Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình Đại số Lớp 10

ng thẳng có phương ngang và cắt trục tung tại điểm có 
tung độ  g m . 
C. CÁC VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cho hàm số 2 4 2y x x    có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá 
trị của tham số m để phương trình 2 4 2x x m    có 2 nghiệm phân biệt. 
 Phân tích: Đây là bài toán đã cho đúng dạng của bài toán gốc nêu trên nên học sinh dễ 
dàng vận dụng để tìm lời giải. 
Lời giải 
Phương trình 2 4 2x x m    (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  P của 
hàm số 2 4 2y x x    và đường thẳng :d y m . 
Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của  P và  d . 
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán  6m  . 
Vậy 6m  . 
Ví dụ 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: 2 4 3 0x x m    . 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 6 
Lời giải 
Xét phương trình: 2 24 3 0 4 3 (1)x x m x x m        
Đặt 2( ) 4 3, ( )y f x x x P    và ( ) , ( )y g m m d  
Khi đó số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của Parabol ( )P và đường thẳng ( )d . 
Dựa vào đồ thị ta có: 
+) Nếu 1m   thì ( )d không cắt ( )P  phương trình (1) vô nghiệm. 
+) Nếu 1m   thì ( )d tiếp xúc với ( )P tại một điểm  phương trình (1) có nghiệm kép. 
+) Nếu 1m   thì ( )d cắt ( )P tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. 
 Phân tích: Bài toán chưa có đúng dạng của bài toán gốc nên ta sẽ chuyển về bài toán gốc 
bằng cách chuyển tham số sang vế phải ( cô lập tham số ). 
Ví dụ 3. Cho hàm số 2 6 5y x x   có đồ thị ( )P như nhình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị, tìm các 
giá trị của tham số m để phương trình: 22 12 6 1 0x x m    có 2 nghiệm phân biệt dương. 
 Phân tích: Ở Ví dụ 3 giống như Ví dụ 2 nhưng yêu cầu thêm về điều kiện của nghiệm là hai 
nghiệm phân biệt dương nên phải lưu ý số giao điểm của parabol và đường thẳng là hai 
điểm có hoành độ dương ( hai điểm nằm bên phải trục tung ). 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 7 
Lời giải 
Phương trình: 22 12 6 1 0x x m    2 116 5 3
2
x x m      (1). 
Phương trình (1) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số  P 2 6 5y x x   và 
đường thẳng   113
2
d y m   . 
Số nghiệm của phương trình (1) chính bằng số giao điểm của  P và  d . 
Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu bài toán  114 3 5
2
m     1 19
6 6
m   . 
Ví dụ 4. Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2 2 2 2 0x x m     trên đoạn  3;0 . 
 Phân tích: Tương tự như ở Ví dụ 3, bài toán đưa về việc biện luận theo m số giao điểm của 
parabol và đường thẳng ứng với hoành độ thuộc đoạn  3;0 . Lưu ý các nghiệm tại các đầu 
mút . 
Lời giải 
Ta có 2 22 2 2 0 2 2 2 (2)x x m x x m          . 
Xét parabol 2( ) : ( ) 2 2P y f x x x     với  3;0x  có 
 Có đỉnh  1;3I  và parabol có bề lõm quay xuống. 
    3 1, 0 2f f    . 
 Xét đường thẳng   : 2d y m . 
Số nghiệm của phương trình (1) trên đoạn  3;0 là số giao điểm của  P và  d . 
Từ đồ thị ta có 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 8 
 Nếu 12 1
2
m m     thì  d và  P không có điểm chung, tức là phương trình (1) vô 
nghiệm. 
 Nếu 11 2 2 1
2
m m      thì  d cắt  P tại 1 điểm, tức là phương trình (1) có 1 
nghiệm. 
 Nếu 32 2 3 1
2
m m     thì  d cắt  P tại 2 điểm phân biệt, tức là phương trình (1) 
có 2 nghiệm phân biệt. 
 Nếu 32 3
2
m m   thì  d tiếp xúc  P , tức là phương trình (1) có 1 nghiệm kép. 
 Nếu 32 3
2
m m   thì  d và  P không có điểm chung, tức là phương trình (1) vô 
nghiệm. 
 Kết luận: 
 Với 
1
2
3
2
m
m
  

 
 thì phương trình (1) không có nghiệm thuộc đoạn  3;0 . 
 Với 
1 1
2
3
2
m
m
  

 
 thì phương trình (1) có 1 nghiệm thuộc đoạn  3;0 . 
 Với 31
2
m  thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  3;0
. 
Ví dụ 5. Cho hàm số 2 2 3y x x    có đồ thị  P . 
 a) Vẽ đồ thị  P . 
 b) Dựa vào đồ thị  P , tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 
2 2 3 3 2x x m    có 3 nghiệm. 
 Phân tích: Đây vẫn là bài toán cơ bản nhưng muốn giải quyết tốt bài toán đòi hỏi học 
sinh phải thành thạo cách vẽ đồ thị hàm số 2 , 0bx cy x aa    ( đã trình bày ở mục 
2.1 ) 
Lời giải 
a) Đồ thị  P của hàm số 2 2 3y x x    
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 9 
b) Xét phương trình  2 22 3 3 2 2 3 3 2 1x x m x x m          . 
Đồ thị   21 2 3P : y x x    và đường thẳng   3 2md : y m  (  md . 
Từ đồ thị  P vẽ  1P bằng cách : 
 + Giữ nguyên phần đồ thị  P ở phía trên trục Ox 
 + Lấy đối xứng phần đồ thị  P ở phía dưới trục Ox qua trục Ox . 
 + Xóa bỏ phần đồ thị  P ở phía dưới trục Ox . 
Vì số nghiệm của  1 bằng số giao điểm của  1P và  md nên  1 có 3 nghiệm phân biệt khi  1P và 
 md cắt nhau tại 3 điểm phân biệt. 
Dựa vào đồ thị ta có 
13 2 4
2
m m     . 
Vậy, 
1
2
m   . 
Ví dụ 6. Tìm tham số mđể phương trình 2 2 2 4 0x x m    có bốn nghiệm phân biệt. 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 10 
 Phân tích: Đưa về bài toán gốc    f x g m , vận dụng cách vẽ đồ thị hàm số dạng: 
2 , 0b x cy x aa    để tìm lời giải. 
Lời giải 
Ta có : 2 22 2 4 0 2 3 2 1x x m x x m         (*). 
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 3y x x   với 
đường thẳng 2 1y m  . 
Vậy để phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số 2 2 3y x x   cắt đường 
thẳng 2 1y m  tại bốn điểm phân biệt. 
Dựa vào đồ thị suy ra phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi :
54 2 1 3 2
2
m m         . 
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt 5 2
2
m    . 
Ví dụ 7. Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng  0;2019 để phương trình 
2 4 5 0x x m    có hai nghiệm phân biệt? 
 Phân tích: Dễ dàng đưa phương trình về dạng quen thuộc: 2 4 5x x m   . Lưu ý cách vẽ 
đồ thị hàm số 2 4 5y x x   , bản chất là gồm hai bài toán là vẽ đồ thị 2 54 xy x   , 
sau đó vẽ đồ thị hàm số  y f x với   2 54x xf x   . 
Lời giải 
Ta có:  2 24 5 0 4 5 1x x m x x m        . 
Số nghiệm phương trình  1 bằng số giao điểm của đồ thị  P của hàm số 2 4 5y x x   và 
đường thẳng y m . 
Xét hàm số 2 4 5y x x   ta thấy nó có đồ thị  1P như hình sau đây: 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 11 
Xét hàm số   2 4 5y f x x x    ta thấy đây là hàm số chẵn nên đồ thị  2P của nó nhận Oy 
làm trục đối xứng. 
Mà 2 24 5 4 5y x x x x      nếu 0x  nên  2P gồm hai phần: 
-Phần 1: Là phần bên phải Oy của  1P kể cả giao điểm của  1P và Oy . 
-Phần 2 : Là phần đối xứng của phần qua trục Oy . 
Tức  2P như hình sau đây: 
Xét hàm số  2 4 5y x x f x    , ta có:       
; 0
; 0
f x f x
y
f x f x
  
. 
Tức  P gồm hai phần: 
-Phần 3 : Là phần phía trên Ox của  2P kể cả các giao điểm của  2P và Ox . 
-Phần 4: Là phần đối xứng của phần phía dưới Ox của  2P qua trục . 
Tức  P như hình sau đây 
1
Ox
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 12 
Quan sát  P ta thấy: yêu cầu bài toán 9
0
m
m
  
. 
Do    10;11;12;...; 20190;2019
m
m
m
   

. 
Vây có 2010 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu bài toán. 
Ví dụ 8. Cho hàm số   2y f x ax bx c    có đồ thị  C như hình vẽ sau 
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình    2 2 ( ) 3 0f x m f x m     có 
6 nghiệm phân biệt ? 
 Phân tích: Rõ ràng nhìn vào phương trình muốn đưa về dạng cơ bản bằng cách cô lập tham 
số m thì bài toán trở nên khá phức tạp, mặt khác dễ nhận ra ngay đây là phương trình bậc 
hai ẩn  t f x là:  2 2 3 0t m t m     nhẩm được hai nghiệm 1t   và 3t m  
và bài toán được đưa về bài toán cơ bản đã biết cách giải. 
Lời giải 
Trước hết ta vẽ đồ thị  1C của hàm số  y f x : 
+ Giữ nguyên phần đồ thị  C nằm bên phải trục Oy . 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 13 
+ Bỏ đi phần đồ thị  C nằm bên trái trục Oy . 
+ Lấy đối xứng phần đồ thị  C đã giữ lại qua trục Oy . 
Ta có       
2
1
2 ( ) 3 0
3
f x
f x m f x m
f x m
  
     
 
. 
Từ đồ thị  1C ta có phương trình   1f x   có hai nghiệm là 2, 2x x   . 
Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt 
 phương trình   3f x m  có bốn nghiệm phân biệt khác 2 
 đường thẳng : 3d y m  cắt đồ thị  1C tại bốn điểm phân biệt khác hai điểm A và B 
 1 3 3 0 4m m       . 
Do m nên  1,2,3m . 
Vậy  1,2,3m là các giá trị của tham số m cần tìm. 
Ví dụ 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình  4 22 1x x m  có bốn nghiệm 
phân biệt. 
 Phân tích: Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối 4 22y x x  là hàm số trùng phương nên dễ 
dàng có thể chuyển về hàm bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ  2 0x u u  khi đó bài toán 
được đưa về bài toán cơ bản. 
Lời giải 
Ta đặt  2 0x u u  . 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 14 
 Khi đó, phương trình trở thành  2 2 *u u m  
Để phương trình  1 có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình  * phải có hai nghiệm dương phân 
biệt. 
Ta vẽ đồ thị của hàm số  2 2 0y u u u   , số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ 
thị với đường thằng y m . 
Từ đồ thị suy ra, phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi 1m  . 
Vậy với 1m  thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
Ví dụ 10. Cho phương trình:    22 22 2 2 3 2 0 1x x x x m      . Tìm m để phương trình có 
nghiệm. 
Phân tích: Bài toán rất dễ để tìm được ý tưởng giải quyết là đặt ẩn phụ 2 2 , 0t x x t   khi đó 
phương trình trở thành phương trình bậc hai cô lập được tham số là  2 2 3 2 2t t m   . 
Lời giải 
     2 22 2 2 22 2 2 3 2 0 2 2 2 3 2 1x x x x m x x x x m            
Xét hàm số    22 2: 2 2 2 3,P y x x x x x      
Đặt 2 2 , 0t x x t   . 
Khi đó hàm số:   2 2 3, 0g t t t t    
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 15 
Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị của hàm số   2 2 3, 0g t t t t    , ta thấy phương trình  1 có 
nghiệm 2 2 1m m    . 
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 
23 6 3 18x x x x m        . 
 Phân tích: Về ý tưởng tìm lời giải rất rõ ràng: đặt 3 6t x x    thì phương trình trở 
thành phương trình bậc hai cơ bản. Điều quan trọng trong bài này là phải tìm được miền 
giá trị của t một cách chính xác với điều kiện xác định của x . 
Lời giải 
Điều kiện 3 6x   . 
Đặt 3 6t x x    . 
Với mọi  3;6x  ta có: 
0 3 3
3 3 6 3 3 3
3 6 0
x
x x t
x
              
    
 Với 3t   khi 3x   ; 3t  khi 6x  
 Suy ra  3;3t  . 
Ta có   
2
2 93 18 3 6
2
tx x x x        . 
Phương trình đã cho trở thành 
2
29 2 9 2
2
tt m t t m       * . 
Số nghiệm của phương trình  * bằng số giao điểm của đồ thị hàm số   2 2 9y f t t t    , (với
3 3t   ) và đường thẳng 2y m . 
Xét hàm số   2 2 9f t t t   với 3 3t   có đồ thị như sau 
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình  * có nghiệm t thỏa 3 3t   . 
Dựa vào đồ thị ta có 10 2 6 5 3m m       . 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 16 
Vậy 5 3m   là các giá trị của tham số m cần tìm 
Ví dụ 12. Cho hàm số  y f x có đồ thị  C như hình sau 
 Tìm m để phương trình:  1 2 4 ( 1) 2 2 0f x f x m       có 6 nghiệm phân biệt thuộc đoạn 
 5;1 . 
 Phân tích: 
 Về ý tưởng: Đặt  1 2t f x   phương trình đưa về phương trình bậc hai: 
21 2
2
t t m   . 
 Tìm chính xác miền giá trị của t với  5;1x  . 
 Xác định được với mỗi giá trị của t thỏa mãn điều kiện sẽ cho tương ứng với bao 
nhiêu giá trị của  5;1x  . 
Lời giải 
Từ đồ thị hàm số  y f x  C ta vẽ đồ thị hàm số 
 1 2y f x    C như sau: 
 Tịnh tiến đồ thị  C sang trái 1 đơn vị ta được đồ thị của 
hàm số  1y f x  . 
 Tịnh tiến đồ thị hàm số  1y f x  xuống dưới 2 đơn vị ta 
được đồ thị hàm số  1 2.y f x   
 Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số 
 1 2y f x   qua Ox rồi bỏ phần phía dưới đó đi ta 
được đồ thị  'C của hàm số  ( ) 1 2y g x f x    . 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 17 
 Từ đồ thị    ( 5) 4 2 3C g f      và  (1) 2 2 9g f   . 
Đặt    1 2 , 0;3t f x t    phương trình biểu thị theo t là: 21 2 (1)
2
t t m   
Qua phần đồ thị  'C ứng với  5;1x  ta được mỗi giá trị  0;3t thì phương trình 
 1 2t f x   cho không quá 3 nghiệm  5;1 .x  
Do đó phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thuộc  5;1 khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 
nghiệm phân biệt thuộc 3; 7 
Xét hàm số   21 2
2
y t t t   , ta có bảng biến thiên: 
Qua bảng biến thiên ta được 32 3 ;2
2
m     
 là giá trị cần tìm. 
D. BÀI TẬP VẬN DỤNG 
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Bài 1. Cho hàm số 2 4 2y x x    có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Dựa vào đồ thị tìm các giá trị 
của tham số m để phương trình 2 4 2x x m    có 2 nghiệm phân biệt. 
Bài 2. Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: 2 4 3 0x x m    với  1;3x . 
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 2 3 3 2x x m    có 3 nghiệm. 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 18 
Bài 4. Tìm m để phương trình 2 3 2 1x x m    có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;3 . 
Bài 5. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình sau: 2 6 5x x m   . 
Bài 6. Tìm m để phương trình 2 3 2 2x x m   có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng  1;1 . 
Bài 7. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình 4 22 1 0x x m    . 
Bài 8. Cho hàm số 2 4 3y x x   có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m 
để phương trình 
4
2 3
4 4
x x m   có tám nghiệm phân biệt. 
Bài 9. ( Đề chọn HSG trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa ) Biện luận theo m số nghiệm 
phương trình 2 4 3x x m   
Bài 10. Cho phương trình 4 3 2 2 24 2 12 2 2 3 3 10 0x x x x x x m m          . Tìm m để phương 
trình có nghiệm x thuộc  2;3 . 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
Câu 1. Cho hàm số 2y ax bx c   có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây 
Tập hợp T các gái trị của m để phương trình 2ax bx c m   có nghiệm là 
A.  1;T    . B.  ; 1T    . C.  ; 1T    . D.  1;3T  . 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 19 
Câu 2. Hàm số 2 2 1y x x   có đồ thị như hình bên. Tìm các giá trị m để phương trình 
2 2 0x x m   vô nghiệm. 
A. 2m   . B. 1m   . C. 1m  . D. 1m  . 
Câu 3. Cho hàm số  f x xác định trên  có đồ thị như hình vẽ 
Phương trình  2 1 0f x   có bao nhiêu nghiệm? 
A. 1. B. 3 . C. 2 . D. 4 . 
Câu 4. Cho hàm số   2f x ax bx c   có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tổng tất cả các giá trị 
nguyên của tham số  1;2020m để phương trình   2020 0f x m   có hai nghiệm 
phân biệt. 
x
y
O


A. 2019 . B. 2020 . C. 4039 . D. 6057 . 
Câu 5. Cho parabol   2:P y ax bx c    0a  có đồ thị như hình bên. Số giá trị nguyên của m 
để phương trình 2ax bx c m   có bốn nghiệm phân biệt là 
x
y
1
2
-2
-1
-2 -1 2O 1
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 20 
1
2
3
1 2 3 x
y
1 O23 1
2
3
4 I
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 
Câu 6. Cho hàm số   2f x ax bx c   đồ thị như hình. Hỏi với những giá trị nào của tham số 
thực m thì phương trình   1f x m  có đúng 3 nghiệm phân biệt. 
A. 3m . B. 3m . C. 2m . D. 2 2m   . 
Câu 7. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m 
để đồ thị hàm số  y f x cắt đường 1y m  trên cùng một hệ trục tọa độ tại 4 điểm 
phân biệt là? 
A. 03 m   . B. 0 3m  . C. 1 4m  . D. 21 m   . 
Câu 8. Cho phương trình 2 2 2 1 0x x x m     . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để 
phương trình có 3 nghiệm thực? 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 21 
A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . 
Câu 9. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình vẽ. 
Phương trình    2 2 0f x f x   có bao nhiêu nghiệm? 
A. 2 . B. 6 . C. 8 . D. 7 . 
Bài 10. Cho hàm số   2y f x ax bx c    có đồ thị  C như hình vẽ sau 
Số giá trị nguyên của m để phương trình      2 2 1 0f x m f x m     có 10 
nghiệm phân biệt là 
A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 22 
BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
A D B B B C D C B B 
VIII. Những thông tin cần được bảo mật: Không. 
IX. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
Học sinh lớp 10 khi học Đại số chương II và chương III. 
X. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến 
của tác giả: 
 Học sinh được học theo nội dung trình bày trong sáng kiến sẽ tự tin hơn khi đối mặt với việc 
đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số và đặc biệt là việc ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để 
biện luận số nghiệm của phương trình đại số trong phạm vi kiến thức lớp 10 và bước đầu đã trang bị 
cho học sinh những kỹ năng và phương pháp giải quyết dạng toán về khai thác đồ thị hàm số sau 
này học lớp 12 và ôn thi THPT Quốc Gia. 
 Bản thân giáo viên khi viết đề tài này đã phần nào đó rèn luyện cho mình khả năng nghiên 
cứu khoa học, tìm tòi và phân tích và tổng hợp tài liệu, tăng cường khả năng sáng tác các bài toán 
nói riêng và khả năng sáng tạo nói chung, tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn. 
 Sáng kiến kinh nghiệm sẽ là tài liệu tham khảo về “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để 
giải và biện luận phương trình đại số lớp 10” để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp và truyền đạt 
cho học sinh. 
 Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm này nhưng chắc 
chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp và học sinh chân 
thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị của hàm số bậc hai để biện luận số 
nghiệm của phương trình đại số lớp 10” được hoàn thiện hơn và trở thành một tài liệu hay, hữu ích 
trong việc dạy và học. 
SKKN: Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10 
| 23 
XI. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu: 
STT Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực 
áp dụng sáng kiến 
1 Giáo viên 
Vũ Thị Thanh Nga 
THPT Nguyễn Viết Xuân Bồi dưỡng kiến thức: Ứng 
dụng đồ thị của hàm số bậc 
hai để giải và biện luận 
phương trình đại số lớp 10. 
2 Lớp 10A1, 10A3 THPT Nguyễn Viết Xuân Rèn luyện và nâng cao kiến 
thức: Ứng dụng đồ thị của 
hàm số bậc hai để giải và 
biện luận phương trình đại 
số lớp 10. 
Vĩnh Tường, ngày 12 tháng 02 năm 2020 
Thủ trưởng đơn vị/ 
Chính quyền địa phương 
(Ký tên, đóng dấu) 
Vĩnh Tường, ngày 14 tháng 02 năm 2020 
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ 
(Ký tên, đóng dấu) 
Phạm Thị Hòa 
Vĩnh Tường, ngày 10 tháng 02 năm 2020 
Tác giả sáng kiến 
(Ký, ghi rõ họ tên) 
Vũ Thị Thanh Nga