Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

 số kinh nghiệm sau:
- Đối với học sinh yếu kém: Cần có một quá trình liên tục được củng cố và sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được phương pháp, vận dụng tốt các phương pháp phân tích cơ bản vào giải toán, cho học sinh thực hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK. 
- Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm chắc các phương pháp cơ bản, kĩ năng biến đổi, kĩ năng thực hành và việc vận dụng từng phương pháp đa dạng hơn vào từng bài tập cụ thể, luyện tập khả năng tự học, gợi sự suy mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ động chiếm lĩnh kiến thức. 
- Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các phương pháp cơ bản, ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các phương pháp phân tích nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khác thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
- Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan trong chương trình đại số 8 đã đề cập ở trên.
Giáo viên phải định hướng và vạch ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được rèn luyện về những kĩ năng phân tích một cách tường minh trong mỗi dạng bài tập để tìm hướng giải sau đó biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp, kĩ năng vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách đa dạng hơn trong giải toán. Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện, gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và trong học toán.
Nếu thực hiện tốt phương pháp trên trong quá trình giảng dạy và học tập thì chất lượng học tập bộ môn của học sinh sẽ được nâng cao hơn, đào tạo được nhiều học sinh khá giỏi, đồng thời tuyển chọn được nhiều học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện, ....
Æ Hướng phổ biến áp dụng
Đề tài được triển khai phổ biến và áp dụng rộng rãi trong chương trình đại số lớp 8, cho các năm học sau, cho những trường cùng loại hình. 
Æ Hướng nghiên cứu phát triển
Đề tài sẽ được nghiên cứu tiếp tục ở các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác (nâng cao)
Đề tài nghiên cứu cho các đa thức phức tạp hơn, đi sâu vào việc nghiên cứu các đa thức đặc biệt. 
Phần III: KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
III.1. Kết Luận
Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề rộng trải suốt chương trình học của học sinh, nó liên quan kết hợp với các phương pháp khác, các dạng toán khác tạo lên sự lôgíc chặt chẽ của toán học. Các phương pháp được nêu từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp giúp học sinh hiểu sâu hơn và phát triển có hệ thống các kỹ năng, kỹ xảo phân tích. Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, năng lực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức.
 	Trong năm học qua tôi đã vận dụng sáng kiến trên vào dạy phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh và thấy rằng các em rất hào hứng trong quá trình tìm tòi lời giải hay và hợp lý nhất. Số học sinh nắm vững các phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử và vận dụng được vào các bài tập là 80%.
Trong khuôn khổ đề tài này, tôi hy vọng giúp các em học sinh tự tin hơn khi làm các bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử. Tuy nhiên, trong khi trình bày đề tài của mình không tránh khỏi những khiếm khuyết, mong bạn đọc và đồng nghiệp đóng góp ý kiến bổ sung để đề tài được hoàn chỉnh và đạt hiệu quả cao.
Xin chân thành cảm ơn ! 
III.2. Kiến nghị
Để đề tài trên được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy và đem lại hiệu quả cần phải có lượng thời gian nhất định. Tuy nhiên trong phân phối chương trình của bộ môn toán 8 số tiết dành cho vấn đề nghiên cứu chỉ là 5 tiết (4 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Với lượng thời gian trên đề tài khó có thể áp dụng và đem lại hiệu quả mong muốn. Vì vậy Tôi xin có một vài kiến nghị sau:
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về thời gian, không gian, tổ chức các chuyên đề cấp trường để giáo viên có thể áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy.
	- Đối với phòng giáo dục: 
 + Tổ chức các chuyên đề về vấn đề nghiên cứu (phân tích các đa thức thành nhân tử ) để giáo viên được dự giờ, nghiên cứu trao đổi học hỏi các đồng nghiệp, cùng tìm ra các biện pháp hay. 
 + Đưa thêm vào chương trình Tự chọn Toán 8, chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử”.
Phần IV: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
IV. Tài liệu tham khảo:
 1 - Một số vấn đề đổi mới PPDH ở trường THCS môn toán – Bộ GD&ĐT 2008
 2 - Sách GV, SGK Toán THCS - Phan Đức Chính – Tôn Thân – Nhà xuất bản GD
 3 - Nâng cao và phát triển Toán 8 - Vũ Hữu Bình – Nhà xuất bản GD
 4 - Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục THCS môn Toán – Nhà xuất bản GD
5 – Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên THCS chu kì 1997 – 2000 và chu kỳ 2004 – 2007 môn Toán.
6 – Phương pháp dạy học đại cương môn Toán – Bùi Huy Ngọc- Nhà xuất bản ĐHSP
7 – Giáo trình phương pháp dạy học các nội dung Toán - Phạm Gia Đức – Bùi Huy Ngọc - Phạm Đức Quang - Nhà xuất bản ĐHSP
IV.2. Mục Lục
Nội Dung
Trang
Phần I - Phần mở đầu
I.1. Lý do chọn đề tài
I.2. Mục đích của đề tài
I.3. Thời gian – địa điểm nghiên cứu
I.4. Phương pháp nghiên cứu
Phần II – Nội dung
Chương I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II.1.1. Lịch sử nghiên cứu
II.1.2. Cơ sở lý luận
Chương II: Nội dung vấn đề nghiên cứu
II.2.1. Thực trạng
II.2.2. Đánh giá thực trạng
II.2.3. Nội dung vấn đề
II.2.3.1.Những giải pháp mới của đề tài
Chương III. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II.3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
II.3.1.1 Lý thuyết
II.3.1.2 Các phương pháp cơ bản
Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Phương pháp 3: Nhóm các hạng tử
Phương pháp 4: Phối hợp các phương pháp
II.3.1.2 Các phương pháp nâng cao
Phương pháp 5: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử 
Phương pháp 6: Thêm và bớt cùng một hạng tử
Phương pháp 7: Đặt ẩn phụ
Phương pháp 8: Tìm nghiệm của đa thức
Phương pháp 9: Hệ số bất định
Phương pháp 10: Xét giá trị riêng
II.3.1.4. Biện pháp
II.3.2. Kết quả thực nghiệm
II.3.3. Bài học kinh nghiệm
Phần III – Kết luận – Kiến nghị
III.1. Kết luận
III.2. Kiến nghị
Phần IV- Danh mục tài liệu tham khảo
IV.1. Tài liệu tham khảo
IV.2. Mục lục
Bài giảng minh họa
2
2
3
4
5
5
5
6
8
9
9
11
11
11
14
16
19
22
26
29
30
32
33
33
35
36
38
38
39
40
41
Đại số 8: Tiết 13	LUYỆN TẬP
I.Mục tiêu.
 - Rèn kỹ năng giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
 - Học sinh giải thành thạo loại bài tập phân tích đa thức thành nhân tử 
 - Gới thiệu cho học sinh phương pháp tách hạng tử và thêm bớt hạng tử.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
 Giáo viên: Máy chiếu hoặc bẳng phụ ghi gợi ý của bài tập53a – tr24 sgk và các bước tách hạng tử.
 Học sinh: Bảng nhóm, ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
III. Phương pháp.
 - Đàm thoại, vân đáp, nêu và giải quyết vấn đề.
 - Rèn kỹ năng giải toán
IV. Tiến trình bài giảng.
Ổn định tổ chức.
Kiểm tra bài cũ.(7’)
? HS1. Chữa bài tập 52 tr 24 – sgk
? HS2. Chữa bài tập 54a tr25 sgk
GV hỏi thêm. Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên tiến hành ntn?
HS trả lời: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên theo các bước sau: 
 - Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung
 	- Dùng hằng đẳng thức nếu có
 - Nhóm nhiều hạng tử (thường mỗi nhóm có nhân tử chung hoặc là hằng đẳng thức) cần thiết phải đặt dấu “-” đằng trước và đổi dấu. 
( Đưa nội dung câu trả lời máy chiếu)
Luyên tập.
Hoạt động của GV – HS
Ghi Bảng
Hoạt động 1: Luyện tập (12’)
Bài 55(a,b) tr25 – sgk
GV: đưa đề bài lên màn hình
- Để thời gian cho HS suy nghĩ.
Gợi ý: Chúng ta mới chỉ biết tìm nghiệm của đa thức ở dạng bậc nhất. Vậy để tìm x trong bài toán trên em làm như thế nào? 
HS:- Đưa đa thức vế trái về dạng tích của các đa thức bậc nhất bằng cách phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử.
GV: Yêu cầu hai học sinh lên bảng làm.
GV: Yêu cầu học sinh nhận xét.
Bài 56 tr25 sgk
GV: đưa đề bài lên màn hình
- yêu cầu HS hoạt động nhóm
Nửa lớp làm câu a
Nửa lớp làm câu b.
Hs: hoạt động nhóm.
GV: Cho các nhóm kiểm tra chéo bài của nhau.
GV: Đưa bài tập 53a tr24 sgk lên bảng.
Phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử.
? Ta có thể phân tích đa thức này bằng các phương pháp đã học không? 
HS: Không phân tích được bằng các phương pháp đã học
GV: Để phân tích đa thức trên cần có phương pháp khác. 
Bài 55 tr25 – sgk
a, x3- x = 0
x(x2 - ) = 0 
x(x - )(x + ) = 0
=> x = 0 ; x = ;x= - 
b, (2x - 1)2- (x + 3)2 = 0
[(2x–1) – (x + 3)][(2x-1)+(x+3)] = 0
(2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3) = 0
(x - 4)(3x + 2) = 0
=> x = 4; x = - 
Bài 56 tr25 sgk 
Tính nhanh giá trị của đa thức
a, x2 + x + tại x = 49,75
= x2 + 2..x + ()2
= ( x + )2 = (49,75 + 0,25)2
= 502 = 2500
b, x2 – y2 – 2y – 1 tại x = 93 ; y = 6
= x2 – (y2 + 2y + 1)
= x2 – (y + 1)2
= [x – (y + 1)][x + (y + 1)]
= (x – y - 1)(x + y + 1)
= (93 – 6 – 1)(93 + 6 +1)
= 86.100 = 8600
Hoạt động 2: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng vài phương pháp khác (20’)
Gv: Đa thức x2 – 3x + 2 là một tam thức bậc hai có dạng: ax2 + bx + c với 
a = 1; b = -3 ; c = 2
- Đầu tiên ta lâp tích a.c = 1.2 = 2 
- Sau đó tìm xem 2 là tích các cặp số nguyên nào. (2= 1.2 = (-1).(-2)
- Trong hai cặp số đó, ta thấy có: 
(-1)+(-2) = -3 đúng bằng hệ số b.
Ta tách: -3x = -x - 2x
Vậy đa thức được biến đổi như sau
x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2
GV: yêu cầu học sinh lên bẳng làm tiếp
GV: yêu cầu HS làm bài 53b tr 24 sgk
(làm tương tự như ví dụ trên)
? Vậy đa thức x2 + 5x + 6 được tách như thế nào? 
HS: x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
GV: yêu cầu học sinh phân tích tiếp
GV: Đưa tồng quát (máy chiếu)
Gv: giới thiệu cách khác của bài 55a.( tách hạng tử tự do)
x2 – 3x + 2 = x2 – 4 – 3x + 6
 = (x2 – 4) – (3x - 6)
 = (x - 2)(x + 2) – 3(x - 2)
 = (x - 2)(x + 2 - 3)
 = (x - 2)( x - 1)
GV: yêu cầu HS phân tích đa thức
 x2 + 5x + 6 bằng cách tách hạng tử tự do.
HS: Thực hiện
GV: Yêu cầu HS làm bài 57(d) tr25 sgk
GV: Với các phương pháp đã học có thể phân tích đa thức x4 + 4 ra thừa số không? 
HS: suy nghĩ trả lời
GV Gợi ý: ta thấy x4 = (x2)2
 4 = 22
Để xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, ta cần thêm 2.x2.2 = 4x2 vậy để giá trị của đa thức không đổi ta phải bớt 4x2. 
GV yêu cầu học sinh phân tích tiếp
Bài tập 53a tr24 sgk
a, x2 – 3x + 2 = x2 – x – 2x + 2
= (x2 – x) – (2x - 2)
= x(x – 1) – 2(x – 1)
= (x - 1)(x - 2)
b, x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6
 = x(x + 2) + 3(x + 2)
 = (x + 3)(x + 2)
*Tổng quát:
ax2 + bx + c = ax2 + b1x + b2x + c
phải có : b1 + b2 = b và b1.b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau:
B1: Lập tích a.c
B2:Phân tích a.c thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
B3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
b, x2 + 5x + 6 
= x2 + 5x + 10 – 4
= (x2 – 4) + (5x +10)
= (x - 2)(x + 2) + 5(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)
Bài 57(d) tr25 sgk
Phân tích đa thức x4 + 4 ra thừa số.
Giải: Ta có 
 x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
 = (x2 + 2)2 – 4x2
 = (x2 + 2 – 2x)(x2 +2+ 2x)
Hoạt động 3: Luyện tập – củng cố (5’)
GV: yêu cầu HS làm bài tập
Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a, 15x2 + 15xy – 3x – 3y
b, x2 + x – 6
c, 4x4 – 1
GV: quan sát, gợi ý học sinh làm bài
Gv: Nhận xét
HS: làm bài vào vở
3 HS lên bảng trình bày
a, = 3(5x2 + 5xy – x - y)
 = 3[(5x2 + 5xy) – (x + y)]
 = 3[5x(x + y) – (x + y)]
 = 3(x + y)(5x - 1)
b, = x2 + 3x – 2x – 6
 = x(x + 3) - 2(x + 3)
 = (x - 2)(x + 3)
c, = 4x4 + 4x2 + 1 – 4x2
 = (2x2 + 1)2 – (2x)2
 = (2x2 + 1 – 2x)( 2x2 + 1 + 2x)
Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà ( 1’)
	- Ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 
	- Bài tập: 57, 58 sgk tr 25 – 35,36,37, tr7 SBT
	- Ôn lại quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số.
V. Rút kinh nghiệm.
Nhận xét đề tài khoa học và sáng kiến kinh nghiệm.
Tên đề tài: ...............................................................................................................
Tác giả nghiên cứu: ................................................................................................
Đơn vị công tác:......................................................................................................
Những ý kiến nhận xét
1/. Tính chất của đề tài nghiên cứu.
..................................................................................................................................................................................................................................................................
2/. Nội dung.............................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
3/. Phương pháp......................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
4/. Hiệu quả.............................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
5/. Hình thức............................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
6/. Xếp loại khen thưởng.........................................................................................
.................................................................................................................................
Người nhận xét (1)	Người nhân xét (2)
Nhận xét của hội đồng khoa học phòng GD&ĐT
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................