SKKN Phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh Lớp 12 thông qua dạy học luyện tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

m đúng với mọi 
( )1;2x − thông thường ta làm như thế nào? 
51 
HS: Cô lập tham số m và chuyển về bài toán tương đương tìm m để bất 
phương trình ( ) 2m f x x − nghiệm đúng với mọi ( )1;2x − ? 
GV: Để giải bài tìm m để bất phương trình ( ) 2m f x x − nghiệm đúng 
với mọi ( )1;2x − ta làm như thế nào? 
HS: Lập bảng biến thiên hàm số ( )g x trên đoạn  1;2− và dựa vào giả 
thiết bài toán để kết luận. 
GV: Hãy thực hiện chương trình giải bài toán trên? 
Lời giải 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )2 , 1;2 2 , 1;2 *f x x m x m f x x x +   −   −   − . 
Dựa vào đồ thị của hàm số ( )y f x= ta có với ( )1;2x − thì ( ) 2f x  . 
Xét hàm số ( ) ( ) 2g x f x x= − trên khoảng ( )1;2− . 
( ) ( ) ( )2 0, 1;2g x f x x = −    − . 
Suy ra, hàm số ( )g x đồng biến trên khoảng ( )1;2− . 
Do đó ( ) ( )* 1m g  − hay ( )1 2m f − + . 
Ví dụ 3.7. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên và có đạo hàm 
( ) ( )( )2 22 6f x x x x x m = − − + với mọi x . Tìm các giá trị thực của tam số 
m để hàm số ( ) ( )1g x f x= − nghịch biến trên khoảng ( ); 1− − . 
Định hướng giúp học sinh tìm lời giải 
GV: Tính ( )g x ? 
HS: ( ) ( )1g x f x = − − . 
GV: Hãy biểu thị ( ) ( )1g x f x = − − theo biến x ? 
HS: ( ) ( ) ( )( )2 21 1 4 5g x x x x x m = − + + + − 
GV: Để hàm số ( )g x nghịch biến trên khoảng ( ); 1− − điều kiện tương 
đương là gì? 
HS: Tìm m để ( ) ( )0, ; 1g x x    − − 
GV: ( ) ( )0, ; 1g x x    − − khi nào? 
HS: 2 4 1 0x x m+ + −  , ( ); 1x  − − . 
GV: Từ đó, để chứng minh 2 4 1 0x x m+ + −  , ( ); 1x  − − ta làm thế 
nào? 
HS: Ta cần chứng minh: 2 4 5, 1m x x x − − +   − hay cần chứng minh 
( 
( )2
; 1
max 4 5
x
m x x
 − −
 − − + 
GV: Từ đó, em hãy trình bày lời giải bài toán trên? 
52 
Lời giải 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1 6 1g x f x x x x x m  = − = − − − − − − − +
 
( ) ( )( )2 21 1 4 5x x x x m= − + + + − . 
Hàm số ( )g x nghịch biến trên khoảng ( ); 1− − 
( ) ( )0, 1g x x    −  , (dấu " "= xảy ra tại một số hữu hạn điểm). 
Với 1x  − thì ( )
2
1 0x −  và 1 0x +  nên 
( )  2 4 5 0, 1x x m x+ + −    − 
2 4 5, 1m x x x − − +   − . 
Xét hàm số 2 4 5y x x= − − + trên nửa khoảng ( ; 1− − , ta có bảng biến 
thiên: 
x − 2− 1− 
y 
 9 
− 8 
Từ bảng biến thiên, suy ra 9m  . 
Vậy, 9m  thì hàm số ( ) ( )1g x f x= − nghịch biến trên khoảng ( ); 1− − . 
Ví dụ 3.8. Cho hàm số ( )y f x= liên tục trên và có bảng xét dấu ( )f x 
như hình dưới đây 
x − 1− 0 1 4 + 
( )f x + 0 + 0 − 0 − 0 + 
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 
( ) ( ) 2 2
1
1
1
g x f x
x mx m
= − +
+ + +
 đồng biến trên khoảng ( )3;0− . 
Định hướng giúp học sinh tìm lời giải 
GV: Tính ( )g x ? 
HS: ( ) ( )
( )
2
2 2
2
1
1
x m
g x f x
x mx m
+
 = − − −
+ + +
GV: Để hàm số ( )g x đồng biến trên khoảng ( )3;0− điều kiện tương 
đương là gì? 
HS: Tìm m để ( ) ( )0, 0;1g x x    
53 
GV: ( ) ( )0, 3;0g x x    − khi nào? 
HS: ( )
( )
2
2 2
2
1 0
1
x m
f x
x mx m
+
− − − 
+ + +
, ( )3;0x  − . 
GV: Khi ( )3;0x − thì 1 x− biến thiên trên khoảng nào? Tù đó, có nhận 
xét gì về dấu của ( )1f x− − trên khoảng ( )3;0− ? 
HS: ( )3;0x  − thì 1 x− biến thiên trên khoảng ( )1;4 . Do đó, 
( )1 0f x− −  trên khoảng ( )3;0− . 
GV: Từ đó, để chứng minh 
( )
( )
2
2 2
2
1 0
1
x m
f x
x mx m
+
− − − 
+ + +
, ( )3;0x  − ta làm thế nào? 
HS: Ta cần chứng minh: 
( )
( )2
2 2
2
0, 3;0
1
x m
x
x mx m
+
−    −
+ + +
 hay cần 
chứng minh ( )2 0, 3;0x m x+    − 
GV: Từ đó, em hãy trình bày lời giải bài toán trên? 
Lời giải 
Điều kiện: 2 2 1 0x mx m+ + +  (luôn đúng vì 
2 2
2 2 31 1 0
2 4
m m
x mx m x
 
+ + + = + + +  
 
) 
( ) ( )
( )
2
2 2
2
1
1
x m
g x f x
x mx m
+
 = − − −
+ + +
Với ( ) ( ) ( )3;0 1 1;4x x −  −  ( ) ( )1 0, 3;0f x x −    − hay 
( ) ( )1 0, 3;0f x x− −    − . 
Hàm số ( )g x đồng biến trên khoảng ( )3;0− khi và chỉ khi 
( ) ( )0, 3;0g x x    − 
( )
( )2
2 2
2
0, 3;0
1
x m
x
x mx m
+
 −    −
+ + +
( )2 0, 3;0x m x +    − 
( )
 
( )
3;0
2 , 3;0 min 2 0
x
m x x m x m
 −
  −   −   −   
Vậy, 0m  hàm số ( )g x đồng biến trên khoảng ( )3;0− . 
Ví dụ 3.9. Cho hàm số ( )f x liên tục trên , có đồ thị ( )y f x= như 
hình vẽ dưới đây 
54 
 Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số 
( ) ( )
( )
2
2
480
1
2
g x f x x
m x x
= + − +
+ +
 nghịch biến trên khoảng ( )0;1 . 
Định hướng giúp học sinh tìm lời giải 
GV: Tính ( )g x ? 
HS: ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
480 2 1
' 2 1 1
2
x
g x x f x x
m x x
+
= + + − −
+ +
GV: Để hàm số ( )g x nghịch biến trên khoảng ( )0;1 điều kiện tương 
đương là gì? 
HS: Tìm m để ( ) ( )0, 0;1g x x    
GV: ( ) ( )0, 0;1g x x    khi nào? 
HS: ( )
( )
2
2
2
480
1 0
2
f x x
m x x
 + − − 
+ +
, ( )0;1x  . 
GV: Để chứng minh ( )
( )
2
2
2
480
1 0
2
f x x
m x x
 + − − 
+ +
, ( )0;1x  thông 
thường chúng ta làm như thế nào? 
HS: Hãy cô lập tham số m và chứng minh 
( ) ( )
2
2 2480 2 1x x f x x
m
 + + + − , ( )0;1x  
GV: Hãy chứng tỏ ( ) ( )
2
2 20 2 1 64x x f x x + + + −  , ( )0;1x  ? 
HS: Ta có: ( )
2
24 2 16x x + +  và ( )20 1 4f x x + −  , ( )0;1x  . 
GV: Từ đó, em hãy trình bày lời giải bài toán trên? 
Lời giải 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
480 2 1
' 2 1 1
2
x
g x x f x x
m x x
+
= + + − −
+ +
 . 
55 
Hàm số ( ) ( )
( )
2
2
480
1
2
g x f x x
m x x
= + − +
+ +
 nghịch biến trên khoảng 
( )0;1 khi và chỉ khi ( ) ( )' 0, 0;1g x x   (dấu “=” chỉ xảy ra tại một số hữu hạn 
điểm thuộc khoảng ( )0;1 ) 
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
480 2 1
2 1 1 0
2
x
x f x x
m x x
+
 + + − − 
+ +
( )0;1x  . 
( )
( )
2
2
2
480
1 0
2
f x x
m x x
 + − − 
+ +
, ( )0;1x  . 
( ) ( )
2
2 2480 2 1x x f x x
m
  + + + − , ( )0;1x  (*) 
Ta có ( )
2
24 2 16x x + +  , ( )0;1x  và ( )20 1 4f x x + −  
Do đó ( ) ( )
2
2 20 2 1 64x x f x x + + + −  , ( )0;1x  
Từ (*) suy ra 
480
64
m
 
15
2
m  . 
Vậy, với 
15
2
m  thì hàm số ( )g x nghịch biến trên khoảng ( )0;1 . 
Ví dụ 3.10. Thuốc cho người bệnh. 
Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh 
nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc ở mạch máu của bệnh nhân đó được 
cho theo công thức: 
( ) ( )2
0,28
0 24
4
t
C t t
t
=  
+
 . 
Theo em, vào khoảng thời gian nào thì nồng độ thuốc ở mạch máu của 
bệnh nhân tăng, giảm? 
Định hướng giúp học sinh tìm lời giải bài toán thực tiễn thông qua 5 bước 
dưới đây: 
Bước 1: Xác định yêu cầu của bài toán thực tiễn; 
+ GV giao nhiệm vụ: Yêu cầu các nhóm tìm hiểu nội dung bài toán có nội 
dung thực tiễn. 
HS: Viết ra được giả thiết và kết luận bài toán. 
Bước 2: Tổ chức cho học sinh phân tích và làm rõ các “cụm từ” có nghĩa 
trong bài toán thực tiễn trong mô hình Toán học; 
+ GV: Cụm từ “nồng độ thuốc trong mạch máu của bệnh nhân tăng, giảm” 
trong tình huống trên được hiểu như thế nào? 
56 
HS: Hàm số ( )y C t= đồng biến, nghịch biến. 
Bước 3: Đề xuất giải pháp giải quyết bài toán thực tiễn(trong mô hình 
Toán học); 
+ GV: Như vậy, điều gì cần phải giải quyết trong bài toán trên? Hãy phát 
biểu điều đó thành nội dung bài toán theo ngôn ngữ toán học? 
HS: Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) 2
0,28
4
t
C t
t
=
+
trên khoảng ( )0 24; .(*) 
Bước 4: Thực hiện giải pháp(trong mô hình Toán học); 
+ GV: Các em thực hiện giải bài toán vừa nêu theo ngôn ngữ toán học. 
HS: Xét hàm số ( ) 2
0,28
4
t
C t
t
=
+
liên tục trên khoảng (0; 24). 
Ta có: ( )
( )
( )
2
'
2
2
0,28 4
4
t
C t
t
−
=
+
. ( )
( )
( )
2
'
2
2
0,28 4
0 0 2
4
t
C t t
t
−
=  =  =
+
. 
Lập bảng biến thiên: 
t 0 2 24 
C’(t) + 0 – 
C(t) 
 0,07 
0 
1,68
145
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số ( )y C t= đồng biến trên khoảng 
( )0;2 và nghịch biến trên khoảng ( )2;24 . 
Bước 5: Chuyển kết quả trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán 
thực tiễn. 
+ GV: Hãy nêu kết luận của bài toán thực tiễn? 
HS: Như vậy, vào khoảng thời gian khi tiêm cho bệnh nhân cho đến hai giờ 
(sau khi tiêm) nồng độ thuốc trong mạch máu của bệnh nhân tăng và khoảng 
thời gian từ hai giờ đến hai mươi tư giờ thì nồng độ thuốc trong mạch máu của 
bệnh nhân giảm. 
Lời giải 
Xét hàm số ( ) 2
0,28
4
t
C t
t
=
+
liên tục trên khoảng (0; 24). 
Ta có: ( )
( )
( )
2
'
2
2
0,28 4
4
t
C t
t
−
=
+
. ( )
( )
( )
2
'
2
2
0,28 4
0 0 2
4
t
C t t
t
−
=  =  =
+
. 
57 
Lập bảng biến thiên: 
t 0 2 24 
C’(t) + 0 – 
C(t) 
 0,07 
0 
1,68
145
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số ( )y C t= đồng biến trên khoảng 
( )0;2 và nghịch biến trên khoảng ( )2;24 . 
Như vậy, vào khoảng thời gian khi tiêm cho bệnh nhân cho đến hai giờ 
nồng độ thuốc trong mạch máu của bệnh nhân tăng và khoảng thời gian từ hai 
giờ đến hai mươi tư giờ thì nồng độ thuốc trong mạch máu của bệnh nhân giảm. 
Nhận xét: 
Biện pháp này chú trọng tổ chức các hoạt động học tập tương tác thông 
qua những bài tập sử dụng đa dạng các BDTH; Tạo cơ hội cho học sinh được 
thực hiện các hoạt động BDTH trong quá trình giải quyết các tình huống toán 
học hóa hướng đến hình thành và phát triển thành tố thứ ba của năng lực 
BDTH. 
Nhận xét chung. 
+ Từ những bài toán cơ bản, nếu có cơ hội giáo viên nên tổ chức cho học 
sinh luyện tập tính đơn điệu của hàm số ( )y f x= bằng các dạng biểu diễn toán 
học của nó, việc thiết lập được nhiều BDTH khác nhau cho cùng một khái niệm 
có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS một cách chắc chắn. HS có 
thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển từ biểu diễn này 
sang kiểu biểu diễn khác của cùng khái niệm đó; kết hợp với sự định hướng lời 
giải một cách có hệ thống như trên sẽ góp phần bồi dưỡng cho các em học sinh 
NL BDTH, NL sử dụng NNTH, NL GTTH; ngoài ra, còn giúp cho các em tránh 
được một số sai lầm thường gặp nêu trên và nắm vững cách xét tính đồng biến 
nghịch biến của hàm số ( )y f x= một cách chắc chắn. Từ đó, chúng ta có đủ cơ 
sở để tổ chức cho các em hoạt động nghiên cứu sâu lời giải cho các BDTH nói 
trên và nâng dần mức độ của các dạng toán đó thể hiện trong các tình huống 
mới. 
+ Việc định hướng giúp học sinh nghiên cứu sâu lời giải; biết khai thác, sử 
dụng các BDTH như là công cụ, phương tiện, là điểm tựa để tiến hành luyện tập 
các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, ... 
nhằm tìm kiếm giải pháp cho vấn đề đặt ra. Nghĩa là, bồi dưỡng cho các em 
năng lực biểu diễn để tư duy. 
58 
+ Việc tổ chức cho học sinh thực hiện các hoạt động biểu diễn toán học về 
khái niệm tính đơn điệu trong quá trình giải quyết các tình huống toán học hóa; 
vận dụng để giải quyết các tình huống mới trong nội bộ toán học giúp các em 
tiếp cận kiến thức một cách chắc chắn, sâu sắc. 
+ Nếu có cơ hội GV tổ chức cho học sinh luyện tập các thao tác trên một 
cách có hệ thống, thường xuyên ngoài việc hình thành và phát triển NL BDTH 
còn giúp hình thành và phát triển cho học sinh các năng lực khác như: năng lực 
tư duy, lập luận toán học; năng lực GQVĐ; năng lực sử dụng các công cụ toán 
học; năng lực giao tiếp toán học, năng lực mô hình hoá. 
2.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
2.5.1. Đối với học sinh 
Trong khuôn khổ đề tài này, sáng kiến đã góp phần mang lại một số kết quả 
sau: 
+ Giúp học sinh biết nhìn nhận các biểu diễn toán học của cùng một khái 
niệm, một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, nhìn trong mỗi tương quan với 
các hiện tượng khác, tìm ra cách giải mới sáng tạo. việc thiết lập được nhiều 
BDTH khác nhau cho cùng một khái niệm có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái 
niệm toán của HS một cách chắc chắn. HS có thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một 
khái niệm bằng cách chuyển từ biểu diễn này sang kiểu biểu diễn khác của cùng 
khái niệm đó. Từ đó, giúp học sinh tiếp cận lời giải các bài toán đơn giản hơn, tự 
nhiên hơn, logic khoa học hơn và hạn chế được những sai lầm thường mắc phải 
như đã nêu trên. 
+ Giúp học hình thành thói quen nghiên cứu sâu lời giải từ các bài toán cơ 
bản thông qua các biểu diễn toán học của cùng một khái niệm; xét tính giải 
được, xét mỗi liên hệ với các khái niệm trong nội bộ toán học, xét các bài toán 
tương tự, bài toán khái quát, đặc biệt hóa bài toán vận dụng để giải các bài toán 
nâng cao. Ngoài ra, việc định hướng giúp học sinh phát hiện mối liên hệ giữa 
các bài toán trong cùng một hệ thống khái niệm thông qua các biểu diễn toán 
học khác nhau là việc làm rất cần thiết giúp học sinh biết cách giải quyết vấn đề 
trong học tập cũng như trong cuộc sống. 
+ Giúp học sinh biết vận dụng các biểu diễn toán học của cùng một khái 
niệm, liên hệ với các kiến thức trong nội bộ toán học để giải quyết một số bài 
toán mới, tình huống mới xảy ra trong thực tiễn. Qua đó, giúp các em biết cách 
đọc sách giáo khoa, tài liệu học tập; biết cách tự tìm lại các kiến thức đã có; biết 
vận dụng các mỗi liên hệ trong cùng một hệ thống; biết cách suy luận để tìm tòi 
và phát hiện kiến thức mới. Từ đó, góp phần hình thành và phát triển năng lực 
sử dụng BDTH, năng lực tư duy, lập luận toán học; năng lực GQVĐ; năng lực 
sử dụng các công cụ toán học; năng lực giao tiếp toán học, năng lực mô hình 
hoá. 
59 
2.5.2. Đối với giáo viên 
+ Giúp giáo viên nhìn nhận một cách khách quan về thực trạng dạy học 
theo định hướng phát triển năng lực người học hiện nay. Đặc biệt, là phương 
pháp dạy học luyện tập các bài toán cơ bản cần được chú trọng và thực hiện một 
cách có hệ thống, khoa học. 
+ Dạy học luyện tập các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số theo quy 
trình trên góp phần làm cho bài giảng trở nên ý nghĩa hơn, giờ học sôi nổi hơn. 
Đặc biệt, giáo viên có điều kiện thảo luận, gần gũi với học sinh và có thể thúc 
đẩy, truyền cảm hứng để học sinh tham gia vào các hoạt động học toán cũng như 
có thể tạo điều kiện cho học sinh sáng tạo trong học toán. 
+ Dạy học luyện tập các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số theo quy 
trình trên giúp giáo viên có điều kiện để quan sát các hoạt động học tập của học 
sinh, tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh học tập, trao đổi, chia sẻ, tranh luận. 
Từ đó, có cơ sở để đánh giá đúng năng lực, kết quả học tập của học sinh. 
+ Dạy học luyện tập các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số theo quy 
trình trên có thể dùng cho các giáo viên tham khảo, vận dụng để dạy học cho 
một số chủ đề trong chương trình dạy học bộ môn Toán ở trường THPT. Đặc 
biệt là áp dụng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi; dạy học theo chủ đề; dạy học 
chuyên đề. 
+ Dạy học luyện tập các bài toán xét tính đơn điệu của hàm số theo quy 
trình trên góp phần vào công tác đổi mới phương pháp dạy học; sinh hoạt tổ 
chyên môn; phù hợp với xu hướng dạy học theo định hướng tiếp cận năng lực 
học sinh hiện nay. 
60 
Phần III. Kết luận 
Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng tại một số trường THPT 
thật sự đã mang lại hiệu quả trong quá trình dạy học bộ môn Toán và sinh hoạt 
tổ chuyên môn. 
Sáng kiến đã xây dựng được các hoạt động dạy học luyện tập các bài toán 
xét tính đơn điệu của hàm số thông qua các biểu diễn toán học khác nhau, áp 
dụng trong quá trình dạy học và thực nghiệm, bước đầu mang lại kết quả thật sự 
các em học sinh tiếp cận lời giải dễ dàng hơn, tự nhiên hơn, gây được hứng thú 
trong học tập cho học sinh. Đặc biệt, hạn chế được các sai lầm đã đề cập ở phần 
thực trạng. Việc thiết lập được nhiều BDTH khác nhau cho cùng một khái niệm 
có tác dụng thúc đẩy việc hiểu khái niệm toán của HS một cách chắc chắn. HS có 
thể chứng tỏ việc hiểu sâu sắc một khái niệm bằng cách chuyển từ biểu diễn này 
sang kiểu biểu diễn khác của cùng khái niệm đó 
Sáng kiến đã đưa ra các biện pháp, xây dựng được hệ thống các hoạt động 
học tập cùng với hệ thống các câu hỏi định hướng từ cơ bản đến vận dụng sáng 
tạo nhằm giúp cho giáo viên và các em học sinh thuận tiện trong quá trình dạy 
và học. 
Thông qua việc tổ chức cho học sinh luyện tập các bài toán xét tính đơn 
điệu của hàm số một cách có hệ thống, thường xuyên sẽ góp phần hình thành và 
phát triển cho học sinh phẩm chất và các năng lực như: Năng lực BDTH, NL sử 
dụng ngôn ngữ toán học, năng lực tư duy, lập luận toán học; năng lực GQVĐ; 
năng lực giao tiếp toán học, năng lực mô hình hoá. Đặc biệt, gây được hứng thú 
cho học sinh trong giải toán; 
Góp phần thực hiện việc đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng 
tiếp cận năng lực; bồi dưỡng học sinh khá giỏi; tạo cơ hội cho các em được thể 
hiện năng lực của mình, được trải nghiệm. 
Biện pháp trên có thể sử dụng cho cả giáo viên và học sinh thực hiện ở các 
chủ đề cực trị; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số; đường tiệm cận, 
Nhiệm vụ của giáo viên là vận dụng các biện pháp trên vào những chủ đề có khả 
năng phát triển năng lực BDTH trong chương trình dạy học môn toán ở trường 
THPT, xây dựng hệ thống bài tập phù hợp và thể tổ chức cho các em học sinh có 
cơ hội luyện tập. Nhiệm vụ của học sinh nắm vững quy tình thực hiện để vận 
dụng vào trong quá trình học tập nói chung và giải bài tập toán nói riêng. 
Mặc dù vậy, trong quá trình nghiên cứu do thời gian còn hạn chế nên khó 
tránh khỏi sự thiếu sót, kính mong nhận được nhiều góp ý chân thành của các 
đồng nghiệp quan tâm. Nhân đây, tôi xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng 
nghiệp đã có nhiều đóng góp ý kiến quý báu bổ sung cho đề tài. Tôi xin chân 
thành cám ơn! 
61 
Tài liệu tham khảo 
[1]. Bộ GD&ĐT, (2006), Chương trình GD phổ thông cấp trung học phổ thông, 
NXB Giáo dục Việt Nam. 
[2]. Bộ GD&ĐT, (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện chương trình 
SGK lớp 12 THPT môn Toán, NXB Giáo dục. 
[3]. Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, 
Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2006), Bài tập Giải 
tích 12 (Nâng cao), Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[4]. Nguyễn Hải Châu, Lê Thị Mỹ Hà (đồng chủ biên, 2012). PISA và các 
dạng câu hỏi. Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[5]. Nguyễn Kế Hào, Nguyễn Quang Uẩn (2004), Giáo trình tâm lí học lứa 
tuổi và tâm lí học sư phạm, NXB ĐHSP. 
[6]. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (chủ biên), Lê Thị Thiên 
Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2006), Giải tích 12, Nxb Giáo dục 
Việt Nam. 
[7]. Lê Văn Hồng (2014), Một số cơ sở khoa học của cách tiếp cận ngôn ngữ 
trong dạy học môn toán ở trường phổ thông, Tóm tắt báo cáo khoa học hội thảo 
quốc gia đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy toán học, Trường Đại học 
Vinh. 
[8]. Nguyễn Bá Kim, (2011), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư 
phạm, Hà Nội. 
[9]. Nguyễn Bá Kim, Bùi Huy Ngọc (2005), Phương pháp dạy học đại cương 
môn Toán, NXB ĐHSP. 
[10]. Nguyễn Bá Kim (2012). Hoạt động của học sinh trong dạy học Toán. Tạp 
chí Khoa học Giáo dục số 85, tháng 10-2012, trang 1-4. 
[11]. Nguyễn Bá Kim (2015), Giáo dục toán học tập trung vào phát triển năng 
lực, Tạp chí toán học trong nhà trường, số 1- tháng 7/ 2015. 
[12]. Nguyễn Lân (2006), Từ điển từ và ngữ Việt Nam, NXB Tổng hợp 
TPHCM. 
[13]. Phan Trọng Ngọ, (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà 
trường. Nxb Đại học sư phạm. 
[14]. G.Polya, (2009), Giải một bài toán như thế nào, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[15]. Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Nguyễn Huy Đoan (chủ biên), Trần 
phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2006), Giải tích 12 
nâng cao, Nxb Giáo dục Việt Nam. 
[16]. Đỗ Đức Thái (chủ biên), Đỗ Tiến Đạt, Phạm Xuân Chung, Nguyễn Sơn 
Hà, Phạm Sỹ Nam, Vũ Đình Phượng, Nguyễn Thị Kim Sơn, Vũ Phương 
62 
Thuý, Trần Quang Vinh (2018), Dạy học phát triển năng lực môn Toán THPT, 
Nxb Đại học Sư phạm. 
[17]. Vụ giáo dục trung học, Chương trình phát triển GDTH, (2014), Tài 
liệu tập huấn dạy học và kiểm tra, đánh giá kết quả học tập theo định hướng 
phát triển năng lực của học sinh môn Toán, (Lưu hành nội bộ). 
[18].