Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN A: ĐẶT VẤN ĐỀ
I.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Cùng với sự phát triển của đất nước,sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới.Các nhà trường đã ngày càng chú trọng hơn tới chất lượng giáo dục toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục mũi nhọn.Với vai trò là môn học công cụ,bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các bộ môn khoa học tự nhiên khác.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh đặc biệt là học sinh khá, giỏi,các em có tư duy nhạy bén,có nhu cầu hiểu biết ngày càng cao,làm thế nào để các học sinh này phát huy hết khả năng của mình,đó là trách nhiệm của giáo viên chúng ta.
Bản thân tôi ,trong những năm học vừa qua được nhà trường phân công dạy Toán lớp 8, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi,dạy các lớp nâng cao.Qua giảng dạy tôi nhận thấy “Vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử” đối với bậc trung học cơ sở (THCS) là một vấn đề lí thú.
Đã có rất nhiều bài viết về vấn đề này,tuy nhiên trong thực tế, khi gặp những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến ,có bậc cao (có bậc trên 4), có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ thì rất khó để có thể giải được bằng những phương pháp thường dùng như :Phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp dùng hằng đẳng thức, phương pháp nhóm hạng tử, phương pháp tách hạng tử......và phần lớn các em không giải quyết được. 
Vì vậy tôi chọn đề tài “Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử”để góp phần nào đó nhằm giúp các em giảm bớt khó khăn khi gặp dạng toán trên và góp phần làm hoàn thiện thêm việc phân tích đa thức thành nhân tử .Tôi hy vọng bài viết này sẽ có ích cho đồng nghiệp và các em học sinh.
II. ĐỐI TƯỢNG – PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ ÁP DỤNG.
- Đối tượng nghiên cứu: 
Đối tượng học sinh khối 8 bậc THCS
-Phương pháp nghiên cứu :
	Tham Khaûo taøi lieäu chuyeân moân coù lieân quan
Điều tra, thực nghiệm,khảo sát kết quả học tập của học sinh
Thực nghiệm giảng dạy cho các em học sinh cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.
Điều tra ,đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy chuyên đề.
Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp
-Nhiệm vụ của sang kiến :
Đưa ra những kiến thức cơ bản để phân tích đa thức một biến, có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ thành nhân tử .
Nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải hợp lí. 
PHẦN B: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
I- CÔ SÔÛ LÍ LUAÄN:
	ÔÛ tröôøng phoå thoâng moân toaùn laø moân hoïc chính, moân hoïc cô sôû, laø coâng cuï cho caùc moân hoïc khaùc vaø giaûi toaùn laø hình thöùc chuû yeáu cuûa hoaït ñoäng toaùn hoïc. Caùc baøi toaùn trong chöông trình phoå thoâng laø moät phöông tieän ñem laïi hieäu quaû cao vaø khoâng theå thay theá ñöôïc trong vieäc giuùp hoïc sinh naém vöõng tri thöùc, phaùt trieån tö duy, hình thaønh caùc kyõ naêng vaø bieát öùng duïng toaùn hoïc vaøo thöïc tieãn. Vì vaäy toå chöùc coù hieäu quaû vieäc reøn cho hoïc sinh coù kyõ naêng giaûi baøi taäp toaùn coù vai troø quyeát ñònh trong vieäc naâng cao chaát löôïng hoïc taäp cuûa hoïc sinh.
	Phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû laø noäi dung kieán thöùc quan troïng, lyù thuù, phong phuù, ña daïng vaø khoâng ñôn giaûn ñoái vôùi hoïc sinh THCS. Noäi dung naøy ñöôïc ñöa vaøo chöông trình Toaùn 8, nhöng thaät ra caùc em ñaõ ñöôïc ñeà caäp ñeán töø tröôùc vôùi daïng baøi toaùn ngöôïc aùp duïng tính chaát phaân phoái cuûa pheùp nhaân ñoái vôùi pheùp coäng treân caùc taäp hôïp soá. Vôùi löôïng thôøi gian phaân phoái chương trình coù số tieát ít song noäi dung naøy laø cô sôû vaän duïng cho caùc chöông sau vaø lôùp sau trong caùc phaàn: “ Ruùt goïn phaân thöùc, quy ñoàng maãu soá caùc phaân thöùc, bieán ñoåi caùc bieåu thöùc höõu tæ, giaûi phöông trình”
	Vì vaäy vaán ñeà ñaët ra laø laøm theá naøo ñeå hoïc sinh giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû moät caùch chính xaùc, nhanh choùng vaø ñaït hieäu quaû cao đã khó và giải những bài toán dạng đặc biệt còn khó hơn. Ñeå thöïc hieän toát ñieàu naøy ñoøi hoûi ngöôøi giaùo vieân phaûi xaây döïng cho hoïc sinh nhöõng kyõ naêng nhö quan saùt, nhaän xeùt, ñaùnh giaù baøi toaùn vaø ñaëc bieät laø kyõ naêng giaûi toaùn, vaän duïng baøi toaùn. Tuyø theo töøng ñoái töôïng hoïc sinh maø giaùo vieân xaây döïng caùch giaûi cho phuø hôïp treân cô sôû caùc phöông phaùp ñaõ hoïc, ñoàng thôøi phaûi môû roäng theâm caùc caùch giaûi khaùc nhaèm naâng cao chaát löôïng hoïc taäp boä moân cuûa hoïc sinh.
II- CÔ SÔÛ THÖÏC TIEÃN:
	Trong quaù trình giaûng daïy vôùi löôïng thôøi gian theo khung phaân phoái chöông trình như hiện tại thì khi hoïc daïng toaùn naøy ña soá hoïc sinh coøn raát luùng tuùng trong vieäc aùp duïng phöông phaùp vào giải toán, đặc biệt ñoái vôùi hoïc sinh khaù, gioûi coøn nhieàu vaán ñeà chöa ñöôïc ñeà caäp ñeán.
	Toâi ñaõ tìm hieåu nguyeân nhaân khaùch quan vaø chuû quan daãn ñeán ña soá hoïc sinh chöa coù kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến ,có bậc cao, có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ thì phần lớn không giải được là nguyên nhân nhö sau :
	Trong tieát daïy, giaùo vieân thöôøng phoái hôïp nhieàu phöông phaùp ñeã daãn daét hoïc sinh tìm hieåu kieán thöùc nhöng noäi dung baøi hoïc nhieàu, khoâng ñaûm baûo ñöôïc thôøi gian neân chöa đề cập hoặc chỉ giới thiệu phöông pháp phân tích đa thức thành nhân tử mà đề tài nêu mà không nghiên cứu sâu.
	Thông thường caùc em chỉ dừng lại ở việc phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thường dùng,ít gặp dạng bài tập như đã nêu hoặc khi gặp thì thường bỏ qua chứ không chịu khó tìm hiểu cách giải ở những tài liệu ngoài sách giáo khoa,mà thực tế thì tài liệu về vấn đề này cũng không nhiều.
	Vì vaäy laøm sao ñeå hoïc sinh yeâu thích moân toaùn, laøm sao ñeå hoïc sinh hoàn thiện hơn kyõ naêng giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû. 
	Ñeå giaûi quyeát caùc vaán ñeà treân trong quaù trình giaûng daïy toâi ñaõ ñeà ra phöông phaùp “Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của các đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử”để góp phần nào đó giuùp caùc em hieåu rõ vaø vaän duïng phöông phaùp naøy khi giaûi baøi toaùn phaân tích ña thöùc thaønh nhaân töû nhaèm naâng cao chaát löôïng hoïc taäp cho hoïc sinh.
III- CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
Để giải tốt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến ,có bậc cao, có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ thì các em phải nắm được các kiến thức cơ bản sau :
1.Kiến thức cơ bản:
Định lý (nghiệm hữu tỉ của đa thức):
Cho đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 +......+ a1x + a0 , aiZ .
	Nếu phân số tối giản mà thì và (là các ước của ,là các ước của ,)
	Thuật toán tìm nghiệm hữu tỉ:
	-Lập các ước ,
	-Lập tập 
	-Với S ,tính .Nếu thì là nghiệm.
	-Dùng sơ đồ Hoóc-ne hạ bậc đa thức f(x) và tìm đa thức thương.
Hệ quả:
	Đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 +......+ a1x + a0 , aiZ , với an=1 
f(x)= xn + an-1xn-1 +...... + a1x + a0 	
,nếu thì p là nghiệm.
2.Ứng dụng việc tìm nghiệm hữu tỉ của đa thức hệ số nguyên để phân tích đa thức thành nhân tử:
2.1 Các ví dụ
Ví dụ 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Với cách giải thông thường ta thử các giá trị là ước của -21 là và ta thấy 
Dùng sơ đồ Hoóc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương)
	10	-81	90	-102	80	-21
 	10	-11	13	11	3	0
Với đa thức cho ở ví dụ trên thì rất khó khăn để phân tích thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường đã học, vả lại hệ số cao nhất của đa thức lại khác 1 nên ta không thể sử dụng hệ quả để giải bài toán mà phải sử dụng định lí để giải và ta làm như sau :
Giải :
Bước 1:Tìm nghiệm hữu tỉ 
	Ta có (a0 = -21)
	 (an = 10)
Bước 2 :Tìm nghiệm:
Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho f(x) = 0 và ta thấy là nghiệm.
Dùng sơ đồ Hoóc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương)
	10	-91	90	-102	80	-21
 	10	-76	52	-76	42	0
Tương tự đối với g(x): 
	Ta có (a0 = -21)
	 (an = 5)
Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho g(x) = 0 và ta thấy là nghiệm.
Dùng sơ đồ Hoóc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương)
	5	-38	26	-38	21
 	5	-3	5	-3	0
Tương tự đối với h(x): 
	Ta có (a0 = -21)
	 (an = 5)
Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho h(x) = 0 và ta thấy là nghiệm.
Dùng sơ đồ Hoóc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương)
	5	-3	5	-3
 	5	0	5	0
Và như vậy ta được: 
Ví dụ 2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Tương tự như ví dụ 1, đa thức đã cho cũng rất khó khăn để phân tích thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường đã học, nhưng hệ số cao nhất của đa thức này là 1 nên ta có thể sử dụng hệ quả để giải bài toán trên và ta làm như sau :
Giải :
	Ta có (a0 = -96)
Ta thử các giá trị trong tập S xem tại giá trị nào làm cho f(x) = 0 và ta thấy 
là nghiệm.
Dùng sơ đồ Hoóc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương)
	1	-8	21	-34	80	-96
 	1	-6	9	-16	48	0
Do đó 
Đặt 
Quan sát hệ số tự do và hệ số cao nhất của đa thước g(x) ta thấy có thể dùng hệ quả để giải.
Ta có :
Ta thử các giá trị trong tập Q xem tại giá trị nào làm cho g(x) = 0 và ta thấy 
là nghiệm.
	1	-6	9	-16	48	
 	1	-3	0	-16	0
Như vậy 
Tương tự: 
Ta có :
Ta thử các giá trị trong tập H xem tại giá trị nào làm cho h(x) = 0 và ta thấy 
là nghiệm.
Dùng sơ đồ Hoóc-ne:(để hạ bậc và tìm đa thức thương)
	1	-3	0	-16	
 	1	 1	4	0
 Vậy 
2.2 Nhận xét:
Qua hai ví dụ điển hình nêu trên ta thấy :
	-Nếu đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 +......+ a1x + a0 , aiZ , với an=1 thì chúng ta vận dụng ngay hệ quả của định lí để giải bài toán .
	-Nếu đa thức f(x)= anxn + an-1xn-1 +......+ a1x + a0 , aiZ , với an1 thì ta có thể đưa hệ số hệ số cao nhất của f(x) về 1 bằng cách đặt an làm nhân tử chung, tuy nhiên lúc này lại xuất hiện hai trường hợp :
	Trường hợp 1: Sau khi đưa hệ số cao nhất của f(x) về 1 bằng cách đặt an làm nhân tử chung mà hệ số tự do của đa thức trong ngoặc không là một số nguyên thì ta vẫn phải áp dụng định lí để giải bài toán.
	Trường hợp 2: Sau khi đưa hệ số cao nhất của f(x) về 1 bằng cách đặt an làm nhân tử chung mà hệ số tự do của đa thức trong ngoặc là một số nguyên thì ta áp dụng hệ quả để giải bài toán.
Tóm lại, khi gặp dạng bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một ẩn ,có bậc cao, có hệ số nguyên chúng ta nên ưu tiên việc sử dụng hệ quả của định lí để giải bài toán ,sau đó nếu không thể giải được thì mới áp dụng định lí ,vì khi sử dụng hệ quả thì công việc giải bài toán trở nên đơn giản và ngắn gọn hơn. 
2.3 Bài tập áp dụng
Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
	a)
	Kết quả:
	b)
Kết quả:
Bài 2:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
Kết quả:
b)
Kết quả:
IV- HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI :
	 1.Đánh giá chung
Tröôùc khi aùp duïng phöông phaùp treân toâi nhaän thaáy nhieàu hoïc sinh nhìn nhaän và giaûi quyeát baøi toaùn chöa ñuùng.
Qua thöïc teá giaûng daïy töø khi aùp duïng phöông phaùp naøy toâi nhaän thaáy hoïc sinh naém vöõng kieán thöùc hôn, hieåu roõ caùch giaûi toaùn ôû daïng baøi taäp naøy, giuùp cho hoïc sinh khaù, gioûi coù ñieàu kieän tìm hieåu theâm moät soá phöông phaùp giaûi khaùc, caùc daïng toaùn khaùc naâng cao hôn phaùt huy ñöôïc tính töï hoïc, tìm toøi, saùng taïo cuûa hoïc sinh trong vieäc hoïc toaùn. 
2.Kết quả khảo sát sau khi áp dụng:
	 Treân ñaây laø kinh nghieäm maø toâi ñaõ thöïc hieän vaø ñaõ ruùt ra ñöôïc trong thöïc teá giaûng daïy. 
Cuï theå: trong năm học 2013-2014 , phöông phaùp naøy ñaõ thöïc hieän treân 30 em học sinh khá giỏi của lớp 8A1 và lớp 8A2 ,tôi thống kê được kết quả như sau:
Lớp
Số học sinh được khảo sát
Số em thực hiện được bài toán 
SL
%
8A2
15
14
93
8A3
15
13
87
Năm học 2014-2015 chúng tôi vẫn tiếp tục áp dụng vấn đề trên vào giảng dạy cho học sinh hai lớp 8A1 và lớp 8A2 .
 	Kết quả : (học kì I)
Lớp
Số học sinh được khảo sát
Số em thực hiện được bài toán 
SL
%
8A1
15
15
100
8A2
15
14
93
Kết quả trên theo tôi là khả quan, tuy nhiên chưa thể đánh giá hết thực chất việc học, việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một ẩn ,có bậc tương đối cao, có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ thì chỉ phần nào thể hiện được tác dụng của đề tài.
	3.Bài học kinh nghiệm.
Vôùi hoïc sinh khaù, gioûi: Ngoaøi vieäc naém chaéc caùc phöông phaùp cô baûn, giaùo vieân caàn cho hoïc sinh tìm hieåu theâm caùc phöông phaùp phaân tích naâng cao khaùc thoâng qua caùc baøi taäp daïng naâng cao giuùp hoïc sinh vaän duïng thaønh thaïo kyõ naêng bieán ñoåi, linh hoaït trong löïa choïn caùc phöông phaùp. Qua ñoù kích thích oùc tìm toøi, saùng taïo, khai thaùc caùch giaûi, khai thaùc baøi toaùn nhaèm phaùt trieån tö duy moät caùch toaøn dieän cho hoïc sinh.
Ñoái vôùi giaùo vieân: Phaûi ñònh höôùng vaø vaïch ra nhöõng daïng toaùn giuùp hoïc sinh tìm ra caùc phöông phaùp giaûi hôïp lyù töø ñoù naém vöõng caùc daïng toaùn, reøn kyõ naêng phaân tích töøng daïng baøi taäp. Thöôøng xuyeân kieåm tra möùc ñoä tieáp thu vaø vaän duïng cuûa hoïc sinh trong quaù trình cung caáp caùc thoâng tin môùi coù lieân quan trong chöông trình. Ñoàng thôøi giaùo vieân phaûi taïo ra khoâng khí tích cöïc trong khi giaûi baøi taäp ñoái vôùi ñoái töôïng hoïc sinh. Muoán vaäy giaùo vieân caàn taùc ñoäng ñeán ñoái töôïng sao cho phuø hôïp. Chaúng haïn ñoái vôùi hoïc sinh khaù, gioûi caàn neâu neùt cô baûn höôùng hoïc sinh theo con ñöôøng caàn ñi ñeán. Neân ñeå cho hoïc sinh tích cöïc tìm toøi saùng taïo nhö vaäy môùi phaùt trieån tö duy trí tueä cho hoïc sinh.
PHẦN C: KẾT THÚC VẤN ĐỀ
1.Đề xuất và hướng nghiên cứu tiếp theo:
Giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy các bài toán khó nói riêng đạt hiệu quả cao là một vấn đề đang được quan tâm nhiều của phụ huynh, của giáo viên dạy...
Do vậy để học sinh chủ động học tập, phấn đấu vươn lên là vấn đề cần đến nhiều sự quan tâm của gia đình, nhà trường và xã hội .Song một yếu tố chủ quan không kém phần quan trọng đến kết quả học tập của học sinh là người giáo viên trực tiếp giảng dạy và sự lãnh đạo của nhà trường.Vì vậy tôi có một số đề xuất như sau:
* Đối với giáo viên dạy toán:
Phải nhận thức đúng vị trí, vai trò quan trọng của bộ môn Toán trong toàn bộ hệ thống kiến thức. Người giáo viên trực tiếp giảng dạy phải nắm vững nội dung, phương pháp giảng dạy sát đối tượng học sinh để sử dụng phương pháp thích hợp.
Phải thường xuyên trao đổi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm giảng dạy, biết tổ chức cho học sinh học tập có nề nếp... và đặc biệt phải biết lựa chọn phương pháp giảng dạy một cách thích hợp.
* Đối với nhà trường:
Trước hết tổ chuyên môn phải là chỗ dựa vững chắc, tin cậy cho giáo viên trong việc cải tiến phương pháp giảng dạy, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ. Tăng cường dự giờ nhằm tạo điều kiện để giáo viên trong tổ học tập, rút kinh nghiệm lẫn nhau, từ đó củng cố và phát huy được năng lực chuyên môn, nghiệp vụ.
Nhà trường cần cung cấp đủ tài liệu tham khảo. Thường xuyên tổ chức chuyên đề để giáo viên có điều kiện trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, tích luỹ kinh nghiệm, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
	Ñeà taøi naøy coù theå aùp duïng thöïc hieän trong toå chuyeân moân, khoái 8 -9 ,sử dụng cho giải toán bằng máy tính bỏ túi ñoàng thôøi laøm taøi lieäu tham khaûo.
 Ñeà taøi coù noäi dung kieán thöùc töông ñoái roäng , ñöôïc aùp duïng ñeå ø boài döôõng hoïc sinh gioûi. Vì vaäy vieäc toå chöùc cho hoïc sinh naém vöõng kieán thöùc cô baûn theo yeâu caàu cuûa chöông trình, coù kyõ naêng giaûi toaùn thaønh thaïo laø heát söùc quan troïng. Vieäc aùp duïng ñeà taøi naøy caàn phaûi coù thôøi gian, phaûi ñöôïc tieán haønh moät caùch heä thoáng.
Ñeå aùp duïng ñeà taøi ñaït hieäu quaû cao giaùo vieân phaûi coù phöông phaùp giaûng daïy tích cöïc, kích thích ñoäng cô, höùng thuù hoïc taäp cho hoïc sinh vaø trong quaù trình daïy phaûi khaéc saâu kieán thöùc cô baûn cho hoïc sinh, boài döôõng cho hoïc sinh phöông phaùp hoïc vaø töï hoïc. Giaùo vieân phaûi tích cöïc nghieân cöùu tìm toøi caùc baøi taäp lieân quan, caùch giaûi hay ñoäc ñaùo vaø phaân loaïi caùc daïng baøi taäp tieáp theo trong chöông trình saùch giaùo khoa THCS.
	Vôùi ñeà taøi naøy, toâi coù theå aùp duïng nghieân cöùu tieáp trong caùc naêm hoïc sau vaø töï tìm toøi ruùt ra nhöõng kinh nghieäm thöïc tieãn ñeå naâng cao chaát löôïng daïy vaø hoïc. 
 2.Kết luận
 	Treân ñaây laø kinh nghieäm maø tôi ñaõ thöïc hieän vaø ñaõ ruùt ra ñöôïc trong thöïc teá giaûng daïy. Toâi mong raèng kinh nghieäm naøy goùp một phaàn nhỏ vaøo vieäc giải những bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà đa thức cần phân tích là đa thức một biến, có bậc cao, có hệ số nguyên và có nghiệm hữu tỉ được giải một cách hiệu quả và nhanh choùng . Song với tầm hiểu biết của bản thân, tôi nghĩ vaãn coøn nhiều thieáu soùt và haïn cheá ,vì vậy raát mong söï goùp yù cuûa các em học sinh,quí thaày coâ và các đồng chí ñoàng nghieäp ñeå ñeà taøi được hoaøn thieän hôn. 
 	 	 Bình Long, ngày20 tháng 12 năm 2014
 Người thực hiện đề tài:
 Nguyễn Văn Đặng