Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy toán học cho học sinh thông qua bài toán ứng dụng hàm số trong hệ phương trình

: Tìm tham số m để hệ PT: 
 3 2
2
16x 24 14x 3 2 3 2 (1)
4 4 3 2 1 (2)
x y y
x x y m
           
 có nghiệm ? 
A. 2 5m   B. 5 2m   C. 2 5m  D. 2 5m   
 Tìm giải pháp: 
Dựa vào bài toán 5.1 ta phân tích phương trình  1 sử dụng phương pháp hàm số 
tìm mối quan hệ ,x y thay vào PT (2) xét hàm số ta sẽ tìm tham số m cần tìm. 
 Trình bày giải pháp: 
25 
- Điều kiện : 2y  
 1PT     32 2 1 2 1 2 2 2 2x x y y y        (1’) 
- Xét hàm số :    3 22 ' 6 1 0f t t t f t t t R        . 
Hàm số luôn đồng biến trên khoảng  0; . 
(1') (2x 1) ( 2) 2x+1= 2PT f f y y      
Thay vào (2) ta có : 2 1y y m   
Xét hàm số     1 12 1 ' 0 2
2 2 1
f y y y f y y
y y
        

Ta có bảng biến thiên hàm số : 
Vậy hệ có nghiệm khi 2 5m   . Chọn D. 
 Từ bài toán 5.1 có thể phát triển tư duy học sinh thông qua bài toán tìm 
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất từ bài toán 5.1 
Bài toán 5.3: Cho 2 số thực dương ,a b thỏa mãn: 
 3 216 24 14a 3 2 3 2a a b b      . 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 24 4 3 2P a a b     thuộc khoảng nào 
sau ? 
A.  1;0 B.  1;2 C.  2;3 D.  1; 2  
 Tìm giải pháp: 
Dựa vào bài toán 5.1 ta biến đổi giả thiết đề bài sử dụng phương pháp hàm số tìm 
quan hệ đơn giản giữa a và b sau đó thay vào P để tìm GTLN,GTNN . 
 Trình bày giải pháp: 
26 
 3 216 24 14a 3 2 3 2a a b b      
   32 2 1 2 1 2 2 2 2a a b b b         
Xét hàm số   32f t t t  có   2' 6 1 0,f t t t R     
Nên hàm số đồng biến trên khoảng  2; 
Mặt khác   22 1 ( 2) 2 1 2 4 4 3f a f b a b b a a           
Thay vào P ta có: 2P b b   xét hàm số   2P b b b   trên đoạn 
[2; ) 
 
 
1 1 2' 0, 2
2 2 2 2 2
b bP b b
b b b b
      
  , 
 lim 2 0x b b    
Ta có bảng biến thiên: 
Đmin .2 2. AP áp án   
Bài toán 6.1: Cho hệ phương trình: 
  
 2
2log 2 2 1 2 (1)
100
log 2 11 (2)
x y x y x
y
y x
           
có nghiệm  0 0;x y . Tổng 2 20 0x y là kết quả nào sau đây? 
A. 18 B. 108 C. 118 D.121 
 Phát hiện vấn đề : 
27 
Đối với hệ phương trình trên khá phức tạp nhiều học sinh rất khó để giải quyết một 
bài toán như thế . Ta quan sát hai PT thì ở PT(1) biến đổi về: 
2log 2 log100 2x y y x y x       có thể sử dụng phương pháp hàm số 
để giải quyết bài toán. 
 Tìm giải pháp : 
  21 log 2 2 2 logPT x x x y y y         
Xét hàm số :   2logf t t t t   trên khoảng  0; 
  1' 1 2 0, 0ln10f t t tt      hàm số đồng biến trên khoảng  0; 
2x y   thay vào PT (2) tiếp tục giải. 
 Trình bày giải pháp: 
ĐK: 2, 0x y  
  21 log 2 2 2 log (1')PT x x x y y y         
Xét hàm số :   2logf t t t t   trên khoảng  0; 
  1' 1 2 0, 0ln10f t t tt      hàm số đồng biến trên khoảng  0; 
Từ (1') có:   2( 2) 2 2f x f y x y x y        
Thay vào (2)PT ta có : 
 log 11 2 'x x  . 
Xét hàm số :   logf x x x  đồng biến trên khoảng  0; 
Mặt khác 0 10x  là một nghiệm của  2 'PT nên PT(2’) có nghiệm duy nhất
0 10x  . Suy ra hệ có nghiệm  0 0; (10; 8)x y  . Vậy 2 20 0 108x y  . 
Đáp án B. 
 Từ bài toán 6.1 ta có thể phát triển tư duy học sinh bằng bài toán khái 
quát chứa tham số sau: 
28 
 Bài toán 6.2. Tìm tham số m để hệ sau có nghiệm : 
  
 2
2log 2 2 1 2 (1)
100
ln 2 . (2)
x y x y x
y
y m x
          
 A. 10 m
e
  . B. 0 m e  . C. 1m
e
 . D. 1m
e
 
 Tìm giải pháp: 
Trên cơ sở bài toán 6.1 ta biến đổi  1PT sau đó sử dụng phương pháp hàm số tìm 
nối quan hệ đơn giản giữa ,x y thay vào  2PT tiếp tục dùng phương pháp hàm số 
để tìm m thỏa mãn yêu câu hệ. 
 Trình bày giải pháp: 
Điều kiện: 0, 2y x  . 
Ta có   2log 2 2 1 2100
x y x y x
y
       
 2log 2 log100 log 2 2 2x y y x y x           
  2log 2 2 2 logx x x y y y         (1) 
Xét hàm số   2logf t t t t   trên khoảng . 
Ta có    1 2 1 0, 0;10 lnf t t tt        , suy ra  f t đồng biến trên 
. 
Mặt khác     22 2 2f x f y x y y x        thay vào  2PT ta 
có: 
lnln . xx m x m
x
   . 
Xét hàm số   2ln 1 ln( ) ' 0x xg x g x x ex x
      
lnlim ( ) lim 0
x x
xg x
x 
  , 
2 2
ln ln 2lim ( ) lim
2x x
xg x
x 
  
 0;
 0;
29 
Bảng biến thiên hàm số trên khoảng  2; 
 Vậy hệ có nghiệm khi 10 m
e
  . Chọn đáp án A. 
 Đối với bài này khi làm đến phương trình  2PT : ln .x m x có thể dùng 
máy tính để thử các phương án ,chọn phương án làm PT có nghiệm. 
 Ta có thể phát triển tư duy học sinh bằng bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ 
nhất như sau: 
 Tìm giải pháp: 
Trên cơ sở bài toán 6.1 ta biến đổi giả thiết sau đó sử dụng phương pháp hàm số 
tìm nối quan hệ đơn giản giữa ,x y thay vào P tiếp tục dùng phương pháp hàm số 
để tìm maxP . 
 Trình bày giải pháp: 
ĐK: 0, 2y x  
  2(*) log 2 2 2 loggt x x x y y y         (1) 
Xét hàm số   2logf t t t t   trên khoảng .  0;
Bài toán 6.3: Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn
  2log 2 2 1 2100
x y x y x
y
        (*). Giá trị lớn nhất của biểu 
thức 
 2
2021
ln 2y
P
x

 thuộc khoảng nào dưới đây? 
A. 700;800 . B.  500;600 . C.  600;700 . D.  800;900 
30 
Ta có    1 2 1 0, 0;10 lnf t t tt        , 
suy ra  f t đồng biến trên . 
Mặt khác     22 2 2f x f y x y y x        
Thay vào P ta có:
2021
lnxP
x
 . 
Xét hàm số   2021
2021 2021 2022
ln 2021 ln( ) ' 0x xg x g x x e
x x
      . 
Ta có bảng biến thiên : 
 Vậy 
       
2021
2;
2021max max 700;800P g x g e
e
    . Chọn A. 
 Từ bài toán 7.3 ta có thể xây dựng một số bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ 
nhất của biểu thức khi ta giữ nguyên giả thiết , thay đổi biểu thức P. 
 Phát hiện vấn đề: 
Ở bài toán 7.1 nếu ta rút x tử phương trình (2) thay vào phương trình (1) rồi biến 
đổi song cũng thấy rất khó khăn để giải quyết vì thế ta khai thác phương trình (1) 
 0;
Bài toán 7.1: Cho hệ phương trình : 
 
     
 
1
ln 2 8 4 1
4 2
2 6 2
x y
x y xy
y
xy x y
         
 có nghiệm  0 0;x y thỏa mãn đẳng thức nào sau ? 
A. 2 2
0 0
1 1 5
4x y
  B. 2 2
0 0
1 1 1
4x y
  C. 2 2
0 0
1 1 4
5x y
  D. 2 2
0 0
1 1 3
4x y
  
31 
 
   
1
ln 2 8 4
4 2
x y
x y xy
y

   

       ln ln 8 4 2 8 4 2x xy y y x xy        
 Từ đây ta có thể tìm được nút thắt bài toán, chuyển qua xét hàm số. 
 Tìm giải pháp : 
Khi ta phân tích phương trình (1) : 
 
   
1
ln 2 8 4
4 2
x y
x y xy
y

   

       ln ln 8 4 2 8 4 2x xy y y x xy       
       ln 2 ln 8 4 2 8 4x xy x xy y y        
Ta xét hàm số   ln 2f t t t  đồng biến trên khoảng  0; từ đó tìm được 
quan hệ ,x y từ phương trình (1) thay vào phương trình (2) để giải quyết bài toán. 
 Trình bày giải pháp: 
Điều kiện: 
 
 
1
0 20
4 2 0
0; 0
x y
y
y x
x y
            
. 
Ta có: 
 
   
1
ln 2 8 4
4 2
x y
x y xy
y

   

       ln ln 8 4 2 8 4 2x xy y y x xy        
         ln 2 ln 8 4 2 8 4 1'x xy x xy y y       
Xét hàm số   ln 2f t t t  trên khoảng  0; . 
Ta có   1 2 0, 0f t tt      , suy ra  f t là hàm số đồng biến trên khoảng 
 0; . 
Do đó    8 4f x xy f y    8 48 4 1
yx xy y x
y
    

 . 
32 
Thay vào phương trình (2) ta có: 
 8 4 . 1 2 6 8 2 6 1 ( )1
y y y y y tm
y
        

2x  . Hệ có nghiệm    0 0; 2;1x y   2 2
0 0
1 1 5
4x y
  . Chọn A. 
 Thông qua bài toán 7.1 Phát triển tư duy học sinh bằng bài toán khái quát 
chứa tham số: 
 Bài toán 7.2: Cho hệ phương trình: 
 
     
 
1
ln 2 8 4 1
4 2
3 2
x y
x y xy
y
x y m
        
 . 
 Tìm tham số m để hệ có nghiệm ? 
 A. 5 8m  B. 5 6m  C. 5 8m  D. 6 8m  
 Tìm giải pháp: 
Dựa trên bài toán 7.1 ta định hướng bài toán 7.2 bằng cách biến đổi phương trình 
(1) sau đó áp dụng phương pháp hàm số. 
 Trình bày giải pháp: 
Điều kiện: 
 
 
1
0 20
4 2 0
0; 0
x y
y
y x
x y
            
. 
Ta có: 
 
   
1
ln 2 8 4
4 2
x y
x y xy
y

   

       ln ln 8 4 2 8 4 2x xy y y x xy        
         ln 2 ln 8 4 2 8 4 1'x xy x xy y y       
Xét hàm số   ln 2f t t t  trên khoảng  0; . 
Ta có   1 2 0, 0f t tt      , suy ra  f t là hàm số đồng biến trên khoảng 
 0; . 
33 
Do đó    8 4f x xy f y    8 48 4 1
yx xy y x
y
    

 . 
Thay vào PT(2) ta có 
28 4 3 83
1 1
y y ym y m
y y
     
 
Xét hàm số 
 
 
22
2
3 2 33 8( ) '( )
1 1
y yy yg y g y
y y
    
 
  3( )' 0
1( )
y l
g y
y tm
    
Bảng biến thiên hàm số trên khoảng  0;2 : 
Ta có    
0 2
lim 8, lim 6.
x x
g y g y
 
  
Vậy để hệ có nghiệm thì :5 8m  . ChọnA 
 Từ bài toán 7.2 ta có thể xây dựng một số bài toán tương tự khi giữ 
nguyên PT (1) và thay đổi phương trình (2). 
Ta có thể phát triển tư duy học sinh bằng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức như sau: 
Bài toán 7.3: Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn :
 
   
1
ln 2 8 4
4 2
x y
x y xy
y

   

. Tìm giá trị nhỏ nhất của 3P x y  . 
A. 4 . B. 5. C. 6. D. 7 . 
 Tìm giải pháp : 
Trên cơ sở bài toán 7.1 ta khai thác bài toán theo hướng phân tích giả thiết 
đề bài sau đó áp dụng phương pháp hàm số . 
 Trình bày giải pháp: 
34 
Điều kiện: 
 
 
1
0 20
4 2 0
0; 0
x y
y
y x
x y
            
. 
Ta có: 
 
   
1
ln 2 8 4
4 2
x y
x y xy
y

   

       ln ln 8 4 2 8 4 2x xy y y x xy        
       ln 2 ln 8 4 2 8 4x xy x xy y y        (1)
Xét hàm số   ln 2f t t t  trên khoảng  0; . 
Ta có   1 2 0, 0f t tt      , suy ra  f t là hàm số đồng biến trên khoảng 
 0; . 
Do đó    8 4f x xy f y    8 48 4 1
yx xy y x
y
    

. 
Khi đó: 8 43 3
1
yP x y y
y
   

. Xét hàm số   8 4 31
yg y y
y
 

 trên 
khoảng  0;2 . 
Ta có:  
 
 
 
2
2 2
3 2 312g 3
1 1
y y
y
y y
    
 
; 
   
 
2
2
3 2 3 3 ( )
g 0 0
11
y y y L
y
yy
         
. 
Bảng biến thiên 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy min 5P  khi 2, 1x y  . Chọn B 
35 
 Từ bài toán 7.3 ta có thể xây dựng một số bài toán tìm giá trị lớn nhất 
nhỏ nhất của biểu thức khi ta giữ nguyên giả thiết, thay đổi biểu thức P. 
4. Một số bài toán tự luyện: 
Bài 1. Cho hệ phương trình 
3 3 2 2 2 2
3 3 2 23 3
1 0 (1)
2x 3 4 2x 3 4 2 2 3 (2)
x y xy x y x y x y
y y x y y
         

          . Số nghiệm của hệ là: 
A. 4 . B. 1. C. 2. D. 3 . 
Bài 2. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
3 3 2 2 2 2
2 2
1 0 (1)
2x 3 2x 3 4 0 (2)
x y xy x y x y x y
y m y
         

        
A.
2654;
64
m
 
    
 B. 
2634;
64
m
 
    
. C. 4 5m  . D. 4m  . 
Bài 3. Cho số thực ,x y dương thỏa mãn 3 3 2 2 2 2 1 0x y xy x y x y x y         
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 22 3 2 3 4P x y x y       là: 
A. 4
3
. B. 513
64
. C. 521
64
. D. 3
4
. 
Bài 4. Cho hệ phương trình: 
   3 3
2
3 log log 81 81 0
3 2
xy x y x y xy
y x xy



      
 
có số nghiệm là: 
A. 1. B. 2. C. 3. D.4 . 
Bài 5. Tìm tham số m để hệ phương trình 
   3 3
2
3 log log 81 81 0
3
xy x y x y xy
y x xy m



      
 
 có nghiệm? 
A. 9
4
m  . B. 9
4
m  . C. 90
4
m  . D. 90
4
m  . 
Bài 6. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn   3 81 81 0.3 xy x yx xy y     . 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 23 x xyP y  . 
A. 3
2
. B. 3
4
. C.
4
3
. D. 9
4
. 
36 
Bài 7. Cho hệ phương trình 
 
2
2
93
2 2
log 2 4log
2
2 3 3 0
x y x y y
x y y
       
  
    
 có nghiệm 0 0;x y
khi đó 2 20 0x y bằng bao nhiêu? 
A. 20 . B. 45 . C. 40. D.41 . 
Bài 8. Tìm m để hệ phương trình 
 
2
2
93
2 2
log 2 4log
2
2 3 0
x y x y y
x y y m
       
  
    
 có nghiêm? 
A. 2m   . B. 3m  . C. 1m  . D. 1m   . 
Bài 9. Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn  
2
2
93
log 2 4log
2
x y x y y
     
 
. 
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 22 3 1T x y y    là 
A. min 1T  . B. min 2T   . C. min 3T  . D. min 4T  . 
Bài 10.Cho hệ phương trình 
    3 33
2 2
2log 3 3 2
3 19 0
x y x y x y xy
x y
       

  
. 
Tìm số nghiệm của hê phương trình? 
A. 1. B. 2. C. 3. D.4 . 
Bài 11. Cho hệ phương trình
    3 33
2 2
2log 3 3 2
3 0
x y x y x y xy
x y m
       

  
. 
Tìm m để hệ có nghiệm? 
A. 9m  . B. 27
4
m  . C. 27
4
m  . D. 9m  . 
Bài 12. Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn 
    3 332log 3 3 2x y x y x y xy       . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức   2 1
2 6
x y xy
T
x y
  
 
 bằng 
A. 3 . B. 2 3 . C. 3 2 . D. 5 
37 
Bài 13. Cho hệ phương trình 
3 3 2
3
3 6 3 4 0
( , )
2 13 2 1
x y x x y
x y
x x x y
       
    
 . 
Có nghiệm  0 0;x y khi đó 
0 0
1 1
x y
 bằng 
A. 7
12
. B. 5
4
. C. 13
12
. D. 7
4
. 
Bài 14. Cho hệ phương trình 
3 3 2
2
3 6 3 4 0
2 1 4 0
x y x x y
x x y m
      

    
(m tham số). 
Tìm m để hệ có nghiệm? 
A. 1m  . B. 0 2m  . C. 0m  . D. 1m  . 
Bài 15. Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn 3 3 23 6 3 4 0x y x x y      . Tìm 
giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2
2
3x xP
y x x y

  
. 
A. 1. B. 1
2
 . C.3. D. 1
3
 . 
Bài 16. Cho hệ phương trình: 
     
2
2 2
2
2 2
1
log 3 2 9
1
4 4 6 12 5 0
x y
x y xy x y
xy x y
x y xy y x
        
  
      
Có nghiệm  0 0;x y khi đó giá trị 0 0.x y bằng : 
A. 1. B. 4 . C.3. D. 2 . 
Bài 17. Tìm m để hệ phương trình : 
     
2
2 2
2
2 2
1
log 3 2 9
1
4 4 6 12 0
x y
x y xy x y
xy x y
x y xy y x m
        
  
      
 có nghiệm? 
A. 5m  . B. 0 2m  . C. 6m  . D. 0 5m  . 
Bài 18. Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn 
     
2
2 2
2
1
log 3 2 9
1
x y
x y xy x y
xy x y
 
     
  
. Tìm giá trị lớn nhất của 4 3 7
3 2 1
x yP
x y
 
 
. 
A. 1. B. 2 . C. 3. D. 4 . 
38 
Bài 19. Tìm số nghiệm của hệ phương trình: 
2
2
2 2
log 3( 1 )
2 1
16
y y x y x
x
x y x
      
   
A. 4 . B. 3. C.1. D. 2 . 
Bài 20. Tìm tham số m để hệ phương trình :
2
2
2 2
log 3( 1 )
2 1
3
y y x y x
x
x y x m
      
   
có nghiệm? 
A. 3m  . B. 0 3m  . C. 1m  . D. 1m  . 
Bài 21 Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 
2
2log 3( 1 )2 1
y y x y x
x
    

. 
Giá trị lớn nhất của biểu thức 
2
2 1
yP
x


 bằng: 
A. 2 . B. 3 . C. 1
2
. D. 1
3
. 
Bài 22. Cho hệ phương trình: 
3
4log 2 1
4 3 3
x y x y
x y
x y x y x
    
     
 có nghiệm  0 0;x y . 
Tính giá trị 
0 0
1
x y
 ? 
A. 2 . B. 
1
2
. C. 1
6
. D. 
2
3
. 
Bài 23. Cho hệ phương trình: 
3
4log 2 1
4 3
x y x y
x y
x y x y m
    
     
 . Tìm tham số m để hệ 
có nghiệm? 
A. 2m  . B. 0 3m  . C. 3m  . D. 3m  . 
Bài 24. Cho ,x y là các số dương thỏa mãn 3
4log 2 1x y x y
x y
   

. Giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
3
2
3 2
( ) ( )
x y yP
x y x x y
 
 
 là m. Mệnh đề nào sau đây đúng? 
39 
A. 1 2m  . B. 2 3m  . C. 1m  . D. 1 2m  . 
Bài 25. Cho hệ phương trình : 
3
1 3log 2 5
3 6
10 3 0
x y x y
x y
x xy
    
   
có nghiệm  0 0;x y . Tính giá trị 
0 0
1
x y
 ? 
A. 4
7
. B. 4
5
. C. 5
7
. D. 1
4
. 
Bài 26. Cho hệ phương trình : 
3
1 3log 2 5
3 6
10 0
x y x y
x y
x xy m
    
   
. Tìm tham số m để hệ có 
nghiệm? 
A. 0m  . B. 3m  . C.0 3m  . D. 1
4
m  . 
Bài 27. Cho ,x y là các số thực dương thỏa mãn 3
1 3log 2 5
3 6
x y x y
x y
   

. Giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
 
4 3
2
16 32 125
2
x x yP
x y
 

 bằng 
A. 
125
16
 B. 
125
18
 C. 
125
8
. D. 125
12
. 
Bài 28. Cho hệ phương trình : 
2 1
2
2
22021
( 1)
3 0
x y
x y x
x y
x
 


   


 
có nghiệm  0 0;x y . Tính giá trị 2 20 0x y ? 
A. 5 B. 3 C. 16 . D. 25. 
Bài 29. Cho hệ phương trình : 
2 1
2
2
22021
( 1)
3 0
x y
x y x m
x y
x
 


    




. Tìm tham số m để hệ có 
nghiệm? 
A. 0m  . B. 3m  . C. 1
8
m  . D. 1
4
m  . 
40 
Bài 30. Cho , 0x y  thỏa 
2 1
2
22021
( 1)
x y x y
x
  

. Giá trị nhỏ nhất của 2 3P y x  có 
dạng 
a
b
 với ,a b  và a
b
 tối giản. Tính giá trị biểu thức 2 2.T a b  
A. 74T  . B. 113T  . C. 106T  . D. 10T  . 
ĐÁP ÁN 
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Đáp án D A C B A B B D B B 
Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
Đáp án C D A A B D A B C D 
Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
Đáp án A B D D C A B A C B 
41 
PHẦN III-KẾT LUẬN –KIẾN NGHỊ 
I-Kết luận: 
 Thông qua hệ thống hóa kiến thức về giải hệ phương trình bằng phương 
pháp hàm số, giáo viên hướng dẫn học sinh thông qua lớp bài toán vận dụng tính 
chất hàm số trong hệ phương trình giúp học sinh hiểu sâu hơn về kiến thức đã học 
và phát triển được tư duy về lớp bài toán chứa tham số, bài toán tìm giá trị lớn nhất 
nhỏ nhất của biểu thức mà trước khi học phần này học sinh gặp rất nhiểu khó khăn. 
 Thông qua bài viết này cung cấp thêm cho thầy cô và học sinh thêm một tài 
liệu tham khảo trong việc dạy và học. Với lượng kiến thức nhất định về giải hệ 
phương trình bằng phương pháp hàm số và một số vấn đề liên quan, học sinh có 
thể hiểu sâu sắc hơn, phát triển khả năng tư duy toán học nhanh nhạy khi gặp dạng 
toán này. Từ đó hiểu sự logic của toán học nói chung và hệ phương trình nói riêng. 
 Dạy học hình thành và phát triển toán học cần chú trọng đến tính logic của 
toán học và chú ý cách tiếp cận dựa trên vốn kinh nghiệm và sự trải nghiệm của 
học sinh. 
 Đề tài có thể xây dựng thành hệ thống các bài toán giải hệ phương trình 
bằng phương pháp hàm số, tìm tham số để hệ phương trình có nghiệm, tìm giá trị 
lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức theo phương pháp hàm số theo một mối quan hệ 
logic với nhau . 
II- Những kiến nghị, đề xuất. 
 Trong dạy học hình thành và phát triển phẩm chất, năng lực cho học sinh 
giáo viên cần xây dựng bài giảng thành hệ thống những bài toán có phương pháp 
và quy trình giải, xây dựng lớp bài toán đi từ dễ đến khó và khái quát hóa , tổng 
quát hóa, đặc biệt hóa , tương tự hóa bài toán giúp học sinh nắm chắc kiến thức. 
 Dạy học theo phải phát huy được tính tích cực, tự giác, tìm tòi sáng tạo, phát 
hiện suy luận và giải quyết vấn đề đặc biệt hóa, tương tự hóa các dạng bài tập. 
42 
 Phát triển và nhân rộng những đề tài có tính ứng dụng thực tiễn cao và viết 
thành sách tham khảo cho giáo viên và học sinh. 
 Thanh chương, ngày 9 tháng 3 năm 2021. 
 Tác Giả: 
43 
 DANH MỤC THAM KHẢO 
TT Tên Nhà xuất bản 
1 Chương trinh giáo dục phổ thông môn toán Trường ĐHSP 
Hà Nội 
2 Chương trình tập huấn modun 1, modun 2 của BGD 
đào tạo. 
Hệ thống tập 
huấn trên 
vn.edu- BDGV 
TH 
3 Sách giáo khoa lớp 12 Bộ GD-ĐT 
4 Đề thi học sinh giỏi tỉnh khối 12 các tỉnh năm 2018-
2019 
Internet 
5 Đề thi thử THPTQG trên cả nước các năm 2018-2019, 
2019-2020 
Internet 
44 
 ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN 
. 
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG 
.