Sáng kiến kinh nghiệm Vài kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải Toán

VÀI KINH NGHIỆM 
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI TOÁN 
----------------------------------------------
	 	 LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm giảng dạy bộ môn toán ở trường phổ thông tôi thường được nhiều học sinh yêu toán hỏi :
Tại sao khi giải bài toán này phải bắt đầu như thế này hoặc thế kia ?
Khi đọc sách giải em không hiểu tại sao người giải lại biết phải xuất phát từ đối tượng mà tưởng chừng như không liên quan(!) đến đối tượng cần phải tìm ? .
Những câu hỏi như thế đã làm tôi suy nghĩ và trăn trở nhiều trong quá trình truyền thụ tri thức cho học sinh .Đành rằng việc giải toán là một quá trình mò mẫm tìm tòi dựa trên những hiểu biết của người học toán .Tuy nhiên có người phải mầy mò rất lâu lại có người tìm được hướng giải khá nhanh bí quyết là ở chỗ nào ?!
Mặc dù việc hướng dẫn học sinh giải toán đã có nhiều thầy ,cô giáo đề cập khá nhiều ,thậm chí còn thực hiện trên tầm vĩ mô hơn xong việc trình bày lại một chút ít kinh nghiệm của từng cá nhân thiết nghĩ là không thừa. 
Bằng những kinh nghiệm nhỏ nhoi của bản thân xin viết ra đây để chúng ta cùng nhau bổ sung và hoàn thiện hầu giúp cho học sinh chúng ta có thêm phương pháp học tốt hơn .
Rất mong được sư đóng góp xây dựng của quí đồng nghiệp ! 
A/ Quan niệm về việc giải toán : Có thể coi một bài toán là một chuỗi hữu hạn các gút logíc được nguỵ trang khá công phu . Người làm toán cần phải tìm cách mở có hệ thống các gút logíc đó ,quá trình gồm hai giai đoạn .
	1- Định hướng giải .	2- Kỷ năng giải bài toán .
Trong quá trình giải toán hai nội dung trên có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tiến hành riêng biệt,người làm toán cần nhận thức rõ ý nghĩa và tác dụng của mỗi nội dung và sự tương hỗ của chúng.Mặc dù kỷ năng giải bài toán là quan trọng nhưng việc định hướng giải là giai đoạn có tính quyết định bỡi các lí do sau:
i) Kỷ thuật giải toán cao , thành thạo trong các thao tác ,các phép tính nhưng chưa có phương hướng ,hoặc chưa có phương hướng tốt sẽ không có lời giải hoặc chưa có lời giải tốt 
2i)Định hướng giải bài toán giúp cho học sinh khả năng làm việc độc lập ,tư duy logic , sáng tạo ,linh hoạt . 
B/Nội dung việc định hướng giải các bài toán:
Đối với mỗi bài toán người giải toán cần nắm rõ đề bài cho gì ,tìm gì ,nghĩa là nắm chắc giả thiết ,các điều kiện liên quan cũng như yêu cầu mà đề bài cần xác định. Từ đó giúp ta phân loại bài toán ,vạch đường lối để giải và tìm phương pháp cũng như công cụ thích hợp .
Phân tích các giả thiết ,những tiềm ẩn sau những giả thiết những điều kiện liên quan.Làm sáng tỏ nguồn gốc các giả thiết và điều kiện của bài toán ,có khi còn phân tích kết quả của bài nhằm tìm mối liên hệ giữa các đối tượng cho và đối tượng phải tìm.
Tìm kiếm các bài toán liên quan nhằm tương tự hoá trong quá trình suy luận ;đồng thời sáng tạo bài toán mới . 
Trong các nội dung trên ,tuy mỗi nội dung có những yêu cầu khác nhau nhưng lại có quan hệ hỗ trợ cho nhau một cách đắc lực .Vì vậy khi giải một bài toán ta cần phải tiến hành toàn diện các nội dung trên .
	C/ Các phương pháp tìm tòi lời giải :
	I-Phương pháp khai thác giả thiết của bài toán:
Đây là công việc đầu tiên của người làm toán ,làm tốt được điều này giúp chúng ta nắm được đặc điểm về dạng của bài toán ,tức là nắm được phần hình thức của bài toán .Trên cơ sở sự thống nhất giữa nội dung và hình thức (quan hệ biện chứng của triết học ) giúp ta khám phá những đặc điểm trong nội dung của bài toán .(mà hình thức là muôn màu muôn vẻ)
	1/Tìm hiểu những con số biết nói trong bài toán:
Ví dụ1: Giải phương trình 2(tgx - sinx) + 3(cotgx - cosx) + 5 = 0 . (1)
	*Nhận xét và hướng giải :Sự xuất hiện các con số 2 và 3 trong hai hạng tử đầu của phương trình giúp ta nghĩ đến việc phân tích số 5 = 2 + 3 .
	Khi đó (1) 2(tgx - sinx + 1) + 3(cotgx - cosx + 1) = 0 .( phương trình thuần cung nhưng đa hàm lượng giác thử làm giảm bớt hàm)
	 2( 	
 	 (sinx + cosx - sinx.cosx ) ( 
	đến đây ta đã đưa về việc giải các phương trình quen thuộc .
Ví du2: Cho phương trình : (2).Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm ? 
	*Nhận xét và hường giải: Đây là bài toán trong bộ đề thi tuyển sinh ,cách giải trong bộ đề có phần khó hiểu .
	Ta hãy biến đổi các biểu thức trong các căn thức để tìm hình thức thể hiện khác của phương trình .
	(2) . Từ những con số ,biểu thức số có mặt trong phương trình giúp ta nghĩ đến công thức tính độ dài các véc tơ trong mặt phẳng Oxy, chuyển hướng giải bằng phương pháp toạ độ phẳng như sau :
	Trong mpOxy xét các điểm , , , ta có :
 => AM= và => BM = 
Do đó : AM -BM = m 
Ta còn có 	, .Do đó phương trình có nghiệm với các điểm thoã hay .
Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các con số biết nói chứ không phải biết hù.
2/Tìm hiểu các nhóm hạng tử tham gia trong bài toán: 
	*Nhóm hạng tử tham gia trong bài toán có sự biểu diễn qua lại .
Cái khó khăn của bài toán là các mối liên hệ vốn có giữa các đại lượng tham gia trong bài toán thường dễ thấy được nhưng có khi lại "ẩn nấp" khá kín đáo ,đến nỗi người giải toán tưởng chừng là chúng không có liên quan gì với nhau. 
Bài có những nhóm hạng tử kiểu này ta thường dùng phương pháp đặc ẩn phụ.
Ví dụ3: Giải phương trình sau , (3)
 Dễ thấy ẩn phụ cần đặc u = 4sinx + 3cosx = 5sin(x+ j) , trong đó j là góc có tgj = 3/4
	Điều kiện :4sinx + 3cosx +1 ¹ 0 .
Ta có : (3) , -5 £ u £ 5 ,u ¹ 1
Trở lại tìm x , giải pt i ) 5sin(x+j) = 0 x + j = kp , kÎZ x = -j + kp , kÎZ
	2i ) 5sin(x+j) = 5 sin(x+j) = 1 x = , lÎZ
Đôi khi ta phải biến đổi các nhóm hạng tử tham gia trong phương trình mới thấy được mối liên hệ giữa các hạng tử tìm cơ hội để chọn ẩn phụ thích hợp .
	Ví dụ4 :Giải bất phương trình : (4)
*Nhận xét định hướng giải : Trong bất phương trình trên có chứa các hàm số mũ có cơ số quan hệ rõ rệt không là mối bận tâm .Tuy nhiên các nhóm hạng tử ở mũ là những biểu thức lượng giác liệu có mối liên hệ bên trong qua cái hình thức biểu hiện đồng sàn dị tịch này chăng? .Ta hãy thử thăm dò qua việc biến đổi hai biểu thức ở mũ .
	Ta có : cos2x = -(sin2x - cos2x) = - (sinx - cosx )( sinx + cosx ) , (tìm cách quy cung)
	 = - 
Do đó: - , đến đây ta đã có cơ hội để thực hiện việc đặt ẩn phụ. 
	Ta có : (4) 	 	
	 u ³ 2
	Trở lại tìm x ,ta giải bất phương trình ,việc giải bất phương trình này đơn giản (xin nhường cho bạn đọc)
Ghi chú : Các bạn có thể tìm thêm ở những bài toán thường gặp có liên quan các nhóm hạng tử có cách biểu hiện như trên để thực hành ,xin chúc các bạn thành công.
3/Tìm hiểu bài toán qua việc thể hiện tính chất của hình (của điểm) ,vị trí tương đối của các đường,dạng của các biểu thức ,khai thác các điều kiện v.v.
Ví dụ 5: Cho tam giác nhọn ABC có BC= a ,CA = b , AB = c . Gọi đường cao hạ từ các đỉnh A,B,C xuống các cạnh BC ,CA và AB tương ứng là ha ,hb ,hc . M là điểm bất kỳ trong tam giác đó ,khoảng cách từ M đến các cạnh BC ,CA,và AB tương ứng là x , y và z .
Tính P = 	
Xác định vị trí của điểm M sao cho tổng : T = MA + MB + MC đạt giá trị bé nhất
*Nhận xét định hướng giải :Do vai trò của các đỉnh A,B,C , các đường cao ha ,hb ,hc trong tam giác các giá trị x ,y z có vai trò như nhau cho nên việc tính P qui về tính đối tượng rồi bằng phép tương tự ta có thể đạt được kết quả.
* Để tính x/ha ta xem x và ha là chiều cao	 	
của hai tam giác có chung cạnh đáy BC 	 
đó là DMBC và D ABC . Ta có 	
. 
Áp dụng tương tự ta thu được 
 và 	
	Do đó P= 	
Ta cần đánh giá tổng độ dài các đoạn thẳng
trong T = MA + MB + MC, qua các đoạn
thẳng bằng nó ,điều này dẫn ta nghĩ đến việc thực hiện một phép dời hình ,
vì phép dời hình bảo toàn khoảng cách .Ta thử chọn phép quay để thực hiện và thăm dò, có nên chuyển về độ dài ba cạnh của tam giác không ? nếu làm được việc này thì chúng ta có nhiều cơ sở để lập luận dựa vào các bất đẳng thức quan hệ về cạnh của tam giác và thú vị hơn khi tam giác suy biến .
=>
Xét phép quay tâm B góc quay 600 - Q(B,600) : C C' BM =BM'
	 M 	 M' MBM'= 600
Suy ra : DMBM' đều => BM = MM' (a) kết hợp CM = C'M' 	(t/c Q(B,600))
Ta được T=MA+ MB + MC = AM + MM' + M'C' ³ AC' 
(B,C cố định luôn tồn tại M thuộc tam giác ABC thoả điều này)
	=> min T = AC' . Dấu bằng xảy ra A,M,M',C thẳng hàng ,khi đó góc tạo bỡi MC và M'C' khiệu :(MC,M'C') = 600 => = 1200 (vì = 600 )
 Mặt khác ,phép Q(B, 600) : NB M'C' và = 1200 => = 1200 
Do đó : = = = 1200 . 
Kluận : Điểm M là giao điểm của 3 cung chứa góc 1200 được dựng trên 3 cạnh của DABC .
Ghi chú : Các bạn thử dùng phép đối xứng trục để giải bài toán và cho biết nhận định của mình hoặc có thể quay tam giác AMC một góc 600 để giải bài toán.
*Trong bài kiểm tra số 2 môn đại số của khối 11 có bài toán sau : Cmr ,nếu x,y > 0 và 
x + y = z thì x2003 + y2003 < z 2003 . Đa số học sinh không giải được bài toán này ,nếu nói rằng bài toán là khó đối với học sinh thì cũng chưa hẳn ,nhưng hầu hết các em quan tâm nhiều về số mũ lớn của luỹ thữa mà không khai thác triệt để các giả thiết của bài toán . 
 Ví dụ 6: Cmr ,nếu x,y > 0 và x + y = z thì x2003 + y2003 < z 2003 . 
	*Khai thác các giả thiết :i) x > 0 ,y> 0 => x + y > 0 nghĩa là z > 0 
	2i ) x + y = z => 	=> ( ) (nghĩ đến cơ số của hàm số mũ và tính chất của hàm mũ tương ứng )
	3i) số mũ của các luỹ thừa là bằng nhau 2003 (cũng chưa lớn và phức tạp đâu) 
Trên cơ sở khai thác các giả thiết và điều kiện của bài toán các bạn đễ dàng nghĩ đến bài toán tương tự ở ví dụ 6 trg 172, Sgk, Đ SỐ l1đã học và vận dụng cách giải cho bài toán này.
	Ta biến đổi về dạng .
	Từ điều kiện => [] ( vì 2003 >1và t/c nghịch biến của hàm số mũ)
	Từ đó dễ thấy điều phải chứng minh (tương tự hoá trong qui trình tư duy giảỉ toán là công cụ hiệu quả giúp ta định hướng nhanh) .
	Ghi chú : Các bạn có thể phân tích và tìm tòi để có cách giải khác .
II/Phương pháp chuyển hoá nội dung hoặc hình thức bài toán: 
	Trên nền tản của triết học duy vật biện chứng "Mọi sự vật ,hiện tượng tồn tại đều có mối liên hệ hữu cơ kể cả ở những mặt đối lập vẫn có cái tính thống nhất của nó ,trong những mặt thống nhất cũng có từng phần đối lập" .
Trong lĩnh vực toán học cũng thế có nhiều loại toán có liên quan với nhau .Mối liên hệ giữa chúng trong một chừng mực nào đó cho phép ta chuyển từ bài toán này sang giải bài toán khác 
1/Chuyển bài toán trong đại số , giải tích sang giải bài toán trong hình học .
Ta có thể xem ví dụ 2 như là bài toán minh hoạ. Bây giờ ta hãy xét bài toán khác 
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :
y = f(a) =
*Nhận xét và định hướng giải:Trong biểu thức hàm có chứa hai căn bậc 2 mà biểu thức trong căn thức thuần nhất hàm và cung , việc tìm trị nhỏ nhất của hàm số trên qua công cụ đạo hàm không phải là đơn giản . Tuy nhiên nếu nhìn các căn thức trên như là biểu thức độ dài của véctơ trong phẳng thì bài toán cho ta kỳ vọng chuyển sang giải bằng hình học toạ độ phẳng.Với kỳ vọng này buộc ta phải tìm cách đưa hai căn thức trên gần gũi hơn với công thức tính độ dài véctơ ( chuyển biểu thức trong căn bậc hai về tổng hai bình phương )
	Ta có : y = f(a) =xác định trên Â, đến đây vấn đề còn khéo chọn toạ độ của các véc tơ có độ dài tương ứng trong mỗi căn thức .
	Trong mpOxy chọn => f(a) =|| + || .
	Ta có : ,ta còn có : | + | £ || + || => f(a) ³ 5
	Vậy : min f(a) = 5 ," aÎÂ
2/Chuyển bài toán hình học thông thường sang hình học giải tích :
	Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' cạnh a. Trên BD và AD' ta lấy các điểm M, N sao cho DM=AN=k . Xác định k để đoạn MN ngắn nhất. Chứng minh rằng khi đó MN là đoạn vuông góc chung cùa BD và AD. Tính độ dài đoạn MN.
	Giải:	 
Chọn hệ toạ độ Đề-các vuông góc Oxyz sao cho
O trùng với đỉnh A, các đỉnh B, D, A' lần lượt nằm	
trên các trục Ox, Oy, Oz. Ta có 
 A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), D'(0,a,0), 
M	; N 	 
Từ điều kiện bài toán ta thấy cứ mỗi k thuộc (0 ;) 
Ta xác định được độ dài duy nhất đoạn MN ,trên cơ sở này ta chọn một hàm số tương ứng cho đối k . Mặt khác , MN nhỏ nhất MN2 nhỏ nhất .
	Ta đặt f(k) = MN2 , "kÎ(0; ) => min f(k) min(MN) 
	Ta có : ) => f(k) = 3k2 -2ak + a2 . Đây là hàm số bậc hai theo k với kÎ(0; ). Đạo hàm f '(k) = 6k - 2) = 0 => k =() /3.
Vậy khi k= - thì MN có độ dài ngắn nhất ,khi đó toạ độ còn có 
 => 	.Do đó : MN ^ AD' và MN ^ BD 
Vậy MN là đoạn vuông góc chung của BD và AD' . Dễ tính được: MN = (đvđd)
Ghi chú : bạn thử giải bài toán này mà không dùng phương pháp toạ độ thử xem!
3/ Chuyển bài toán đại số sang lượng giác :
	Ví dụ 9 : Giải bất phương trình .(*)
*Nhận xét định hướng giải : Tập xác định của bất phương trình : D = (-1 ;1) cho phép ta nghĩ đến việc đặt x = cosa khi đó | sina | . Như vậy bất phương trình đại số này có thể chuyển sang một bất phương trình lượng giác tương ứng .
	Thật vậy , ( *) cotg2a -3cotga +2 > 0 
Bạn đọc tự giải tiếp bất phương trình này . Đ số : -1< x < Ú .
D/ Kết luận :
Toán học rộng vô biên, phương pháp luận là vô cùng, những phương pháp trên đây thật là ít ỏi. Mong quý đồng nghiệp góp ý thêm, các em học sinh tiếp nhận nó như một món quà bổ ích cho con đường học toán của mình .
	 	Chào thân ái !