Rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải phương trình ở trường THPT

ột vấn đề mới thì nó càng đáng được quan tâm hơn.
	Hướng dẫn học sinh tìm nhiều lời giải của một bài toán sẽ kích thích hứng thú học tập và niềm say mê môn Toán của HS. Hơn nữa khi học sinh giải được một bài tập theo những cách khác nhau, HS sẽ tìm ra được lời giải đơn giản nhất, ngắn gọn nhất, hay nhất. 
Ví dụ 1: ( Bài tập 112 )
Giải PT: 
Cách 1:
 Giải PT bằng phương pháp biến đổi tương đương ?
 Bình phương 2 vế của (1), ta được:
 Có thể đánh giá vế trái của (*1)
	 ta có:
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 
Cách 2:
 Tìm mối quan hệ giữa các biểu thức chứa ẩn?
 Đánh giá ?
	 , ta có: 
 Đánh giá vế trái của (1)?
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương , ta có:
Cách 3: 
 Từ 
Cách 4: 
 Phân tích vế trái (1) thành tổng của các bình phương và các đại lượng không âm?
Cách 5:
 Xét hàm số có thể tìm theo cách khác không?
	 do 
,, từ 
Cách 6:
 Ta có: có tập xác định là và , suy ra là hàm chẵn.
Xét hàm số với 
 là hàm số đồng biến trên 
Cách 7
Dùng phương pháp hình học để giải PT?
Trong mặt phẳng toạ độ Đềcác vuông góc chọn 3 điểm 
Ta có 
 =2
Do đó (*3) trở thành:
thẳng hàng 
Suy ra toạ độ của M thoả mãn PT đường thẳng AB là :.
Vậy PT có nghiệm duy nhất .
Cách 8: 
 Dùng phương pháp vectơ để giải PT. 
 Chọn 2 vectơ và 
Ta có: 
Khi đó PT (1) có dạng: 
(*3) 
Vậy PT có nghiệm .
Cách 9:
Nhận xét:
 Dùng định lí Côsin để giải PT.
Do hàm số là hàm số chẵn, nên xét với 
Trên trục chọn 2 điểm A,B sao cho: OA=OB=1.
O
A
x
M
 t
600
B
Trên tia tạo với tia một góc 60o lấy điểm M và đặt OM=x 
Áp dụng định lí hàm số Côsin trong các tam giác OAM và OBM, ta có:
Khi đó PT (1) có dạng MA+MB=AB. Nhưng điều này chỉ xảy ra khi M trùng với O, tức là khi .
Vậy PT có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 2: ( Bài tập 61 )
Giải PT: (1)
Cách 1:
+ ĐK: 
 Dùng phương pháp đánh giá để giải PT?
 và cùng dấu.
Tương tự và cùng dấu.
+) Từ PT suy ra cùng dấu và 
+)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
Tương tự ; 
Suy ra: VT (1)
(1)
Giải (2) kết hợp ĐK(*1) ta được các nghiệm của PT(1) là: 
Cách 2:
 Dùng phương pháp đặt ẩn phụ giải PT?
 Đặt 
(1) có dạng :
Với ta có 
Ví dụ 3: ( Bài tập 36 )
Giải PT: 
Cách 1:
 Giải PT bằng phép biến đổi tương đương?
 ĐK: 
Với điều kiện này, 2 vế của (1) luôn dương, bình phương 2 vế ta có:
Vì 
Do đó: 
 ( thoả mãn ĐK )
Vậy PT có nghiệm duy nhất 
Cách 2: 
 Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải PT?
 Đặt , ta có:
Giải PT ẩn , tìm được 
Do nên (loại)
Với 
Bài 4:Giải PT:
Cách 1: Điều kiện: 
 Giải PT bằng phương pháp đặt ẩn phụ?
 Đặt , PT (1) có dạng 
Giải các PT ta được các nghiệm của PT (1) là 
Cách 2:
 Giải PT bằng cách đưa về phương trình tích?
Có 
Ta có 
2.4.4. Chuẩn bị hệ thống bài tập có tính chất tìm đoán.
Đứng trước một PT không mẫu mực mặc dù HS đã nắm chắc phương pháp giải PT nhưng vẫn có thể không giải được. Điều cần thiết là GV cần làm cho HS nắm được phương pháp chung để giải toán, biến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán của bản thân HS. Vì vậy khi dạy bài tập về một dạng PT nào đó giáo viên cần chuẩn bị thêm một số bài tập, mà sau một số nhận xét tinh tế hoặc biến đổi linh hoạt đưa được PT đó về PT đã biết cách giải. Điều đó góp phần rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh và giúp học sinh tích luỹ được kinh nghiệm để giải toán.
Chẳng hạn, khi dạy HS dạng phương trình đối xứng đối với và 
(?) Giải các PT sau:
1) 
2) 
Các PT trên HS đã biết cách giải.
Xét các PT sau:
3) 
4) 
5) 
 Tìm sự giống nhau của 5 phương trình trên ?
 Các số hạng chứa ẩn được gộp thành 2 nhóm. Nhóm thứ nhất ở dạng tổng, nhóm thứ hai ở dạng tích. Nhóm thứ hai được biểu diễn qua nhóm một.
 Với cách giải các PT (1), (2). Hãy giải PT(3) ?
	 Đặt , điều kiện: 
PT (3)trở thành: 
 ( thoả mãn điều kiện)
+) Với 
+) Với 
 Hãy rút ra cách giải những PT có dạng trên ?
	Bước 1: Đặt ẩn phụ là nhóm chứa tổng và điều kiện cho ẩn phụ.
	Bước 2: Biểu diễn nhóm dạng tích qua ẩn phụ rồi thay thế vào PT.
	Bước 3: Giải PT để tìm ẩn phụ, đối chiếu điều kiện.
	Bước 4: Tìm ẩn của bài toán.
Qua việc giải bài tập phương trình đối xứng với và . Bằng phương pháp tương tự, học sinh đã vận dụng giải được loại bài tập có cùng tính chất nêu trên.
Chẳng hạn, khi dạy bài tập về PT quy về bậc nhất hoặc bậc hai ( ở lớp 10 ), ngoài những PT dễ nhận biết thuật giải ta có thể ra thêm một số bài tập:
1) 
2) 
3) 
4) 
Tuy nhiên mức độ bài tập tìm đoán đưa ra cần được lựa chọn kĩ càng cho phù hợp thời gian và vừa sức HS. Thông qua việc giải những bài tập cụ thể, cần đặt cho HS những câu hỏi gợi ý phù hợp tình huống, để HS biết sử dụng những câu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, phát hiện, để thực hiện từng bước phương pháp chung để giải toán.
Những câu hỏi này lúc đầu do GV nêu ra hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến thành công cụ của học sinh, được HS nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán..(;tr.398)
2.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG II.
Luận văn đã đề cập đến việc rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh vào cụ thể từng dạng toán, phân tích cụ thể việc áp dụng vào từng bước giải toán, phân loại bài tập về giải PT.
Mặt khác cũng nhờ lí luận của tư duy và năng lực tìm đoán, định hướng xây dựng và sáng tạo hệ thống bài tập, các biện pháp sư phạm cũng phần nào gợi ý cho GV trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán.
CHƯƠNG III
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM.
3.1.1. Mục đích thực nghiệm.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để minh hoạ , kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của việc rèn luyện năng lực tìm đoán của HS THPT thông qua việc dạy học giải phương trình.
Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích khẳng định giả thuyết khoa học đã được đề ra trong luận văn.
3.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm. 
+) Biên soạn giáo án để GV thực hiện giảng dạy theo hướng: rèn luyện năng lực tìm đoán cho HS THPT thông qua việc dạy bài tập phương trình.
+) Đánh giá kết quả thực nghiệm theo 2 mặt:
	- Tính khả thi.
	- Tính hiệu quả.
3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM
Tiến hành thực nghiệm sư phạm theo bộ SGK mới xuất bản năm 2006-2008.
Cụ thể như sau:
* Các giáo án thực nghiệm:
- SGK [81] Đại số 10 nâng cao
Tiết 30: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.
- SGK [33] Đại số và giải tích 11 nâng cao
Tiết 18: Bài tập về một số phương trình lượng giác thường gặp.
Giáo án 1
Tiết 30. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai.(Đại số 10 nâng cao).
I. Mục tiêu bài dạy.
Giúp học sinh:
1. Về kiến thức.	
Nắm được phương pháp đặt ẩn phụ để giải một số phương trình vô tỉ và phương trình hữu tỉ.
Phát triển tư duy đặc biệt là năng lực tìm đoán trong quá trình giải phương trình.
2. Về kĩ năng.
Giải được một số phương trình hữu tỉ và phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
II. Tiến trình bài dạy.
Bài tập 1.Giải phương trình.
 (1)
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
* Có nhận xét gì về mối liên hệ giữa các biểu thức chứa ẩn?
* Giải PT(1) bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
*GV chỉnh sửa lời giải của học sinh và củng cố lại các bước giải PT bằng phương pháp đặt ẩn phụ
*Khai thác bài toán
+) Bằng phương pháp đặt ẩn phụ, PT(1) được đưa về dạng PT bậc 2 một ẩn
-Bài toán tương tự
+Nêu phương pháp giải bài tập 1.1 
+Giải bài tập 1.2
Sai lầm thường gặp của học sinh 
đặt 
ĐK 
dẫn đến thiếu nghiêm 
và tập nghiệm của (1) sai
-Hãy tổng quát bài tập 1
 GV đưa ra dạng tổng quát hơn.
*)()+4
+Bước 1: Đặt ẩn phụ và đặt ĐK cho cho ẩn phụ
Đặt ()
+Bước 2: Đưa PT ban đầu về PT ẩn phụ, giải PT ẩn phụ.
PT (1) có dạng: hoặc (đều thoả mãn ).
+Bước 3: Tìm từ những giá trị ẩn phụ tìm được.
Tập nghiệm (1) là
*)Bài tập 1.1
2+182 
*)Bài tập 1.2
= (1)
+Đặt 
+PT(1) có dạng 
+Với tacó
(2)
Giải hệ (2) ta được 
Tập nghiệm của (1) là 
*)+e =0 
*)
Với 
Đặt ; 
PT(1) có dạng: 
Bài tập 2.Giải phương trình.
 (1)
*Phát hiện mối liên hệ giữa các biểu thức chứa ẩn?
*Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
*Khai thác bài toán
-Bài toán tương tự
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ có thể giải được các bài tập 2.1;2.2;2.3;2.4
-Nghiên cứu tiếp ứng dụng của bài tập 2
-Biến đổi phương trình (2.4) về dạng phương trình không chứa ẩn ở mẫu
-Nhận xét về mối quan hệ giữa hệ số và;hệ số và hệ số tự do.
-Nêu phương pháp giải phương trình (2.5)
*)=
+Đặt ()
+PT(1) có dạng: 
Chỉ có thoả mãn 
+Với ta có 
Giải tiếp (2) và (3) ta được tập nghiệm của (1)
(2.1) 
(2.2)
(2.3)
(2.4) 3+2
*)(2.4) 
+Hệ số=hệ số=3
 Hệ số= hệ số tự do=1
*)(2.5) 
+không là nghiệm của PT(2.5)
Với 
(2.5)
Đặt (
Phương trình (2.5) có dạng 
Giáo án 2
Tiết 18: Bài tập về một số phương trình lượng giác thường gặp
 (Đại số và giải tích 11 nâng cao)
I. Mục tiêu bài dạy.
Giúp học sinh :
1. Về kiến thức:
-Nắm được phương pháp giải PT lượng giác bằng phương pháp đánh giá.
-Bồi dưỡng năng lực tìm đoán trong việc giải bài tập nói chung và việc giải PT lượng giác nói riêng.
2. Về kĩ năng:
Rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong biến đổi lượng giác để giải một số phương trình lượng giác không mẫu mực.
II. Tiến trình bài dạy.
Bài tập 1.Giải phương trình. 
 (1)	
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
*Phương trình (1) là phương trình bậc cao đối với và khó giải bằng phương pháp thông thường.
*Do tính chất tập giá trị của và gợi ý cho ta đánh giá hai vế.
*Đánh giá hai vế của (1), rồi giải PT(1).
*GV hướng dẫn HS tóm tắt các bước giải phương trình bằng phương pháp đánh giá.
*Khai thác lời giải
-Bài tập tương tự
Giải PT(1.1)
Sai lầm thường gặp của HS 
Đáp số bài tập(1.1)
;
*)Ta có =1
*)Bước 1: Tìm tập xác định của PT 
 Bước 2: Chứng minh 
 Tìm ĐK để dấu bằng xảy ra.
 Bước 3: Giải hệ phương trình 
(1.1).+
+Ta có 
+1
PT (1.1)
Bài tập 2.Giải phương trình.
*)Giải PT(1) 
*)Dự đoán
Học sinh sẽ giải PT bằng phương pháp đánh giá.
Sai lầm thường gặp của học sinh
Dùng bất đẳng thức Côsi đánh giá:
khi chưa xác định dấu của 
*) Nhận xét về dấu của tổng các số hạng chứa , tổng các số hạng chứa .
*)Từ PT(1) nhận xét dấu của .
*)Giải PT(1).
*) Khai thác bài toán
-Cách giải khác
Đã biết 
Có thể giải PT bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Điều kiện: 
+)=+=(1++)
 1++=
 và cùng dấu.
=+
Tương tự và cùng dấu.
+) cùng dấu và 
+)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:
Tương tự 
Suy ra: vế trái(1)
(1)
Giải (2) kết hợp ĐK(*1) ta được các nghiệm của PT(1) là: 
Cách 2: Đặt 
(1) có dạng :
Với ta có 
Bài tập 3: Giải phương trình :
*) Các biểu thức 
có thể biểu diễn theo cách khác ?
*) Giải PT (1) ?
*) Dự đoán:
HS sẽ giải PT (1) theo 2cách 
Cách 1: Đặt 
Giải PT(1) bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
Cách 2: Đưa PT(1) về PT tích.
*) GV phân tích cái hay của mỗi phương pháp và giúp HS lựa chọn phương pháp tốt nhất để giải PT (1), đó là phương pháp đưa PT(1) về PT tích.
+) 
ĐK: 
Ta có:
Giải (2) và (3) , kết hợp ĐK (*1), ta được các nghiệm của PT(1) là :
* Các đề kiểm tra thực nghiệm
ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1
Giải các phương trình sau:
Câu 1(5 điểm ):
Câu 2(5 điểm ): 
Mục đích yêu cầu của đề kiểm tra số 1
- Đánh giá kĩ năng đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai hoặc phương trình đã biết cách giải.
- Đánh giá kĩ năng nhận biết những mối liên hệ đặc biệt giữa các biểu thức chứa ẩn của phương trình.
Đáp án thang điểm đề kiểm tra số 1
Câu 1( 5 điểm )
+ : 1điểm
+ Đặt 
(1) có dạng : 1điểm
+Giải (2) và đối chiếu điều kiện ta được : 1 điểm
+ Tìm nghiệm và kết luận tập nghiệm PT (1) 
	 : 2 điểm 
Câu 2( 5 điểm )
+ Đặt 
Phương trình (1) có dạng : 1 điểm
+ giải (2) được : 1điểm
+ Giải tiếp tìm được tập nghiệm của (1) là:
	 : 3 điểm
ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2
Giải các phương trình sau:
Câu 1(5 điểm ): 
Câu 2(5 điểm ): 
Mục đích yêu cầu của đề kiểm tra số 2
- Đánh giá kĩ năng biến đổi lượng giác của học sinh, đặc biệt là những biểu thức lượng giác chứa ẩn và cung đặc biệt.
- Đánh giá khả năng nhận biết dấu hiệu sử dụng phương pháp đánh giá để giải phương trình lượng giác, kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.
Đáp án, thang điểm đề số 2
 Câu 1( 5 điểm ).
+Đặt :1điểm
PT đã cho trở thành:
+ Biến đổi PT (2) về dạng:
	 : 1 điểm
+ Giải PT : 1 điểm 
+ Giải PT : 1 điểm
+Kết luận nghiệm của PT(1) : : 1 điểm
Câu 2( 5 điểm )
+ Đánh giá : 1 điểm
+ : 1 điểm
+ : 1điểm
+Giải (2) ta được 
	 : 1điểm
+Kết luận nghiệm của PT (1) là : 1điểm 
3.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM
+ Chúng tôi tiến hành tổ chức thực nghiệm sư phạm ở trường THPT Yên dũng số 2. 
Mỗi khối chọn ra 2 lớp có học lực khá của trường là:
	- Khối 10: Lớp 10a2 do thầy Nguyễn Văn Hà giảng dạy được chọn làm lớp thực nghiệm và chọn lớp 10a3 do cô Nguyễn Thị Lan giảng dạy làm lớp đối chứng. Khối 10 chọn bài: Một số phương trình quy trình quy về phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai (giờ luyện tập). Chúng tôi thống nhất thiết kế bài giảng theo giáo án 1 và đánh giá kết quả bằng đề kiểm tra số 1.
- Khối 11: Chúng tôi chọn lớp 11a1 do thầy giáo Lê Đình Khương giảng dạy, làm lớp thực nghiệm (TN) và chọn lớp 11a3 do thầy giáo Nguyễn Văn Bính giảng dạy làm lớp đối chứng (ĐC). Chúng tôi chọn bài: Một số phương trình lượng giác thường gặp (giờ luyện tập) để dạy thực nghiệm và thống nhất thiết kế bài giảng theo giáo án 2 và đánh giá kết quả bằng đề kiểm tra số 2.
3.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM.
3.4.1. Về phương pháp và khả năng lĩnh hội của học sinh. 
+ Chúng tôi đã cung cấp cho học sinh một số bài tập tìm đoán về phương trình từ cơ bản đến nâng cao nhằm bồi dưỡng năng lực tìm đoán và phương pháp chung giải bài tập toán cho học sinh.
+ Thông qua việc tìm tòi, phát hiện phương pháp giải bài tập, học sinh được học tập trong các hoạt động. Trong mỗi hoạt động yêu cầu của bài toán giảm dần giúp các em dễ dàng tiếp thu, lĩnh hội kiến thức, tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê học tập, đồng thời giúp các em có những định hướng, biết áp dụng chúng như những tri thức phương pháp trong giải toán.
+ Nói chung đa số học sinh nắm vững kiến thức cơ bản của phương trình do đó có khả năng tự giải được khá nhiều bài tập đưa ra hoặc dưới sự chỉ dẫn của giáo viên. Sau đợt thực nghiệm các em cảm thấy hứng thú, say mê và yêu thích bộ môn Toán.
	3.4.2. Về kết quả các bài kiểm tra thực nghiệm sư phạm.
+ Kết quả về điểm số của 2 bài kiểm tra thực nghiệm được thống kê như sau:
Bảng thống kê kết quả kiểm tra thực nghiệm:
Khối
Lớp
Tổng số
 HS
 Nhóm điểm
3 - 4
5 - 6
7 - 8
9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
10
ĐC
50
8
16
26
52
10
20
6
12
TN
50
2
4
22
44
16
34
10
20
11
ĐC
50
8
16
23
46
14
28
5
10
TN
50
3
6
18
36
18
36
11
22
Tổng hợp kết quả kiểm tra của hai khối được so sánh bằng biểu đồ sau:
Y(%)
X (Nhóm điểm)
+ Qua thống kê điểm số của hai bài kiểm tra (trong bảng thống kê kết quả kiểm tra thực nghiệm và biểu đồ so sánh kết quả kiểm tra) và quá trình chấm bài chúng tôi nhận thấy:
- Số HS và tỉ lệ HS đạt điểm khá, giỏi ở lớp TN cao hơn lớp ĐC. 
 - Điểm bình quân của lớp TN cao hơn lớp ĐC.
 - Ở lớp đối chứng có nhiều em bị điểm kém trong khi ở lớp thực nghiệm số HS bị điểm kém là ít hơn.
Do HS ở lớp thực nghiệm đã được rèn luyện năng lực tìm đoán và nắm được phương pháp chung để giải bài tập toán nên đứng trước một phương trình không có thuật giải, các em định hướng được phương pháp giải quyết bài toán nhanh gọn, chính xác. Trong khi ở lớp đối chứng, có nhiều em không định hướng được lời giải nên không làm được bài, có nhiều em lựa chọn cách giải khác dài dòng, không đủ thời gian làm bài. Dựa vào kết quả kiểm tra ở 2 lớp ta thấy mặc dù thời gian thực nghiệm là ngắn nhưng hiệu quả tương đối rõ ràng.
3.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG III.
Kết quả thực nghiệm cho thấy hiệu quả của việc sử dụng hệ thống bài tập chọn lọc đã trình bày ở chương II. Triển khai, vận dụng hệ thống các bài tập này trong quá trình dạy học ở trường THPT sẽ góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của GV và chất lượng học tập của HS. 
KẾT LUẬN
Trong quá trình nghiên cứu lý luận và thực tiễn về việc rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh THPT qua dạy học giải PT, ta có thể rút ra một số kết luận sau:
1. Việc phát triển năng lực tìm đoán cho học sinh nhà trường phổ thông có vị trí rất quan trọng, là một mục tiêu của nền giáo dục phổ thông, đặc biệt trong giai đoạn đổi mới phương pháp dạy học như hiện nay.
2. Luận văn đã trình bày những khái niệm cơ bản của tư duy, mối quan hệ của năng lực tìm đoán với các loại hình tư duy, vai trò của năng lực tìm đoán áp dụng vào thực tiễn giảng dạy bộ môn Toán.
3. Luận văn đã đề ra một số biện pháp sư phạm, nhằm rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập PT.
4. Luận văn đã đưa ra được hệ thống bài tập chọn lọc và đa dạng phong phú.Với mỗi dạng bài tập, mỗi phương pháp giải đều có ví dụ minh hoạ.Các bài tập này góp phần rèn luyện năng lực tìm đoán cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán học.
5. Chúng tôi đã trình bày luận văn dựa trên nguyên tắc: Đảm bảo tính khoa học, tính lôgíc, tính sư phạm, tính hiệu quả. Quá trình thực nghiệm sư phạm và kết quả thực nghiệm đã bước đầu cho thấy tính đúng đắn, tính hiệu quả và tính khả thi của luận văn trong thực tế. Với kinh nghiệm của bản thân và tham khảo kinh nghiệm của bạn bè, đồng nghiệp chúng tôi tin tưởng rằng giả thiết khoa học của luận văn này là chấp nhận được và nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. G.Pôlya - Toán học và những suy luận có lí ( Người dịch Hà Sĩ Hồ, Hoàng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương ). NXB Giáo dục Hà Nội 1995.
2. Tập luyện cho học sinh khái quát hoá tài liệu Toán học. Tạp chí nghiên cứu giáo dục, 5 - 1982.
3. Nguyễn Cảnh Toàn - Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học-Tập 1. NXB Giáo dục, Hà Nội, 1997.
4. Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường - Phương pháp dạy học môn toán - Phần 2 Dạy học những nội dung cơ bản. NXB Giáo dục, 1994.
5. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân - Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của học sinh qua môn toán ở trường THCS. NXB Giáo dục, 1998.
6. Trần Thúc Trình - Rèn luyện tư duy trong dạy học toán. Viện khoa học giáo dục, 2003.
7. Hoàng Chúng - Phương pháp dạy học toán học ở trường phổ thông trung học cơ sở. NXB Giáo dục, 2000.
8. Nguyễn Bá Kim( Chủ biên )-Vũ Dương Thụy - Phương pháp dạy học môn Toán(Dùng cho các trường ĐHSP). NXB Hà Nội 1992.
9. Hoàng Chúng - Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông, 1969.
10. Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học môn Toán. NXB ĐHSP, 2007.
11. Nguyễn Trọng Bá, Lê thống Nhất, Nguyễn Phú Trường - Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào đại học, cao đẳng môn Toán - Tập 1. NXB Giáo dục, 1998.
12. Phan Huy Khải - Toán nâng cao cho học sinh - Đại số 10.NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 1998.
13. Lê Hồng Đức ( Chủ biên ), Đào Thiện Hải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí - Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình và hệ vô tỉ. NXB Hà Nội, 2005.
14. Doãn Minh Cường, Phạm Minh Phương - Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng môn Toán năm học 1997 - 1998 đến năm 2006 - 2007- Tập 1. NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2006. 
15. Doãn Minh Cường, Phạm Minh Phương - Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học cao đẳng môn Toán năm học 1997 - 1998 đến năm 2006 - 2007- Tập 2. NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2006. 
16. Phan Doãn Thoại, Nguyễn Xuân Bình, Trần Hữu Nam - Phương pháp giải toán Đại số và Giải tích 11 theo chủ đề. NXB Giáo dục, 2007.
17. Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng - Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Đại số và Giải tích 11. NXB Giáo dục, 2008.
18. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên ), Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên ), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng - Giải tích 12 nâng cao. NXB Giáo dục, 2008.
19. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên ), Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên ), Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng - Đại số và Giải tích 11 nâng cao. NXB Giáo dục, 2008. 
20. Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên ), Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên ), Trần Văn Vuông, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng - Đại số 10 nâng cao. NXB Giáo dục, 2008. 
21. Bùi Mai Anh - Luận văn thạc sĩ khoa học giáo dục, PPGD Toán, Hà Nội, 2002.