Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh sử dụng có hiệu quả công thức tính diện tích tam giác

 Chuyên đề tháng 4: 
Hướng dẫn Hs sử dụng có hiệu quả
công thức tính diện tích tam giác
GV báo cáo: Nguyễn Thị Phương Thủy
Ngày soạn: 20/1/2020
Ngày báo cáo: 27/02/2020
Ngày hoàn thiện báo cáo sau khi hoàn thiện chuyên đề: 01/03/2020
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học. Hình học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năng phân tích tổng hợp. Trong đó, một dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm từng bài toán phải sử dụng kiến thức nào ,đó là các bài toán về diện tích. Với công thức quen thuộc 
 đã học ở cấp Tiểu học thì lên THCS học sinh được gặp lại ở chương trình lớp 8. Với yêu cầu mới cao hơn phù hợp với trình độ của lứa tuổi đòi hỏi học sinh phải biết khám phá khai thác công thức để giải quyết được các dạng bài tập hay và khó. 
II. NỘI DUNG:
Xét hai tam giác có diện tích và hai cạnh với các chiều cao tương ứng thì ta có :
 , 
 Suy ra 
Từ đó nếu thì 
Do đó, ta có kết luận 1:
Nếu hai tam giác có một cạnh bằng nhau (chung một cạnh) thì tỉ số diện tích hai tam giác đó bằng tỉ số các chiều cao tương ứng.
Học sinh nắm được kết luận này thì việc giải các bài tập sau rất nhẹ nhàng.
Bài 1 : Cho tam giác nhọn ABC , các đường cao AA',BB', CC' cắt nhau ở H. Chứng minh rằng : 
Hướng dẫn : Để chứng minh , ta cần phải xét từng tỉ số của hai đoạn thẳng trong hệ thức trên . Dễ dàng nhận thấy các cặp đoạn thẳng trong từng tỉ số là các đường cao của các cặp tam giác có chung cạnh .
Hai tam giác ABC và HBC chung cạnh BC có hai đường cao tương ứng AA' và HA' nên tỉ số 2 đường cao bằng tỉ số diện tích.
Tương tự : 
Suy ra 
Bài 2 : Cho tam giác ABC có BC = 28m , đường cao AH = 40m . Một đường thẳng song song với BC và cách BC là 10m , cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E.
a)Tính diện tích các tam giác ABC , BEC , BDE ?
b)Tính độ dài đoạn thẳng DE ?
Hướng dẫn : a)Sử dụng công thức ta tính được : 
 Còn chưa thể tính trực tiếp được. Cần phải nghĩ đến quan hệ của với các diện tích và các độ dài đoạn thẳng đã biết.
Hai tam giác BDE và ADE có cạnh chung DE và tỉ số của hai đường cao tương ứng 10:30 nên 
Mà = 560 – 140 = 420 ()
Vậy = .420 = 105 ()
 b) Muốn tính độ dài DE là cạnh của tam giác ADE 
( hoặc tam giác BDE ) đã biết chiều cao tương ứng , ta cần biết diện tích tam giác đó.
 Từ 
Do đó 
) Từ kết luận 1, nếu các đường cao tương ứng đó bằng nhau thì diện tích hai tam giác bằng nhau ( Tỉ số diện tích bằng tỉ số chiều cao ) .
Kết luận 2 : Nếu hai tam giác có một cạnh chung và hai chiều cao ứng với cạnh chung đó bằng nhau thì diện tích của hai tam giác bằng nhau.
Kiến thức này thường được dùng đến trong bài toán về diện tích tam giác có hai đường thẳng song song .
 Bài 3 : Cho tam giác ABC , đường phân giác AD . Gọi I , K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ B , C đến đường phân giác của góc ngoài đỉnh A . Tính diện tích tam giác ABC 
biết IK = a , AD = b .
 Hướng dẫn : 
 Theo tính chất các tia phân giác của hai góc kề bù thì AD IK.
 Với giả thiết bài toán , ta sẽ tính được . Vậy ta nên xem xét cần tính có quan hệ với không ?
 Thật vậy , ta có : (hai tam giác có cạnh chung AD , các đường cao hạ từ các đỉnh B và I xuống cạnh chung đó bằng nhau).
 Tương tự , ( hai tam giác cạnh chung AD , các đường cao tương ứng với cạnh chung đó bằng nhau ) . 
 Do đó : 
 Vậy 
 Bài 4 : Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) , AB < CD . Qua D kẻ đường thẳng song song với BC , qua C kẻ đường thẳng song song với AD , chúng cắt nhau ở K . Chứng minh rằng các tam giác KAD và KBC có diện tích bằng nhau .
 Hướng dẫn :
Các cặp đường thẳng song song 
dẫn ta đi tìm các cặp tam giác có 
diện tích bằng nhau ( chung cạnh và
các đường cao tương ứng bằng nhau ).
 Từ DK // BC => 
 AB // CD => 
 CK // AD => 
 Suy ra điều phải chứng minh.
 ) Cũng từ kết luận 1, nếu diện tích của hai tam giác đó bằng nhau thì các đường cao tương ứng bằng nhau . 
 Bài 5 : Đường chéo AC chia tứ giác ABCD thành hai tam giác có diện tích bằng nhau. Gọi E , F theo thứ tự là trung điểm của AB , CD . Gọi O là giao điểm của EF và AC . Chứng minh rằng O là trung điểm của EF .
Hướng dẫn :
 Bài toán liên quan tới sự bằng nhau về diện tích của hai tam giác chung cạnh ( đường chéo của tứ giác ) . Xuất phát từ giả thiết này , ta kẻ các đường cao BB’ , DD’ , EE’ , FF’ . 
 Vì => BB’ = DD’
 =>EE’ = FF’(đường trung bình của tam giác đáy BB’, DD’ )
 Tứ giác EE’FF’ có EE’ // FF’ và EE’ = FF’ nên tứ giác 
EE’FF’ là hình bình hành . 
 Theo tính chất hình bình hành ta có ĐPCM .
 +) Tương tự như bài trên , nhờ vận dụng nhận xét được rút ra ở trên , kết hợp với dấu hiệu nhận biết của hình bình hành , ta chứng minh được bài toán sau : 
 Bài 6 : Mỗi đường chéo của tứ giác ABCD chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành.
 Hướng dẫn : 
 Chứng minh O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD, suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành .
 )Trở lại với công thức ban đầu , nếu thì ,
ta lại có :
Kết luận 3 : Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với chiều cao .
 Bài 7: Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác. Chứng minh 6 tam giác 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau.
 Hướng dẫn: Sử dụng nhận xét trên, ta có: 
Ta lại có:
 Bài 8: Cho tam giác ABC và ba điểm A’ , B’ , C’ lần lượt nằm trên các cạnh BC , CA , AB sao cho AA’ , BB’ , CC’ đồng quy ( A’ , B’ , C’ không trùng với các đỉnh của tam giác ) .
 Chứng minh rằng (Định lí Xê va ) 
HD:
Ta thấy ở vế trái của điều phải chứng minh là tích của 3 tỉ số. Để chứng minh tích đó bằng 1 tức là nghĩ đến có thể rút gọn được tích đó ta sẽ thay đổi tỉ số của 2 đoạn thẳng bằng tỉ số diện tích của 2 tam giác thích hợp. Sau đó khử liên tiếp để được điều phải chứng minh.
Hai đoạn thẳng A’B và A’C là 2 cạnh của 
2 tam giác AA’B và AA’C có chung 
đường cao hạ từ đỉnh A xuống 2 cạnh đó.
 mà ( có chung cạnh AA’)
Ta lại có ( 2 tam giác có chung cạnh OA)
Chứng minh tương tự: 
Bài 9: Tìm các diện tích a, b, c trong hình sau ( đơn vị cm2)
Ta cần lập quan hệ giữa các S cần tìm với các diện tích đã cho của các tam giác.
Căn cứ vào các kết luận về S của cặp tam giác có chung cạnh hoặc chung đường cao để lập tỉ số các S.
( 2 cặp tam giác có chung đường cao tương ứng với 2 cạnh IB và IF)
 (1)
Mặt khác : ( 2 tam giác có chung đường cao)
Kết hợp với (1) => 6a = 4(a+35) => a = 70
b + c = 140 (2)
Ta lại có : 
Từ (2) , (3) => b = 56; c = 84
Vậy các diện tích a, b, c lần lượt 70cm2, 56cm2, 84cm2.
III. KẾT LUẬN:
Trên đây là một số bài tập và gợi ý sử dụng công thức tính diện tích tam giác để giải chúng. Kính mong các đồng nghiệp góp ý thêm.