Đề tài Tìm tòi lời giải các bài toán phương pháp tọa độ trên mặt phẳng

iải 
C Ox ; ( 0)C t , 0t  . 
A 
B C 
M 
A 
B C 
B  
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 4 - 
Vậy , ( ) 2 10d C   
3 5
2 10
10
t 
  3 5 20t   
nhaän
loaïi
5 ( )
25
( ).
3
t
t
  

 

 Vậy ; ( 5 0)C  . 
B d ; (2 2 )B b b  . Do đó, ta có 82BC  
2 2(2 7) ( ) 82b b     25 28 33 0b b    1b   hoặc 
33
5
b  . 
Suy ra: ; (4 1)B  hoặc ; 56 33
5 5
B
 
 
 
. 
Vì  là phân giác trong của góc A , nên ta chỉ nhận được ; (4 1)B  . 
Gọi ; 
0 0
( )B x y là điểm đối xứng của B qua  và ; (3 1)n

 

. Ta có 
 .BB k n

 
 
 0
0
4 3
1
x k
y k
  
    
 0
0
3 4
1
x k
y k
  
    
 ( 0)k  . 
 , , ( ) ( )d B d B    10 8 8k   
0
8
.
5
k
k
 

  

 Suy ra 8
5
k   , vậy ; 4 3
5 5
B
 
  
 
. 
Khi đó: ( )B AC  và ; 21 3
5 5
CB
 
   
 

, nên ; (1 7)n  

 là một vec-tơ pháp tuyến của đường 
thẳng ( )AC . Do đó ( ) : 7 5 0AC x y   . 
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 
3 5 0
7 5 0
x y
x y
   
   
 nên ta có ; (2 1)A . 
 Ví dụ 1.3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Đường thẳng chứa 
cạnh AB có phương trình là 3 1 0x y   , đường phân giác trong của góc B là 
: 2 2 0x y    và 2BC AB . Viết phương trình của đường thẳng ( )AC của tam 
giác. 
 Tìm tòi 
( )B AB   , suy ra tọa độ điểm B . 
Tính góc giữa hai đường thẳng ( )AB và  . Sử dụng 
 là phân giác trong của góc B , tìm được phương 
trình của đường thẳng ( )BC . 
Sử dụng: ( )A AB , ( )C BC , 2BC AB 
và  là phân giác trong của góc B ta tìm được 
phương trình của đường thẳng ( )AC . 
 Lời giải 
Ta có ( )B AB   ; ( 1 0)B  . 
Các đường thẳng ( )AB và  lần lượt có vec-tơ pháp tuyến là ; (1 3)
AB
n  

 và ; (2 1)n

 

. 
Ta có  , 2cos 2ABn n 
 
  , 045AB   nên  , 045BC   . 
Vậy BC AB , suy ra ; (1 3)
AB
n  

 là một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng ( )BC . 
Vậy ( ) : 3 3 0BC x y   . 
( )A AB ; (3 1 )A a a  và ( )C BC ; ( 3 3)C b b   . 
B C 
A 
 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 5 - 
Ta thấy 2BC AB 2 2( 1) 4b a   1 2b a    hoặc 1 2b a   . 
 Với 1 2b a   ; ( 7 )AC a a   

, nên ( ) : 7 21 0AC x y   . 
Khi đó ; 16 7
5 5
A
 
 
 
 và ; 9 42
5 5
C
 
 
 
 nằm về cùng một phía đối với  , suy ra  là phân giác 
ngoài của góc B . 
 Với 1 2b a   ; ( 5 5 )AC a a  

, nên ( ) : 3 0AC x y   . 
Khi đó ; (2 1)A và ; ( 3 6)C  nằm về hai phía đối với  , suy ra  là phân giác trong của góc B . 
Do đó đường thẳng cần tìm là ( ) : 3 0AC x y   . 
 Ví dụ 1.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp trong đường 
tròn ( ) 2 2: 2 30 0x y x y    C ; đường phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại 
điểm ; 32
2
D
 
 
 
 và đỉnh A thuộc đường thẳng : 4 2 0d x y   . Viết phương trình của 
đường thẳng BC , biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. 
 Tìm tòi 
Ta có ( )A d  C . 
Gọi I là tâm của đường tròn ( )C , E là giao điểm thứ 
hai của ( )C và đường phân giác trong AD . Khi đó ta có 
 BAE CAE  BE CE  , nên BC IE . 
 Lời giải 
A d ; ( 4 2)A t t  , 0t  . 
( )A C 217 23 22 0t t    
2
11
.
7
t
t
 

  

Vì 0t  , nên ta nhận được ; (2 6)A . Khi đó ; 150
2
AD
 
  
 

 nên ( ) : 2 0AD x   . 
( )E AD ; (2 )E m , 6m  . 
( )E  C 2 2 24 0m m    
(loaïi)
(nhaän).
6
4
m
m
 
 
 
 Vậy ; (2 4)E  . 
Đường tròn ( )C có tâm là ; 1 1
2
I
 
 
 
 và  BAE CAE nên  BE CE , suy ra BC IE . 
Vậy ; 5 5
2
IE
 
  
 

 là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng ( )BC . 
Do đó đường thẳng cần tìm là ( ) : 2 5 0BC x y   . 
 Ví dụ 1.5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc 
đường tròn ( ) 2 2: ( 1) ( 2) 25x y   C ; hai đỉnh , B C cùng thuộc đường thẳng 
: 3 4 55 0d x y   và trực tâm của tam giác trùng với tâm của đường tròn ( )C . Biết 
rằng đường tròn ( )C cắt cạnh AB tại điểm thứ hai M sao cho 2MB MA và B có 
hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . 
 
A 
B D 
I 
E 
C 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 6 - 
 Tìm tòi 
Gọi I là tâm của đường tròn ( )C . Ta có: 
AI d và ( )A C , suy ra tọa độ điểm A . 
B d và 2MB MA 
 
, kết hợp với ( )M  C , 
suy ra tọa độ điểm B . 
Sử dụng AC BI , suy ra tọa độ điểm C . 
 Lời giải 
Ta thấy ( )C có tâm là ; (1 2)I  ; d có một 
vec-tơ pháp tuyến ; (3 4)
d
n 

. 
Vì I là trực tâm của ABC và , B C d nên 
.
d
IA k n
 
1 3
2 4
A
A
x k
y k
  
   
3 1
4 2.
A
A
x k
y k
  
   
( )A C nên ta có: 225 25k  
; 
; 
1 (4 2)
1 ( 2 6).
k A
k A
  
 
    
Ta thấy B d nên ; 3 55
4
b
B b
 
 
 
. 
Vì M thuộc đoạn AB và 2MB MA , nên 2MB MA 
 
2
3
8 3 55
.
12
A
M
A
M
x b
x
y b
x
 

    

 Với ; (4 2)A , ta có ; ( )8 13
3 4
b b
M
  
  
 
C nên 
2 2
5 5
25
3 4
b b     
    
   
 2( 5) 144b   
(nhaän)
(loaïi).
7
17
b
b
 
 
 
Khi đó ; (6 21)IB 

 là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng ( )AC , suy ra 
( ) : 2 7 6 0AC x y   . 
C d AC  nên ta có ; 361 92
13 13
C
 
 
 
. 
 Với ; ( 2 6)A   , ta có ; ( )4 3 103
3 12
b b
M
  
  
 
C 
nên 
2 2
7 3 79
25
3 12
b b     
    
   
 (vô nghiệm). 
Do đó các đỉnh của tam giác là: ; (4 2)A , ; (7 19)B  , ; 361 92
13 13
C
 
 
 
. 
 Ví dụ 1.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A có trực tâm 
là ; ( 3 2)H  . Gọi , D E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của tam giác với 
2HD  . Biết rằng đỉnh A có hoành độ dương và thuộc đường thẳng : 3 3 0d x y   , 
I 
A 
C B 
M 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 7 - 
khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng ( )DE bằng 9 10
5
. Viết phương trình của đường 
thẳng BC . 
 Tìm tòi 
Vì AB AC và H là trực tâm của tam giác ABC 
nên ta có HD HE . 
Ta có ; (3 3 )A a a và HD AD , HE AE suy ra 
phương trình của đường thẳng DE theo a . 
Sử dụng , 9 10( )
5
d A DE  và 1a   ta tìm được a . 
Khi đó xác định được tọa độ của B (hoặc C ). Từ đó viết 
được phương trình của đường thẳng BC . 
 Lời giải 
Gọi ; ( )
D D
D x y và ; ( )
E E
E x y . 
Vì AB AC và H là trực tâm của tam giác ABC , nên ta có: 
 2HD HE  nên , D E cùng thuộc đường tròn tâm H bán kính 2HD  . Suy ra: 
 2 2 6 4 9 0
D D D D
x y x y     (1a); 
2 2 6 4 9 0
E E E E
x y x y     (1b). 
 A d ; (3 3 )A a a  với 1a   và . 0AD HD 
 
, . 0AE HE 
 
. Suy ra: 
2 2 3 ( 2) 7 9 0
D D D D
x y ax a y a       (2a); 
2 2 3 ( 2) 7 9 0
E E E E
x y ax a y a       (2b). 
Trừ theo vế (1a) và (2a), (1b) và (2b) suy ra phương trình của đường thẳng DE có dạng 
(3 6) ( 2) 7 18 0a x a y a      . 
Do đó , 9 10( ( ))
5
d A DE  
2 2
(3 6)(3 3) ( 2) 7 18 9 10
5(3 6) ( 2)
a a a a a
a a
     
 
  
 2 25 10 32 36 9 10. 10 32 40a a a a      (*). 
Đặt 210 32 40t a a   , 0t  . Phương trình (*) trở thành 
25 4 9 10t t  2
2
0
5 9 10 20 0
5 9 10 20 0
t
t t
t t
 
       
2 10
10
.
5
t
t
 

 

+ Với 2 10t  , ta có 25 16 0a a  
(nhaän)
 (loaïi).
0
16
5
a
a
 

  

+ Với 10
5
t  , ta có 225 80 99 0a a   (vô nghiệm). 
Vậy ; (3 0)A và : 3 9 0DE x y   , suy ra 3 9
D D
y x  . Thế vào (1a), ta nhận được 
25 24 27 0
D D
x x   9
5D
x   hoặc 3
D
x   . 
A 
H 
B C 
D E 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 8 - 
Suy ra ; 9 18
5 5
D
 
 
 
 và ; ( 3 0)E  . 
Gọi ; 
0 0
( )B x y , ta có ; 
0 0
( 3 )AB x y 

 vuông góc với ; (0 2)HE 

 nên suy ra ; 
0
( 0)B x . 
Ta có ; 6 7
5 5
HD
 
  
 

 nên ( ) : 7 6 9 0HD x y   . 
( )B DH 
0
9
7
x   hay ; 9 0
7
B
 
 
 
. 
Vì / /BC ED nên 27( ) : 3 0
7
BC x y   . 
Do đó phương trình của đường thẳng BC là 21 7 27 0x y   . 
B. BÀI TẬP THỰC HÀNH 
 Bài toán 1.1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường thẳng 
chứa các cạnh AB và AC tương ứng là 
1
: 2 4 0d x y   và 
2
: 3 4 4 0d x y   , 
đường thẳng chứa cạnh BC đi qua điểm ; ( 1 2)M   . Tìm tọa độ các đỉnh B và C của 
tam giác, biết rằng 3 2MB MC . 
 Gợi ý tìm tòi 
Ta có 
1 2
A d d  , 
1
B d ; ( 4 2 )B b b  , 
2
C d ; (4 1 3 )C c c   . 
Vì 3 2MB MC , nên ta có 3 2MB MC
 
 hoặc 3 2MB MC 
 
 suy ra tọa độ của B và C . 
 Bài toán 1.2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh 
; (2 3)C  , đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình 2 6 0x y   và trọng tâm của 
tam giác thuộc đường thẳng : 1 0d x y   . Tìm tọa độ các đỉnh A và B . 
 Gợi ý tìm tòi 
Trọng tâm của ABC là G d ; ( 1 )G t t  . 
Gọi M là trung điểm của AB , ta có 1
3
GM CM . Khi đó 
, , 1( ( )) ( ( ))
3
d G AB d C AB suy ra tọa độ của điểm G . 
Viết được phương trình đường thẳng ( )CG , suy ra tọa độ 
của ( ) ( )M AB CG  . 
Ta có: ; (6 2 )A a a , ; (2 2 )
M A M A
B x x y y  . 
Sử dụng: 
3
3
A B C G
A B C G
x x x x
y y y x
   
   
 ta tìm được tọa độ các đỉnh A và B . 
 Bài toán 1.3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm là 
; ( 1 1)G   ; đỉnh B có tung độ dương và thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y   , đường 
thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A là : 3 8 20 0x y    ; trung điểm của cạnh AC là 
M và 2 2GM  . Tính diện tích của tam giác ABC . 
A 
B C 
M 
G 
 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 9 - 
 Gợi ý tìm tòi 
B d ; (1 2 )B b b  , 0b  và 2BG GM
 
 tìm 
được tọa độ của B , M . 
Sử dụng BC   suy ra phương trình đường thẳng ( )BC . 
A  ; (8 4 3 1)A a a   ; 
Sử dụng ; (2 2 ) ( )
M A M A
C x x y y BC   suy ra tọa độ của 
các đỉnh A và C . 
Diện tích tam giác ABC là , 1 . ( ( ))
2
S BC d A BC . 
 Bài toán 1.4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh 
; (1 3)A , đỉnh B thuộc trục Ox và đỉnh C thuộc đường thẳng : 3 0d x y   . Viết 
phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC . 
 Gợi ý tìm tòi 
B Ox ; ( 0)B b ; C d ; ( 3)C c c  . 
Khi đó: ; ( 1 3)AB b  

 và ; ( 1 6)AC c c  

. 
Sử dụng: + AB AC , ta có 61 3
1
c
b
c

 

 (1). 
 + AB AC , ta có 2 2 2( 1) 9 ( 1) ( 6)b c c      (2). 
Thế (1) vào (2) ta nhận được 2( 1) 9c   và suy ra phương trình của đường thẳng ( )BC . 
 Bài toán 1.5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A , 
đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là 3 8 0x y   , điểm ; ( 3 0)M  thuộc 
cạnh AB và đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm ; (1 3)N . Tìm tọa độ các đỉnh của 
tam giác ABC . 
 Gợi ý tìm tòi 
Gọi ; ( )
AB
n a b

 và ; (1 3)
BC
n  

 tương ứng là 
vec-tơ pháp tuyến của các đường thẳng ( )AB và ( )BC . 
Sử dụng 
. 2
2.
AB BC
AB BC
n n
n n

 
  , tìm được 
2
.
2
a b
b
a
  

 

Suy ra phương trình các đường thẳng ( )AB và ( )AC . 
Tọa độ các đỉnh A , B , C thỏa mãn yêu cầu bài 
toán khi hai vec-tơ MA

 và MB

 ngược hướng. 
 Bài toán 1.6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có tâm của đường 
tròn ngoại tiếp là ; ( 1 2)I  ; các đường thẳng chứa đường cao và đường trung tuyến đi qua 
đỉnh A lần lượt là 
1
: 2 11 0d x y   và 
2
: 13 6 37 0d x y   . Tìm tọa độ các đỉnh B , 
C của tam giác. 
 Gợi ý tìm tòi 
Ta có 
1 2
A d d  và 
1
n

 là một vec-tơ pháp tuyến của đường thẳng 
1
d . 
A 
B C 
M 
N 
 
 
A 
B C 
M  
G 
 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 10 - 
Gọi M là trung điểm của BC , suy ra 
1
n

 là một vec-
tơ pháp tuyến của đường thẳng ( )IM và 
2
( )M IM d  . 
Đường thẳng ( )BC đi qua M và nhận 
1
n

 làm một 
vec-tơ chỉ phương, suy ra phương trình đường thẳng ( )BC . 
Ta có ( )B BC ; ( 2 2 )B b b  . 
Sử dụng IB IA suy ra tọa độ các đỉnh B , C . 
 Bài toán 1.7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm là 
; (1 1)G , đường thẳng chứa cạnh AB là : 10 3 3 0d x y   , đường trung trực của cạnh 
BC là : 3 9 0x y    . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . 
 Gợi ý tìm tòi 
Gọi M là trung điểm của BC , ta có M   nên 
; ( 3 9)M t t  và 2GA GM 
 
 ; (3 2 21 6 )A t t   . 
Sử dụng A d , tìm được tọa độ của A và M . 
Vì BC   , nên suy ra phương trình của đường 
thẳng ( )BC . 
Khi đó: ( )B d BC  và ; (2 2 )
M B M B
C x x y y  . 
 Bài toán 1.8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đường thẳng 
chứa đường cao kẻ từ đỉnh A là : 3 4 8 0d x y   , đường thẳng chứa đường phân giác 
trong kẻ từ đỉnh B là : 2 0x y    . Đường thẳng ( )AB đi qua điểm ; ( 2 3)M  và 
2MC  . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . 
 Gợi ý tìm tòi 
Gọi N là điểm đối xứng của M qua  , tìm được 
tọa độ của N . Sử dụng BC d và ( )N BC , tìm được 
phương trình của ( )BC ( )B BC    . 
Đường thẳng ( )AB đi qua B và M ( )A d AB   . 
( )C BC ; (3 1 4 6)C t t   . 
Sử dụng 2MC  và A , C nằm về hai phía đối với 
đường thẳng  , tìm được tọa độ của đỉnh C . 
 Bài toán 1.9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh C thuộc 
đường thẳng : 2 3 0d x y   , đường thẳng chứa đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A là 
: 2 0x y    . Biết rằng diện tích của tam giác là 9S  và ; ( 1 0)M  là trung điểm 
của cạnh AC , viết phương trình của đường thẳng ( )BC . 
 Gợi ý tìm tòi 
C d ; (2 3 )C t t  . Khi đó 
; (2 2 )
M C M C
A x x y y    suy ra tọa độ của A và C . 
Viết được phương trình đường thẳng ( )AC . 
Gọi N là điểm đối xứng của M qua  , tìm được 
tọa độ của N . Vì ( )N AB nên tìm được phương trình 
đường thẳng ( )AB . Ta có ( )B AB ; ( 2 5)B b b   . 
A 
B C 
M d  
N 
 
C 
A B 
M  
N 
 
A 
B C M 
 
G  
A 
B C 
M 
1
d  I 
2
d 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 11 - 
Sử dụng , 1 . ( ( ))
2
S AC d B AC và B , C nằm về hai phía đối với đường thẳng  , tìm được tọa 
độ của đỉnh B . Suy ra phương trình ( )BC . 
 Bài toán 1.10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , 
trung điểm của cạnh BC là ; ( 2 3)M  , đường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm ; (4 5)E 
và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc B là : 2 1 0x y    . Tìm tọa độ 
các đỉnh của tam giác ABC . 
 Gợi ý tìm tòi 
B   ; (1 2 )B b b  , do đó ; (2 3 6 )C b b  . 
Gọi N là điểm đối xứng của M qua  ( )N AB  . 
ABC vuông tại A nên . 0NB EC 
 
, suy ra tọa độ 
của B và C . 
Khi đó ta có ( ) ( )A BN CE  . 
 Bài toán 1.11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm là 
G , đỉnh ; (2 4)C  , đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A là : 6 0x y    , đỉnh 
B thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y   . Tìm tọa độ các đỉnh A và B của tam giác, biết 
rằng diện tích của tam giác ABG là 1
ABG
S  . 
 Gợi ý tìm tòi 
BC   nên ( ) : 2 0BC x y   ; (3 5)B  . 
A  ; ( 6)A a a  và 3
ABC ABG
S S nên ta có: 
, . ( ( )) 6BC d A BC  2 8 6a   
1
7.
a
a
  
 
 
Suy ra tọa độ của đỉnh A . 
 Bài toán 1.12. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có các đỉnh 
; (4 3)A  , ; (2 1)B  . Diện tích của tam giác là 4S  và bán kính đường tròn ngoại tiếp 
là 2R  . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác, biết rằng C có tung độ dương. 
 Gợi ý tìm tòi 
Đường trung trực của cạnh AB là : 5 0d x y   . 
Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có I d ; ( 5)I a a  . 
Vì AI R , nên 
; 
; 
4 (4 1)
2 (2 3).
a I
a I
  

  
Gọi ; 
0 0
( )C x y ta có: 
(1)
(2).
2 2
0 0
2 2
0 0
( 4) ( 1) 4
( 2) ( 3) 4
x y
x y
    

   
Vì 
0
0y  , nên (2) vô nghiệm. 
Ta có ( ) : 1 0AB x y   và diện tích ABC là , 1 . ( ( ))
2
S ABd C AB
0 0
1x y   . 
Do đó ta có: 
0 0
1 4x y   (3). 
Từ (3) và (1) ta tìm được tọa độ của đỉnh C . 
A 
B C M 
N 
E 
 
 
A 
B C 
 
G 
 
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 12 - 
 Bài toán 1.13. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trung điểm 
của cạnh AC là ; ( 3 5)M  , đường thẳng chứa cạnh BC là : 1 0d x y   , đường thẳng 
chứa đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là ; (4 1)E . 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . 
 Gợi ý tìm tòi 
C d ; ( 1)C a a  , khi đó ; ( 6 11 )A a a   . 
Vì AE d nên ; ( 10 10)AE a a  

 cùng phương với 
; (1 1)
d
n  

, suy ra tọa độ của các đỉnh A , C . 
Đường tròn ( )C ngoại tiếp ABC là đường tròn đi qua 
ba điểm , , A C E nên tìm được phương trình của ( )C . 
Tọa độ đỉnh B là giao điểm thứ hai của đường thẳng d 
và đường tròn ( )C . 
 Bài toán 1.14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có  0135BAC  , 
trung điểm của cạnh BC là ; 1 5
2 2
M
 
 
 
, trực tâm H có hoành độ dương và 
290
2
MH  , đường thẳng chứa đường cao BH có phương trình là 3 8 0x y   . Tìm 
tọa độ các đỉnh B , C của tam giác ABC . 
 Gợi ý tìm tòi 
( )H BH ; ( 3 8)H t t   , 0t  . 
290
2
MH  25 16 21 0t t    , suy ra ; (1 11)H  . 
( )B BH ; ( 3 8)B b b   và ; (1 3 3)C b b  . 
Gọi B  , C  lần lượt là chân các đường cao của tam 
giác kẻ từ B và C . Khi đó tứ giác AB HC  nội tiếp nên 
suy ra  045BHC  . 
Gọi ; (3 1)
BH
n 

, ; ( )
CH
n a b

 lần lượt là vec-tơ pháp tuyến 
của các các đường thẳng ( )BH và ( )CH . Ta có: 
2 2
3 2
210( )
a b
a b



 2 22 3 2 0a ab b   
2
2 .
a b
a b
  
 

Suy ra: ; (2 1)
CH
n  

 hoặc ; (1 2)
CH
n 

. Do đó xảy ra các trường hợp sau 
+ ( ) : 2 13 0CH x y   , vì ( )C CH nên ta có 14
5
b   ; 14 2
5 5
B
 
  
 
, ; 19 27
5 5
C
 
 
 
. 
+ ( ) : 2 21 0CH x y   , vì ( )C CH nên ta có 28
5
b   ; 28 44
5 5
B
 
  
 
, ; 33 69
5 5
C
 
 
 
. 
H 
A 
E 
B 
M 
C 
 
B  
A 
C M 
H 
B  
C  
TÌM TÒI LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN Phương pháp tọa độ trên mặt phẳng 
ngocdung.tspv@gmail.com - 13 - 
IV. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI 
Nội dung của đề tài là một phần cơ bản trong chương trình Luyện thi đại học hàng năm 
dành cho học sinh tại Trung tâm luyện thi đại học của Trường THPT Nguyễn Trãi và đã tạo 
điều kiện giúp các em đạt kết quả cao trong các kỳ thi vào các trường đại học trong những 
năm qua. 
V. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ 
Nội dung của đề tài ở phần này cũng có thể là tài liệu tham khảo cho giáo viên trong 
quá trình lựa chọn các bài tập phục vụ cho các tiết luyện tập nâng cao cho học sinh lớp 10, 
hay việc ôn tập kiến thức trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia cho học sinh lớp 12. 
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Một số bài toán thực hành trong nội dung đề tài được biên soạn dựa trên việc khai thác 
nội dung một số bài toán ở một số Đề thi thử đại học tại trang mạng: www.VNMATH.com 
và www.moon.vn.