›

Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh chia hết trong tập hợp số nguyên

Trong nhà trường THCS môn Toán luôn giữ một vị trí hết sức quan trọng. Do tính trừu tượng cao độ của toán học và tính thực tiễn phổ dụng, những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trường. Đồng thời ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung cho học sinh.

Tuy nhiên để học tốt môn Toán đòi hỏi học sinh phải có một tư duy lôgic, một khả năng khái quát cao cùng với việc nắm chắc kiến thức lý thuyết, phương pháp vận dụng kỹ năng giải toán. Đối với học sinh cấp II, khả năng khái quát và phân loại lý thuyết cũng như bài tập chưa cao. Vì thế nếu học sinh được tiếp cận với những kiến thức, các phương pháp giải bài tập đã được sắp xếp một cách hệ thống, theo từng mảng kiến thức sẽ tạo ra hứng thú học tập, kích thích tư duy sáng tạo của học sinh, đặc biệt đối với những em học sinh khá, giỏi. Điều này phụ thuộc rất nhiều vào trình độ, phương pháp dạy học của đội ngũ giáo viên.

Với đội ngũ giáo viên THCS hiện nay, họ đã và đang được tiếp cận, làm quen với phương pháp dạy học mới. Nhưng việc thực hiện những phương pháp dạy học mới đó bước đầu cũng gặp không ít khó khăn. Một mặt là do đội ngũ giáo viên giảng dạy lâu năm đã quen với phương pháp dạy học cũ nên họ ngại thay đổi thói quen trong khi phương pháp giảng dạy cũ lại bộc lộ nhiều hạn chế, một mặt là do đội ngũ giáo viên trẻ chưa có nhiều kinh nghiệm. Chính những yếu tố đó đã ảnh hưởng rất nhiều tới việc nâng cao trình độ dạy học phù hợp với yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, đặc biệt là trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi.

 

doc31 trang | Chia sẻ: sangkien | Lượt xem: 1896 | Lượt tải: 5Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp chứng minh chia hết trong tập hợp số nguyên", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
S2, ,S10 chia cho 10.
+ Neỏu coự moọt soỏ Si 10 (i =1,2, 10 ) thỡ baứi toaựn ủửụùc chửựng minh.
+ Neỏu Si khoõng chia heỏt cho 10 vụựi moùi i, tửực laứ S1,S2, ,S10 chia cho 10 coự caực soỏ dử laứ moọt trong caực soỏ 1,2,  , 9. Theo nguyeõn taộc ẹirichlet coự hai soỏ coự cuứng dử khi chia cho 10, giaỷ sửỷ laứ Sk vaứ Sl (k > l). Khi ủoự: 
Sk – Sl = al – 1 +al -2 +  + ak 10 (ủpcm)
Baứi toaựn toồng quaựt:
Trong n soỏ tửù nhieõn baỏt kỡ toàn taùi moọt soỏ tửù nhieõn chia heỏt cho n hoaởc toồng cuỷa moọt soỏ soỏ chia heỏt cho n.
Baứi taọp tửụng tửù: Chửựng minh raống : Trong 5 soỏ tửù nhieõn baỏt kyứ , bao giụứ cuừng tỡm ủửụùc moọt soỏ hoaởc moọt soỏ soỏ coự toồng cuỷa chuựng chia heỏt cho 5
Vớ duù 3: Chửựng minh raống trong 8 soỏ tửù nhieõn coự 3 chửừ soỏ bao giụứ cuừng choùn ủửụùc hai soỏ maứ khi vieỏt lieàn nhau ta ủửụùc moọt soỏ coự 6 chửừ soỏ vaứ chia heỏt cho 7.
Lụứi giaỷi: 
Laỏy 8 soỏ ủaừ cho chia cho 7 ủửụùc 8 soỏ dử nhaọn moọt trong 7 giaự trũ 0,1,2  6. Theo nguyeõn taộc ẹirichlet coự hai soỏ coự cuứng soỏ dử, giaỷ sửỷ vaứ khi chia cho 7 coự cuứng dử laứ r. Giaỷ sửỷ = 7k +r vaứ = 7l + r. Ta coự: 
 = 100 + = 1000 (7k + r) + 7l +r = 7(1001r + l) + 1001r (ủpcm)
Vớ duù 4: Cho 4 soỏ nguyeõn phaõn bieọt a,b,c,d. Chửựng minh raống: 
(a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) 12 
Lụứi giaỷi: 
ẹaởt A = (a - b)(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) 12 
Boỏn soỏ nguyeõn a,b,c,d phaõn bieọt chia cho 3 coự hai soỏ coự cuứng dử, khi ủoự hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 3, hieọu laứ moọt trong caực thửứa soỏ cuỷa A neõn A 3
Neỏu a,b,c,d coự hai soỏ coự cuứng soỏ dử. Khi chia cho 4 thỡ A 4 coứn neỏu a,b,c,d coự dử khaực nhau khi chia cho 4 thỡ seừ coự hai soỏ chaỹn vaứ hai soỏ leỷ, luực ủoự coự hai hieọu chia heỏt cho 2, do ủoự A 4
Maứ (3,4) = 1 neõn A 12
Vớ duù 5: Chửựng minh raống trong 5 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự theồ tỡm ủửụùc 3 soỏ coự toồng chia heỏt cho 3
Lụứi giaỷi:
Laỏy 5 soỏ nguyeõn ủaừ cho chia cho 3 ủửụùc caực soỏ dử 0,1,2.
+ Neỏu 5 soỏ nguyeõn naứy chia cho 3 coự ủuỷ 3 soỏ dử 0,1,2. 
Giaỷ sửỷ a1 = 3k, a2 = 3k + 1, a3 =3k + 2 thỡ a1+ a2 + a3 = 3(a1+ a2 + a3 + 1) 3
+ Neỏu 5 soỏ nguyeõn naứy khi chia cho 3 chổ coự 2 loaùi soỏ dử thỡ theo nguyeõn taộc ẹirichlet coự ớt nhaỏt hai soỏ coự cuứng dử khi ủoự toồng cuỷa 3 soỏ naứy chia heỏt cho 3.
+ Neỏu 5 soỏ nguyeõn naứy khi chia cho 3 chổ coự chung moọt soỏ dử thỡ toồng 3 soỏ baỏt kỡ trong chuựng chia heỏt cho 3.
Vaọy trong 5 soỏ nguyeõn baỏt kỡ coự theồ tỡm ủửụùc 3 soỏ coự toồng chia heỏt cho 3.
Vớ duù 6: Chửựng minh raống trong 52 soỏ tửù nhieõn baỏt kỡ luoõn tỡm ủửụùc moọt caởp goàm hai soỏ sao cho toồng hoaởc hieọu cuỷa chuựng chi heỏt cho 100.
Lụứi giaỷi:
Trong taọp hụùp caực soỏ dử trong pheựp chia 52 soỏ cho 100 ta laỏy ra tửứng caởp soỏ sao cho toồng caực caởp ủoự baống 100 vaứ laọp thaứnh caực nhoựm sau: (0,0); (1,99); (2,98); ; (49,51); (50,50). Ta coự taỏt caỷ laứ 51 caởp maứ coự tụựi 52 soỏ dử neõn theo nguyeõn taộc ẹirichlet ớt nhaỏt phaỷi coự hai soỏ dử thuoọc cuứng moọt nhoựm. Roừ raứng caởp soỏ tửù nhieõn ửựng vụựi caởp soỏ dử naứy laứ hai soỏ tửù nhieõn coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 100.
Vớ duù 7: Chửựng minh raống trong 6 soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp tuựy yự, bao giụứ ta cuừng choùn ủửụùc 2 soỏ coự hieọu chia heỏt cho 5. 
 Lụứi giaỷi:
Ta bieỏt : Moọt soỏ tửù nhieõn a khi chia cho 5 coự 5 khaỷ naờng veà soỏ dử khaực nhau laứ 0; 1; 2; 3; 4 
	Vaọy trong 6 soỏ tửù nhieõn vụi 5 khaỷ naờng veà soỏ dử, do vaọy chaộc chaộn bao giụứ cuừng coự 	2 soỏ khi chia cho 5 coự cuứng soỏ dử . Vaọy hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 5. (ủpcm)
Vớ duù 8: Chửựng minh raống : Trong 3 soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5 , bao giụứ cuừng tỡm dửụùc hai soỏ coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 12 .
Lụứi giaỷi:
 Neỏu a laứ soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5, khi chia a cho 12 ta nhaọn ủửụùc caực soỏ dử sau :1; 5; 7 vaứ 11 
 	Trong 3 soỏ nguyeõn toỏ treõn khi chi cho 12 chổ coự soỏ dử laứ moọt trong caực soỏ treõn.
- Neỏu 2 trong 3 soỏ chia cho 12 coự cuứng soỏ dử thỡ hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 12
 - Neỏu trong 3 soỏ khoõng coự 2 soỏ naứo chia cho 12 coự cuứng soỏ dử, do vaọy soỏ dử cuỷa 3 	soỏ ủoự chổ coự theồ nhaọn ủửụùc tửứ caực boọ soỏ sau (1 ; 5 ; 7) ; (1 ;5; 11 ); ( 1;7 ;11) ; ( 5 ; 7; 11) . Maứ trong caực boọ soỏ ủoự luoõn coự toồng hai soỏ baống 12
	Do vaọy duứ coự xaỷy ra trửụứng hụùp naứo ta cuừng tỡm ủửụùc hai soỏ coự toồng chia heỏt cho 12
Vaọy: Trong 3 soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5 , bao giụứ cuừng tỡm dửụùc hai soỏ coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 12.
Vớ duù 9. Chửựng minh raống : Luoõn toàn taùi soỏ tửù nhieõn n sao cho 13n - 1 chia heỏt cho 1996
	Lụứi giaỷi
Xeựt 1996 soỏ sau : S1 = 13 S1995 = 131995
 	 	 S2 = 132 S1996 = 131996
 	 S3 = 133.........
 Deó thaỏy Si khoõng chia heỏt cho 1996 ( i = 1;2;3....1996 )
 Khi chia Si cho 1996 coự 1996 soỏ dử khaực nhau laứ 1; 2; 3; 4;.......1994; 1995
maứ coự 1996 soỏ Si , maứ chổ coự 1995 khaỷ naờng veà soỏ dử . Do vaọy chaộc chaộn toàn taùi 2 soỏ khi chia cho 1996 coự cuứng soỏ dử. Vaọy hieọu cuỷa chuựng chia heỏt cho 1996 
	Giaỷ sửỷ 2 soỏ ủoự laứ Sm vaứ Sn
 trong ủoự Sm = 13m ; Sn = 13n ( m > n ; m,nN )
 Sm - Sn = 13m - 13n = 13n( 13m-n - 1) 1996 
 maứ 13n vaứ 1996 laứ hai soỏ nguyeõn toỏ cuứng nhau ( 13m-n - 1) 1996 
 ẹaởt k = m - n neõn ( 13k - 1) 1996
Vaọy luoõn toàn taùi n N ủeồ cho ( 13n - 1) 1996
Daùng 5: Phửụng phaựp chửựng minh quy naùp.
Phửụng phaựp: Giaỷ sửỷ ta caàn chửựng minh A(n) p (1)vụựi n = 1, 2, 
Ta chửựng minh , tửực laứ chửựng minh (1) ủuựng vụựi n = 1, tửực laứ A(1) p
Giaỷ sửỷ (1) ủuựng vụựi n = k, tửực laứ ta coự A(k) p 
Ta chửựng minh (1) ủuựng vụựi n = k + 1, tửực laứ phaỷi chửựng minh A(k+1) p.
Theo nguyeõn lớ quy naùp, ta keỏt luaọn (1) ủuựng vụựi moùi n = 1,2,
Vớ duù1: Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ nguyeõn dửụng n ta coự 
4n +15n – 1 9	(1)
Lụứi giaỷi:
+ Vụựi n = 1 ta coự 4 + 15 -1 = 18 9. Vaọy (1) ủuựng vụựi n = 1
+ Giaỷ sửỷ (1) ủuựng vụựi n = k, tửực laứ ta coự: 4k +15k – 1 9 4k +15k – 1 = 9m (m Z) 4k = 9m – 15k + 1 	(2)
+ Vụựi n = k+1, ta coự: 4k+1 +15(k+1) – 1= 4.4k +15k +14 
= 4(9m – 15k + 1) + 15k +14 (theo (2))
= 36m -45k + 18 9 
Vaọy (1) ủuựng vụựi n = k +1 . Do ủoự (1) ủuựng vụựi moùi n = 1,2,  (ủpcm)
Vớ duù 2: Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n ta coự: 	(1)
Lụứi giaỷi:
+ Vụựi n = 0 ta coự: 
+ Giaỷ sửỷ (1) ủuựng vụựi n = k, tửực laứ 
+ Vụựi n = k + 1 ta coự: 
Maứ (vỡ 16 laứ soỏ chaỹn)
Theo giaỷ thieỏt quy naùp neõn 
Maởt khaực: . Do ủoự: 
Vaọy vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n (ủpcm)
Vớ duù 3: Chửựng minh raống: 32n +1 + 2n + 2 , vụựi 
Lụứi giaỷi:
+ Vụựi n = 0 ta coự 3 + 22 = 7 7. Vaọy (1) ủuựng vụựi n = 0
+ Giaỷ sửỷ (1) ủuựng vụựi n = k, tửực laứ ta coự: 32k +1 + 2k + 2 732k +1 = 7p - 2k+2 (p) 
+ Vụựi n = k+1, ta coự: 32k + 3 + 2k + 3 = 9.32k+1 + 4. 2k+1 
= 9(7p – 2.2k+1) + 4.2k+1 =9.7p -14.2k+1 7 
Vaọy (1) ủuựng vụựi n = k +1 . Do ủoự (1) ủuựng vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n (ủpcm)
Vớ duù 4: Chửựng minh: ( n+1)(n+2)(n+3)......(n + 2n-1)(n + 2n) chia heỏt cho 3n ( n > 0 ,nN)
	Lụứi giaỷi :
 * Vụựi n = 1, ta coự: (1 + 1)( 1 + 2) = 6 3
* Giaỷ sửỷ n = k thỡ Ak = (k+1)(k+2)(k+3)....(3k-1)(3k) 3k
* Ta chửựng minh n = k+1 thỡ
 Ak+1 = (k+2)(k+3)(k+4)......(3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2)(3k+3) 3k+1
	Xeựt A k+1 = (k+2)(k+3)(k+4)......(3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2) 3(k+1)
 = 3(k+1) (k+2)(k+3)(k+4)......(3k-1)(3k)(3k+1)(3k+2)
 = Ak.3.(3k+1)(3k+2) 
 maứ Ak 3k Ak+1 3k+1
 Vaọy ( n+1)(n+2)(n+3).......(n +2n-1)(n + 2n) chia heỏt cho 3n ( n > 0 ,nN)
Chuự yự: Neỏu ta thay giaự trũ cuù theồ cuỷa n thỡ ta ủửụùc caực baứi taọp tửụng tửù.
Chaỳng haùn: 
Tỡm soỏ dử ( 2010+1)(2010+2)(2010+3).......(2010 + 4020) chia cho 32010
Baứi taọp vaọn duùng:
1. Chửựng minh raống: vụựi n N, ta coự: 
a) 34n+2 + 2.43n+1 17 	b) 3.52n+1 + 23n+1 17
2. Chửựng minh raống, vụựi moùi soỏ tửù nhieõn khaực 0, ta coự:
a) 10n + 18n – 28 27	b) 
Daùng 6: Sửỷ duùng ủoàng dử.
Phửụng phaựp: 
 + 
+ Neỏu a b (mod m) vaứ c d (mod m) thỡ a c b d (mod m) 
+ Neỏu a b (mod m) vaứ c d (mod m) thỡ ac bd (mod m)
+ Neỏu a b (mod m) thỡ (mod m)
+ Neỏu a b (mod m) vaứ dệC (a,b) thỡ .
ẹaởc bieọt: dệC (a,b,m) thỡ 
Vớ duù 1: Chửựng minh raống: 2139 + 3921 chia heỏt cho 45.
Lụứi giaỷi:
Caựch 1: Ta coự: 21 1(mod 20); 39 -1(mod 20)
2139 + 3921 139 + (-1)21 0 (mod 20)
Vaọy 2139 + 3921 20 , do ủoự: 2139 + 3921 5 (1)
Tửụng tửù: 213(mod 9); 39 -3 (mod 9)
2139 + 3921 339 + (-3)21 321(318 - 1) 0 (mod 9) neõn 2139 + 3921 9 (2)
Tửứ (1)(2) vaứ (5,9) = 1 neõn 2139 + 3921 45 (ủpcm)
Caựch 2: Sửỷ duùng haống ủaỳng thửực mụỷ roọng.
Ta coự 2139 + 3921 = (2139 -1) + (3921+ 1)
Maứ 2139 – 1 = 20(2138 + 2137+ .+1) 5 
vaứ 3921+ 1 = (39 +1)(3920 – 3919 +  -391 +1) = (3920 – 3919 +  -391 +1) 
 2139 + 3921 	(1)
Maởt khaực: 2139 + 3921 = (2139 - 339) + (3921 - 321) + (339 + 321) 
Maứ 2139 – 339 = 18(2138 + 2137.3+ + 21.337+ 338) 
Vaứ 3921 - 321 = 36 (3920+ 3919.3 + + 39. 319 +1) 
Neõn 2139 + 3921 (2)
Tửứ (1)(2) vaứ (5,9) = 1 2139 + 3921
Baứi taọp vaọn duùng: 
1. Chửựng minh raống:
a) 222333 + 333222 13	b) 22225555 + 55552222 7
c) 19611962 + 19631964 + 19651966 + 2 7
2. Tỡm dử trong pheựp chia:
a) 570 + 750 cho 12	b) cho 7
Daùng 7: Aựp duùng ủũnh lớ Fermat (pheực ma)
Phửụng phaựp: Vụựi p laứ soỏ nguyeõn toỏ ta coự apa(mod p)
ẹaởc bieọt:, neỏu (n,p) = 1 thỡ ap-11 (mod p)
Vớ duù 1: Chửựng minh raống , vụựi moùi n N	(1)
Lụứi giaỷi:
Theo ủũnh lớ Pheực ma, ta coự: 310 1(mod 11) vaứ 210 1(mod 11)
Ta tỡm dử trong pheựp chia 24n+1 vaứ 34n+1 cho 10, tửực laứ tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa chuựng.
Ta coự: 24n+1 = 2.16n 2(mod 10) 24n+1 = 10k + 2
34n+1 = 3.81n 3(mod 10) 34n+1 = 10k + 3
Do ủoự: 
Vaọy 
Baứi taọp vaọn duùng:
1. Chửựng minh raống: 
a) 12002 + 22002 +  + 20022002 	b) 
2. Chửựng minh raống vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n ta coự: 
a) 	b) 	c) 
3. a) Cho a, b laứ hai soỏ nguyeõn thoỷa a2+b2 . Chửựng minh a7 vaứ b 7
b) Chửựng minh raống neỏu a2 + b2 21 thỡ a2 + b2 441
Daùng 8: Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa moọt soỏ.
Phửụng phaựp:
1. Tỡm moọt chửừ soỏ taọn cuứng.
+ Neỏu a coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 0, 1,5 hoaởc 6 thỡ an laàn lửụùt coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 0,1,5 hoaởc 6
+ Neỏu a coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 2,3 hoaởc 7, ta coự nhaọn xeựt sau:
24k 6(mod 10); 34k 1(mod 10);	74k 1 (mod 10)
Do ủoự ủeồ tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa an vụựi a coự chửừ soỏ taọn cuứng laứ 2,3 hoaởc 7 ta laỏy n chia cho 4. Giaỷ sửỷ: n = 4k + r vụựi r = {0;1,2,4}
Neỏu a 2 (mod 10) thỡ an 2n 24k+r 6.2r (mod 10)
Neỏu a3(mod10) hoaởc a7(mod 10) thỡ an = a4k+rar (mod 10)
2. Tỡm hai chửừ soỏtaọn cuứng.
Ta coự nhaọn xeựt sau: 220 76 (mod 100); 320 01 (mod 100); 
65 76 (mod 100); 74 01(mod 100)
Maứ 76n 76(mod 100) vụựi n 1; 5n 25(mod 100) vụựi n 2
Suy ra: a20k 00(mod100) neỏu a 0(mod 10)
a20k 01(mod100) neỏu a 1;3;7;9(mod 10)
a20k 25(mod100) neỏu a 5(mod 10)
a20k 76(mod100) neỏu a 2;4;6;8(mod 10)
Vaọy ủeồ tỡm hai chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa an ta laỏy soỏ muừ n chia cho 20.
c) Tỡm 3 chửừ soỏ taọn cuứng.
Giaỷ sửỷ n = 100k + r vụựi , khi ủoự an = a100k+r = ar. (a100)k
Giaỷ sửỷ a x(mod10) neỏu x{0,1,2,9}
Ta coự: a100 = (10k+x)100 cuừng chớnhlaứ 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa x100.
Duứng quy naùp vụựi n , ta coự: 625n 625(1000); 376376(mod 1000)
+ Neỏu x = 0 thỡ x100000(mod 1000)
+ Neỏu x = 5 thỡ x4 =54 = 652 x100 (x4)25 625 (mod 1000)
+ Neỏu x = 1;3;7;9 ta coự tửụng ửựng: 
 x4 = 1;81;2401;6561 1 (mod 40) x100 = (40k+1)25 1(mod 1000)
+ Neỏu x = 2;4;6;8 thỡ x100 2100 8
Giaỷ sửỷ 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa x100 laứ ta coự: 
x100 =1000k + 8 vaứ 1 (mod 125)
Trong caực soỏ 1;126;376; 501;626; 751; 876 (caực soỏ coự 3 chửừ soỏ chia cho 125 dử 1) chổ coự moọt soỏ duy nhaỏt chia heỏt cho 8 laứ soỏ 376. Vaọy x100 376(mod 1000)
Do ủoự ta coự keỏt quaỷ sau: a100k 1000(mod 1000) neỏu a 0 (mod 10)
a100k 001(mod 1000) neỏu a 1,3,7,9 (mod 10) 
a100k = 376 (mod 100) neỏu a 2;4;6; 8
Vaọy ủeồ tỡm 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa an ta tỡm 2 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa soỏ nguyeõn muừ n
Vớ duù 1: Chửựng minh raống 0,3. (19831983 - 19171917) laứ moọt soỏ nguyeõn.
Lụứi giaỷi:
Ta coự 19831983 34k+3 (mod 10)
Vỡ 34k 1(mod 10) neõn 34k+3 33 7 (mod 10)
Maởt khaực: 19171917 74l+ 1 7(mod 10) 
Suy ra: 19831983 – 19171917 10 
Vaọy 0,3. (19831983 - 19171917) laứ moọt soỏ nguyeõn.
Vớ duù 2: Chửựng minh vụựi moùi n ta coự: 
Lụứi giaỷi: 
Ta coự: 74 1(mod 100) vaứ 410 76(mod 100)
Do ủoự: =74k 1(mod 100); 
Suy ra: 
Vớ duù 3 : Tỡm 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 
Lụứi giaỷi:
Trửụực heỏt ta tỡm hai chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa 92010.
Ta coự: 92010 = 910.92010 = 
Suy ra: 
Vaọy 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa laứ 752
Baứi taọp vaọn duùng: 
1. Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa caực soỏ: a) 71993;	b) 22000; 	c) 
2. Chửựng minh raống: a) 	b) 
3. Tỡm chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa thửụng trong pheựp chia cho 7
4. Tỡm 3 chửừ soỏ taọn cuứng cuỷa soỏ 
Daùng 9: Chửựng minh phaỷn chửựng.
Vớ duù 1: Chửựng minh raống : Neỏu ( x2 + y2) 3 khi vaứ chổ khi x 3 vaứ y 3
Lụứi giaỷi: 
Giaỷ sửỷ trong 2 soỏ coự ớt nhaỏt moọt soỏ khoõng chia heỏt cho 3 
+ Neỏu x 3 ; y khoõng chia heỏt 3 ( x2 + y2 ) khoõng chia heỏt cho 3 ( traựi vụựi gt)
+ Neỏu x khoõng chia heỏt 3 ; y khoõng chia heỏt 3 thỡ :
x = 3k 1 x2 = (3k 1)2 =Bs 3 + 1
 y = 3n 1 y2 = ( 3n 1)2 = Bs 3 + 1
Do vaọy suy ra x2 + y2 = Bs 3 + 2 (x2 + y2)khoõng chia heỏt cho 3 (traựi vụựi gt )
Vaọy caỷ hai soỏ x vaứ y ủeàu chia heỏt cho 3
Vớ duù 2: Cho m , n N thoỷa maừn 24m4 + 1 = n2 . Chửựng minh tớch m.n chia heỏt cho 5 .
Lụứi giaỷi :
	Giaỷ sửỷ trong hai soỏ m , n khoõng coự soỏ naứo chia heỏt cho 5 . Vaọy m chổ coự caực daùng sau : m = 5k 1 hoaởc m = 5k 2 m2 = Bs 5 + 1 ; m2 = Bs 5 + 4 
 m4 = Bs 5 + 1 
24m4 + 1 = 24.( Bs 5 + 1) = Bs 5 + 25 n2 5 n 5 (Traựi vụựi giaỷ sửỷ )
 Vaọy trong hai soỏ coự ớt nhaỏt moọt soỏ chia heỏt cho 5, neõn tớch m.n chia heỏt cho 5
Vớ duù 3: Cho a,b,c N thoỷa maừn a2 + b2 = c2 thỡ 
	a) Trong hai soỏ a vaứ b coự moọt soỏ chia heỏt cho 3
	b) Moọt trong caực soỏ a vaứ b chia heỏt cho 4
	c) Moọt trong caực soỏ a,b,c chia heỏt cho 5 
Lụứi giaỷi:
a) Giaỷ sửỷ trong hai soỏ a vaứ b khoõng coự soỏ naứo chia heỏt cho 3 thỡ a2 + b2 chia cho 3 luoõn coự soỏ dử laứ 2 (1). 
	Do vaọy c khoõng chia heỏt cho 3 c2 chia cho 3 coự soỏ dử laứ 1 ( 2)
Nhử vaọy (1) vaứ (2) maõu thuaón vụựi nhau . Vaọy trong hai soỏ a vaứ b coự ớt nhaỏt moọt soỏ chia heỏt cho 3 .
b) Neỏu a vaứ b chaỹn thỡ c 2 cho neõn a =2k ,b = 2n , c =2q 
thay vaứo a2 + b2 = c2 ta deó coự k2 + n2 = q2 ;
Laọp luaọn tửụng tửù ta laùi coự k 2 hoaởc n 2 a 4 hoaởc b 4
 Neỏu a vaứ b cuứng leỷ thỡ a2 + b2 chia cho 4 dử 2 c 2 neõn c2 4 (voõ lyự )
Vaọy trong hai soỏ a vaứ b coự moọt soỏ chaỹn coứn soỏ kia laứ soỏ leỷ
b) Giaỷ sửỷ a = 2k ; b = 2n + 1 deó thaỏy c laứ soỏ leỷ c = 2q +1 
	Thay vaứo a2 + b2 = c2 ta ủửụùc (2k)2 + (2n +1)2 = ( 2q +1)2 
	 4k2 = ( 2q +1)2 - ( 2n + 1)2 8 .
Vỡ hieọu caực bỡnh phửụng hai soỏ leỷ thỡ chia heỏt cho 8 suy ra k2 2 k 2
	 Vaọy a 4 Trong hai soỏ a vaứ b coự moọt soỏ chia heỏt cho 4
c) Giaỷ sửỷ trong 3 soỏ treõn khoõng coự soỏ naứo chia heỏt cho 5. Baống caực pheựp thửỷ ta deó thaỏy:	 	a2 = Bs 5 + 1 ; Bs 5 + 4 
	 	b2 = Bs 5 + 1 ; Bs 5 + 4	 
	 	c2 = Bs5 + 1 ; Bs 5 + 4 (1)	 	
Ta coự a2 + b2 chia cho 5 coự caực soỏ dử laàn lửụùt laứ 0;2;3 
	 c2 chia cho 5 coự soỏ dử laứ 0;2;3 (2).
 (1) vaứ (2) maõu thuaón. Vaọy trong 3 soỏ a , b, c coự moọt soỏ chia heỏt cho 5
Vớ duù 4. Cho n laứ soỏ tửù nhieõn , p laứ soỏ nguyeõn toỏ .
	Chửựng minh raống : Neỏu n2 p khi vaứ chổ khi n p
Lụứi giaỷi :
	Giaỷ sửỷ n khoõng chia heỏt cho p n vaứ p laứ hai soỏ nguyeõn toỏ cuứng nhau n2 khoõng chia heỏt cho p (traựi vụựi gt )
Vaọy neỏu n2 p khi vaứ chổ khi n p
Sau khi hỡnh thaứnh ủửụùc caực phửụng phaựp cụ baỷn toõi ủửa ra caực baứi taọp reứn kú naờng yeõu caàu hoùc sinh giaỷi baứi toaựn baống nhieàu caựch (coự theồ)
Baứi taọp tửù laứm:
Baứi toaựn 1: 
	Cho a , b Z . Chửựng minh raống 
	a) ( a + 4b ) 13 khi vaứ chổ khi ( 10a + b) 13
	b) ( 3a + 2b ) 17 khi vaứ chổ khi ( 10a + b) 17
Baứi toaựn 2 
Cho moọt soỏ coự 6n chửừ soỏ chia heỏt cho 7 . Chửựng minh raống neỏu chuyeồn chửừ soỏ cuoỏi cuứngleõn ủaàu maứ khoõng thay ủoồi vũ tri caực chửừ soỏ coứn laùi thỡ ta ủửụùc moọt soỏ mụựi chia heỏt cho 7 
Baứi toaựn 4
	Chửựng minh raống : Vụi m laứ soỏ nguyeõn leỷ thỡ soỏ coự daùng 
	 n3 - 3n2 - n + 3 chia heỏt cho 48
Baứi toaựn 5
	Cho p > 5 laứ soõ nguyeõn toỏ . Chửựng minh raống : p3 + p2 - p - 1 chia heỏựt cho 48
Baứi toaựn 6
	Chửựng minh raống : Vụựi moùi n Z thỡ 
	a ) 3n4 - 14n3 + 21n2 - 10n 24
	b) n5 + 10n4 - 5n3 - 10n2 + 4n 120
Baứi toaựn 7 
	Cho a , b laứ caực soỏ chớnh phửụng leỷ lieõn tieỏp thỡ ( a - 1)( b - 1) 192
Baứi toaựn 8 
	Chửựng minh raống : Neỏu n laứ soỏ tửù nhieõn chaỹn thỡ 20n + 16n - 3n - 1 chia heỏt cho 323
Baứi toaựn 9
	Chửựng minh raống : Vụựi moùi n N thỡ 
	a) n2 + 11n + 39 khoõng chia heỏt cho 49
	b) n2 + 3n + 5 khoõng chia heỏt cho 8 vụựi n laứ soỏ leỷ
	c) n2 + 3n + 5 khoõng chia heỏt cho 121
Baứi toaựn 10 
	Chửựng minh raống ( m2 + mn + n2 ) 9 khi vaứ chổ khi m, n ủoàng thụứi chia heỏt cho 3
Baứi toaựn 11
	Tỡm caực chửừ soỏ x , y ủeồ cho soỏ coự daùng N = 13
Baứi toaựn 12
	Chửng minh raống vụựi n laứ soỏ tửù nhieõn khoõng chia heỏt cho 5
	thỡ ( 112n - 26n )(n4 - 1) 285
Baứi toaựn 13.	Chửựng minh raống :
 a) 222333 + 333222 13
 b) 3105 + 4105 181
 c) 109345 - 1 7
 d) 7778.7779. 7780.7781.7782.7783 - 6 chia heỏt cho 7
Baứi toaựn 14. Chửựng minh raống vụựi n laứ soỏ tửù nhieõn thỡ 
a) ( 11n+2 + 122n+1 ) 133 b) ( 32n+1 + 40n - 67 ) 64 c) ( 2n+2.3n + 5n - 4 ) 25
d) (16n - 15n - 1) 225 	 e) n! chia heỏt cho 2n2 ( n > 4 )
f ) ( + 1 ) 3n+1
Baứi toaựn 15. Chửựng minh raống : Trong 51 soỏ tửù nhieõn baỏt kyứ , bao giụứ cuừng choùn ủửụùc hai soỏ coự toồng hoaởc hieọu chia heỏt cho 100
Baứi toaựn 16.
Chửựng minh raống : Neỏu p > 3 ,p laứ soỏ nguyeõn toỏ thỡ ap - a chia heỏt cho p voựi a Z
 Baứi toaựn 17
	Cho p laứ soỏ nguyeõn toỏ lụựn hụn 5 . Chửựng minh raống luoõn toàn taùi moọt soỏ tửù nhieõn goàm toaứn chửừ soỏ 1 chia heỏt cho p
Baứi toaựn 18
	Chửựng minh raống : Luoõn toàn taùi soỏ tửù nhieõn n sao cho 1997n - 1 chia heỏt cho 1999
Baứi toaựn 19
	a) Cho 1998 soỏ tửù nhieõn baỏt kyứ , chửựng minh raống luoõn toàn taùi trong ủoự moọt soỏ hoaởc moọt vaứi soỏ coự toồng chia heỏt cho 1998
	b) Cho 1998 soỏ tửù nhieõn , moói soỏ ủeàu nhoỷ hụn 1998 vaứ coự toồng baống 3996 . Chửựng minh raống trong caực soỏ ủoự luoõn choùn ủửụùc moọt vaứi soỏ coự toồng baống 1998
Baứi toaựn 20
	Chửựng minh raống : m , n N ; m vaứ n laứ 2 soỏ nguyeõn toỏ cuứng nhau thỡ luoõn toàn taùi 	soỏ tửù nhieõn k sao cho ( mk - 1 ) n
Baứi toaựn 21
	Chửựng minh raống luoõn tỡm ủửụùc soỏ coự daùng 199819981998.....199800000....000 
	( Trong ủoự coự 1998 nhoựm soỏ 1998 ) chia heỏt cho 1999
Baứi toaựn 22
	Chửựng minh raống: Toồng caực laọp phửụng cuỷa 3 soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 9 
Baứi toaựn 24
Chửựng minh raống : 1.2.3.....69.70.( 1+ ) chia heỏt cho 71
Baứi toaựn 25. Chửựng minh raống: Moọt soỏ coự 6 chửừ soỏ chia heỏt cho 13 khi vaứ chổ khi hieọu cuỷa soỏ taùo bụỷi 3 chửừ soỏ cuoỏi vụựi soỏ taùo bụỷi 3 chửừ soỏ ủaàu chia heỏt cho 13.
Phần 3  kết luận và kiến nghị
Đây là mảng kiến thức khó đối với học sinh nhưng lại có tác dụng lớn đối với những học sinh yêu thích môn toán, có tác dụng phát triển tư duy và khả năng sáng tạo cho các em. 
Khi áp dụng vào quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất có hứng thú học tập. Các em biết phát hiện kiến thức và tìm được mối liên hệ giữa chúng. Do vậy bài tập không trở nên quá nặng nề đối với sức của các em. Do được rèn kỹ năng chứng minh ngay từ đầu nên sau này khi gặp các bài toán chứng minh tính toán, bài toán tổng hợp hay bài ôn tập học sinh đều biết cách làm. 
Tuy kết quả còn chưa cao, song đứng trước nhu cầu chính đáng muốn vươn lên học tốt của học sinh và hoà vào không khí thi đua dạy học của toàn ngành, tôi cũng xin mạnh dạn giới thiệu một số kinh nghiệm của mình. Bài viết không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong sự giúp đỡ của đồng nghiệp.
 Xin chân thành cảm ơn!
	Phạm Quốc Hoàn

File đính kèm:

  • docSKKN_DANG_TOAN_CHIA_HET.doc
Sáng Kiến Liên Quan