SKKN Phương pháp tạo hứng thú cho học sinh trong việc tìm lời giải cho các bài toán tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Hình học 11

phương pháp giải trên. Tuy nhiên ở bài này hình đã cho là hình chóp đều nên yêu cầu vẽ hình chính xác, ngoài ra ta còn sử dụng tính chất đường cao trong tam giác vuông trong hình học phẳng. 
 Giải: Vì nên . Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB bằng khoảng cách giữa AB và mặt phẳng chứa và song song với .
 Gọi lần lượt là trung điểm của , ta được là trung điểm của và . Do đó:.
Ta có: với .
Trong tam giác vuông SOK ta kẻ.
Ví dụ 4: Hình hộp chữ nhật có , ,. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu? 
Lại có: do đó . Vậy: 
Phân tích: Nhận thấy hai đường thẳng AC và B’D’ nằm lần lượt trong hai mặt phẳng (ABCD) và (A’B’C’D’) song song với nhau. 
Giải: Ta có và .
Nên .
Chú ý: Ta cũng có thể nhận ra ngay đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và B’D’ là OO’, với O, O’ lần lượt là trung điểm của AC và B’D’.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại, , cạnh bên . Gọi là trung điểm của . Tính 
a
Giải: Trước hết, ta dựng một mặt phẳng chứa đường thẳng AM và song song với đường thẳng B’C để chuyển về tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Lấy là trung điểm khi đó ME// B’C nên B’C// (MAE).
Từ đó: .
Sử dụng phương pháp dịch chuyển điểm ta có: Vì E là trung điểm BB’ nên 
 	Mà tứ diện có 3 góc vuông ở nên 
Suy ra .
Ví dụ 6: Hình thoi tâm , cạnh và có . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại , lấy một điểm sao cho . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Phân tích: Với bài toán này ta nhận 
thấy hai đường thẳng và có nằm trong mặt phẳng vuông góc với . Ta áp dụng khả năng 1 để giải.
Giải: Từ O kẻ OI vuông góc với SA tại I. Khi đó OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD, khoảng cách giữa và chính là độ dài đoạn OI.
Hai tam giác vuông và có cạnh chung và nên chúng bằng nhau. Do đó suy ra tam giác SOA cân tại O.
Xét tam giác SOB vuông tại O có 
Ví dụ 7: Cho hình lập phương , cạnh bằng . Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng bao nhiêu?
Xét tam giác SOA cân tại O có .
Phân tích: Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên dễ nhận thấy và . Do vậy .
Ta có: . Gọi H là giao điểm của với . Vì là hình vuông nên .
Ta có: suy ra là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng và , do đó .
Ví dụ 8: Cho hình chóp có và vuông góc với mặt phẳng , đáy là tam giác vuông cân tại với . Gọi là trung điểm của .
a) Hãy dựng đoạn vuông góc chung của và .
b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của và .
Phân tích: Dễ nhận thấy BC và SM không vuông góc với nhau nên ta sử dụng cách dựng đưa ra trong khả năng 2.
Giải: a) Để dựng đoạn vuông góc chung của và ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Dựng mặt phẳng chứa SM và song song với BC. Gọi là trung điểm của , suy ra .
Ta có: và . 
Hạ .
Từ dựng song song với và cắt tại . Từ dựng song song với và cắt tại .
Khi đó là đoạn vuông góc chung của và .
Cách 2: Dựng mặt phẳng vuông góc với BC tại B, xác định hình chiếu của SM lên .
 Phân tích rằng . Do đó chính là mặt phẳng qua và vuông góc với . Gọi là trung điểm của suy ra ; 
hay là hình chiếu vuông góc của trên .
Hạ tại H. Suy ra . Từ dựng song song với và cắt tại .Từ dựng song song với và cắt tại .
Khi đó là đoạn vuông góc chung của và .
b) Phân tích rằng tam giác và tam giác là hai tam giác vuông có hai góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng, suy ra:
 với 
 .
Ví dụ 9: Cho hai tia và nằm trên hai đường thẳng chéo nhau và tạo với nhau góc , đường thẳng cùng vuông góc với và . Lấy , sao cho Biết . Dựng đường vuông góc chung của , . Tính độ dài đoạn vuông góc chung theo .
Suy ra . Vậy khoảng cách giữa và bằng 
 Phân tích: Bài này ta chư thể tìm ra ngay đường vuông góc chung mà chúng Phân tích: Nhận thấy MN và AB không vuông góc với nhau nên ta xây dựng mặt phẳng vuông góc với và cắt tại N. Dựng hình chiếu cua MN lên mặt phẳng đó, sau đó áp dụng cách 2 cho khả năng 2.
Giải: Dựng . Từ kẻ đường thẳng song song với cắt tại . 
Kẻ . Qua E dựng đường thẳng song song với , cắt tại . Qua kẻ đường thẳng song song với , cắt AB tại I. Ta có: 
(Vì .
Từ đó .
Ta có: suy ra là đường vuông góc chung của và . Ta có do đó 
Ví dụ 10: Đề thi đai học khối A năm 2011 
 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , .
Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt phẳng . Gọi là trung điểm , mặt phẳng qua và song song với cắt tại Biết góc giữa hai mặt phẳng và bằng 600. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Phân tích: Chú ý bài này chính là đường cao của hình chóp.
Với ý thứ 2 ta dựng một mặt phẳng chứa và song song với , từ đó đưa về bài toán tính khoảng cách giữa một điểm và một mặt phẳng. 
Giải: 
Từ và 
nênmà . Suy ra : 
hay là góc tạo bởi mặt phẳng và 
Mặt khác: là đường trung bình của
nên 
Vậy 
= 
 Qua, vẽ .Suy ra :
Hạ ( 
Vì và nên mà hay
* Hạ 
Vậy là khoảng cách giữavà ; hay là khoảng cách giữa AB và SN. Xét 
tgSBA.AB =
AH = 
VÝ dô 11: ( Đề thi đại học khối A năm 2010)
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Gọi ; lần lượt là trung điểm của các cạnh và .; là giao điểm của với . Biết vuông góc với () và . Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Phân tích: Để ý thấy vuông góc với mặt phẳng () chứa hay .
Giải: a) Ta có : 
 nên 
+ Áp dụng định lí Pitago. Ta có :
.
Vậy 
 Từ chứng minh trên.
Ta có : mà MD
Vậy 
Hạ mà nên 
hay là khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
+ Mặt khác : 
Ví dụ 12: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành , và góc . Tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (), góc giữa và mặt đáy là .
Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng đáy.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Áp dụng hệ thức lượng. Ta có :
Phân tích : Vì nên đường cao SH của hình chóp cũng là đường cao của tam giác SAB.
Với câu b) ta có thể sử dụng cách 1 dựng mặt phẳng chứa SD và song song với AB.
Giải: a) Hạ tại , khi đó độ dài đoạn là khoảng cách từ tới mặt phẳng đáy. Xét tam giác vuông tại góc góc suy ra . Vậy .
b) Vì là hình bình hành nên . Lấy sao cho . Khi đó . Từ kẻ . Khi đó (Vì )
 Từ đó là khoảng cách từ đến hay .
Xét có suy ra . Vậy 
Với bài toán ví dụ 12. Nếu ta thay giả thiết đáy ABCD là hình bình hành thành tam giác ABC và thay đổi một vài giả thiêt ta được bài toán sau đây: 
Ví dụ 13: Cho hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
 (), và góc . Mặt phẳng () tạo với đáy một góc một góc 600. 
a) Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng đáy. 
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
 Phân tích: Nhận thấy đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên khoảng cách từ đáy đến mặt phẳng đáy chính là độ dài đoạn SA. Để tính đoạn SA ta gắn vào tam giác SAE với E là chân đường cao của tam giác ABC hạ từ A. 
Giải: a) Kẻ . Ta tính được . Khi đó góc . Mặt khác 
.
Vậy:.
Nhận thấy hai đường thẳng AC và SB không vuông góc với nhau. Ta dựng mặt phẳng vuông góc với AC tại A. Xác định hình chiếu của SB lên . Từ đó tìm ra đường vuông góc chung của hai đường thẳng này.
Lấy sao cho suy ra tại . Kẻ . Khi đó hình chiếu của lên là .
Kẻ . Xét tam giác có góc ,
Xét có . Hay 
 Với bài toán ví dụ 12. Nếu ta thay giả thiết đáy ABCD là hình vuông và thay đổi một vài giả thiêt ta được bài toán sau đây: 
Ví dụ 14: Cho hình chóp có đáylà hình vuông cạnh . Mặt phẳng vuông góc với mặt đáy , có 
Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng đáy.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Giải: a) Kẻ . Khi đó là khoảng cách từ đến mặt phẳng . Ap dụng định lí Pitago cho tam giác vuông , tại . Ta có . 
b) Qua kẻ . Lấy sao cho . Khi đó ảnh của lên là . Từ kẻ . Khi đó là khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng và chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . Xét , đặt . Mặt khác 
 . 
Ví dụ 15: Cho hai tam giác cân và có chung đáy , nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau và có . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Chứng minh rằng là đường vuông góc chung của và . Tính theo a và x độ dài đoạn thẳng .
Phân tích: Bài toán này không khó, chúng ta chú ý tới giả thiết về đặc điểm hai tam giác và là bài toán được giải quyết xong ngay. 
Bài giải: Nhận thấy tam giác ACD và tam giác BCD là hai tam giác cân bằng nhau nên . Lại có: .
Suy ra tam giác ANB là tam giác vuông cân tại N nên .
Mặt khác: . Vậy là đường vuông góc chung của và . Mặt khác tam giác vuông cân tại nên Với Vậy 
Ví dụ 16 (ĐH_A_2012). 
Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là nằm trên cạnh sao cho . Góc giữa và mặt phẳng bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
 Phân tích: Đây là bài toán khó, không thể tính ngay được khoảng cách cần tìm theo các phương pháp thông thường mà chúng ta cần chuyển từ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, và việc chọn mặt phẳng hợp lí là điều cần quan tâm. 
Giải:
	Vẽ hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng là nên góc là góc giữa đường thẳng và 
Þ
	Xét ta có: 
; . Qua kẻ đường thẳng D song song với , gọi là mp chứa và suy ra . Kẻ HI ^D tại I Þ (SHI) ^ (a), kẻ tại K Þ HK ^ (a) Þ d(H,(a)) = HK. 
 Ta có :
. 
Vậy .
Ví dụ 17 (ĐH-2008). 
	Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông, , cạnh bên. Gọi là trung điểm của . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo . 
Phân tích : Xây dựng mặt phẳng B’C và song song với AM . Ta đưa về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Giải: 
Ta có: 
Þ . Qua kẻ đường thẳng D song song với , gọi là mặt phẳng chứa và D suy ra 
Kẻ tại 
, kẻ tại . Ta có: 
.
 Vậy 
3.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
3.3.1. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho tứ diện có mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác vuông ở . Biết . Góc giữa mặt phẳng và bằng 600 . Tính thể tích tứ diện và khoảng cách từ đến mặt phẳng theo .
Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , góc . Các mặt phẳng , tạo với đáy các góc 900, 600, 
Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, DC theo .
Bài 3: Cho tứ diện có và , các cạnh còn lại đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm AB và CD.
a) Chứng minh và là đường vuông góc chung của và . Tính theo .
b) Tìm để hai mặt phẳng và vuông góc với nhau.
Bài 4: Cho hình vuông . Gọi là trung điểm . Vẽ với . Gọi lần lượt là trung điểm . Dựng và tính đoạn vuông góc chung của:
a) và 
b) và 
Bài 5: Cho hình lập phương cạnh 
a) Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
b) Gọi lần lượt là trung điểm . Tính góc của hai đường thẳng và .
Bài 6: Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi là trung điểm . Chứng minh vuông góc với . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng vài .
Bài 7: Cho hai hình chữ nhật không cùng thuộc một mặt phẳng và vuông góc với .
a) Gọi là giao điểm của với mặt phẳng chứa và song song với. Tính 
b) Tính khoảng cách giữa và .
Bài 8 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với mặt đáy, góc tạo bởi và mặt phẳng bằng 300. Gọi là trung điểm của . 
Tính thể tích khối chóp . 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và theo .
Bài 9: Cho hình chóp , đáy là tam giác vuông tại có , , vuông góc với mặt phẳng , . Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm trên các cạnh và . Tính thể tích của khối chóp .
3.4. 2. Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: (Trích đề thi THPT quốc gia năm 2018) 
	Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng.
Bài 2: (Trích đề thi minh họa THPT quốc gia học năm 2018) 
	Cho hình lập phương cạnh . Gọi , lần lượt là trung điểm và (hình vẽ). 
Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’bằng
Bài 3: (Trích đề thi THPT quốc gia năm 2018) 
	Cho tứ diện có , , đôi một vuông góc với nhau, 
và . Gọi là trung đểm . Khoảng cách hai đường thẳng và bằng
Bài 4: (Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, góc BCA bằng 600 , AC =2 SA vuông góc với đáy, SA=1 . Gọi M là trung điểm AB. Khoảng cách d giữa SM và BC là:
Bài 5: (Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Mặt bên là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
Bài 6: ( Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
	Cho khối chóp , có đáy là hình vuông cạnh 2. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD=3HB. Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng đáy bằng nửa góc vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng:
Bài 7: ( Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
Cho tam giác đều ABC có cạnh . Điểm H thuộc cạnh AC với HC=. Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH=. Khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) bằng:
Bài 8: ( Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, CH vuông góc với AB tại H, I là trung điểm của đoạn HC. Biết SI vuông góc với mặt phẳng đáy, góc ASB bằng 900. Gọi O là trung điểm của đoạn AB, O’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABI. Góc tạo bởi đường thẳng OO’ và mặt phẳng (ABC) bằng:
Bài 9: ( Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc với đáy . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) là góc:
Bài 10: (Trích đề thi thử THPT quốc gia năm 2019)
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD:
3.5. KẾT QUẢ 
Sau khi áp dụng đề tài này tôi thấy hạn chế của học sinh giải các bài tập về “bài toán tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Hình học 11” đã được khắc phục đáng kể như: Hạn chế học sinh bị điểm yếu khi giải bài tập phần này, chất lượng học sinh tăng lên đáng kể, số học sinh nhận dạng và giải bài tập tốt hơn nhiều. Việc phân loại dạng bài và đưa ra phương pháp giải cùng với các bài tập để học sinh tự giải đã giúp các em khắc phục được tình trạng lúng túng khi giải các bài tập có liên quan. Học sinh nắm vững kiến thức hơn, phương pháp tốt hơn, kĩ năng làm bài tập tốt hơn. Học sinh hứng thú học bài, tiếp thu kiến thức tốt, tích cực trong học tập, vận dụng ý tưởng của mình. 
Những sự thay đổi của học sinh thể hiện kết quả tác động tích cực của đề tài, thể hiện chất lượng đại trà môn toán lớp 11A5, 11B trường THPT Quỳnh Lưu 2 như sau:
Trước khi áp dụng SKKN
Sau khi áp dụng SKKN năm 2020-2021
Lớp 11A5
Sĩ số 42
SL
Tỉ lệ %
Lớp 11A5
Sĩ số 42
SL
Tỉ lệ %
Giỏi
7
2,38
Giỏi
18
42,9
Khá
16
14,28
Khá
17
40,5
TB
14
57,14
TB
7
16,6
Yếu
5
26,19
Yếu
0
0
Trước khi áp dụng SKKN
Sau khi áp dụng SKKN năm 2020-2021
Lớp 11B
Sĩ số 41
SL
Tỉ lệ %
Lớp 11B
Sĩ số 41
SL
Tỉ lệ %
Giỏi
5
12,2
Giỏi
12
29,3
Khá
16
39
Khá
23
56,1
TB
16
39
TB
5
12,2
Yếu
4
9,8
Yếu
1
2,4
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
1.1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 
Nhằm tạo cảm hứng giúp các em tự tạo động lực cho mình, thúc đẩy và phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập, góp phần nâng cao hiệu quả học tập, hiệu quả giảng dạy cho bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung. 
Trong dạy học cần khơi nguồn hứng thú, môi trường học tập sôi nổi, cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến thức trọng tâm, các phương pháp chứng minh phục vụ trong quá trình làm bài tập. Ngoài ra cần hình thành cho học sinh kỹ năng vẽ hình. Nắm vững các yếu tố trên sẽ giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi, học sinh tiếp thu kiến thức ngày một tốt hơn. Từ đó góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy.
Qua vận dụng phương pháp hướng dẫn học sinh giải bài tập tìm đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian tôi nhận thấy kỹ năng thực hiện các thao tác tư duy trong học tập của các em được nâng cao rõ rệt và góp phần đáng kể vào phát triển tư duy đặc trưng của bộ môn hình học không gian nói riêng cũng như phát triển tư duy khoa học nói chung cho học sinh. Tôi thiết nghĩ, với mỗi giáo viên có tâm huyết với giáo dục nói chung, và với những giáo viên Toán học nói riêng cần phải tìm tòi, suy nghĩ về nghiệp vụ sư phạm, sáng tạo được ít nhiều trong công việc của bản thân. 
1.2. Khả năng ứng dụng
Sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh khối 11. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm là tạo hứng thú giúp các em yêu thích môn học hơn. Sáng kiến kinh nghiệm đi sâu khai thác phương pháp đặt vấn đề, phân tích, hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
1.3. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển
Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn môn hình học không gian thì giáo viên cần phải có một số kỹ năng sau:
- Khả năng tạo niềm vui, niềm tin và sự hứng khởi trong học tập cả các em.
- Kỹ năng vẽ hình và trình bày lời giải.
- Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề, giúp học sinh biết tư duy và trực quan hình vẽ.
Giáo viên phải tâm huyết, nhiệt tình, gương mẫu quan tâm đến học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập. Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh. Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2. Kiến Nghị - Đề Xuất
2.1. Một số kiến nghị
2.1.1. Đối với giáo viên
	Trong các giờ học cần tăng cường cho học sinh các hoạt động tìm tòi, liên tưởng, liên hệ với cuộc sống hàng ngày và thực tiễn xung quanh nhà trường, lớp học, gia đình và xã hội để các em thấy rõ hơn ý nghĩa của những tri thức và hứng thú hơn trong học tập. Cần quan tâm nhiều đến phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho bản thân. Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học để đánh giá nâng cao kết quả học tập của họcsinh.
2.1.2. Đối với học sinh
Tích cực tham gia các tiết học ngoại khóa, các yêu cầu học tập mà giáo viên tổchức. Thường xuyên có ý thức liên hệ toán học với thực tiễn và các môn học khác để thấy được tầm quan trọng của việc học toán, từ đó có thêm động lực và hứng thú đối với việc họctoán
Tăng cường hoạt động nhóm, trao đổi với bạn bè.
Tăng cường khả năng tự học, tự tìm kiếm thông ti, tài liệu nhằm đáp ứng các kĩ năng học tập trong thời đại 4.0.
2.1.3. Đối với Ban giám hiệu
Trang bị thêm cơ sở vật chất để đáp ứng cho quá trình dạy học
Tổ chức các hoạt động ngoại khóa, các hoạt động trải nghiệm sáng toán để học sinh có thêm nhiều cơ hội vận dụng toán học vào thực tiễn.
Ngày 20 tháng 03 năm 2021
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa Hình học 11- NXBGD, 2014.
[2] Bài tập hình học 11- NXBGD, 2014.
[3] Hình học nâng cao 11- NXBGD, 2014.
[4] Bài tập hình học nâng cao 11- NXBGD, 2014.
[5] Giải toán Hình học 11- NXB Hà Nội- Lê Hồng Đức- Nhóm Cự Môn, 2011.
[6] Bộ đề tuyển sinh đại học- Nguyễn Đức Dân, 2001.
[7] Đề thi THPT Quốc gia năm học 2016- 2017, 2017- 2018.
[8] Đề thi thử THPT Quốc gia năm học 2018- 2019.
MỤC LỤC
Trang
PHẦN 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1
1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích của đề tài
2
1.3. Đối tượng và phạm vi của đề tài
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
3
1.4.1. Phương pháp
3
1.4.2. Cách thực hiện
3
1.5. Thời gian nghiên cứu
3
PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
4
Chương 1: Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn của đề tài
4
1.1. Cơ sở lí luận chung
4
1.1.1. Thực trạng của vấn đề
4
1.1.2. Thực trạng tại trường trước khi nghiên cứu đề tài:
6
Chương 2: CÁC BIỆN PHÁP NHẰM GÂY HỨNG THÚ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH
7
2.1. Dùng sơ đồ tư duy
7
2.2. Sử dụng công nghệ thông tin trong dạy học
9
2.3. Dạy học hợp tác theo nhóm, tổ chức trò chơi trong học tập
9
Chương 3. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
10
3. 1. CÁC ĐỊNH NGHĨA
10
3. 2. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN, BÀI TOÁN CƠ BẢN VÀ BÀI TOÁN VẬN DỤNG
11
3. 2. 1. Vấn đề 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 
11
3. 2. 2. Vấn đề 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
15
3.3. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
35
3.3.1. Bài tập tự luận
35
3.4. 2. Bài tập trắc nghiệm
37
3.5. KẾT QUẢ 
39
PHẦN 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
41
1. Kết luận
41
1.1. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm
41
1.2. Khả năng ứng dụng
41
1.3. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển
41
2. Kiến Nghị - Đề Xuất
42
2.1. Một số kiến nghị
42
2.1.1. Đối với giáo viên
42
2.1.2. Đối với học sinh
42
2.1.3. Đối với Ban giám hiệu
42
TÀI LIỆU THAM KHẢO
44