Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng phép biến hình và phép hợp thành để giải bài toán quỹ tích trong mặt phẳng

 nữa còn có thể kết luận sai rằng: tập hợp M là cả đường tròn hoặc nửa đường tròn tâm O', có hai đầu mút trên dây cung BC.
	+ Qua ví dụ trên ta thấy rõ ưu thế của phép biến hình khi trình bày lời giải đối với các bài toán quỹ tích giải được bằng cách sử dụng phép biến đổi này.
Bài 6. (Đề thi chọn HSG toán THPT Toàn quốc. Năm học 2001-2002. Bảng A)
Trong mặt phẳng, cho D ABC cân tại A. Xét đường tròn (O) thay đổi đi qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB,AC và có tâm O nằm trên đường thẳng BC, Gọi M, N tương ứng là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với các đường thẳng AB, AC. Hãy tìm quỹ tích trực tâm H của D AMN.
A
E
B
C
O
M
N
D
G
H
K
l
d
I
* Giải: Có 2 trường hợp sau:
1. Trường hợp 1: = 900. Khi đó rõ ràng quỹ tích H là tập .
2. Trường hợp 2: 900.
a) Phần thuận: Lấy điểm D đối xứng với A qua BC. Vì O BC nên D ẻ (O). Hơn nữa, do DABC cân tại A nên D là trung điểm của cung MN không chứa A. Gọi E là điểm xuyên tâm đối của D, ta có AE//BC và DE^MN. Lấy điểm K đối xứng với D qua MN, ta có KDE. Gọi G là giao điểm thứ 2 của đường thẳng AH với (O). Do H là trực tâm của DAMN nên H và G đối xứng nhau qua MN. Suy ra GD và HK đối xứng nhau qua MN. 	 (1)
Vì AG// ED (do cùng ^ MN) và A, G, D, E (O) nên GD và AE đối xứng với nhau qua đường trung trực l của DE. 	 	 (2)
Vì MN// l (cùng ^ ED) nên từ (1) và (2) suy ra HK//AE => HK //BC. (3)
Gọi I là trung điểm của MN, ta có DI = 
áp dụng định lý sin cho DDEN, ta có DN = 2DO sin
Suy ra DI = 2DO sin2. Do đó 	.	 (4)
 Từ (3) và (4) với lưu ý , suy ra đường thẳng HK là ảnh của đường thẳng BC qua phép vị tự tâm D, tỷ số 4 sin2 . Nói cách khác, H thuộc đường thẳng d - ảnh của đường thẳng BC qua phép vị tự V(D; 4 sin2 ).
b) Phần đảo: Lấy điểm H bất kỳ thuộc d. Từ D kẻ đường thẳng song song với AH cắt BC tại O. Vẽ đường tròn (O) tâm O bán kính OA. Dễ thấy, nếu H với H1, H2 d sao cho DH1^ DB; DH2 ^ DC, thì (O) sẽ cắt lại AB, AC tương ứng tại M, N và ta có D AMN. Vì AD là phân giác của nên OD là trung trực của MN. Suy ra AH ^ MN. Do đó, nếu H' là trực tâm của D AMN thì H'AH. Hơn nữa, bằng các lập luận như ở phần thuận, sẽ chứng minh được H'd. Từ đó suy ra H'H, tức H là trực tâm của D AMN.
c) Kết luận: Quỹ tích H là đường thẳng d \được xác định như trên.
* Lời bình: + Trong lời giải bài toán trên, ta đã không chỉ ra được phép biến hình nào biến O H, mà chỉ có phép biến hình V(D; 4 sin2 ) biến đường thẳng BC (là quỹ tích của (O) thành đường thẳng d chứa H. Hơn nữa, các bước suy luận trước khi chỉ ra phép biến hình này là không tương đương nên ta phải chứng minh phần đảo.
Bài 7. (Đề thi chọn HSG toán THPT toàn quốc. Năm học 2002-2003. Bảng A).
Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn cố định (O1, R1) và (O2, R2) (R1>R2) tiếp xúc trong với nhau tại điểm M. Xét điểm A nằm trên đường tròn (O2, R2) sao cho 3 điểm A, O1, O2 không thẳng hàng. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (O1, R1) (B, C là các tiếp điểm). Các đường thẳng MB và MC cắt lần thứ hai đường tròn (O2, R2) tương ứng tại các điểm E và F. Gọi D là giao điểm của đường thẳng EF với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O2, R2). Chứng minh rằng điểm D di động trên một đường thẳng cố định, khi A di động trên đường tròn (O2, R2) sao cho 3 điểm A, O1, O2 không thẳng hàng.
D
A
F
M
D'
E
C
A'
H
B
O1
O2
* Giải: Từ giả thiết suy ra tứ giác ABO1C nội tiếp trong đường tròn (O3). Gọi A' là giao điểm thứ hai của AM với đường tròn (O1, R1), D' là giao điểm của hai tiếp tuyến tại M và A' của đường tròn (O1, R1). Rõ ràng D' thuộc trục đẳng phương BC của hai đường tròn (O1, R1) và (O3).
Thật vậy, gọi H là giao điểm thứ hai của (O3) với AM, khi đó O1H ^ AM nên H là trung điểm dây cung MA'. DD'MA' cân tại D' nên D'H ^ AM và D'O1 đi qua H.
Từ , suy ra D' cùng phương tích đối với hai đường tròn (O1, R1) và (O3).
Như vậy, D' di động trên tiếp tuyến của đường tròn (O1, R1) tại M và tiếp tuyến đó cố định. Phép vị tự tâm M biến đường tròn (O1, R1) thành đường tròn (O2, R2), nên đường thẳng BC biến thành đường thẳng EF, tiếp tuyến tại A' biến thành tiếp tuyến tại A và D' biến thành D. Tập hợp các điểm D nằm trên đường thẳng MD' là tiếp tuyến của (O1, R1) tại M.
* Trên đây là một số ví dụ về các bài toán quỹ tích giải được chỉ bằng một phép biến hình. Trong thực tế, có nhiều bài toán quỹ tích, ta phải qua nhiều phép biến hình mới tìm được mối liên hệ giữa điểm chuyển động và điểm cần tìm quỹ tích. Sau đây là một số ví dụ tiêu biểu cho lớp bài toán đó.
2. ứng dụng phép hợp thành để giải bài toán quỹ tích
A
B
C
d'1'
d1
d
B'
450
450
Bài 8. Cho đường thẳng d và một điểm A cố định không thuộc d. Với mỗi điểm B ẻ d, ta dựng một tam giác ABC vuông cân tại B. Tìm tập hợp đỉnh C, khi B thay đổi trên d.
* Định hướng giải: 
+ Điểm A cố định.
+ = ; 	 AC = AB.
Suy ra: Phép quay Q (A; 450): B B' và phép vị tự V (A; ): B' C.
*Giải: DABC vuông cân tại B nên = 450. Lại có A cố định nên phép quay Q(A,450) hoặc Q(A,-450); biến điểm B thành điểm B' thuộc tia AC. 	(1)
Mặt khác	 nên phép vị tự V(A; ): B' C.	(2)
Do đó, nếu gọi F1 là phép hợp thành của Q(A; 450) và V(A; );
	 F2 là phép hợp thành của Q(A; -450) và V(A; )
thì F1, F2 đều biến B thành C. Vì quỹ tích của B là d nên quỹ tích của C là hai đường thẳng , lần lượt là ảnh của d qua phép hợp thành F1, F2.
Bài 9. Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D. Hãy dựng quỹ tích đó.
A
P
R
O
Q
C
D
B
M
* Định hướng giải: 	+ A cố định, C thay đổi trên (O).
+ (không đổi).
+ (không đổi).
Suy ra: Phép vị tự V (A; ) ; C M
và phép quay Q (A; 450); M B (hoặc D)
Từ đó suy ra quỹ tích của B, D.
* Giải: Trên tia AC, lấy điểm M sao cho AM = AB = AD.
Khi đó, ta có: 
và 	(AM, AB) = 450 ;	(AM, AD) = -450
Suy ra phép vị tự V (A; ) : C M và phép quay Q(A; 450): M B.
Do đó, gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F là phép đồng dạng biến C thành B. Vì quỹ tích của C là đường tròn (O) nên quỹ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạng F (Trừ ảnh của điểm A).
- Xác định đường tròn quỹ tích của B: Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR (kí hiệu các điểm P, Q sao cho (AR, AP) = 450). Suy ra: F : AR AP.
Vậy qũy tích B là đường tròn đường kính AP (Trừ điểm A).
Tương tự, quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ (Trừ điểm A).
Bài 10. Cho đường tròn (O), một đường thẳng d và một điểm P cố định. Với mỗi điểm M ẻ (O), ta xác định điểm N đối xứng với M qua d.
A
N
B
O'
I
o"
B'
d
P
A'
M
O
Gọi I là trung điểm của PN. Tìm tập hợp I, khi M thay đổi trên đường tròn (O). Dựng qũy tích.
* Định hướng giải:	+ d cố định, N đối xứng với M qua d.
	+ P cố định và .
Suy ra: Phép đối xứng trục Đd: M N và phép vị tự V (P; ) : N I.
Từ đó suy ra quỹ tích của I.
* Giải: Từ giả thiết suy ra phép đối xứng trục Đd: M N.
Vì P cố định và (do I là trung điểm PN) nên phép vị tự tâm P tỷ số là V (P; ): N I.
Gọi F là phép hợp thành của Đd và V (P; ) thì F biến M thành I. Vì quỹ tích của M là đường tròn (O) nên quỹ tích của I là đường tròn (O") ảnh của (O) qua phép hợp thành F.
- Xác định (O"):	+ Vẽ đường tròn (O') đối xứng với (O) qua d
	+ Nối PO' cắt (O') tại A, B Gọi A', B' lần lượt là trung điểm của PA, PB. Ta có (O") là đường tròn đường kính A'B'.
Bài 11. Cho một đường tròn (O) và DABC nội tiếp trong đường tròn có cạnh BC cố định, đỉnh A thay đổi. Gọi G là trọng tâm DABC và dựng hình bình hành GBCE. Tìm tập hợp điểm E, khi A biến thiên trên (O).
A
* Định hướng giải:
	 + B, C, O cố định; A thay đổi nên
O
G
H
E
O"
O'
 G và H (trực tâm DABC) thay đổi
C
O1
B
 + Quan hệ giữa O, G, H:	
+ Quan hệ giữa G, E: 
Suy ra: 	Phép vị tự V(O ;): H G 
và phép tịnh tiến : G E.
Quỹ tích của H đã xác định (bài toán quen thuộc). Từ đó suy ra quỹ tích của E.
* Giải:	Gọi H là trực tâm DABC. Ta dễ dàng chứng minh được .
Suy ra phép vị tự V (O; ): H G.	(1)
Lại có (không đổi) nên phép tịnh tiến TBC : G E	(2)
Mặt khác ta đã biết, tập hợp trực tâm H của DABC, khi A thay đổi trên (O), là một đường tròn (O1) đối xứng với (O) qua BC.
Do đó, từ (1) suy ra tập hợp G là đường tròn (O') ảnh của (O1) qua V (O; ) (Trừ ra hai điểm B', C' là ảnh của B,C - do A ạ B; A ạ C).	
Từ (2) suy ra tập hợp E là đường tròn (O") - ảnh của (O') qua TBC (Trừ ra 2 điểm B", C" là ảnh của B', C').
Tóm lại, gọi F là phép hợp thành của ĐBC; V (O; ) và TBC. (trong đó ĐBC là phép đối xứng qua trục BC), tức là F = TBC . V (O; ). ĐBC , thì tập hợp E là ảnh của đường tròn (O) qua phép hợp thành F (Trừ hai điểm B", C" là ảnh của B, C qua F).
Bài 12. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định trên đường tròn. Điểm B di động trên đường tròn, B ạ A. Gọi M là trung điểm AB, I thuộc tia MB sao cho OI = 2. OM.
a) Tìm tập hợp I khi B chạy trên (O; R). Dựng quỹ tích đó.
A
B
O'
M
O2
O1
O
M'
I
E
P
A'
b) Lấy các điểm E, P trên đường thẳng đi qua O, // AB và thoả mãn OE = OP = OI. Tìm tập hợp E, P khi B chạy trên (O).
* Định hướng giải:
+ A, O cố định; B, M thay đổi
+ 
Suy ra: Phép vị tự V(A; ): B M.
+ DOMI có M = 900 và (không đổi)
 nên = 600.
Từ đó có thể dùng phép quay tâm O biến M thành M' thuộc tia OI rồi dùng phép vị tự tâm O biến M' thành I.
* Giải: a) Vì M là trung điểm AB nên . 
Suy ra phép vị tự V(A; ): B M.
Trong tam giác vuông MOI ta có	 cos = 	nên = 600
Từ đó: (OM, OI) = -600 (hình vẽ)
Suy ra: Phép quay Q (O; -600) biến điểm M thành M' thuộc tia OI.
Lại có OM' = OM = OI, nên phép vị tự V(O; 2): M' I.
Gọi F là phép hợp thành của ba phép biến hình V (A; ); Q (O; -600) và
V (0; 2) thì F biến B thành I. Vì quỹ tích B là đường tròn (O;R), B ạ A, nên quỹ tích I là đường tròn (O') - ảnh của (O) qua F (Trừ điểm B' là ảnh của B).
- Dựng (O'):	+ Vẽ đường tròn (O1) là ảnh của (O) qua V(A; ).
Ta thấy: (O1) là đường tròn đường kính OA.
	+ Dựng tia Ox sao cho (OA, Ox) = -600. Gọi O' = Ox ầ (O)
Ta có: Đường tròn đường kính OO' là ảnh của (O1) qua Q (O; -600).
	+ (O') là đường tròn tâm O' bán kính O'O.
Vậy quỹ tích I là đường tròn (O') trừ điểm A' là giao điểm thứ hai của đường kính qua OO' với đường tròn (O').
b) Kí hiệu các điểm E, P như hình vẽ. Dễ thấy (OI; OP) = 1500, (OI; OE) = -300.
Mà OE = OP = OI nên P, E lần lượt là ảnh của I qua phép quay Q (O; 1500) và Q (O; -300).
Như vậy, gọi H là phép hợp thành của F (ở câu a) và Q (O; 1500) thì H biến B thành P. Từ đó tập hợp P là đường tròn (O") ảnh của đường tròn (O') qua phép quay Q (0; 1500).
Tương tự, tập hợp E là đường tròn (O'") ảnh của (O') qua phép quay Q (O; -300).
A
I
G
C
d2
d1
d'
d
B
Bài 13. Cho trước đường thẳng d và một điểm A cố định không thuộc d. Với mỗi điểm B ẻ d, dựng tam giác đều ABC. Tìm tập hợp trọng tâm G của DABC khi B thay đổi trên d.
* Định hướng giải:	
+ A cố định, B thay đổi; = 300 (không đổi); AB = AG
ị Dùng phép vị tự tâm A tỉ số biến B thành I.
Tiếp đó dùng phép quay Q (A; 300) hoặc Q (A; - 300) biến I thành G.
* Giải
Trên tia AB, lấy điểm I sao cho AI = AG = . AB = AB.
Ta có: nên phép vị tự V (A; ): B I.
Vì = 300 và AI = AG nên G là ảnh của I qua phép quay Q(A; 300) hoặc Q(A; -300).
Như vậy gọi F1 là phép hợp thành của V (A; ) và Q (A; 300);
	 F2 là phép hợp thành của V (A; ) và Q (A; -300)
thì F1 (hoặc F2) biến B thành G.
Vì tập hợp B là đường thẳng d nên tập hợp G là hai đường thẳng d1, d2 lần lượt là ảnh của d qua F1; F2.
- Cách dựng d1,d2:	+ Dựng d' là ảnh của d qua V (A; ).
	+ Dựng d1 là ảnh của d' qua Q (A; 300).
	+ Dựng d2 là ảnh của d' qua Q (A; -300).
Bài 14. Cho đường tròn (O, R) và một đường thẳng d. Với mỗi điểm A thuộc (O) và điểm B ẻ d, ta dựng tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm tập hợp đỉnh C khi các đỉnh A, B cùng thay đổi.
O'1
A
B
d
d'1
O
B'
C
* Định hướng giải:
+ Xem B là điểm cố định.
Vì = 450 và BC = ABnên phép quay Q (B; 450) hoặc Q (B; -450) sẽ biến B thành B' và phép vị tự V (B; ) sẽ biến B' thành C.
Như vậy qua phép hợp thành F1 = V (B; ) . Q (B; 450)
	hoặc	 F2 = V (B; ) . Q (B; -450)
thì A C và đường tròn (O, R) chứa A biến thành đường tròn (O'1; R) hoặc (O'2, R) chứa C.
+ D OBO'1 (hoặc DOBO'2) vuông cân tại O, và O cố định nên phép quay Q(O; -900) (hoặc Q (O; 900)) sẽ biến B thành O'; biến đường thẳng d thành đường thẳng d'1 ^ d và đi qua O'1 (hoặc thành đường thẳng d'2 ^ d và đi qua O'2).
Khi B thay đổi trên d thì O'1 thay đổi trên d'1; O'2 thay đổi trên d'2.
Vậy tập hợp C là hợp các đường tròn (O'1; R) với O'1 chạy trên d'1 và (O'2; R) với O'2 chạy trên d'2.
* Lời bình: 	+ Cả A, B đều thay đổi nhưng ta đã xem B là điểm cố định để chỉ ra các phép biến hình biến A thành C, hay nói cách khác chỉ ra với mỗi vị trí của B thì C chạy trên đường nào ((O'1) và (O'2)).
	+ Tiếp đó ta cho B thay đổi trên d rồi tìm tập hợp (O'1), (O'2).
Bài 15. Cho DABC cân tại A, biến thiên nhưng giữ nguyên dạng và nguyên hướng sao cho B,C chạy trên đường tròn cố định (C) và đường thẳng AB đi qua một điểm cố định I. CMR đường thẳng AC đi qua một điểm cố định J. Tìm tập hợp hình chiếu của I, J trên BC.
* Bổ sung kiến thức liên quan đến góc định hướng. 
Tập hợp các điểm A nhìn hai điểm B, C cố định dưới một góc không đổi là hai cung chứa góc đối xứng với nhau qua BC. Nhưng nếu A được xác định bởi góc định hướng (AB, AC) = (không đổi) thì tập hợp A là cả đường tròn.
C
B
A
A
C
B
* Định hướng giải: + Từ giả thiết bài toán suy ra 3 điểm O, A, E thẳng hàng (E là trung điểm của BC) và AO ^ BC; (AB; AC) = 2 (không đổi). 
=> (AB; AE)= (không đổi) => A nằm trên 1 đường tròn (e) cố định đi qua I; O.
Gọi J = (e) AC. Vì (AO; AJ) = (AI; AO) = ( không đổi) và (e) cố định nên J cố định. Vậy đường thẳng AC luôn đi qua điểm J cố định.
Gọi I', J' lần lượt là hình chiếu của I, J trên BC.
+ Tìm quỹ tích điểm I': 
Vì II' // AO (cùng vuông góc với BC) nên (IB, II') = (AB, AE) = 	(1)
và k = = cos (không đổi)	(2)
A
Trên tia II' lấy điểm B' sao cho IB' = IB. 
a
(e)
Từ (1) ta có phép quay Q (I, ): BB'. 
J
Từ (2) ta có phép vị tự V(I;k): B' I'
Gọi F là phép hợp thành của Q và V 
B'
thì F biến B thành I'. 
B
Vì quỹ tích của B là đường tròn (O) 
E
J'
C
I'
nên quỹ tích của I' là đường tròn (O')
 - ảnh của (O) qua phép hợp thành F.
(C)
O
+ Tìm quỹ tích J': 
Tương tự, ta tìm được quỹ tích
I
điểm J' là đường tròn (O'') - ảnh 
của (O) qua phép hợp thành của phép quay 
Q (J, -) và phép vị tự V(J, k) với k = cos.
3. Một số bài tập áp dụng.
Bài 1. Tìm tập hợp đỉnh A của D ABC, biết rằng hai đỉnh B, C cố định và 5BC2 = AB2 + AC2
Bài 2 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 10).
Cho 4 điểm A,B, C, D sao cho . Một điểm M di động trên đường thẳng b đi qua B và không đi qua C. Gọi N là điểm xác định bởi . Tìm tập hợp điểm N.
Bài 3. Cho đường tròn tâm O và hai điểm B,C cố định trên nó. Một điểm A di động trên đường tròn đó. Gọi H là trực tâm của D ABC.
a) Tìm tập hợp trung điểm K của AH
b) Tìm tập hợp trọng tâm của D AOH
c) Tìm tập hợp giao điểm của đường phân giác của góc A cuả D ABC với đường thẳng OH.
Bài 4 (IMO - 1965). Cho D OAB có (O0<<900). Qua điểm M bất kỳ khác O, ta kẻ đường thẳng MP^OA, MQ^OB (. Gọi H là trực tâm của DOPQ.Tìm tập hợp H, nếu:
a) M di động trên đoạn AB
b) M di động trên cả miền trong DAOB
Bài 5. Cho một đường tròn tâm (O), một điểm P cố định và một đoạn thẳng AB = a cố định.Với mỗi điểm M thuộc (O), ta dựng hình bình hành ABNM và gọi Q là điểm đối xứng của N qua P. Tìm tập hợp Q, khi M thay đổi trên đường tròn .
Bài 6. Cho hai đường tròn (O), (O'). Trên (O) lấy điểm A, trên (O') lấy điểm B. Dựng tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm tập hợp đỉnh C khi A, B thay đổi trên các đường tròn đã cho.
Bài 7. Cho hai đường tròn (O), (O') tiếp xúc trong với nhau tại A((O') nằm trong (O)). BC là một dây cung của (O) mà tiếp xúc với (O'). Tìm tập hợp tâm đường tròn nội tiếp DABC, khi dây BC thay đổi.
Bài 8. Cho hai điểm O và G cố định.
a) Tìm tập hợp đỉnh A của D ABC nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp và G làm trọng tâm tam giác.
b) Tìm tập hợp đỉnh A của D ABC với góc A tù và tam giác này nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp, nhận G là trực tâm.
Bài 9. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định thuộc đường tròn. Với mỗi điểm M nằm ngoài (O; R), ta kẻ 1 tiếp tuyến MT tới đường tròn (O; R) (T là tiếp điểm). Tìm tập hợp điểm M sao cho MT = kMA, trong đó k là một số dương cho trước.
Bài 10. Cho D ABC. Tìm tập hợp 4 đỉnh của một tứ giác lồi sao cho 3 đỉnh của tam giác là trung điểm của 3 cạnh tứ giác đó.
III. Thực nghiệm sư phạm:
1. Mục đích thực nghiệm:
Kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
2. Nội dung thực nghiệm:
- Triển khai đề tài "ứng dụng phép biến hình và phép hợp thành để giải các bài toán quỹ tích".
- Đối tượng áp dụng đề tài: Học sinh khá, giỏi về môn toán.
- Thời gian triển khai đề tài: 3 buổi (khoảng 12 tiết).
3. Kết quả thực nghiệm:
Tôi được phân công giảng dạy các lớp khối A trong nhiều năm nay. Tôi thấy rằng sau khi học xong phép biến hình trong chương trình Hình 11 nhưng trước khi triển khai đề tài này, ngay cả những học sinh khá, giỏi cũng rất lúng túng khi dùng phép biến hình để giải toán, đặc biệt đối với lớp các bài toán quỹ tích. Trước một bài toán quỹ tích, nếu không có sự định hướng thì hầu như các em không nghĩ đến việc vận dụng phép biến hình, lại càng không thể phát hiện ra phép hợp thành liên kết giữa điểm chuyển động và điểm cần tìm quỹ tích. Sau khi thực hiện đề tài, các em đã tỏ ra tự tin, hứng thú hơn với công cụ phép biến hình, phép hợp thành. Và các em không những đã biết phát hiện ra, biết ứng dụng phép biến hình, phép hợp thành vào giải các bài toán quỹ tích mà còn biết vận dụng phép biến đổi này để giải các bài toán hình học khác. Chuyên đề này đã thực sự giúp các em có thêm một công cụ để giải một bài toán quỹ tích nói riêng và một bài toán hình học nói chung.
Kết quả khảo sát cụ thể ở một lớp 11 sau khi dạy xong chuyên đề này:
. 76% học sinh làm tốt tất cả các bài tập vận dụng.
. 11% học sinh làm được 85% số bài.
. 8% học sinh làm được 75% số bài.
. 5% học sinh làm được 65% số bài.
Điều đáng nói là không có học sinh nào không làm được bài tập.
IV. Kết luận
Qua các ví dụ minh hoạ trên ta thấy rõ, nếu một bài toán quỹ tích giải được bằng cách dùng phép biến hình thì việc xác định quỹ tích và trình bày lời giải theo cách này là dễ dàng, đơn giản và ngắn gọn hơn so với các cách giải thông thường. Vấn đề quan trọng là ta phải có kỹ năng xét xem bài toán có thể dùng phép biến hình để giải không và chỉ ra được phép biến hình hay phép hợp thành biến điểm chuyển động thành điểm cần tìm quỹ tích.
Việc khai thác các ứng dụng của phép biến hình - phép hợp thành góp phần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, tạo nên sự hứng thú, say mê của học sinh 
đối với môn toán. Đó cũng là điều mong muốn của bất kỳ giáo viên dạy toán nào.
Trên đây là một kinh nghiệm nhỏ của tôi khi bồi dưỡng cho học sinh khá, giỏi các chuyên đề về ứng dụng phép biến hình để giải toán. Qua thực tế giảng dạy đối với nhiều lứa học sinh, tôi thấy các em sau khi học xong chuyên đề đều tỏ hứng thú, tự tin hơn trước những bài toán quỹ tích và phép biến hình - phép hợp thành thực sự góp thêm một "hướng suy nghĩ", một công cụ đắc lực hỗ trợ cho các em khi giải lớp bài toán này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp đã góp ý hoàn thiện đề tài. Tuy nhiên với mức độ và thời gian còn hạn chế nên đề tài chắc chắn còn những khiếm khuyết. Tôi rất mong tiếp tục nhận được sự góp ý của đồng nghiệp.
Hà Tĩnh, tháng 5 năm 2008.
Sở giáo dục - Đào tạo Hà Tĩnh
Sáng kiến kinh nghiệm
ứng dụng phép biến hình và phép hợp thành để 
giải bài toán quỹ tích trong mặt phẳng
	Bộ môn: Toán
	Bậc học: THPT
Người viết: Trần Thị Bích Thuỷ
Đơn vị: Trường THPT Năng Khiếu Hà Tĩnh
Năm học 2007-2008
Năm học 2007-2008
Phường Nguyễn Du, tháng 02 năm 2008
Hà Tĩnh, tháng 01 năm 2008
Tên công trình: Trường THCS Hưng Đồng
Gói thầu: Nâng cấp nhà học 2 tầng thành nhà học 3 tầng
Đơn vị đề xuất: Công ty TNHH xây dựng đồng tiến
Địa chỉ: Đội 6 - Phường Thạch Quý -THành phố Hà Tĩnh
Điện thoại: 039.858.157
Tháng 12 năm 2007
Báo cáo
Kết quả hoạt động phong trào và công tác hội năm 2007
Tháng 11 năm 2007