiều ví dụ, tăng cường giờ thực hành nhằm giúp học sinh tiếp thu và vận dụng tốt kiến thức. 
	- Hướng dẫn , gợi ý cho học sinh khi các em còn lúng túng trong vận dụng.
	- Thường xuyên ôn tập để học sinh nắm vững kiến thức.
	- Ôn tập thường xuyên để các em nắm vững và vận dụng tốt các dấu hiệu chia hết.
	Ở các tiết luyện tập buổi chiều, giáo viên cần dành thời gian cho việc giới thiệu thêm một số dấu chia hết đơn giản phù hợp để các em mở rộng thêm vốn kiến thức.
	- Trao đổi trong tổ chuyên môn,cùng nhau nghiên cứu, áp dụng . Phát huy ưu điểm, hạn chế tồn tại mắc phải.
	- Mở chuyên đề nhằm mở rộng phạm vi tác dụng.
	- Ra nhiều bài toán ở nhiều dạng khác nhau dành cho học sinh giỏi giúp các em mở rộng phạm vi áp dụng.
C. KẾT LUẬN CHUNG:
	Dấu hiệu chia hết là một phần kiến thức nhỏ trong chương trình giảng dạy toán ở Tiểu học.Nhưng nó cũng là mảng kiến thức cần thiết , làm hành trang để các em tiếp tục học lên các lớp trên và đặc biệt là hành trang kiến thức trong đời sống sau này của các em.
	Theo tôi, kiến thức toán học là vô hạn, kiến thức nào dù nhỏ cũng đều cần thiết cả.Nên khi dạy học sinh những kiến thức toán học, tôi không xem nhẹ mảng kiến thức nào cả. Khi dạy các dấu hiệu chia hết cũng vậy, cần hướng dẫn học sinh, giúp các em phát huy tính sáng tạo, khả năng tư duy độc lập. Làm sao cho học sinh nắm được hệ thống kiến thức, các kỹ năng cơ bản cần thiết trên cơ sở đó phát triển các năng lực nhận thức, khả năng tư duy và giáo dụ tình cảm, phong cách làm việc cho học sinh.
	Rèn cho học sinh có thói quen độc lập suy nghĩ, làm việc có kế hoạch, có kiểm tra, khẳng định có căn cứ, tác phong cẩn trọng, ý chí vượt khó, kiên trì nhẫn nại, có ý thức muốn cải tiến, tìm tòi cái mới.
	Trở lại việc giảng dạy các dấu hiệu chia hết, thiết nghĩ đây không phải là nhưng mảng kiến thức đơn lẻ, phạm vi áp dụng hạn chế, Chúng ta cần hướng dẫn các em vận dụng các dấu hiệu chia hết một cách linh hoạt, sáng tạo, biết cách kết hợp, tách ra cho phù hợp, giáo viên cần giới thiệu thêm các dấu hiệu chia hết khác, đưa ra nhiều dạng bài tập nhằm giúp các em mở rộng khả năng vận dụng. Có vậy việc dạy học toán mới trở nên sinh động, gây hứng thú học tập cho học sinh, phát huy được tính chủ động, sáng tạo,  giúp học sinh có niềm đam mê học toán.
	Nếu có điều kiện, tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu đề tài này một cách trọn vẹn hơn, đồng thời mở rộng thêm phần kiến thức phép chia có dư, để phạm vi áp dụng của đề tài mở rộng hơn, phong phú hơn. 
	Trên đêy là những kiến thức, kinh nghiệm mà tôi đã học tập, nghiên cứu, tìm tòi, học hỏi đồng nghiệp, được tôi áp dụng giảng dạy trong nhiều năm qua. Những kiến thức này là hành trang giúp tôi cải thiện và nâng cao hiệu quả giảng dạy rất nhiều .
	Trong quá trình nghiên cứu, vì khả năng và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong sự giúp đỡ, đóng góp chân thành của quý đồng nghiệp,để đề tài mang tính hoàn thiện và khả thi hơn.
	Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Tiểu học Bán trú “A” Long Thạnh, quý đồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành đề tài này.