Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện

: Cho khối chóp .S ABC , trên các cạnh , ,SA SB SC lần lượt lấy các điểm 
', ', 'A B C sao cho  1 2 3 1 2 3' ; ' ; ' ; 0 , , 1SA k SA SB k SB SC k SC k k k     . Gọi V là thể tích 
khối chóp .S ABC . Tính thể tích các khối chóp . ' ' 'S A B C và khối đa diện  H tạo 
bởi các đỉnh , , , ', ', 'A B C A B C . 
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh 
- GV chiếu đề và hình vẽ, mời một học 
sinh đứng tại chỗ nêu lời giải bài toán 
- H1: Hãy cho biết cách tính thể tích 
khối  H của bạn là trực tiếp hay gián 
tiếp. Hãy rút ra nhận xét về phương 
pháp tính này 
Áp dụng công thức tỉ số thể tích ta có: 
. ' ' '
1 2 3
.
' ' '
. . . .S A B C
S ABC
V SA SB SC
k k k
V SA SB SC
  
Vậy: 
. ' ' ' 1 2 3 . 1 2 3.S A B C S ABCV k k k V k k k V  
   . ' ' ' 1 2 31S A B CHV V V V k k k    
- Gián tiếp 
- Để tính thể tích của một khối đa diện 
 H ta có thể sử dụng thể phân chia 
khối tứ diện ban đầu thành khối  H 
và khối chóp . ' ' 'S A B C , sau đó tính thể 
tích khối  H dựa vào thể tích khối 
ABCD và . ' ' 'S A B C . 
Bài toán 2. Cho tứ diện DABC . Mặt phẳng   song song với AB và DC cắt các 
cạnh ; ; ;AD DB BC CA lần lượt tại , , ,M N P Q . Giả sử 
1
2
MA
MD
 , mặt phẳng   chia 
khối tứ diện thành hai phần. Tỉ số thể tích 1
2
V
V
 của hai khối đa diện ABMNPQ và 
DC MNPQ bằng: 
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh 
GV vẽ hình, sau đó vấn đáp để học 
sinh tìm ra phương pháp giải. 
Dựng lăng trụ .BNP HMQ . Khi đó 
H AB sao cho 
1
2
HA
HB
 . 
Ta có 
1 . .ABMNPQ A HQM BNP HMQV V V V   
S
A
B
C
A'
B'
C'
40 
H1. Có cách nào để quy bài toán này 
về cách giải bằng phương pháp tỉ số 
không? 
H2: Để áp dụng được cách giải theo 
bài toán tỉ số và bài toán 1, trên cạnh 
AB lấy thêm điểm H , vậy nên chọn H
có vị trí như thế nào thì áp dụng tỉ số 
thể tích nhanh nhất? 
H3: Chia khối đa diện có các đỉnh 
, , , , ,A B M N P Q thành các khối AMQH 
và .MQH NPB , tính thể tích các khối 
này như thế nào? 
H4: Qua bài toán này, chúng ta thấy 
phương pháp nào được áp dụng để tính 
thể tích các khối đa diện? 
GV chốt vấn đề: Bài toán đã áp dụng 
phương pháp phân chia và lắp ghép để 
tính thể tích khối đa diện (giải thích kĩ 
hơn cho học sinh) 
.
.
1 1 1 1
. .
3 3 3 27
A HMQ
A BDC
V
V
  
  
  
.
. ,
1
. ; D
3
BNPBNP HMQ
ABCD
ABC
S d Q BNPV
V
S d A BC


 
  
  
;
3 .
; D
BNP
ABC
d Q BNPS
S d A BC


 
Ta có: 
2
1 1
3 9
BNP
ABC
S
S


 
  
 

  
  
  
  
; ; 2
3; ;
d Q BNP d Q ABC CQ
CAd A BCD d A BCD
   
. 1 2 2
3. .
9 3 9
BNP HMQ
ABCD
V
V
  
. .
D
1 2 7
27 9 27
ABMNPQ A HQM BNP HMQ
ABCD ABC
V V V
V V

     
Vậy 1
2
7
20
V
V
 . 
Phương pháp phân chia và lắp ghép: 
+) Nếu khối đa diện  H là hợp của hai khối đa diện  1H ,  2H sao cho  1H và 
 2H không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện 
 H thành hai khối đa diện  1H và  2H , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện 
 1H và  2H với nhau để được khối đa diện  H . 
+) Nếu khối đa diện  H được phân chia thành hai khối đa diện  1H và  2H 
thì:      1 2H H HV V V  . 
Như vậy để tính thể tích khối đa diện  H thì cần tính các khối  1H và  2H và 
ngược lại để tính khối  1H hoặc  2H thì cần biết thể tích hai khối kia. 
B N
P
Q
A
C
D
M
41 
Hoạt động 3. Học sinh hoạt động theo từng nhóm tiến hành áp dụng phương 
pháp phân chia và lắp ghép vào giải các bài toán tính thể tích khối đa diện. 
GV chia lớp thành 4 nhóm và yêu cầu nhóm 1, 2 giải bài toán 3, nhóm 3,4 giải 
bài toán 4 bằng phương pháp phân chia và lắp ghép. 
Bài toán 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình hình bình hành và thể 
tích khối chóp .S ABCD bằng 18 . Biết điểm ,M N lần lượt là trung điểm của 
,SA SB . Tính thể tích khối đa diện ABCDMN . 
Bài toán 4. Cho tứ diện ABCDcó ; ;AB AC AD đôi một vuông góc nhau. Biết 
2 ; 5 ; 9AB a AC a AD a   . Gọi , ,M N P tương ứng là trung điểm ; ;BC CD DB . 
Tính thể tích khối AMNP . 
Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Nội dung 
- GV trình chiếu đề 
bài, phát phiếu học 
tập cho từng nhóm. 
- GV tính thời gian 
hoàn thành 10P và 
2P trình bày kết quả. 
- GV theo dõi, quan 
sát 
- GV gợi ý nếu cần 
+) Đối với bài tập 1: 
Do không có công 
thức tỉ số thể tích 
cho khối chóp tứ 
giác nên chia khối 
chóp tứ giác thành 
hai khối chóp tam 
giác để áp dụng 
được công thức tỉ số 
thể tích. 
+) Đối với bài tập 2: 
Phân chia khối tứ 
diện ABCD thành 
những khối nào để 
có thể tính thể tích 
khối AMNP . 
- HS nhận nhiệm 
vụ 
- HS phân công 
nhiệm vụ 
- HS thảo luận 
- HS trình bày bài 
giải trên bảng phụ 
- HS cử đại diện 
lên bảng thuyết 
trình để trình bày 
bài giải 
Bài 1. 
.
.
1 1 1
. . .
2 2 4
S MNC
S ABC
V SM SN SC
V SA SB SC
  
. . .
1 1
4 8
S MNC S ABC S ABCDV V V   . 
.
.
1
. .
2
S MCD
S ACD
V SM SC SD
V SA SC SD
  
. . .
1 1
2 4
S MCD S ACD S ABCDV V V   . 
. . .S MNCD S MNC S MCDV V V   . 
. . .
1 1 3
8 4 8
S ABCD S ABCD S ABCDV V V   
Vậy . .ABCDMN S ABCD S MNCDV V V  
.
5 5 45
.18
8 8 4
S ABCDV   . 
Bài 2. 
N
M
A
B
D
C
S
42 
- GV yêu cầu các 
nhóm khác nhận xét 
- GV trình bày lời 
giải chi tiết 
- GV yêu cầu các 
nhóm cho điểm 
- GV nhận xét và 
cho điểm. 
- HS nhận xét kết 
quả các nhóm khác 
- HS theo dõi kết 
quả chính xác về 
bài giải 
- HS đánh giá cho 
điểm 
1
4
DANP DABC DABC
DN DP
V V V
DC DB
  
Tương tự ta có 
1 1
;
4 4
BPAM DABC CAMN DABCV V V V 
DNAP BAPM CAMN AMNP ABCDV V V V V    
1
4
AMNP ABCDV V  
Ta có 
31 1. . .2 .5 .9 15
6 6
ABCDV AB AC AD a a a a  
Suy ra 3
. .
1 15
4 4
A MNP A BCDV V a  . 
Hoạt động 4. Hoạt động củng cố. 
Bài toán 5: Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể 
tích bằng V . Gọi M , N , P lần lượt là các điểm trên các cạnh SA , SC , SB sao 
cho 2SM MA , 3SN NC , 4SP BP . Mặt phẳng  MNP chia khối chóp đã cho 
thành hai phần, tính thể tích của phần có thể tích nhỏ hơn. 
Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh 
- GV vẽ hình, yêu cầu học sinh suy 
nghĩ tìm hướng giải. 
- H1: Hãy xác định giao điểm của của 
SD với mặt phẳng  MNP ? 
- H2: Mặt phẳng  MNP chia khối chóp 
thành những khối đa diện nào? 
- H3: Hãy xác định mối liên hệ giữa 4 
tỉ số của 4 điểm , , ,M N P Q trên các 
cạnh , , ,SA SB SC SD ? 
- H4: Nêu cách so sánh thể tích hai 
khối đa diện chia bởi mặt phẳng 
Gọi O AC BD  , O SO MN   , và 
Q PO SD  . Khi đó Q là giao điểm 
của SD với  MNP và mặt phẳng 
 MNP chia khối chóp đã cho thành hai 
phần là khối chóp .S MPNQ và khối đa 
diện MPNQABCD . 
Vì O là trung điểm của AC và BD nên 
2 

SA SC SO
SM SN SO
 và 2 

SB SD SO
SP SQ SO
Từ đó suy ra   
SA SC SB SD
SM SN SP SQ
SD SA SC SB
SQ SM SN SP
   
3 4 5
2 3 4
  
19
12
 .
. .. . .S MPN S ABC
SM SN SP
V V
SA SC SB

1
5
V . 
. .. . .S MNQ S ACD
SM SN SQ
V V
SA SC SD

3
19
V . 
. . .S MPNQ S MPN S MNQV V V 
34
95
V
1
2
V . 
Vậy phần có thể tích nhỏ hơn là khối 
chóp .S MPNQ và có thể tích bằng 
34
95
V 
Q
O'
O
P N
M
B
A D
C
S
43 
 MNP ? 
4) Củng cố bài học 
Qua bài học, học sinh cần nắm được phương pháp phân chia và lắp ghép 
để tính thể tích khối đa diện. Làm các bài còn lại và ôn tập chương I. 
Tiết 2 
1. Mục tiêu 
Kiến thức : PP phân chia và lắp ghép khối đa diện để tính thể tích nâng cao. 
Kỹ năng : Biết tính thể tích các khối đa diện bằng công thức và bằng tỉ số. 
Về năng lực: phát triển năng lực tư duy, hợp tác, giải quyết vấn đề, mô hình hóa 
2. Tiến trình 
1) Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số, kiểm tra tác phong học đường. 
2) Kiểm tra bài cũ: 
Hoạt động 1. Câu hỏi : (Giao cho học sinh chuẩn bị trước ở nhà) 
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a . 
Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh 
- GV nêu câu hỏi, yêu cầu học sinh 
chuẩn bị 
- GV vẽ hình, mời một học sinh lên 
bảng trình bày nhanh bài giải 
- GV mời cả lớp nhận xét bài giải 
- GV nhận xét và cho điểm 
Xét khối bát diện đều 'SABCDS ta có: 
' .2SABCDS S ABCDV V 
Với .S ABCD là khối chóp tứ giác đều. 
Gọi O là tâm đáy ABCD . 
1 2
2 2
a
AO AC  
2
2 2 2 2
2 2
a a
SO SA AO a     
3
2
.
1 1 2 2
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
a a
V S SO a   . 
Vậy: 
'
2 2
2.
6 3
SABCDS
a a
V   
3) Bài mới : 
Hoạt động 2. PP phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện nâng cao. 
Bài toán 1: (Bài tập 11-sgk-trang 27-Hình học 12) 
Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D . Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm các cạnh 
'BB và 'DD . Mặt phẳng  CEF chia khối hộp trên thành hai khối đa diện. Tính tỉ 
số thể tích hai khối đa diện đó. 
Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh 
- GV vẽ hình và yêu tất cả học sinh cùng 
tìm phương pháp giải cho bài toán 
- HS cùng suy nghĩ tìm ra lời giải 
dựa vào một số gợi ý của giáo viên 
- HS trình bài bài giải theo hướng 
dẫn của giáo viên 
A D
B
C
S
S'
O
44 
H1: Xác định giao điểm của đường 'AA 
với mặt phẳng  CEF dựa vào tính chất 
song song của hai mặt phẳng, từ đó xác 
định thiết diện của khối hộp với mặt 
phẳng  CEF . 
H2: Để tính khối  H cần chia theo các 
khối đa diện nào và bằng mặt phẳng nào? 
GV Hướng dẫn học sinh theo phương 
pháp lắp ghép. 
GV hướng dẫn học sinh giải theo phương 
pháp phân chia. 
GV chốt vấn đề: Với phương pháp phân 
chia và lắp ghép nói chung ta có thể tích 
được thể tích cho các khối đa diện bất kì 
bằng cách ghép thêm các khối đa diện 
tính được thể tích để tạo thành một khối 
đặc biệt hoặc chia khối đa diện thành các 
khối tính được thể tích. 
+ Giải theo phương pháp lắp ghép 
(tham khảo mục 2.2.1-bài 5) 
+ Giải thep phương pháp phân chia 
(tham khảo mục 2.2.1-bài 5) 
Hoạt động 3. Học sinh hoạt động theo từng nhóm tiến hành rèn luyện kĩ năng 
sử dụng phương pháp phân chia và lắp ghép để tính thể tích khối đa diện. 
Bài toán 2: Khối lăng trụ đứng .ABC A B C   có thể tích 12V  . Gọi ; ;D E M lần 
lượt là trung điểm của ;A C CC   và BC . Mặt phẳng  DEM chia khối lăng trụ 
thành 2 khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A . 
Bài toán 3: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi ,M N lần lượt là trung 
điểm các cạnh ,AB BC và E là điểm đối xứng với B qua D . Mặt phẳng  MNE 
chia khối tứ diện  ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa 
đỉnh A có thể tích V . Tính V . 
Hoạt động GV Hoạt động HS Nội dung 
- GV trình chiếu đề 
bài, phát phiếu học 
tập cho từng nhóm. 
- HS nhận nhiệm 
vụ 
Bài 2. 
O
F
E
D'
A'
DA
C'B'
CB
N
M
O
F
E
B C
B' C'
A D
A'
D'
O
F
E
D'
A'
DA
C'B'
CB
45 
- GV tính thời gian 
hoàn thành 10P và 
2P trình bày kết 
quả. 
- GV theo dõi, quan 
sát 
- GV gợi ý nếu cần 
- GV yêu cầu các 
nhóm khác nhận 
xét 
- GV trình bày lời 
giải chi tiết 
- GV yêu cầu các 
nhóm cho điểm 
- HS phân công 
nhiệm vụ 
- HS thảo luận 
- HS trình bày bài 
giải trên bảng phụ 
- HS cử đại diện 
lên bảng thuyết 
trình để trình bày 
bài giải 
- HS nhận xét kết 
quả các nhóm khác 
- HS theo dõi kết 
quả chính xác về 
bài giải 
Trong  ACC A  , DE  AC L và 
DE  AA K . Trong  ABC , LM 
AB G . GK A B  H . 
Ta có KA C E  vì E là trung điểm 
1 1
2
2 2
CC KA CC AA AA KA         
1
3
3
KA
KA KA A A KA
KA

       
1
//
3
KA KD
A D AL
KA KL

    ,
3
2
KA KA
.
. .
.
3 3
2 2
K AGL
K AGL A AGL
A AGL
V
V V
V


   . 
Kẻ  // . .CN AC GBM NCM g c g   
CN BG  
BG CN
AG AG
 . 
//CN AG
1
//
3
CN LC LE
CE AK
AG LA LK
    
1 3
3
3 4
BG
AG BG AG AB
AG
      . 
3 3 9
4 2 8
AGL
ABC
S GA AL
S BA AC


     
.
.
K AGL
ABC A B C
V
V   

1 9
.
3 16
AGL
A B C
SKA
AA S

  
  

Từ đó ta có: 
.
.
1
27
K A HD
K AGL
V KA KH KD
V KA KC KL
     
. .
26
27
A HD AGL K AGLV V  
Tương tự: . .
2
27
L ECM K AGLV V 
Thể tích phân không chứa điểm A 
là: . .
26 2
27 27
K AGL K AGLV V .
24
6
27
K AGLV  
Bài 3: (Xem mục 2.2.3) 
46 
- GV nhận xét và 
cho điểm. 
- HS đánh giá cho 
điểm 
3 3 3
1
2 7 2 11 2
12 216 216
ABCD
a a a
V V V    
Hoạt động 4. Hoạt động củng cố. 
Bài toán 4: Cho khối chóp .S ABC có diện tích đáy bằng 6 và chiều cao bằng 9 . 
Gọi , ,M N P lần lượt là trọng tâm của các mặt bên , ,SAB SBC SCA . Tính thể tích 
của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , ,A B C M N và P . 
Hoạt động giáo viên Hoạt động của học sinh 
- GV vẽ hình, yêu cầu cả lớp cùng suy 
nghĩ lời giải 
 GV gợi ý theo câu hỏi: 
- Xác định giao điểm của các cạnh 
, ,SA SB SC với mặt phẳng  MNP ? 
- Chia khối chóp chụt .ABC EFG thành 
khối cần tìm và các khối nào? 
- So sánh thể tích các khối với thể tích 
khối chóp .S ABC 
GV nhận xét 
- HS suy nghĩ 
HS trả lời câu hỏi 
 HS trình bày lời giải 
( Tham khảo thêm mục 2.3.3) 
4) Củng cố bài học 
Qua bài học, học sinh cần nắm được phương pháp phân chia và lắp ghép 
để tính thể tích khối đa diện. Vận dụng giải các bài tập còn lại ôn tập chương I. 
3.4. Xử lí kết quả thực nghiệm. 
 Để kiểm chứng kết quả của đề tài, chúng tôi tiến hành cho học sinh thực 
hiện hai bài kiểm tra 15p ở hai lớp 12C1 và 12C10 trường THPT Diễn Châu 4 
trong đó lớp 12C1 học các tiết luyện tập khối đa diện có sử dụng phương pháp 
phân chia và lắp ghép còn lớp 12C10 không sử dụng phương pháp trên. 
Đề 1 : (Thực hiện trước khi học thực nghiệm) 
Q
P
E
N
M
D
C
B
A
47 
Cho khối lăng trụ .ABC A B C   . Gọi E là trọng tâm tam giác A B C  và F là trung 
điểm BC . Tính tỉ số thể tích giữa khối .B EAF và khối lăng trụ .ABC A B C   . 
Lời giải: M là trung điểm của B C  nên 
1
2
EAF AA MFS S  và      , ,d B AA MF d B AEF   . 
Vì . . .B AA MF ABF A B M B ABFV V V      . .
1
3
ABF A B M ABF A B MV V    
.
2
3
ABF A B MV   . Suy ra .
1
2
B EAF B AA MFV V  
.
1 2
. .
2 3
ABF A B MV   .
1 1
. .
3 2
ABC A B CV    .
1
.
6
ABC A B CV    . 
Đề 2: (Thực hiện sau khi học thực nghiệm) 
Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có , , M N P lần lượt là trung điểm các cạnh 
, ' ', 'BC C D DD (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng 144 , tính thể tích 
khối tứ diện AMNP . 
Lời giải: 
.NP CD E  Đặt 2DC d , 2 .BC r 
3 5
5 .
2 2
EMA ECBA EMC ABMS S S S dr dr dr dr       
1
. ( , ( ))
3
NEAM EMAV S d N EMA
1 5
. ' .4 . '
3 24
EMAS CC dr CC  
. ' ' ' '
5
30.
24
ABCD A B C DV  Vậy: 
1
15.
2
NPAM NEAMV V  
Kết quả thực nghiệm: 
Lớp Sĩ 
số 
Đề Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12C1 40 1 10 25 20 50 10 25 1 2,5 0 0 
2 15 37,5 24 60 1 2,5 0 0 0 0 
12C10 42 1 4 9,5 23 54,8 14 33,3 1 2,4 0 0 
2 5 11,9 25 59,5 12 28,6 1 2,4 0 0 
Nhận xét: Qua kết quả thực nghiệm chúng tôi nhận thấy sau khi học xong hai 
tiết luyện tập, kết quả kiểm tra lại của hai lớp đều cao hơn tuy nhiên nếu học 
sinh được học và hiểu được ứng dụng của phương pháp phân chia lắp ghép sẽ 
làm bài nhanh hơn, hiệu quả hơn. Tại lớp 12C1 số học sinh đạt điểm khá, giỏi 
đều tăng lên rõ rệt, số học sinh trung bình và yếu giảm xuống trong khi đó lớp 
12C10 không thể hiện rõ ràng phương pháp phân chia lắp ghép thì kết quả thay 
đổi ít hơn so với ban đầu. 
Nhận xét chung chương 3: 
 Trong chương 3 chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm ứng dụng phương 
pháp phân chia và lắp ghép vào các tiết dạy thực tế và đã đánh giá tính hiệu quả 
E M
F
A
A'
C
C'
B
B'
48 
khi áp dụng các phương pháp này. Từ đó chúng tôi nhận thấy có thể sử dụng 
phương pháp này một cách rộng rãi để giáo viên có thể áp dụng và thực hiện 
theo phương pháp dạy học mới theo hướng phát huy năng lực của học sinh đồng 
thời giúp học sinh lĩnh hội kiến thức và logic được hệ thông bài tập, giúp các em 
hứng thú hơn với môn học. 
MỘT SỐ HÌNH ẢNH MINH HỌA 
49 
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 
 1. Quá trình nghiên cứu 
 Đề tài này được nghiên cứu một cách nghiêm túc, cẩn thận. Trong quá 
trình giảng dạy, do yêu cầu cần phải thay đổi phương pháp để đón đầu xu thế, 
cũng như thực tế cho thấy việc dạy học theo chủ đề khối đa diện đang mang tính 
chất rập khuôn nên bản thân tôi đã suy nghĩ cần định hướng để tìm ra con đường 
dạy học phù hợp hơn. Ngoài bản thân tự nghiên cứu tôi còn tham khảo ý kiến từ 
đồng nghiệp và học sinh để đúc rút kinh nghiệm phục vụ quá trình nghiên cứu. 
2. Ý nghĩa của đề tài 
 Qua thời gian nghiên cứu đề tài và áp dụng vào thực tiễn quá trình dạy 
học tôi nhận thấy đề tài đạt được nhiều ứng dụng hiệu quả đối với chương trình 
phổ thông nói chung và bộ môn toán nói riêng, cụ thể là: 
- Đề tài đã xây dựng được một phương pháp mới trong các phương pháp giải 
toán chủ đề thể tích khối đa diện của chương trình hình học lớp 12. 
- Đề tài giúp giáo viên có cách nhìn hệ thống kiến thức hình học về thể tích khối 
đa diện, khái quát hóa một số dạng toán, phục vụ cho quá trình dạy học. 
- Đề tài giúp học sinh xâu chuỗi được kiến thức của mình khi học về chủ đề thể 
tích khối đa diện, giúp các em cảm nhận phần kiến thức này không phải quá 
khó, chỉ cần biết phương pháp giải và áp dụng nhuần nhuyễn thì sẽ học tốt. 
- Đề tài tiếp cận được với nội dung chương trình thi tốt nghiệp của Bộ Giáo Dục 
nên có thể dùng để làm tài liệu cho giáo viên và học sinh trong quá trình ôn tập. 
- Đề tài góp phần vào sự phát triển chung của xu thế toán học, đưa nội dung kiến 
thức toán đến gần gũi hơn với người học và người dạy. 
 Tuy nhiên bên cạnh những ưu điểm thì đề tài còn một số vấn đề cần bổ 
sung như khái quát hóa một số bài toán thành dạng tổng quát, phát triển thêm 
việc sử dụng phép đồng dạng để tính nhanh kết quả,  do hạn chế về mặt thời 
gian và quy định về số trang của sáng kiến, rất mong sự đóng góp ý kiến từ quý 
thầy cô giáo đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài hoàn thiện hơn. 
3. Kiến nghị 
 Nhà trường cần có định hướng để đưa nội dung ứng dụng phương pháp 
phân chia và lắp ghép đã nghiên cứu trong đề tài phổ biến vào chương trình dạy 
học, khuyến khích giáo viên nghiên cứu và phát triển thêm. 
 Tổ bộ môn nên đưa chủ đề đã xây dựng trong đề tài này vào sinh hoạt 
chuyên môn để nâng cao hiệu quả quá trình giảng dạy của các thành viên. 
 Giáo viên cần quan tâm hơn đến phương pháp đã nêu trong đề tài để vào 
phục vụ trong quá trình dạy học, đáp ứng được các yêu cầu đổi mới phương 
pháp theo hướng tiếp cận và phát triển năng lực người học. 
 Diễn Châu, tháng 3 năm 2021 
50 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1]. SGK hình học 12, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên)-Khu Quốc Anh-Trần Đức Huyên, Nhà xuất bản giáo dục. 
[2]. SGK hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ 
biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn Hà Thanh-Phan Văn Viện, Nhà xuất bản 
giáo dục. 
[3]. Bài tập hình học nâng cao 11, Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Khắc 
Ban-Tạ Mân, Nhà xuất bản giáo dục. 
[4]. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12, ThS. Lê Hoành Phò, Nhà xuất 
bản Đại học quốc gia Hà Nội. 
[5]. Phương pháp giải toán hình học không gian, Trần Quang Minh, Nhà xuất 
bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[6]. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán tập 2, Trịnh Khắc Tuấn, 
Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[7]. Rèn luyện kỹ năng giải toán hình học không gian, Nguyễn Mạnh Hùng, 
Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[8]. Toán nâng cao hình học THPT tập 2, Phan Huy Khải, Nhà xuất bản Hà 
Nội 
[9]. Phân dạng và các phương pháp giải các chuyên đề hình học 12, Nguyễn 
Phú Khánh, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội 
[10]. Đề thi thpt Quốc gia, thi tốt nghiệp từ năm 2017 đến nay. 
[11]. Tuyển tập các đề thi thử Thpt Quốc gia của các trường trên cả nước 
[12]. Đề thi học sinh giỏi lớp 12 các tỉnh và thành phố.