Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tỉ số thể tích giải nhanh các câu hỏi trắc nghiệm thi THPT quốc gia

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn sáng kiến
Bắt đầu từ năm 2017, BGD&ĐT chuyển hướng sang thi trắc nghiệm, việc dạy và học môn Toán cũng có sự thay đổi để đáp ứng đối với kì thi. Giáo viên phải dạy học sinh hiểu rõ bản chất và cách làm nhanh nhất để đi đến kết quả, học sinh mong muốn mình giải quyết một bài toán với con đường đơn giản nhất và đáp số chính xác nhất. 
Trong đề thi THPT QG 2017, đề minh họa, đề tham khảo của BGD và tuyển tập các đề thi thử THPT QG của các trường trên toàn quốc trong những năm gần đây, câu hình học không gian luôn là câu khó đối với đa số thí sinh, phần lớn các em đã quên các kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11. Do đó, việc học hình học không gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng túng. Trước tình hình đó cùng với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, chúng tôi đã có những sáng kiến để giải quyết các bài toán tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tỉ số thể tích rất hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được.
Sáng kiến giải quyết các vấn đề hay gặp như:
a. Tính thể tích, tỷ số khối chóp có đáy là hình bình hành.
b. Tính thể tích, tỷ số khối lăng trụ.
c. Tính thể tích, tỷ số khối hình hộpvà các ứng dụng khác.
2. Mục đích của sáng kiến
Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và một số bài tập mẫu, học sinh định hướng rõ phương pháp giải các bài toán cụ thể phần nào giúp học sinh thuận lợi trong quá trình học tập và quá trình ôn tập củng cố kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi THPT QG phần hình học áp dụng vào thực tế.
3. Tính mới và ưu điểm nổi bật của sáng kiến
- Từ năm 2017, trong kì thi THPT QG môn Toán chuyển sang thi trắc nghiệm. Qua nghiên cứu đề minh họa của bộ tôi có thây rằng các bài toán hình học về tính thể tích, tỷ số xuất hiện nhiều. Ngoài việc lắm được các công thức hình học như trước kia các em còn phải làm thế nào cho ra kết quả nhanh nhất.
- Hệ thống kiến thức trong sáng kiến có nội dung sáng tạo và ứng dụng rộng rãi trong việc giải toán. Sáng kiến đã đưa ra một số kết quả tính nhanh mang tính phát hiện. Nắm vững được các công thức đưa ra này các em sẽ giải quyết những bài từ đơn giản đến phức tạp một cách nhanh gọn với độ chính xác cao.
- Từ lúc bắt đầu chính thức BGD cho thi trắc nghiệm, khi ôn luyện cho học sinh về mảng này tôi luôn đưa ra hệ thống câu hỏi bám sát, gây dựng các bài toán mang tính chất hệ thống. Vì bản thân hình học đã là khó nên các bài toán đưa ra phải kích thích và gây hưng phấn cho học sinh. Học sinh sẽ năm chắc kiến thức từ đó hăng say vận dụng vào các bài toán từ dễ đến khó. Nhờ vậy các em định hướng giải cho các bài toán thuộc chủ đề này rất nhanh và đây cũng là điểm nổi bật của sáng kiến .
4. Hiệu quả của sáng kiến
- Đối với nhà trường: Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích của đồng nghiệp và học sinh trong hoạt động giảng dạy và học tập cũng như ôn luyện và giải các đề thi thử.
- Đối với kết quả thi: Kiểm tra định kì, thi thực nghiệm của Sở : Đa số các em làm tốt, nâng cao chất lượng, xếp hạng với các trường THPT trong tỉnh.
NỘI DUNG
CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH GIẢI NHANH CÁC CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
THI THPT QUỐC GIA
A. XÂY DỰNG CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
1. Tính chất 1: Tỉ số thể tích khối chóp tam giác
Cho khối chóp tam giác . Mặt phẳng cắt các đường thẳng lần lượt tại . Khi đó ta có .
Chứng minh
Gọi lần lượt là hình chiếu của trên mặt phẳng . và 
Rõ ràng .
Ví dụ 1. Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , và vuông góc với đáy. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng và . Tính tỉ số thể tích .
Lời giải
Ta có .
Tương tự .
2. Tính chất 2: Tỉ số thể tích khối chóp có đáy là hình bình hành
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại và . 
a) Chứng minh .
b) Đặt . Chứng minh .
Chứng minh
a) Gọi là tâm hình bình hành, là giao điểm của và . 
Ta có 
 . 
Chứng minh tương tự ta có . 
b) Theo a) 
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm , điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng cắt tại . Tính tỷ số .
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Ví dụ 3. Cho khối chóp có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng chứa cạnh và đi qua điểm trên chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỷ số .
Lời giải
Gọi ta có nên .
Ta có 
Khi đó .
Ví dụ 4. Cho hình chóp có thể tích bằng , đáy là hình vuông; và hợp với đáy một góc bằng . Mặt phẳng đi qua và vuông góc với , cắt các cạnh lần lượt tại . Tính thể tích khối chóp .
Lời giải
Ta có . Tương tự nên . 
Mà ( do vuông tại ) nên 
Ví dụ 5. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành; điểm I nằm trên sao cho . Mặt phẳng chứa cạnh cắt cạnh lần lượt tại . Gọi lần lượt là thể tích khối chóp và . Tính giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích .
Lời giải
Đặt . Ta có . 
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi 
Ví dụ 6. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Mặt phẳng thay đổi luôn đi qua , trung điểm của và cắt các cạnh và lần lượt tại và Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số .
Lời giải
Đặt .Ta có 
Nên . Từ đó 
Từ vì 
Xét 
Ta có .
Vậy đạt GTNN, GTLN lần lượt là .
3. Tính chất 3: Tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác
Cho lăng trụ có các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Khi đó .
Chứng minh
Ta có . Đặt dễ thấy 
 . 
Do 
Khi đó . 
Vậy từ ta có .
Đặc biệt: .
Ví dụ 7. Cho khối lăng trụ , có lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Đặt là thể tích của khối đa diện, là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số .
Lời giải
Ta có 
 Đặt . Suy ra 
Ví dụ 8. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng , các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Đặt là thể tích của khối đa diện , tính giá trị của để .
Lời giải
Ta có 
Suy ra 
Ví dụ 9. Cho khối lăng trụ có thể tích bằng , các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho Thể tích của khối đa diện .
Lời giải
Ta có 
Nên 
Mà .
Vậy 
Nhận xét. Các bài toán dạng này sẽ xuất hiện nhiều khối không phải là các khối có công thức tính thể tích như chóp hay lăng trụ. Thay vì việc phải phân chia các khối này thành các khối có công thức tính, nay ta có ngay một kết quả rất nhanh và chính xác. 
Ví dụ 10. Cho lăng trụ có lần lượt là trọng tâm của các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . 
Chứng minh .
Chứng minh
Đặt ; 
Dễ thấy .
Ta có . Tương tự ta có 
Cộng vế với vế cả 3 đẳng thức trên ta được 
Mà nên . Ta được điều phải chứng minh.
Từ kết quả trên ta có 
Nhận xét. Dựa vào kết quả trên ta thấy rẳng chỉ cần biết cắt tại vị trí điểm xác định là ta đã biết chia lăng trụ thành hai phần với tỉ số bao nhiêu rồi.
4. Tính chất 4: Tỉ số thể tích khối hộp 
Cho hình hộp . Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại sao cho . Khi đó ta có:
a) 
b).
Chứng minh
a. Dễ thấy tứ giác là hình bình hành. Gọi lần lượt là tâm của hình bình hành và hình vuông . Ta có là đường trung bình của hình thang nên . Tương tự , do đó 
b. Áp dụng Tính chất 3 ta có 
tương tự 
Do đó,
Chú ý : 
Nhận xét. Một kết quả tương tự như Tính chất 3. Ở lăng trụ là tổng ba tỉ số chia ba, còn hình hộp là chia bốn. 
Và cũng chỉ cần biết cắt đoạn thẳng nối hai tâm đáy ở đâu là ta đã tìm được tỷ số hai khối tạo thành do cắt hình hộp. Tuy nhiên, Tính chất 4 cũng khẳng định chỉ cần biết hai tỉ số ở hai cạnh bên đối diện của hình hộp mà cắt là ta cũng tìm được tỉ số thể tích các khối.
Ví dụ 11. Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng . Biết ; và . Mặt phẳng chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện nhỏ hơn.
Lời giải
 cắt tại . Từ giải thiết ta có .
Do đó 
Vậy .
Ví dụ 12. Cho hình lập phương có là trung điểm Mặt phẳng đi qua , cắt các cạnh lần lượt tại ; chia khối lập phương thành hai phần có thể tích tương ứng bằng và . Tính tỉ số .
Lời giải
Từ giải thiết ta có . Nên .
B. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1:	Cho khối chóp đáy là hình vuông cạnh ; . Gọi lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng cắt tại . Đặt , giá trị của bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành; lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và Tỷ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chứa và song song với lần lượt cắt các cạnh bên và tại và . Tỷ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm nằm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng chứa cắt các cạnh và lần lượt tại và . Gọi và lần lượt là thể tích của khối chóp và . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, điểm thuộc cạnh , điểm thuộc cạnh sao cho . Mặt phẳng thay đổi luôn chứa , cắt các cạnh và lần lượt tại và Biết thể tích của khối chóp bằng , khi đó giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6:	Cho khối chóp có là trọng tâm tam giác . Đường thẳng đi qua , cắt các cạnh lần lượt tại và Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và . Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỷ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7:	Cho chóp . Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm . Gọi là trọng tâm tam giác và cắt tại . Khi đó bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8:	Cho khối lăng trụ . Gọi lần lượt là trung điểm của hai cạnh và . Mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Đặt là thể tích của khối chóp và là thể tích của khối đa diện . Tỷ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9:	Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Thể tích của khối đa diện bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 10:	Cho khối lăng trụ đều . Gọi là trung điểm của . Mặt phẳng chia khối lăng trụ thành hai phần: phần chứa đỉnh có thể tích bằng và phần còn lại có thể tích bằng . Tỉ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 11:	Cho hình hộp . Trên các cạnh lần lượt lấy ba điểm sao cho . Biết mặt phẳng cắt cạnh tại. Tỉ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12:	Cho hình hộp chữ nhật . Trên các cạnh lần lượt lấy ba điểm sao cho . Mặt phẳng cắt cạnh tại điểm. Tỉ số thể tích của khối và khối bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13:	Cho hình lập phương có cạnh bằng . Mặt phẳng cắt các cạnh và lần lượt tại . Biết . Thể tích của khối đa diện bằng
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 14:	Cho khối lập phương . Mặt phẳng đi qua cắt các cạnh lần lượt tại sao cho phần thể tích của khối đa diện chứa đỉnh bằng một nửa thể tích của khối đa diện còn lại. Tỉ số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
BẢNG ĐÁP ÁN
1.D
2.A
3.A
4.C
5.D
6.A
7.A
8.C
9.D
10.A
11.A
12.B
13.A
14.C
CHƯƠNG II. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm
	Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của một số hệ thống câu hỏi và bài tập được xây dựng nhằm bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh.
2. Nội dung thực nghiệm
Dạy thử nghiệm một số hệ thống câu hỏi và bài tập đã xây dựng được ở chương II theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, tạo hứng thú để học sinh chủ động tiến hành các hoạt động tư duy như tương tự hóa, tổng quát hóa  từ đó bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT.
Đối tượng thực nghiệm: Học sinh lớp 12 một số trường THPT. Số lượng học sinh trong mỗi lớp là 35. Lớp thực nghiệm là 12A, lớp đối chứng là 12B. Trình độ nhận thức ở hai lớp này được đánh giá là tương đương.
Đặc điểm đối tượng thực nghiệm: Là học sinh khu vực nông thôn.
3. Đánh giá thực nghiệm
a) Kiểm tra
	Sau khi hoàn thành đợt thực nghiệm sư phạm, để đánh giá kết quả thực nghiệm tác giả đã tiến hành cho học sinh hai lớp 12A, 12B (được đánh giá là tương đương nhau) làm bài kiểm tra 15 phút. Nội dung đề kiểm tra như sau:
Bài kiểm tra
Thời gian làm bài: 15 phút
Câu 1:	Cho khối chóp đáy là hình vuông cạnh .. Gọi lần lượt là trung điểm . Mặt phẳng cắt tại . Đặt , giá trị của bằng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 2:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. lần lượt là trung điểm của và . Gọi lần lượt là thể tích của các khối chóp và Ttỷ số bằng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 3:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, gọi là trung điểm của cạnh . Mặt phẳng chứa và song song với lần lượt cắt các cạnh bên và tại và . Tỷ số bằng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4:	Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Điểm nằm trên cạnh sao cho . Mặt phẳng chứa cạnh cắt các cạnh và lần lượt tại và . Gọi và lần lượt là thể tích của khối chóp và . Giá trị nhỏ nhất của tỷ số bằng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5:	Cho khối lăng trụ có thể tích bằng . Các điểm lần lượt thuộc các cạnh sao cho . Thể tích của khối đa diện bằng.
A. 	B. 	C. 	D. 
b) Đánh giá kết quả thực nghiệm
Về thái độ học tập của học sinh
Học sinh rất hứng thú việc học tập theo hướng phát huy tính tích cực, bồi dưỡng năng lực tự học, học sinh là người chủ động lĩnh hội kiến thức. Học sinh đã cuốn hút vào các hoạt động một cách chủ động, tích cực, sáng tạo nhằm lĩnh hội tri thức. Đa số các em nắm vững kiến thức cơ bản và có ý thức hoàn thành hoạt động và công việc mà giáo viên giao cho.
Về kết quả bài kiểm tra
Điểm/Lớp
Yếu
TB
Khá
Giỏi
Đối chứng 12B
21,3%
53,2%
14,9%
10,6%
Thực nghiệm 12A
6,4%
38,3%
34%
21,3%
Phân tích kết quả kiểm tra
Lớp đối chứng có 78,7% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó có 25,5% đạt khá, giỏi.
Lớp thực nghiệm có 93,6% đạt điểm từ trung bình trở lên, trong đó 55,3% đạt khá, giỏi.
	Nhận xét
Lớp đối chứng: Khả năng tiếp cận các bài toán có tính tư duy, sáng tạo chưa cao, nhiều em trình bày lời giải còn nhiều thiếu xót.
Lớp thực nghiệm: Khả năng vận dụng linh hoạt hơn, có sự sáng tạo hơn. Một số em trình bày lời giải gọn gàng, rõ ràng, lập luận chặt chẽ. 
Bên cạnh đó, ở cả hai lớp đều có những học sinh chỉ dừng lại ở việc bắt chước một số bài tập mẫu, chưa hiểu rõ bản chất vấn đề và chỉ làm được ý a) trong mỗi bài tập.
Kết luận
 Kết quả thực nghiệm bước đầu đã thể hiện tính hiệu quả và tính khả thi của đề tài.
KẾT LUẬN
1. Những vấn đề quan trọng nhất được đề cập của đề tài
Mỗi một dạng toán đều liên hệ mật thiết với những phương pháp nhất định. Đó là những phương pháp đã được tiến hành trong quá trình hình thành dạng toán đó. Phát hiện được những phương pháp giải một dạng toán là vach được một con đường để người học chiếm lĩnh dạng toán đó và đạt được những mục đích học tập khác, cũng đồng thời cụ thể hóa mục đích day học dạng toán đó và chỉ ra được cách kiểm tra xem mục đích dạy học có đạt kết quả hay không và đạt đến mức độ nào.
 	 Không có phương pháp nào là tối ưu cho mọi dạng toán mà ta cần truyền đạt trong quá trình dạy học. Cùng một dạng toán nhưng có bài phù hợp với phương pháp này, có bài lại phù hợp với phương pháp khác. Và chúng ta không thể áp dụng cứng nhắc mỗi dạng toán với một phương pháp nhất định mà cần căn cứ vào từng bài toán cụ thể, sự tiếp thu và nhận thức của từng đối tượng học sinh để có phương pháp cho phù hợp. Với khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm, và sự non trẻ về mặt nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm giảng dạy, sáng kiến kinh nghiệm không tránh khỏi hạn chế thiếu sót. Kính mong quý thày cô, đồng nghiệp đóng góp ý kiến để sáng kiến hoàn thiện hơn.
 	Nội dung phần này là tương đối khó. Rất nhiều câu ở mức vận dụng cao. Nhiều bài không chỉ đòi hỏi kiến thức hình học sâu rộng mà còn yêu cầu cả kiến thức đại số rất tốt như các bài liên quan đến cực trị. Các em không chỉ biết dùng kiến thúc trình bày tự luận mà còn phải hiểu rõ vấn đề và sử dụng các thủ thuật máy tính để ra kết quả nhanh nhất.
Với bài viết này tôi hy vọng các em học sinh không còn thấy bài tập hình học liên quan thể tích là khó nữa. Thông qua việc học tốt trong sách giáo khao và hệ thống bài tập như trên các em sẽ tự tin chinh phục các bài trong các đề thi thử từ đó vươn xa hơn là xử lý trọn vẹn các bài trong kì thi THPTQG 2017.
2. Hiệu quả thiết thực của đề tài
Nếu đề tài được triển khai rộng rãi thì đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên và học sinh. Tài liệu này giúp học sinh định hướng và làm tốt các bài toán về hình học liên quan đến thể tích.
Mặc dù đã cố gắng bằng việc tham khảo rất nhiều tài liệu để viết, xin ý kiến đóng góp của các đồng nghiệp, đưa vào giảng dạy cho học sinh để kiểm nghiệm và dần hoàn thiện đề tài, nhưng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế. Tôi rất mong nhận được ý kiến bổ sung của các đồng nghiệp để hoàn thiện tài liệu hơn, đầy đủ hơn và có tác dụng trong thực thế dảng dạy.
3. Kiến nghị
Tổ chuyên môn: Thường xuyên tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên môn để trao đổi các phương pháp các dạng toán để nâng cao chất lượng giảng dạy.
Nhà trường: Tạo điều kiện để giáo viên nghiên cứu các phương pháp giảng dạy bộ môn thông qua các đề tài khoa học và phổ biến các phương pháp trong tổ chuyên môn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA BGH
Hoa Lư, ngày 3 tháng 5 năm 2018
Nhóm tác giả