Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện tư duy qua việc phân tích và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

1.TÊN SÁNG KIẾN
“RÈN LUYỆN TƯ DUY QUA VIỆC PHÂN TÍCH VÀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT ”
(Phạm vi áp dụng: Tự chọn toán 12: Tiết: 14; 15;16;17;18 )
2. MÔ TẢ Ý TƯỞNG
a) Hiện trạng và nguyên nhân chủ yếu của hiện trạng:
 Là môn chủ đạo trong các cấp học, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tính toán... Môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách, phẩm chất của người lao động, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
 Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THPT Sơn Nam tôi nhận thấy việc học toán nói chung và việc phụ đạo, bồi dưỡng học sinh nói riêng. Muốn học sinh rèn luyện được tư duy phân tích bài toán trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách giải nhất. Để có được một học sinh giỏi môn toán là một điều khá khó, vì nó còn phụ thuộc vào nhiều nguyên nhân, có cả nguyên nhân khách quan và nguyên nhân chủ quan. Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi, nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua một bài toán. Từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy phân tích một bài toán đi đến lời giải nhanh và chính xác nhất. 
 ‘’Phương trình và bất phương trình mũ và logarit’’ là một mảng của Giải tích 12, và là một mảng nằm trong cấu trúc của bộ đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học. Và cũng là một phần kiến thức khá mới mẻ đối với học sinh, nên việc tư duy phân tích để nhìn nhận cách giải bài toán là khá lúng túng và khó khăn.
 b) Ý tưởng:
- Từ thực tế trên tôi đã đưa ra ý tưởng: “Rèn luyện tư duy qua việc phân tích và giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit”.
Trong năm học 2014-2015, thực hiện sự chỉ đạo của Sở GD&ĐT và của nhà trường, của tổ chuyên môn, tôi ứng dụng bài sáng kiến của mình vào giảng dạy trong hai lớp 12C3 và 12C4, mỗi lớp với thời lượng là 5 tiết học.
c) Mục đích:
Rèn cho học sinh khả năng tư duy phân tích bài toán và tìm được lời giải nhanh nhất, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ về phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các giờ học và trong việc giải các bộ đề thi đại học.
3. NỘI DUNG CÔNG VIỆC: 
Trong các giờ học về phần: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit. Học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu rõ bản chất, khả năng suy luận lôgíc, khả năng khái quát phân tích bài toán còn hạn chế, đặc biệt một trong những khó khăn của học sinh khi giải bất phương trình mũ và logarit là hình dung về tập hợp nghiệm. Một số không ít học sinh thường sai lầm khi biến đổi tương đương một bất phương trình, học sinh thường quên để ý đến cơ số dương và lớn hơn 1. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu... Nên chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài phương pháp rèn luyện tư duy phân tích bài toán về giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit.
I. Lý thuyết cơ sở
Một số công thức có liên quan
STT
CÔNG THỨC MŨ
CÔNG THỨC LOGARIT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Một số định lý quan trọng:
S
TT
CÔNG THỨC
ĐIỀU KIỆN
1
aM = aN M = N
0 < a 1
2
aM N
aM > aN M< N
0 < a <1
3
aM < aN M < N
aM > aN M > N
a > 1
4
loga M = loga N M = N
0 0; N > 0
5
loga M N
loga M > loga NM<N
0 0; N > 0
6
loga M < loga N M < N
loga M > loga N M >N
a > 1 và M > 0; N > 0
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1.1. Phương pháp 1: Biến đổi tương đương đưa về phương trình cơ bản
a) Phương trình cơ bản dạng 1: (là phương trình đại số)
b) Phương trình cơ bản dạng 2: 
* Nếu thì phương trình vô nghiệm
* Nếu thì 
c) Phương trình dạng tựa cơ bản 2: 
* Nếu thì phương trình vô nghiệm
* Nếu thì logarit hóa hai vế theo cơ số a (hoặc b) đưa phương trình về dạng (hoặc )
d) Phương trình dạng tựa cơ bản 1: 
* Nếu thì phương trình là phương trình cơ bản dạng 1.
* Nếu thì logarit hóa hai vế theo cơ số a ( hoặc b) đưa phương trình về dạng , ( hoặc ).
Áp dụng:
Bài số 1: Giải các phương trình sau:
a). ; b) 
c). ; d) 
Hướng dẫn phân tích và lời giải 
a) 
Phân tích
Lời giải
VT = 
VP = 
b) 
Phân tích
Lời giải
VT = 
VP = 
Chia cả 2 vế cho 20 ta được phương trình . Pt này ta có thể giải theo hai cách.
 c) 
Phân tích
Lời giải
Logarit hóa hai vế của Phương trình theo cơ số 2 ta được:
Đưa về Pt bậc 2 với ẩn x, phương trình giải được.
d) 
Phân tích
Lời giải
Ta thấy 
Nên 
1.2. Phương pháp 2: Giải phương trình dạng: 
Đối với dạng này bao giờ cũng có thể phân tích đưa về phương trình tích dạng , phương trình này giải được.
Áp dụng: 
Bài số 2: Giải phương trình sau: 
Hướng dẫn phân tích và lời giải 
Phân tích
Lời giải
Ta thấy 
Như vậy 
-Chuyển hết các hạng tử sang một vế sau đó nhóm nhân tử chung, đưa phương trình về phương trình tích quen thuộc.
1.3. Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ. Đối với các phương trình dạng:
a) , ta đặt: 
b) , ta đặt: , khi đó 
c) , Chia hai vế cho hoặc hoặc rồi đặt ẩn phụ.
d) , với . Ta đặt . Khi đó 
Áp dụng
Bài số 3: Giải các phương trình sau:
a). ; b) ; c) 
d) ; 
Hướng dẫn phân tích và lời giải
Phân tích
Lời giải
Đặt . Khi đó phương trình trở thành: 
Đặt . Khi đó phương trình trở thành: 
Với ta có pt: 
Phân tích
Lời giải
Ta có 
Đặt 
Khi đó đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 ẩn t.
Đặt . Khi đó pt đã cho trở thành: 
Với ta có 
Với ta có 
Vậy tập nghiệm của pt là: 
Phân tích
Lời giải
Ta có 
Chia cả hai vế của pt cho , sau đó đặt ẩn phụ đưa pt về pt bậc hai với ẩn mới.
Đặt 
Khi đó pt trở thành: 
Với ta có 
d). 
Phân tích
Lời giải
Ta thấy 
Nếu đặt 
Thì 
Khi đó đưa pt đã cho về pt bậc 2 ẩn t.
Đặt . Khi đó pt đã cho trở thành: 
Với ta có 
Với ta có 
1.4. Phương pháp 4: Phương pháp hàm số (dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của hàm số)
Bài số 4: Giải các phương trình sau
; ; 
 ; 
Hướng dẫn phân tích, lời giải
Phân tích
Lời giải
Chia hai vế của phương trình cho 
Nhận xét:
*) thì 
*) thì 
*) Chỉ có thỏa mãn.
Nhận xét: Vế trái của phương trình là một hàm nghịch biến, vế phải không đổi. Nên phương trình có không quá một nghiệm.
Thấy là nghiệm của phương trình.
Với thì 
Với thì 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 
.
Các ý b), c), d), tương tự ý a.
ĐS: b) 
c). 
d) 
Hướng dẫn phân tích, lời giải
Phân tích
Lời giải
Đặt 
Khi đó ta có phương trình bậc 2 với ẩn t, với các hệ số là: 
Đặt , phương trình đã cho trở thành 
 là nghiệm khi 
Khi đó ta có phương trình: 
Nhận xét: vế trái là một hàm đồng biến, vế phải là một hàm nghịch biến. Nên phương trình có không quá một nghiệm. Ta thấy thỏa mãn phương trình, vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài số 5: Giải và biện luận phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích.
Ta thấy: vế phải 
Nếu đặt: thì 
Khi đó ta đi giải phương trình: 
Lời giải.
Đặt 
Phương trình đã cho trở thành: (1)
Xét hàm số , ta có là hàm số đồng biến trên R. Nên suy ra . Do đó (2)
Ta có: 
TH1: . Phương trình (2) vô nghiệm nên phương trình (1) vô nghiệm.
TH2: 
-Với : Phương trình (2) có nghiệm .
-Với : phương trình (2) có nghiệm 
TH3: . Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 
Kết luận: 
Với : Phương trình vô nghiệm
Với : Phương trình có nghiệm kép 
Với : phương trình có nghiệm kép 
Với hoặc : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
Bài số 6: Giải phương trình 
Phân tích
Lời giải
Giải phương trình 
Xét hàm số , ta có là hàm số đồng biến trên R. Suy ra phương trình 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài số 7: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn, phân tích, lời giải.
Phân tích
Lời giải
Ta có công thức: 
4.Giải phương trình đơn giản: 
Hướng dẫn, phân tích b)
Phân tích
Ta có công thức: và 
Giải phương trình đơn giản: 
Lời giải
Hướng dẫn, phân tích c)
Phân tích
Lời giải
Đk: 
Ta có ; 
Chia hai vế của phương trình 
cho 
Giải phương trình đơn giản: 
 Điều kiện 
(thỏa mãn đk )
Bài tập tự luyện
Bài số 8: Giải và biện luận phương trình: 
Bài số 9: Giải các phương trình sau:
; ; 
; 
Bài số 10: Giải các phương trình sau:
 ; 
2.PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
2.1. Phương pháp 1: Biến đổi đưa về phương trình cơ bản (mũ hóa)
a) Phương trình cơ bản 1: 
b) Phương trình cơ bản 2: (Chú ý đặt điều kiện)
c) Phương trình dạng tựa cơ bản 2: ;
*) Nếu thì phương trình là dạng cơ bản 2.
*) Nếu thì: 
 +) thì hai vế của phương trình có tính đơn điệu khác nhau, khi đó dùng hàm để giải.
 +) thì đặt ẩn phụ, mũ hóa hai vế.
Áp dụng
Bài số 1: Giải các phương trình sau:
; 
; 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
1) Điều kiện: 
2)
Đk: hoặc (*)
Phương trình này nghiệmn đúng với mọi x thỏa mãn đk (*).
Vậy : tập nghiệm của phương trình là: 
Phân tích
Lời giải
1) Đk: 
2) 
3) Đưa phương trình đã cho về dạng 
Đk: (*)
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với phương trình
Ta có: thỏa mãn đk (*)
Phân tích
Lời giải
1) Đk: 
2) Áp dụng: 
3) Giải phương trình đại số sơ cấp
Đk: 
 Thỏa mãn điều kiện
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) 
3) Giải phương trình mũ.
Đk: (*)
Kết hợp với điều kiện (*) thì phương trình có một nghiệm .
Bài số 2: Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: .
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
1). 
2) 
3) Giải phương trình đại số đơn giản 
4) Theo viet thì có 
Khi đó, điều kiện 
Kiểm tra giá trị của x với điều kiện (1) ta được:
Bài số 3: Giải phương trình sau: 
Hướng dẫn, phân tích 
Phân tích
Lời giải
1). Thấy có dạng tựa cơ bản 2 (có )
2) Đk: 
3) Đặt 
4) 
Đk: 
Đặt 
khi đó có và 
Vậy phương trình trở thành:
 (*)
Vế trái là hàm tăng theo biến t, nên phương trình có không quá một nghiệm. Ta thấy thỏa mãn Pt (*) nên pt (*) có nghiệm duy nhất .
Từ , suy ra thỏa mãn Đk.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Bài số 4: Giải phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
1). Thấy 
Đặt . Ta có rõ ràng tính đơn điệu của hai vế khác nhau nên phương trình có không quá một nghiệm. Ta thấy thỏa mãn nên suy ra 
Thử lại ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
2.2.Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 
Bài số 5: Giải các phương trình sau: 
; 
Hướng dẫn, phân tích 
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) 
3) Giải phương trình bậc 2 với ẩn
Đk: 
Đặt khi đó ta có phương trình: 
Với ta có 
 thỏa mãn đk
Với ta có 
 thỏa mãn đk
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) 
3) 
4) Quy về giải phương trình bậc hai
5) Thử lại nghiệm
Đk: 
 (*)
Đặt khi đó pt (*) trở thành:
Với ta có 
Với ta có 
Ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Phân tích
Lời giải
1). 
2) ĐK: 
3) Chọn làm cơ số chung
4) 
Đk: 
Đặt khi đó pt đã cho trở thành 
Với : 
 (loại)
Với : 
Kết hợp với đk thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) Pt là pt bậc 2 với ẩn 
3) Đặt 
Đk: 
Đặt . Khi đó phương trình đã cho trở thành: (*)
Coi (*) là pt bậc 2 ẩn t, ta có:
. Phương trình (*) có nghiệm hoặc 
Với : ( Tmđk)
Với : (Tmđk)
2.3 Phương pháp hàm số. ( Sử dụng tính đơn điệu của hàm số)
Bài số 6: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) Chuyển về dạng một vế là hàm logarit, một vế là hàm đại số.
3) Sử dụng tính đơn điệu của hai vế của phương trình để đánh giá nghiệm
Đk: 
Ta có là nghiệm của phương trình (1).
Với : ta có Pt (1) vô nghiệm
Với ta có Pt (1) vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của pt.
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) theo định nghĩa logarit ta có thể suy ra 
3) Đặt 
4) Bài toán trở thành giải pt mũ
Đk: 
Đặt khi đó phương trình trở thành giải phương trình này ta được là nghiệm duy nhất.
Với : 
Bài số 7: Giải các phương trình sau:
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
1). Đk: 
2) Đặt khi đó ta chuyển phương trình đã cho về dạng một vế là hàm logrit, một vế là hàm đại số.
Lời giải
Đk: 
Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành . Ta thấy vế phải nên suy ra 
Với : thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: và .
Phân tích
1). Đk: 
2) Nhận thấy: 
3) Đặt thì vế phải là 
4) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm cua pt.
Lời giải
Đk: 
Đặt khi đó phương trình đã cho trở thành 
Hay (*)
Xét hàm số là hàm số tăng trên khoảng . Nên từ pt (*) suy ra thỏa mãn điều kiện
Vậy phương trình đã cho có nghiệm và .
Bài tập tự luyện
Bài số 8: Giải các phương trình sau: 
; 
Bài số 9: Giải các phương trình sau:
; 
Bài số 10: Giải các phương trình sau: 
; 
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
3.1. Bất Phương trình cơ bản dạng1:	
a. : +) Nếu thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x sao cho có nghĩa.
 +) Nếu thì 
b. : +) Nếu thì bất phương trình vô nghiệm
 +) Nếu thì 
Bài số 1: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
1). . Nhân hai vế của bpt với được bất phương trình mới tương đương.
2) ; 
3) Đưa bất phương trình về dạng 
Lời giải
Vậy bất phương trình có tập nghiệm 
3.2.Bất Phương trình cơ bản dạng 2: (Biến đổi bất phương trình về dạng cùng cơ số): 
a. 
b. 
Bài số 2: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
1). Ta thấy
2) Như vậy 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 
3.3. Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Bài số 3: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
1). 
2) Giải bất phương trình đại số bậc hai với ẩn 
Lời giải
Đặt khi đó bất phương trình trở thành 
Hay 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là .
Bài số 4: Giải bất phương trình 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
; ; 
Chia hai vế của bất phương trình cho (hoặc hoặc )
Giải bất phương trình đại số với ẩn hoặc 
Lời giải
Chia hai vế của bất phương trình (*) cho ta được: 
 (**)
Đặt khi đó bất phương trình (**) trở thành:
 hay 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 
Bài tập tự luyện
Bài số 5: Giải các bất phương trình sau:
; ; 
Bài số 6: Giải các bất phương trình sau
; 
; 
4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
4.1. Bất phương trình cơ bản dạng 1:
a. 
b. 
Bài số 1: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Điều kiện của bất phương trình: 
Cơ số , nên giải bất phương trình đại số có chiều ngược với bất phương trình ban đầu.
Lấy tập nghiệm kết hợp với điều kiện
Lời giải
Điều kiện 
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là: 
4.2. Bất phương trình cơ bản dạng 2:
a) 
b) 
Bài số 2: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
Đk: 
Đưa về cùng cơ số 2: 
Giải bất phương trình đại số
Đk: 
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là: 
Bài số 2: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Lời giải
Đk: 
Áp dụng công thức: 
Đk: 
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: 
4.3.Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số.
Bài số 3: Giải bất phương trình: 
Hướng dẫn, phân tích
Phân tích
Đk: 
Giải bất phương trình đại số với ẩn 
Lời giải
Điều kiện: 
Đặt : khi đó bất phương trình đã cho trở thành 
Hay 
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm là: 
Bài số 4: Giải bất phương trình sau: 
Hướng dẫn. phân tích
Phân tích
Lời giải
1). Đk: 
2) 
3) Giải bất phương trình bậc hai với ẩn 
Đk: 
Đặt khi đó bất phương trình trở thành 
Hay 
TH1: thì vô nghiệm
TH2: thì 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: 
Bài tập tự luyện
Bài số 5: Giải các bất phương trình sau:
; 
; 
Bài số 6: Giải các bất phương trình sau:
; 
; 
4. TRIỂN KHAI THỰC HIỆN:
Có thể tiến hành soạn bài và dạy theo các hoạt động chính sau đây: 
Hoạt động 1: Thời gian khoảng 5 đến 7 phút tuỳ từng tiết học.
Yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức cũ cơ bản có liên quan tới nội dung bài mới. Hoạt động 2: Thời gian khoảng 20 đến 25 phút tuỳ từng tiết học.
Trình bày phần ứng dụng giải một số bài tập có liên quan.
Hoạt động 3: Củng cố nội dung kiến thức trọng tâm của bài và các nội dung kiến thức có liên quan để học sinh thấy được mối liên hệ giữa các nội dung kiến thức với nhau, thời gian khoảng 5 đến 10 phút tuỳ từng tiết.
- Giao bài tập về nhà, hướng dẫn chuẩn bị bài mới.
5. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: 
Trước khi thực hiện sáng kiến của mình điểm khảo sát hoc kết quả học tập môn Toán Giải tích của 80 học sinh lớp 12C3 và 12C4 trong năm học 2014-2015 như sau:
Giỏi: 0 hs = 0%
Khá: 3 hs = 3,75 %
Trung bình: 35/80 hs = 43,7%
Yếu: 42/80 hs = 52,5%.
Sau một thời gian thực hiện “ sáng kiến ” kết quả học tập môn Toán của 80 học sinh trong hai lớp 12C3 và 12C4 đạt được như sau:
Giỏi: 1/80hs = 1,25 %
Khá: 10/80 hs = 12,5 %
Trung bình: 42/80 hs = 52,5 %
Yếu: 27/80 hs = 33,75 %.
6. KHẢ NĂNG TIẾP TỤC PHÁT HUY, MỞ RỘNG SÁNG KIẾN ĐÃ THỰC HIỆN: 
Trong các năm học tới tôi sẽ tiếp tục phát huy và mở rộng sáng kiến của mình cho các lớp trong khối lớp 12, và bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi để các em phát huy khả năng tư duy nhìn nhận, phân tích bài toán.
 Người viết
 Võ Văn Việt
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 Ngày .....tháng......năm 2015
 TỔ TRƯỞNG CHUYÊN MÔN
 Phan Thanh Hà 
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 Ngày .....tháng......năm 2015
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG
HIỆU TRƯỞNG
 Nguyễn Tiến Hải