SKKN Bổ sung 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli vào giải quyết một số bài toán xác suất Trung học Phổ thông

ợp hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn để đưa đến lời giải đúng cho bài toán. Không chỉ vậy, học sinh còn thiết lập được cách thức và quy trình giải quyết các bài toán tương tự bài toán 2.
Bài toán 3: Một em bé có 2 viên bi trắng và 4 viên bi đỏ để trong một cái hộp. Em rút từng viên một cho đến viên bi cuối cùng. Tính xác suất để viên bi cuối cùng mà em rút được là màu đỏ.
Lời giải:
	Đầu tiên ta đếm số khả năng của không gian mẫu.
Em rút từng bi một trong 2 bi trắng và 4 bi đỏ cho đến bi cuối cùng và bởi vì 2 bi trắng là giống nhau, 4 bi đỏ là giống nhau nên ta cũng xem như đây là việc phân hoạch tập hợp gồm 6 phần tử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 phần tử, nhóm 2 có 4 phần tử). Số phần tử không gian mẫu là: .
	Biến cố A là em rút từng bi một cho đến bi cuối cùng.
Để bi cuối cùng là bi đỏ có nghĩa còn lại 5 bi (2 bi trắng và 3 bi đỏ). Số phần tử của biến cố A chính là số cách phân hoạch 5 phần tử thành 2 nhóm (nhóm 1 có 2 phần tử, nhóm 2 có 3 phần tử). 
Số phần tử biến cố A là: .
Xác suất của biến cố A sẽ là: .
	Khi chuyển tiếp sang bài toán 3, học sinh thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương đồng và khác biệt đối với bài toán 2. Ở bài toán này, học sinh đã lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết bài toán 3 một cách đúng đắn. 
d) Bài tập tự giải
Bài 1. Một tổ công tác gồm 15 người đi kiểm tra việc thực thi công việc ở một nhà máy. Tổ công tác cần phân công công việc như sau: 4 người kiểm tra hồ sơ giấy tờ, 7 người kiểm tra máy móc trang thiết bị và 4 người kiểm tra lại việc kiểm tra của 11 người trên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công làm việc?
Bài 2. Một đội cảnh sát gồm 8 người đuổi theo tội phạm thì gặp một khu nhà gồm 5 dãy nhà. Bởi số lượng cảnh sát ít nên đội trưởng đã đưa ra quyết định. Phải bỏ trống 2 dãy nhà, 3 dãy nhà còn lại được phân công như sau: 2 dãy có 3 người, 1 dãy có 2 người. Tính xác suất để tội phạm chạy trốn được (với giả thiết là dãy nhà nào có cảnh sát thì tội phạm sẽ bị bắt).
2.1.2. Quy tắc 2
a) Cung cấp công thức
	Xét bài toán phân hoạch: Có bao nhiêu cách sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau. Số cách phân hoạch là 
b) Chứng minh công thức
	Tưởng tượng k hộp đó đặt sát nhau và hai hộp cạnh nhau có một vách ngăn chung. Do có k hộp nên sẽ có vách ngăn chung. Ta hình dung n quả cầu và cách ngăn thì sẽ có tất cả vị trí. Do đó cách làm sẽ như sau:
	Chúng ta chọn trong tổng số vị trí để đặt cách vách ngăn sẽ có: cách. Tiếp theo chúng ta đặt n quả cầu vào n vị trí còn lại sẽ có một cách đặt bởi vì các quả cầu giống nhau. Vậy bài toán sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau thì sẽ có (cách sắp xếp)
	Ở quy tắc này, chứng minh quy tắc tổng quát chỉ sử dụng mấy dòng lý luận dựa trên định nghĩa. Thì chắc hẳn ai cũng sẽ nghĩ bài toán tổng quát mà đã như vậy thì bài toán phụ sẽ như thế nào? Nếu tôi cho các em học sinh tự tìm tòi chứng minh quy tắc này dựa vào những kiến thức mà các em đã được học thì chắc hẳn sẽ có bạn làm được. Nhưng cái hay của quy tắc này đó là khi chúng ta ra những bài toán cụ thể dựa trên cái tổng quát này thì khó học sinh nào có thể tìm tòi và có phương án tối ưu cho bài giải của mình. Tôi có đưa ra 3 bài toán để khảo sát học sinh lớp chọn của trường. Ba bài toán được đưa ra yêu cầu học sinh phải xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin, sau đó là lựa chọn và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề, cuối cùng học sinh thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết các bài toán được đưa ra.
Bài toán 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 quả cầu giống nhau vào 3 hộp khác nhau?
Bài toán 2: Có bao nhiêu bộ 10 số tự nhiên có tổng bằng 31?
Bài toán 3: Cho phương trình . Phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm tự nhiên thỏa mãn ?
	Ở bài tập số 1, chủ yếu học sinh học sinh sử dụng cách phân chia trường hợp hoặc liệt kê 6 thành tổng 3 số tự nhiên. Với phương pháp này để giải quyết những bài toán số nhỏ (ít trường hợp) thì có thể sẽ khả quan. Tất nhiên học sinh cũng gặp phải không ít sai lầm khi tính toán. Và sau đây tôi xin đưa ra một số sai lầm của học sinh khi giải quyết bài toán này.
Lời giải 1:
	Em sử dụng phương pháp giả sử số quả cầu trong 3 hộp 1,2,3 lần lượt là là không sai nhưng khi em sử dụng thêm điều kiện thì lời giải đã mắc phải sai lầm nghiêm trọng, bới từ đây không thể suy ra các kết quả cho các trường hợp khác. Điều này đã dẫn đến lỗi sai của toàn bài.
Lời giải 2:
	Học sinh đã thực hiện chia trường hợp rất chuẩn xác. Những trong mỗi trường hợp em lại tính số cách sắp xếp sai. Ví dụ trường hợp 1 hộp 4 và 2 hộp 1 thì e lại chỉ ra có 3! Cách sắp xếp. Em đã quên mất 2 hộp 1 mà trao đổi quả cầu cho nhau thì kết quả không thay đổi bới các quả cầu ở đây là giống nhau. 
Một số lời giải đúng:
	Ở bài tập số 2, học sinh dường như đều không nhìn nhận được hướng đi tối ưu để giải quyết vấn đề. Có len lỏi một số hướng đi nhưng kết quả đạt được là không có. Do vậy, tôi rất mong muốn cung cấp cho các em học sinh một cách tỉ mỉ và rõ ràng quy tắc này để sau này gặp những dạng bài toán liên quan mặc dù có thể là chia kẹo, xếp bóng vào hộp, hay là tìm nghiệm của phương trình, thì các em đều hiểu rõ bản chất để giải quyết. Còn trường hợp là bài toán trắc nghiệm thì học sinh chỉ cần nhớ công thức để áp dụng. Những bài toán ở trên hay nhưng biến thể khó hơn thì nếu các em nắm rõ bài toán này thì đều giải quyết dễ dàng. Ví dụ bài toán 2 “Nếu là tự luận thì chúng ta sẽ chứng minh lại công thức quy tắc 2 và áp dụng với thì chúng ta hoàn toàn giải quyết được bài toán.” Sử dụng quy tắc như một bổ đề.
c) Áp dụng giải quyết bài toán
	Tìm số bộ k số không âm sao cho 
Ví dụ: Có bao nhiêu cách phân tích số 3 thành tổng của 2 số tự nhiên.
Giải: 
Làm trực tiếp, tức là có bốn cách phân tích.
Theo quy tắc trên ta có và có cách phân tích.
	Với một bộ số ta lại có một bài toán. Khi n,k càng lớn thì bài toán sẽ càng phức tạp nếu không nắm chắc quy tắc này. 
d) Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho phương trình , 
a) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu?
b) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện , , , 
c) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện đều chẵn.
d) Số nghiệm của phương trình là bao nhiêu? Với điều kiện 
e) Bất phương trình có mấy nghiệm không âm?
Hướng dẫn: Đặt bằng hiệu 
Bài 2. Tung n con xúc xắc giống hệt nhau. Ký hiệu là số con xúc xắc xuất hiện chấm, . Mỗi kết quả ứng với bộ (). 
Hỏi có bao nhiêu bộ số như vậy?
Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên sao cho .
	+ Dạng toán này hoàn toàn có thể sử dụng để đưa vào trắc nghiệm một cách linh hoạt.
Đối với học sinh trung bình yếu:
Bài 1: Có bao nhiêu cách phân tích 4 thành tổng 2 số tự nhiên:
5	B. 6	C. 4	D. 7	
- 	Đối với học sinh khá giỏi:
Bài 2: Có bao nhiêu cách phân tích số 16 thành tổng của 4 số tự nhiên:
 A. 1820	B. 969	C. 4845	D. 3876
2.1.3. Quy tắc 3	
a) Cung cấp công thức
	Xét bài toán phân hoạch: Có bao nhiêu cách sắp xếp n quả cầu giống nhau vào k hộp khác nhau sao cho mỗi hộp chứa ít nhất một quả cầu. Tức là tìm số bộ số nguyên dương sao cho . Số cách phân hoạch là: 
b) Chứng minh công thức
	Nếu ta đặt k hộp sát bên nhau thì sẽ có tất cả vách ngăn chung. Và bởi vì để thỏa mãn điều kiện mỗi hộp có ít nhất một quả cầu nên ta hình dung theo cách khác. Bây giờ chúng ta sẽ đặt vách ngăn vào giữa các quả cầu. Bởi vì có n quả cầu nên sẽ có vị trí giữa các quả cầu. 
Do đó sẽ có tất cả cách sắp xếp (cách phân chia)
 	Từ đây giải quyết được bài toán: Số cách viết số tự nhiên n thành tổng các số nguyên dương là . Thật vậy, ta phân tích n thành tổng của k số hạng và . Khi số số cách tất cả là:
	Hoàn toàn tương tự như quy tắc 2 thì quy tắc 3 này sẽ có những lợi ích rất rõ ràng. Ứng với quy tắc này cũng sẽ có những bài toán đơn giản hoặc phức tạp tùy thuộc vào độ lớn của n và k. Tôi lấy hai ví dụ minh họa cho qua tắc này.
Bài toán 1: Cho phương trình . 
Phương trình trên có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương? 
Với bài toán này thì tôi xin trình bày lại một lời giải của học sinh lớp tôi:
Ta thấy 
Trường hợp thì chúng ta sẽ có cách hoán đổi thứ tự của các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 3 bộ nghiệm 
	Trường hợp thì chúng ta sẽ có 3! cách hoán đổi thứ tự giữa các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 6 bộ nghiệm .
	Trường hợp thì chúng ta chỉ có một cách hoán đổi thứ tự giữa các số. Do đó ở trường hợp này phương trình trên sẽ có 1 bộ nghiệm .
	Vậy phương trình đã cho có tất cả 10 bộ nghiệm .
Sử dụng quy tắc 3: Bài toán này ứng với ta có ngay đáp án của bài toán là: bộ nghiệm.
Với bài toán này thì đa số học sinh nắm chắc kiến thức sách giáo khoa sẽ giải quyết được. Nhưng khi tôi tăng con số lên:
Bài toán 2: Có bao nhiêu bộ 15 số nguyên dương có tổng bằng 46?
	Ở bài toán này thì không có một học sinh nào làm được. Do đó tôi thấy việc cung cấp công thức này cho học sinh là một việc hết sức cần thiết. Đặc biệt là học sinh khá giỏi, tôi tin chắc sẽ có ích trong việc ôn tập và cũng thỏa mãn được sự ham học ham tìm hiểu của các em. Từ đó tăng thêm sự hứng thú khám phá cho các em. Với quy tắc 3 bài toán này ứng với ta có ngay đáp án của bài toán là: bộ số.
c) Một số bài tập tự luyện
Bài 1. Có bao nhiêu cách phân tích số 10 thành tổng của các số nguyên dương?
Bài 2. Có bao nhiêu cách chia 20 viên kẹo cho 10 em bé sao cho mỗi em bé nhận được ít nhất một viên.
Bài 3. Tìm số bộ nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Hướng dẫn: Đặt 
Bài 5. Có bao nhiêu cách phân tích số 20 thành tổng 5 số nguyên dương?
Những bài toán này đều có thể linh hoạt chuyển sang những bài toán trắc nghiệm phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2.2. Phép thử Bernoulli
2.2.1. Định nghĩa
Dãy phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli đối với biến cố , nếu:
	 phép thử này là độc lập, tức là kết quả của chúng không ảnh hưởng đến nhau.
	Trong mỗi phép thử biến cố đều xuất hiện với cùng một xác suất như nhau là .
Ta quy ước, trong mỗi phép thử, nếu xuất hiện thì gọi là thành công và ngược lại xuất hiện là thất bại. Khi đó xác suất thành công cho mỗi phép thử là . Và số lần xuất hiện trong phép thử chính là số lần thành công khi thực hiện phép thử.
	Ví dụ xét phép thử tung một đồng tiền, gọi là biến cố “xuất hiện mặt sấp”. Bây giờ tung đồng tiền 10 lần. Khi đó ta có 10 phép thử Bernoulli đối với biến cố và .
2.2.2. Định lý Bernoulli
Khi thực hiện dãy phép thử Bernoulli đối với biến cố thì có thể xuất hiện 0 lần, 1 lần,  , n lần. Ta tìm xác suất để xuất hiện đúng lần . Ta kí hiệu xác suất này là .
Bài toán này đã được nhà toán học Bernoulli, người Thụy Sĩ từ thế kỉ XVII.
Định lý: Xét phép thử Bernoulli đối với biến cố và xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử là . Khi đó xác suất để xuất hiện đúng lần trong phép thử đó là:
Chứng minh: 
Gọi kết quả khi thực hiện phép thử Bernoulli là , với : kết quả của phép thử Bernoulli lần , trong đó: 
 nếu xảy ra.
 nếu không xảy ra
	 và 
Biến cố xuất hiện đúng lần tương đương với xảy ra kết quả với đúng chỉ số .
Số cách chọn vị trí cho 1 trong vị trí: 
Xác suất để vị trí đó nhận giá trị 1: 
Xác suất để vị trí còn lại nhận giá trị 0 : 
Như vậy, .
Tôi thực hiện khảo sát ở lớp 11A1 hai bài toán sau:
Bài toán 1: Tung con xúc xắc cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất để mặt một chấm suất hiên 2 lần.
Bài toán 2: Trong kì thi bắn súng hai xạ thủ thi đấu. Xác suất bắn trúng bia trong mỗi lần bắn của hai xạ thủ lần lượt là 0,7 và 0,8. Mỗi xạ thủ bắn 2 viên. Tính xác suất để cuộc thi không hòa.
	Với bài toán số 1, đây không phải là một bài toán khó, học sinh chỉ cần nắm được một cách chính xác quy tắc đếm thì sẽ dễ dàng đưa ra được một lời giải đúng. Tuy nhiên, qua khảo sát thì kết quả thu được lại không được như mong đợi: Có đến 30% học sinh làm sai bài toán này. Tôi xin dẫn dắt một số lời giải sai như sau:
Lời giải 1:
	Lời giải này học sinh tư duy theo hướng thông thường. Để tính xác suất trước hết em xác định không gian mẫu rồi sau đó tính số phần tử biến cố. Đây là một bài toán đơn giản nên nếu tư duy theo phương pháp này vẫn cho kết quả chính xác. Nhưng do vì vội vàng nên e đã nhầm lần khi tính số khả năng xảy ra của trường hợp con xúc xắc không xuất hiện mặt một chấm là 5 (em lại cho rằng có 6 khả năng) 
Cũng có thể em hiểu nhầm câu hỏi của bài toán. Và tiếp theo đây tôi xin đưa ra một vài lời giải sai cũng do suy luận thiếu cẩn thận nữa:
Lời giải 2;3: 
	Chủ yếu những lỗi sai này của các em đều do suy nghĩ sai lệch về con xúc xắc thứ 3 (giả sử con xúc xắc 1,2 đều xuất hiện mặt một chấm). Để xuất hiện mặt một chấm đúng 2 lần thì khi có 2 xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm rồi thì xúc xắc còn lại sẽ ko xuất hiện mặt 1 chấm và sẽ có 5 khả năng xảy ra chứ không phải 6 như trong những lời giải trên. 
	Nếu như các em được cung cấp thêm về phép thử Bernoulli thì bài toán này giải quyết một cách rất ngắn gọn như sau:
	Tung một con xúc xắc thì xác suất để xuất hiện mặt 1 chấm là: .
Áp dụng định lý Bernoulli: Xác suất để mặt 1 chấm xuất hiện 2 lần khi tung con xúc xắc 3 lần sẽ là: 
	Để thấy rõ hơn lợi ích của phép thử Bernoulli vào giải toán thì chúng ta cùng nhau nghiên cứu bài toán 2:
Ở bài toán này cũng có nhiều em có lời giải của mình, bằng việc kể ra các trường hợp và tính trực tiếp, hoặc là sử dụng nguyên lý bù trừ, nhưng chủ yếu các em cho ra được các kết quả sai như .
Lời giải 1: 
Lỗi sai: Ở trường hợp 3: Xác suất để xạ thủ thứ nhất bắn trúng 1 viên sẽ là: , tương từ xạ thủ thứ hai sẽ là thành thử 
	Bởi vì ở đây mỗi xạ thủ đều bắn 2 phát thì có thể phát thứ nhất trật phát thứ 2 trúng hoặc phát thứ nhất trúng phát thứ 2 trật. Vì thế mỗi xạ thủ chúng ta phải nhân thêm 2. 
Lời giải 2:
Ở trường hợp 4, người 2 không trúng, người 1 trúng 1 viên thì:
Trường hợp 5 cũng vậy, Người 2 không trúng người 1 trúng 2 viên thì:
Lời giải của bài toán dựa trên phép thử Bernoulli:
Gọi là biến cố người thứ nhất bắn trúng viên đạn và là biến cố người thứ hai bắn trúng viên đạn (). Khi đó các biến cố và là độc lập, đồng thời là biến cố cả hai cùng bắn trúng viên đạn. Dựa vào định lý Bernoulli ta có:
, 
Từ tính độc lập của biến cố, ta có 
= . 
= 
Do đó xác suất để cuộc thi có kết quả hòa là:
Đáp số sẽ là .
	Với phương pháp này học sinh không cần phải chia nhiều trường hợp để tránh những sai sót không đáng có. Chỉ cần sai một lỗi nhỏ trong các trường hợp sẽ dẫn đến kết quả sai. Đặc biệt với cách thức thi chủ yếu là trắc nghiệm như hiện nay. 
2.2.3. Một số ví dụ
Bài 1: Tung con xúc xắc cân đối đồng chất n lần. Tính xác xuất để mặt 1 chấm xuất hiện m lần .
Giải:
Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm.
Xác suất A xuất hiện trong mỗi lần tung xúc xắc là: .
Ta có n phép thử Bernoulli đối với biến cố A.
Theo định lý Bernoulli, xác suất để A xuất hiện m lần là:
=
Bài 2: Phải gieo tối thiểu bao nhiêu con xúc xắc để xác suất xuất hiện mặt một chấm không nhỏ hơn 0,95.
Giải:
Giả sử gieo n con xúc xắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt một chấm. Ta có n phép thử Bernoulli đối với biến cố A, .
Xác suất xuất hiện mặt một chấm là:
Ta cần tìm n sao cho:
Vậy phải gieo tối thiểu 17 con xúc xắc.
Bài 3: An và Bình chơi bóng bàn, xác suất thắng trong một ván của An là 0,4. Hỏi phải chơi tối thiểu bao nhiêu ván thì xác suất thắng ít nhất một ván của An lớn hơn 0,95.
Giải:
Giả sử cần chơi n ván. Gọi A là biến cố An thắng. khi đó ta có n phép thử Bernoulli đối với biến cố A và. Xác suất An thắng ít nhất một ván là:
.
Ta cần tìm n sao cho: 	
	Vậy cần chơi tối thiểu 6 ván.
2.2.4. Bài tập tự luyện
Bài 1: Một xạ thủ bắn trúng đích với xác suất 0,8. Người này phải bắn tối thiểu bao nhiêu viên đạn để xác suất trúng đích ít nhất một viên không bé hơn 0,9.
Bài 2: Đề thi vào đại học môn hóa có 50 câu trắc nghiệm. Mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Trả lời mỗi câu đúng được 0,2 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm. Một học sinh trả lời phần thi này bằng cách chọn ngẫu nhiên một đáp án.
a) Tính xác suất học sinh trên trả lời đúng 2 câu hỏi.
b) Tính xác suất học sinh trên trả lời đúng ít nhất một câu hỏi.
Bài 3: Ở một thành phố, tỉ lệ người bị bệnh tim mạch là 0,1, bệnh tai mũi họng là 0,2 và cả hai bệnh là 0,08. Chọn ngẫu nhiên 3 người trong thành phố đó. Tìm xác suất có không quá 1 người trong số họ bị bệnh.
Bài 4: Một trò chơi gieo xúc xắc như sau: Một ván chơi gieo 3 con xúc xắc và người chơi được chơi 2 ván. Người chơi thắng cuộc nếu thắng ít nhất 1 ván. Biết rằng mỗi ván chơi là thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt lục. Tính xác suất để người chơi thắng cuộc.
Bài 5: Hai đấu thủ ngang sức ngang tài chơi đấu cờ với nhau. Hỏi khả năng thắng 2 trong 4 ván có cao hơn thắng 3 trong 6 ván hay không.
Bài 6: Một trò chơi gieo xúc xắc như sau: mỗi ván chơi gieo 3 con xúc xắc và người chơi được chơi 5 ván. Người chơi thắng cuộc nếu thắng ít nhất 2 ván. Biết răng mỗi ván thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt lục. Tính xác suất để người chơi thắng cuộc.
Bài 7: Gieo đồng thời 3 đồng xu cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để có ít nhất 2 trong 3 lần cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt sấp.
Bài 8: Gieo đồng thời n đồng xu cân đối, đồng chất m lần. Tính xác suất đẻ có ít nhất k lần cả n đồng xu xuất hiện mặt sấp .
Bài 9: Hai xạ thủ A, B cố xác suát bắn trúng mục tiêu là 0,6 và 0,5. Cả hai xạ thủ này thi bắn 5 phát. Tính xác suất để có thắng thua.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. KẾT LUẬN CHUNG
 	Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
Một là, thống kê được một số dạng toán liên quan đến 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli.
Hai là, chỉ ra được một số sai lầm của học sinh dẫn đến thất bại khi giải quyết những dạng toán này. 
Ba là, xây dựng và cung cấp cho các học sinh những công thức của 3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli để phục vụ giải quyết bài toán.
Bốn là, triển khai áp dụng kiến thức mới.
Năm là, hình thành và phát triển năng lực toán học cho học sinh trong tiến trình: nhận biết kiến thức, kĩ năng toán học; kết nối toán học với đời song thực tiễn; áp dụng kiến thức, kĩ năng toán học để giải quyết các vấn đề cụ thể trong học tập.
	Như vậy có thể khẳng định mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận dược.
Trong quá trình giảng dạy môn toán tại trường, qua việc cung cấp cho học sinh những kiến thức mới, thì học sinh đã có thể giải quyết dễ dàng hơn những bài toán đang gặp khó khăn trước đó, đồng thời học sinh phát triển khả năng sử dụng hợp lí ngôn ngữ toán học kêt hợp với ngôn ngữ thông thường để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng mình các khẳng định toán học và thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, giải thích các nội dung toán học trong những tình huống không quá phức tạp. Đặc biệt học sinh khá giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong đề tài này. 
2. KIẾN NGHỊ
+ Thông qua một số ví dụ trong đề tài có thể thấy được phần nào vai trò của việc cung cấp cho các em “3 quy tắc phân hoạch và phép thử Bernoulli” giải quyết một số bài liên quan đến chủ đề tổ hợp xác suất. Có những phương pháp tối ưu để giải quyết một số bài toán.
+ Là giáo viên tôi xác định cho mình phải luôn tạo cho học sinh niềm vui hứng thú say mê trong quá trình học tập; luôn cải thiện phương pháp dạy học, phát triển tư duy, vận dụng kiến thức phục vụ tốt cho bài dạy của mình.
+ Chủ đề tổ hợp- xác suất có rất nhiều bài toán hay và khó. Với mong muốn hỗ trợ các em một cách tốt nhất, tôi rất mong nhận được những góp ý chân thành của đồng nghiệp để bài viết của tôi hoàn thiện hơn.
Đề tài trên chỉ là những kinh nghiệm nhỏ, kết quả của sự nghiên cứu cá nhân, thông qua một số tài liệu tham khảo nên không tránh khỏi những hạn chế, khuyết điểm. Vậy rất mong hội đồng xét duyệt góp ý để kinh nghiệm giảng dạy của tôi ngày càng phong phú và hữu hiệu hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11- Trần Văn Hạo (tổng chủ biên)- NXB Giáo dục.
Xác suất nâng cao- Nguyễn Văn Quảng- NXB Đại học quốc gia Hà Nội
Tạp chí và tư liệu toán học.