SKKN Phát triển năng lực thực hành cho học sinh THCS thông qua việc tiếp cận một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức vào các bài toán thực tế

y sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, đổi biến số, một số bất đẳng thức...
Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 
 Chú ý: 
 Xảy ra dấu '' = '' khi AB 0 
 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0 
Bài 4.1.1 Cho x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
Giải
+ Tìm giá trị nhỏ nhất:
Ta có (Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakosky)
Dấu “=” xảy ra Û Û x = y mà x + y = 1 Þ 
Vậy MinA = khi .
+ Tìm giá trị lớn nhất: Ta có A = x2 + y2 
Û A + 2xy = x2 + 2xy + y2
Û A + 2xy = (x + y)2
Û A + 2xy = 1
Û 2xy = 1 – A 
Trong đó x ≥ 0, y ≥ 0 Þ xy ≥ 0 Þ 1 – A ≥ 0
Û A ≤ 1
Dấu “=” xảy ra Û xy = 0 mà x + y = 1 Þ 
Vậy MaxA = 1 khi x = 1 và y = 0 hoặc x = 0 và y = 1.
Bài 4.1.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = a3 + b3 + ab; Cho biết a và b thoả mãn: a + b = 1.
Giải
 B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab 
 = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 
 Ta có: 2(a2 + b2) (a + b)2 = 1 => a2 + b2 
 Vậy min B = khi a = b = 
Bài 4.1.3 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 A = (x2 + x)(x2 + x - 4) 
 b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 B = - x2 - y2 + xy + 2x +2y 
Giải
 a, A = (x2 + x)(x2 + x - 4) . Đặt: t = x2 + x - 2 
 Þ A = (t - 2)(t + 2) = t2 - 4 - 4 
 Dấu bằng xảy ra khi: t = 0 Û x2 + x - 2 = 0 
 (x - 2)(x + 2) = 0 Û x = -2 ; x = 1.
 Þ min A = - 4 khi x = -2 ; x = 1 ;
 b, Tương tự 
Bài 4.1.4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
 a, C = 
 b, D = 
 c, E = 
Giải
 a, Áp dụng Bất đẳng thức: 
 Dấu '' = ''xảy ra khi AB 0.
 Þ C = 
 Dấu '' = '' xảy ra khi (2x - 3)(1 - 2x) 0 Û 
 Vậy minC = 2 khi 
 b, Tương tự : minD = 9 khi: -3 x 2
 c, minE = 4 khi: 2 x 3
Bài 4.1.5 Cho a < b < c < d, tìm: 
 Minf(x) = + + + 
Hướng dẫn: tương tự: minf(x) = d + c - b - a khi b x c
Bài 4.1.6 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn: + + 2
 Tìm giá trị lớn nhất của tích: P = xyz 
Giải
 (1 - ) + ( 1 - ) = + 2
 Tương tự: 2
 2
 Từ đó suy ra: P = xyz 
 MaxP = khi x = y = z = 
Bài 4.1.7 Cho 3 số dương a, b, c thảo mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = 
Giải
 Ta có: F = (a2 + b2 + c2) + () + 6 
 Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki, ta có: 
 (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2)
 Þ a2 + b2 + c2 
 Tương tự: 3
 Mặt khác: ().1 = ()(a + b + c)
 = 3 + () + () + () 3 + 2 + 2 + 2 = 9
 Þ 9
 Þ 81
 Þ 27
 F + 27 + 6 = 33
 Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 
 Vậy MinF = 33 khi : a = b = c = .
Bài 4.1.8 Cho G = 
 Tìm giá trị lớn nhất của G 
Giải
Tập xác định: x 1; y 2; z 3 
 Ta có: G = + + 
 Theo Bất đẳng thức Côsi ta có: Þ 
Tương tự: ; 
 Þ G 
Vậy MaxG = đạt được khi x = 2 ; y = 2 ; z = 6 
Bài 4.1.9 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của H = với x > 1.
 b) Tìm giá trị lớn nhất của K = 
HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tương tự như bài 5: 
Bài 4.1.10 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y biết 
x2 – 2(y – 3)x + 2y2 - 2y + 4 = 0
Giải
Hướng dẫn:
Để giải được bài toán dạng này, thường ta sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y.
	Thật vậy:
Xét phương trình x2 – 2(y – 3)x + 2y2 – 2y + 4 = 0 (1)
Ta có D’ = b’2 – ac = [-(y – 3)]2 – (2y2 - 2y + 4)
 = y2 – 6y + 9 - 2y2 - 2y – 4
 = -y2 – 4y + 5
Phương trình (1) có hai nghiệm Û D’ ≥ 0
Û -y2 – 4y + 5 ≥ 0
Û y2 + 4y - 5 ≤ 0
Û y2 + 4y + 4 ≤ 4 + 5
Û (y + 2)2 ≤ 9
Û |y + 2| ≤ 3
Û -3 ≤ y + 2 ≤ 3
Û - 5 ≤ y ≤ 1
+ Với y = - 5 thay vào (1) ta được x2 + 16x + 64 = 0
 Û (x + 8)2 = 0
 Û x + 8 = 0
 Û x = - 8
+ Với y = 1 thay vào (1) ta được x2 + 4x + 4 = 0
 Û (x + 2)2 = 0
 Û x + 2 = 0
 Û x = -2 
Vậy Min(y) = -5 khi x = -8; Max(y) = 1 khi x = -2
Bài 4.1.11. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y biết
x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 6y – 11 = 0
Giải
	Xét đẳng thức x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 6y – 11 = 0
Û x2 – 2(y – 2)x + 2y2 – 6y – 11 = 0 (2)
Ta có D’ = b’2 – ac = [-(y – 2)]2 – (2y2 – 6y – 11)
 = y2 – 4y + 4 – 2y2 + 6y + 11
 = - y2 + 2y + 15
Phương trình (2) có hai nghiệm Û D’ ≥ 0
Û - y2 + 2y + 15 ≥ 0
Û y2 – 2y – 15 ≤ 0
Û y2 – 2y + 1 ≤ 1 + 15
Û (y – 1)2 ≤ 16
Û |y – 1| ≤ 4
Û - 4 ≤ y – 1 ≤ 4
Û - 3 ≤ y ≤ 5
+ Với y = -3 thay vào (2) ta được x2 + 10x + 25 = 0
 Û (x + 5)2 = 0
 Û x + 5 = 0
 Û x = -5
+ Với y = 5 thay vào (2) ta được x2 – 6x + 9 = 0
 Û (x – 3)2 = 0
 Û x – 3 = 0
 Û x = 3
Vậy Min(y) = - 3 khi x = -5; max(y) = 5 khi x = 3
4.2. Ứng dụng giải phương trình.
 - Kiến thức: Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức, ta biến đổi hai vế ( VT, VP ) của phương trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phương trình.
 + Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) 
 Þ Phương trình có nghiệm.
 + Nếu VT > VP hoặc VT < VP tại mọi giá trị của ẩn.
 Þ phương trình vô nghiệm.
Bài 4.2.1 Giải phương trình: 13 + 9 = 16x
Giải
 Điều kiện: x 1 (*)
 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 13 + 9
 = 13.2. + 3.2. 13( x - 1 + ) + 3(x + 1 + ) = 16x 
	Dấu '' = '' xảy ra Û ó x = thoả mãn (*) 
	Phương trình (1) có nghiệm ó dấu '' = '' ở (2) xảy ra 
 Vậy (1) có nghiệm x = . 
Bài 4.2.2 a. Tìm giá trị lớn nhất của L = + 
 b. Giải phương trình: + - x2 + 4x - 6 = 0 (*)
Giải
 a. Tóm tắt: ( + )2 2(2x - 3 + 5 - 2x) = 4
 Û + 2
 Þ MaxL = 2 khi x = 2.
 b. TXĐ: 
 (*) Û + = x2 - 4x + 6 
 VP = (x - 2)2 + 2 2, dấu '' = '' xảy ra khi x = 2.
 Þ với x = 2 ( thoả mãn TXĐ ) thì VT = VP = 2.
 Þ phương trình (*) có nghiệm x = 2.
Bài 4.2.3 Giải phương trình:
 + = x2 - 6x + 13 
Giải
Xét phương trình + = x2 - 6x + 13. TXĐ: -2 x 6.
 VP = (x - 3)2 + 4 4. Dấu '' = '' xảy ra khi x = 3.
 VT2 = (.1 + .1)2 (6 - x + x + 2)(1 + 1) = 16
 Þ VT 4, dấu '' = '' xảy ra khi = Û x = 2.
 Þ không có giá trị nào của x để VT = VP Þ Phương trình vô nghiệm
Bài 4.2.4 Giải phương trình: + = 5
 HD: 2 ; 3 Þ VT 5.
 Dấu '' = '' xảy ra khi: ó 
 Þ Phương trình có nghiệm: x = 2; y = 2. 
Bài 4.2.5 Giải phương trình sau:
Giải
 Ta có 
 Vậy 
 Dấu ( = ) xảy ra khi x+1 = 0 x = -1
 Vậy khi x = -1
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1
Bài 4.2.6  Giải phương trình 
Giải
 Áp dụng Bất đẳng thức BunhiaCốpski ta có:
 Dấu (=) xảy ra khi x = 1
 Mặt khác 
 Dấu (=) xảy ra khi y = -
 Vậy khi x =1 và y =-
 Vậy nghiệm của phương trình là 
4.3. Ứng dụng giải hệ phương trình: 
 - Kiến thức: Ứng dụng biến đổi từng phương trình của hệ, suy luận và kết luận nghiệm.
 Lưu ý: Một số tính chất: a) a2 + b2 2ab 
 b) a + c 0 Þ a < b 
 c) nếu a > b > 0.
Bài 4.3.1 Giải hệ phương trình: 
 (1) Û x3 = - 1 - 2(y - 1)2 Û x3 - 1 Û x - 1. (*) 
 (2) Û x2 1 ( vì 1 + y2 2y) Û -1 x 1 (**)
 Từ (*) và (**) Þ x = -1. Thay x = -1 vào (2) ta có: y = 1.
 Þ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x = -1 ; y = 1.
 - Kiến thức: Biến đổi một phương trình của hệ, sau đó so sánh với phương trình còn lại, lưu ý dùng các bất đẳng thức quen thuộc.
Bài 4.3.2 Giải hệ phương trình: 
Giải
 Áp dụng: Bất đẳng thức: A2 + B2 2AB dấu '' = '' xảy ra khi A = B 
 Ta có: x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 .
 Þ x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) 
 Mắt khác: x2y2 + y2z2 2x2yz 
 y2z2 + z2x2 2xy2z
 x2y2 + z2x2 2xyz2 
 Þ 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz.
 Þ x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz. (**)
 Từ (*) và (**) Þ x4 + y4 + z4 xyz 
 Dấu '' = '' xảy ra khi: x = y = z mà x + y + z = 1 nên: x = y = z = 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm: x = y = z = 
Bài 4.3.3 Giải hệ phương trình 
 (với x, y, z > 0) 
Giải
 áp dụng: Nếu a, b > 0 thì: 
 (2) Û 
 Û 6
 Mặt khác: vì x, y, z > nên 6 
 Þ 
 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = z, thay vào (1) ta được: 
 x + x2 + x3 = 14 Û (x - 2)(x2 + 3x + 7) = 0 
 Û x - 2 = 0 Û x = 2.
 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x = y = z = 2. 
Bài 4.3.4 Giải hệ phương trình sau 
Giải
Xét hệ phương trình 
Từ phương trình (1) hay 
Từ phương trình (2) 
 Nếu x = thì y = 2
 Nếu x = - thì y = -2
 Vậy hệ phương trình có nghiệm và 
4.4. Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên
Ngoài ra còn có một số những ứng dụng khác của bất đẳng thức, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt và sáng tạo trong khi giải, học sinh phải nắm chắc được các kiến thức về bất đẳng thức thì mới vận dụng được. 
Bài 4.4.1 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
 = 2
Giải
 Không mất tính tổng quát, ta giả sử x y z, ta có: 
 2 = Þ 2z 3, mà z nguyên dương 
 Vậy z = 1. Thay z = 1 vào phương trình ta được:
 Theo giả sử, x y, nên 1 = 
 Vì y nguyên dương nên y = 1 hoặc y = 2.
 Với y = 1 không thích hợp 
 Với y = 2 ta có: x = 2.
 Vậy (2 ; 2 ; 1) là một nghiệm của phương trình.
 Hoán vị các số trên, ta được nghiệm của phương trình là: 
 (2 ; 2 ; 1) ; (2 ; 1 ; 2) ; (1 ; 2 ; 2)
Bài 4.4.2 Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn
Giải
 Vì x, y, z là các số nguyên nên
 (*)
 Mà 
 Các số x, y, z phải tìm là 
Bài 4.4.3 Tìm các cặp số nguyên thoả mãn phương trình 
 (*)
Giải
 (*) Với x < 0, y < 0 thì phương trình không có nghĩa
 (*) Với x > 0, y > 0 
 Ta có 
 Đặt (k nguyên dương vì x nguyên dương )
 Ta có 
 Nhưng 
 Trong đó giữa k và k + 1 là hai số nguyên dương liên tiếp nên không tồn tại một số nguyên dương nào cả.
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: 
V. Bài tập áp dụng.
Bài 5.1 Cho hai số x và y mà x + y = 1. Chứng minh rằng: 
 a) x2 + y2 b) x4 + y4 
Bài 5.2 Cho a,b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng:
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = a(b + c + d + e)
Bài 5.3 Cho hai số dương x, y và x3 + y3 = x - y CMR: x2 + y2 <1
Bài 5.4 Cho hai số dương x, y. Chứng minh rằng: 
Bài 5.5 Cho ab. Chứng minh rằng: 
Bài 5.6 Cho 3 số x, y, z không âm sao cho x + y + z = a
 Chứng minh rằng: (a - x)(a - y)(a - z) 8xyz
Bài 5.7 Cho a0, b0, c
 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4abc(a + b + c)
Bài 5.8 Cho x2 + 4y2 = 1. Chứng minh rằng: 
Bài 5.9 Chứng minh rằng: Nếu thì 
Bài 5.10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n 3thì 2n > 2n + 1
Bài 5.11 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. 
Chứng minh rằng: 
Bài 5.12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y trong các trường hợp sau:
a) 
b) (y – 3)x2 – 2(y + 1)x + 2y + 7 = 0
c) 3x2 + (2y – 3)x + 2y2 + 4y + 11 = 0
VI. Lưu ý khi áp dụng sáng kiến
Qua việc hướng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là phần kiến thức mở do giáo viên đưa vào cuối các giờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học sinh còn phức tạp, khó hình dung, vì vậy cần đưa kiến thức cho học sinh cần làm từ dễ đến khó,kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh 
Sau khi hướng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến thức cần thiết, đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh.
Cần đưa nội dung vào giờ dạy cho phù hợp, tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt kết quả không mong muốn.
VII. Phạm vi áp dụng.
Đề tài: “Phát triển nâng lực thực hành cho học sinh thông qua việc tiếp cận một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức vào các bài toán thực tế đối với học sinh THCS” được áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 thích hợp nhất là học sinh lớp 9 và đặc biệt đối với đối tượng là học sinh khá giỏi. 
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
VIII. Kết luận – Khuyến nghị
8.1 Kết luận
8.1.1 Nghiên cứu lý luận cho thấy
- Bất đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình toán ở các trường THCS, hỗ trợ cho việc hoàn thiện kiến thức toán bậc THCS nói riêng và hình thành và hoàn thiện phát triển tư duy cho học sinh nói chung. Bất đẳng thức còn tạo điều kiện cho học sinh phát huy khả năng tìm tòi, khám phá cùng với sự phát triển khả năng phân tích tổng hợp. Bất đẳng thức còn tạo điều kiện trực tiếp cho học sinh huy động mọi năng lực nhận thức, nâng cao khả năng tự học, rèn luyện kỹ năng học tập và thực hành. 
Việc học tốt bất đẳng thức sẽ giúp phát huy tối đa vai trò của bộ môn toán nói riêng và của việc dạy và học nói chung trong việc nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo học sinh ở trường THCS.
 8.1.2. Kết quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến.
Qua việc áp dụng sáng kiến trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định được loại toán và cách làm, nhiều em học sinh đã làm được các bài tập về bất đẳng thức và đã có hướng thú hơn khi học toán.
 Kết quả điều tra thực trạng sau khi áp dụng sáng kiến.
Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình.
Thực hiện việc kiểm tra khảo sát ở học sinh lớp 8, 9 kiến thức về bất đẳnh thức trước khi tôi áp dụng đề tài tôi thu được kết quả như sau: 
Bảng 6.1.1: Điều tra về việc nhận biết các bất đẳng thức cơ bản của học sinh
Lớp
Sĩ số
Nhận biết đúng
Nhận biết sai
Số lượng
%
Số lượng
%
8A
37
28
75,7
9
24,3
8B
41
33
80,5
8
19,5
9A
43
41
95,3
2
4,7
9B
42
38
90,5
4
9,5
Bảng 6.1.2: Điều tra về việc chứng minh bất đẳng thức.
Lớp
Sĩ số
Biết cách chứng minh
Không biết chứng minh
Số lượng
%
Số lượng
%
8A
37
25
67,6
12
32,4
8B
41
29
70,7
12
29,3
9A
43
32
74,4
11
25,6
9B
42
30
71,4
12
28,6
Bảng 6.1.3: Điều tra về việc sử dụng bất đẳng thức vào bài toán cực trị
Lớp
Sĩ số
Biết cách sử dụng
Không biết sử dụng
Số lượng
%
Số lượng
%
8A
37
28
75,7
9
24,3
8B
41
33
80,5
8
19,5
9A
43
35
81,4
8
18,6
9B
42
34
81
8
19
Bảng 6.1.4: Điều tra về việc sử dụng bất đẳng thức vài giải phương trình và hệ phương trình.
Lớp
Sĩ số
Biết cách làm
Không biết làm
Số lượng
%
Số lượng
%
8A
37
21
56,8
16
43,2
8B
41
26
63,4
15
36,6
9A
43
28
65,1
15
34,6
9B
42
25
59,5
17
40,5
Bảng 6.1.5: Điều tra về sự hào hứng của học sinh khi học về bất đẳng thức
Lớp
Sĩ số
Thích
Không thích
Số lượng
%
Số lượng
%
8A
37
35
94,6
2
5,4
8B
41
40
97,6
1
2,4
9A
43
41
95,3
2
4,7
9B
42
39
92,9
3
7,1
Biểu đồ 6.1.1: Việc học sinh làm tốt các bài toán về bất đẳng thức cụ thể theo biểu đồ sau:
Biểu đồ 6.1.2: Sự hứng thú của học sinh khi học về bất đẳng thức.
* Kết quả: Sau khi áp dụng sáng kiến vào giảng dạy thu được kết quả rất đáng ghi nhận:
- Tỉ lệ học sinh biết cách làm các dạng toán về bất đẳng thức tăng so với trước khi áp dụng sáng kiến:
+ Khối 8: Tăng 59,64%
+ Khối 9: Tăng 66,81%
- Tỉ lệ học sinh có hứng thú học về dạng toán bất đẳng thức tăng so với trường khi áp dụng sáng kiến:
+ Khối 8: Tăng 84,7%
+ Khối 9: Tăng 80%
8.2 Khuyến nghị
8.2.1 Đối với Sở GD&ĐT
- Xây dựng kế hoạch đào tạo, bồi dưỡng cho đội ngũ giáo viên theo các chu kì hoặc theo các chuyên đề nhằm không ngừng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ, năng lực chuyên môn và kĩ năng sư phạm cho giáo viên.
- Tham mưa với bộ giáo dục hoặc đặt hàng để phát hành nhiều hơn nữa những tài liệu tham khảo về các dạng toán liên qua đến bất phương trình, bất đẳng thức.
- Hàng năm khi ra đề kiểm tra khảo sát chất lượng, đề thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào các trường THPT cần có nội dung về bất đẳng thức, để qua
đó định hướng cho giáo viên và học sinh nhu cầu nghiên cứu về toán bất đẳng thức.
8.2.2 Đối với Phòng GD&ĐT 
- Tạo điều kiện cho cán bộ, giáo viên trong toàn huyện có nhiều điều kiện thuận lợi hơn nữa trong việc tham gia các lớp học bồi dưỡng nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ về bộ môn toán nói riêng và chuyên môn nghiệp vụ sư phạm nói chung.
 - Tạo điều kiện cho giáo viên phát huy hơn nữa công tác tự học thông qua việc tham gia và tổ chức các chuyên đề bàn về bất đẳng thức nói riêng và chương trình toán nói chung.
- Khi ra đề kiểm tra đại trà, kiểm tra khảo sát hoặc đề thi học sinh giỏi thì cần cho nhiều hơn nữa nội dung về bất đẳng thức để qua đó định hướng cho giáo viên và học sinh nhu cầu nghiên cứu về toán bất đẳng thức.
8.2.3 Đối với các trường THCS.
- Tạo điều kiện cử cán bộ giáo viên đi học nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ.
- Lãnh đạo nhà trường cần tăng cường mua bổ sung các sách, tài liệu tham khảo về bất đẳng thức nói riêng và các phân môn khác nói chung.
- Chỉ đạo tổ khoa học tự nhiên, nhóm chuyên môn toán cần nghiên cứu nghiều chuyên đề về bất đẳng thức.
- Cần có những sân chơi tri thức giúp học sinh có được lòng ham mê học tập và rèn luyện.
8.2.4 Đối với giáo viên và học sinh:
8.2.4.1 Đối với giáo viên:
- Giáo viên toán nói riêng và giáo viên các bộ môn khác nói chung cần có tinh thần và ý thức tự học và sáng tạo để trở thành một tấm gương sáng cho học sinh noi theo.
- Giáo viên toán cần nghiên cứu sâu và tổng hợp được những nhóm kiến thức cơ bản và phương pháp nghiên cứu tương ứng về bất đẳng thức để định hướng giúp học sinh có phương pháp học tốt nhất và lòng đam mê về phần bất đẳng thức.
8.4.2.2 Đối với học sinh:
- Học sinh cần nắm chắc các tính chất và bất đẳng thức cơ bản trong chương trình toán THCS.
- Biết phân loại các dạng toán và phương pháp tương ứng.
- Chịu khó tìm tòi và phát triển các bài toán có sẵn thành các bài toán tương tự và nâng cao.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Các phương pháp chứng minh Bất đẳng thức – Nguyễn Vũ Thanh
2) 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức (tập 1) – Phạm Huy Khải
3) 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức (tập 2) – Phạm Huy Khải
4) Phương pháp tìm GTNN và GTLN – Phạm Huy Khải
5) Các bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Vũ Hoàng Lân
6) Tuyển tập 180 bài toán bất đẳng thức – Võ Đại Mau
7) 250 bài toán đại số - Võ Đại Mau
8) Phương pháp bất đẳng thức – Trần Văn Thương
9) Phương pháp giải 35, 36 bộ đề thi vào cấp III và bồi dưỡng học sinh giỏi – Võ Đại Mau.
10) Những bài toán hay và khó – Nguyễn Đễ
11) Các đề vô địch 19 nước – Nguyễn Đễ
12) Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8 – Vũ Dương Thụy
13) Toán bồi dưỡng học sinh đại số 9 – Vũ Hữu Bình
14) Toán nâng cao và phát triển đại số 8 – Vũ Dương Thụy
15) Toán nâng cao và phát triển đại số 9 – Vũ Dương Thụy
16) Giáo trình đại số sơ cấp trường Đại học sư phạm I Hà Nội – Đỗ Đức Thái
MỤC LỤC
 THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN 	1
 TÓM TẮT NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2
 MÔ TẢ SÁNG KIẾN 6
I. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 6
1.1. Mục đích nghiên cứu	 6
1.2. Nhiệm vụ nghiên cứu	7
1.3. Giới hạn nghiên cứu	7
1.4. Phương pháp nghiên cứu	7
1.4.1. Câu hỏi nghiên cứu/ giả thuyết nghiên cứu	7
1.4.2. Phương pháp nghiên cứu	8
1.4.2.1. Phương pháp nghiên cứu tài liệu lý luận	8
1.4.2.2. Phương pháp điều tra bằng phiếu (ankét)	9
1.4.2.3. Phương pháp thử nghiệm	9
1.4.2.4. Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia	9
1.4.2.5. Phương pháp phỏng vấn	 10
1.4.2.6. Phương pháp xử lý số liệu	 10
1.4.3. Phạm vi, thời gian khảo sát	 11
1.4.3.1. Phạm vi nghiên cứu	 11
1.4.3.2. Thời gian khảo sát:	 11
1.5. Kết quả nghiên cứu thực trạng	 11
II. Các kiến thức cần nhớ.	 14
2.1. Một số khái niệm về bất đẳng thức	 14
2.2. Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức:	 14
2.3. Một số bất đẳng thức thông dụng:	 	 17
III. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức.	 17
3.1. Phương pháp 1: Dùng định nghĩa 	 17
3.2. Phương pháp 2: Dùng phép biến đổi tương đương.	 	 29
3.3. Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức quen thuộc.	 27
3.4. Phương pháp 4: Dùng các tính chất của bất đẳng thức: 	 32
3.5. Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác. 35
3.6. Phương pháp 6: Chứng minh phản chứng.	 37
3.7. Phương pháp 7: Đổi biến số 	 41
3.8. Phương pháp 8: Dùng phép quy nạp toán học.	 43
3.9. Phương pháp 9: Chứng minh bất đẳng thức trong hình học phẳng 46
3.10. Phương pháp 10: Dùng tam thức bậc hai 	 51
IV. Một số ứng dụng của bất đẳng thức. 	 52
4.1. Ứng dụng tìm cực trị.	 	 52
4.2. Ứng dụng giải phương trình.	 58
4.3. Ứng dụng giải hệ phương trình: 	 61
4.4. Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên	 63
V. Bài tập áp dụng. 	 66
VI. Lưu ý khi áp dụng sáng kiến	 67
VII. Phạm vi áp dụng.	 67
 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ	 68
VIII. Kết luận – khuyến nghị	 68
8.1 Kết luận	 68
8.1.1 Nghiên cứu lý luận cho thấy	 68
8.1.2. Kết quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến.	 68
8.2 Khuyến nghị	 71
8.2.1 Đối với Sở GD&ĐT	 71
8.2.2 Đối với Phòng GD&ĐT 	 72
8.2.3 Đối với các trường THCS.	 72
8.2.4 Đối với giáo viên và học sinh:	 72
8.2.4.1 Đối với giáo viên:	 72
8.4.2.2 Đối với học sinh:	 73
- Tài liệu tham khảo	 74
- Mục lục	 75