Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác vào thực hành giải toán

ng trường hơp AD là phân giác góc ngoài của tam giác thì định lý trên vẫn đúng, cách chứng minh tương tự như trên.
3. Định lý về tích chất 3 đường trung tuyến của tam giác. 
Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. 
GT
ABC, 
BM, CN, AP là trung tuyến của ABC
KL
a) 
b) AG = AP;
 BG = BM; 
CG = CN
Chứng minh
Gọi BM và CN là trung tuyến của ABC. BMCN=G.
Nối AG cắt BC tại P. Ta đi chứng minh: P là trung điểm của BC và chứng minh: AG AP.
Theo giả thiết, BM và CN là trung tuyến của ABC SBNC SABC (1) ; 
 SBMC SABC (2)
Từ (1)(2) SBNC = SBMC SBNC - SGBC= SBMC - SGBC SGBN = SGMC (3)
Ta lại có, GM là trung tuyến của GAC SGAM = SGMC (4)
Tương tự, GN là trung tuyến của GAB SGAN = SGBN (5)
Từ (3)(4)(5) SGAM = SGMC = SGAN = SGBN (*)
Do đó: S GMC + SGAM = SGAN + SGBN SGAB = SGAC (6)
Gọi BH, CK là đường cao tương ứng với cạnh đáy AG củaGAB và GAC 
Kết hợp (6) BH = CK 
Xét GPB và GPC có chung đáy GP, hai đường cao tương ứng BH = CK SGPB =SGPC (7)
MàGPB và GPC có chung chiều cao kẻ từ G đến hai đáy PB, PC. 
Kết hợp (7) PB = PC P là trung điểm của BC. 
Do đó AP là trung tuyến của ABC AP, BM, CN đồng quy tại G. (đpcm)
b) Theo câu a) thì GP là đường trung tuyến củaGBC SGBP = SGCP
Mặt khác, SABM = SABP (SABC ) SGBN + SGNA + SGMA = SGNA + SGBN + SGBP SGMA = SGBP (**)
Từ (*)(**)SGAM = SGMC = SGAN = SGBN = SGBP = SGCP SGAM + SGMC = SAPC SGAC = SAPC 
 CK.AG = .CK.AP AG = AP.
Tương tự ta cũng chứng minh được: BG = BM; CG = CN (đpcm)
4. Định lý về đường trung bình trong tam giác. 
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. 
 ABC
 GT MA = MB (MAB)
 dAB=M; dAC=N; d//BC 
 KL NA = NB	
Chứng minh
Nối CM và BN. CM là trung tuyến của ABC SMBC = SMAC = SABC (1)
MBC và NBC có chung cạnh đáy BC và đỉnh thứ 3 M, N nằm trên đường thẳng song song với đáy chung BC SMBC = SNBC (2)
Từ (1)(2) SNBC = SABC , mà SNBC + SABN = SABC
 SNBC = SABN = SABC BN phải là trung tuyến của ABC N là trung điểm của AC (đpcm)
Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài cạnh ấy.
 ABC
 GT MA = MB (EAB) 
 NA = NC (FAC)
 KL a) MN//BC
 b) MN = 
Chứng minh
a) Nối CM, BN. 
MH và NK lần lượt là đường cao của BMC và BNC
Do CM, BN là trung tuyến của ABC SBCM = SBCN = SABC
Mặt khác, BCM và BCN có chung đáy BC MH = NK (2 đường cao ứng với đáy BC chung)
Tứ giác MNKH là hình chữ nhật MN//BC (đpcm)
b) Do CM là trung tuyến của ABC SAMC = SABC (1)
MN là trung tuyến của AMC SMNC = SAMC (2)
Từ (1)(2) SMNC =SABC (3)
Mặt khác, BN là trung tuyến của ABC SBCN = SABC (4)
Từ (3)(4) SMNC = SBCN
DoMNC và BCN có đường cao tương ứng với 2 đáy MN và BC bằng nhau(Vì MN//BC)
 MN = BC (đpcm)
5. Định lý về tính chất của hình bình hành và dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Định lý1: Mỗi đường chéo của hình bình hành chia hình bình hành thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau. (định lý thuận)
(Dễ dàng chứng minh được dựa vào tính chất của hình bình hành và công thức tính diện tích tam giác)
Định lý 2: Tứ giác có mỗi đường chéo chia tứ giác ra làm 2 tam giác có diện tích bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.(định lý đảo) 
	 Tứ giác ABCD
 GT	 ACBD=I
 SADB = SCDB; SDAC = SBAC	
 KL ABCD là hình bình hành
 Chứng minh
Gọi ACBD = I
Gọi diện tích các ADI, ABI, DCI, BCI là x, y, x', y'.
Theo giả thiết, ta có: 
Lấy vế trừ đi vế của pt (1)(2)y - x' = x' - y
Đẳng thức trên chỉ đúng khi: x' = y SDCI = SABI (3) 
Ta chứng minh tương tự: x = y' SADI = SBCI (4)
Gọi AM, CN lần lượt là đường cao của ABD, CBD
Do SABD = SCBD (5)
Kết hợp (3) và (5) ta có: SDCI = SABI 
Tương tự ta chứng minh được: AI = CI 
 ABCD là hình bình hành.(dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)
6. Định lý về các hệ thức trong tam giác vuông.
Định lý: Trong tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.
 ABC, 
 GT AHBC; (HBC)
 AH = h; BC=a; AB =c;AC = b
 KL 
Chứng minh
Ta có: SABC= 
Do ABC vuông tại A, theo định lý Pytago, ta có: (1)
Ta lại có: SABC= (2)
Từ (1)(2) (đpcm)
Trên đây chúng ta đã sử dụng công thức diện tích để chứng minh một số định lý trong sách giáo khoa, Tương tự, các em hãy chứng minh một số định lý như:
7. Định lý về tích chất của hình thang .
Định lý: Chứng minh rằng trong hình thang, các đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh đáy (không bằng nhau) đồng quy.
8. Định lý về đường trung bình của hình thang.
Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh bên của hình thang và song song với hai cạnh đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. 
Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
9. Định lý về tính chất của hình bình hành và dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Định lý 1: Trong hình bình hành, giao điểm của hai đường chéo trùng với giao điểm các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện. 
Định lý 2: Nếu tứ giác có giao điểm các đường chéo trùng với giao điểm các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện thì tứ giác đó là hình bình hành.
10.Định lý về mối quan hệ của các cạnh trong tam giác vuông.
Trong ABC vuông tại A, có AB = c; AC = b; BC = a; AH = h
a) b.c = a.h b) h2 = b'.c' c) a2 + b2 = c2
CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀO MỘT SỐ DẠNG TOÁN.
Công thức diện tích cho ta các quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng. Trong một số dạng toán, sử dụng công thức diện tích để biểu diễn các mối quan hệ giữa các đoạn thẳng lại là phương pháp tỏ ra hiệu quả, nhất là các bài toán có mối quan hệ chặt chẽ giữa đường cao, các cạnh với cái cần phải chứng minh. Tôi sẽ đưa ra một số dạng toán để thấy được các ưu điểm đó của phương pháp diện tích. 
DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO 1 ĐIỂM DI ĐỘNG.
Bài toán 1: Cho tam giác đều ABC, chứng minh rằng tổng khoảng cách từ 1 điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC đến ba cạnh của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
Giải 
Gọi MP, MQ, MR lần lượt là khoảng cách từ 
điểm M đến BC, AC, AB.
Ta có: SMAB + SMAC + SMBC =SABC 
(M thuộc miền trong của ABC)
 ( Do ABC đều AB = BC = AC)
 RM + MQ + MP = AH (không đổi) (đpcm)
Cách 2: 
Qua M kẻ đường song song với BC cắt AB, AH, AC lần lượt tại B', H', C'.
Ta có: MP = HH' (1)
MR + MQ = B'I = AH' (2)
Cộng vế với vế (1)(2) ta được: RM + MQ + MP = AH' + HH' = AH (không đổi) (đpcm)
Nhận xét: Các em quan sát hai cách giải trên, chắc chắn các em sẽ thấy được ưu điểm của phương pháp diện tích. Với công thức quen thuộc, chúng ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các cạnh mà không cần vẽ thêm những yếu tố phụ. Để rõ hơn, các em hãy xét bài toán tổng quát sau:
Bài toán: Chứng minh tổng khoảng cách từ 1 điểm thuộc miền trong của một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau(vd:hình thoi) hoặc 1 đa giác có các góc bằng nhau(vd: hình chữ nhật) đến các cạnh của nó không phụ thuộc vị trí của điểm ấy.
Việc chứng minh bài toán tổng quát này theo cách hai là khó vì việc vẽ đường phụ bây giờ là không khả thi, sử dụng phương pháp diện tích thì việc chứng minh trở thành rất đơn giản.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Từ D kẻ đường DE, DF lần lượt vuông góc với AC, AB. Chứng minh: Tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên BC.
Giải 
Muốn chứng minh DE + DF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D ta chứng minh nó luôn luôn bằng 1 đại lượng không đổi.
Cách 1: Phương pháp diện tích.
Kẻ đường cao CK của ABC. 
Ta có: SABD + SACD = SABC
 AB.DF + AC.DE = AC.CK
Do AB = AC (gt) ( DE + DF ).AC = AC.CK DE + DF = CK
CK luôn không đổi DE + DF không đổi (đpcm)
Cách 2: 
Kẻ đường cao CK của ABC. Từ D kẻ DICK (ICK)
Tứ giác DIKF là hình chữ nhật DF = IK (1) 
Mặt khác, Xét 2 DCE và CDI, có:
; Cạnh DC chung; ()
 DCE = CDI (cạnh huyền-góc nhọn) 
 DE = CI (2 cạnh tương ứng) (2)
Cộng vế với vế(1)(2), ta được: DE + DF = CI + IK = CK(không đổi)
Nhận xét: Qua 2 cách trên, ưu điểm của phương pháp diện tích là dễ thấy, bằng phương pháp diện tích chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy mối liên hệ của độ dài các đoạn thẳng bằng công thức quen thuộc mà không cần các yếu tố phụ. 
Bài toán 3: Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC thứ tự ở A', B', C'. Chứng minh:
a) 
b) ( bài toán của Giecgôn, nhà toán học Pháp)
Giải 
a) Kẻ đường cao AH của ABC, OI là đường cao của OBC. 	
Ta có: AH//OI (cùng vuông với BC)
A'OI∽?A'AH (1)
Mặt khác, (2)
Từ (1)(2) (3)
Chứng minh tương tự ta được: (4); (5)
Cộng vế với vế của (3)(4)(5), ta được: 
Vậy (đpcm)
b) Theo câu a), (3)
Ta cũng chứng minh được: (6)
Từ (3)(6)(7)
Tương tự ta cũng chứng minh được: (8); (9)
Cộng vế với vế của (7)(8)(9) (đpcm) 
Bài toán 4: Cho góc xOy và điểm M ở trong góc đó. Vẽ qua M một cát tuyến bất kì cắt hai cạnh của góc ở A và B (AOx , BOy). Gọi h1 là khoảng cách từ A đến OM, h2 là khoảng cách từ B đến OM. 
Chứng minh: () không đổi.
Giải: Vẽ MP//Oy(POx) 
Vẽ MQOx(QOx); MNOy(NOy)
Ta có: SOMA = (1); SOMP = (2)
Chia cả hai vế (1) cho (2), ta có: (1).Tương tự: (2)
Do BOy MP//OB (Theo Talet) (3)
Từ (1)(2)(3) 
Do OMP cố định SOMP cố định cố định A= cố định
Mặt khác, SOMA =h1.OM ; SOMB =h2.OM
 A==
Do A cố định, OM cố định cố định (đpcm).
Bài tập tương tự: 
Bài toán 1: Cho tam giác đều ABC, chứng minh rằng tổng khoảng cách từ 1 điểm M thuộc miền trong của tam giác ABC đến ba cạnh của nó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. 
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Từ D kẻ đường DE, DF lần lượt vuông góc với AC, AB. Chứng minh: Tổng DE + DF không phụ thuộc vào vị trí của điểm D trên BC.
Bài toán 3: Cho điểm O thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC thứ tự ở A', B', C'. Chứng minh:
a) . Tìm vị trí của O để M có giá trị bé nhất. 
b) . Tìm vị trí của O để N có giá trị bé nhất. 
Bài toán 4: Cho tam giác đều ABC, các đường cao AD, BE, CF. Gọi A', B', C' thứ tự là hình chiếu của M(nằm bên trong tam giác ABC) trên AD, BE, CF. Chứng minh khi M thay đổi thì:
a) Tổng A'D + B'E + C'F không đổi.
b) Tổng AA' + BB' + CC' không đổi.
DẠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH.
Bài toán 1: Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao tương ứng với cạnh lớn sẽ có độ dài nhỏ hơn chiều cao tương ứng với cạnh nhỏ. 
Giải 
Cách 1: Phương pháp diện tích.
Giả sử trong ABC có AB > AC. 
BH, CK là các đường cao của ABC. 
Ta phải chứng minh: BH > CK.
Thật vậy, ta có: SABC= . 
Do AB > AC BH > CK (đpcm)
Cách 2: 
Giả sử trong ABC có AB > AC. Lâý DAB sao cho AD = AC. DI, CK là hai đường cao của ACD. 
Do ACD cân tại A (AD = AC) 
DI = CK (2 đ ường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau) (1)
Gọi BH là đường cao của ABC, Kẻ DJHB (JHB)
Vì D nằm giữa 2 điểm A, B nên điểm J nằm giữa 2 điểm H, B. Do vậy, ta có: HJ < BH (2)
Mặt khác, tứ giác DIHJ là hình chữ nhật nên: DI = HJ (3)
Từ (1)(2)(3) BH > CK (đpcm)
Nhận xét: So sánh 2 cách giải trên, chúng ta sẽ thấy ưu điểm vượt trội của phương pháp diện tích, với phương pháp diện tích chúng ta dễ dàng lập được các mối liên hệ của các cạnh trong tam giác. 
Bài toán 2: Cho hình bình hành ABCD. Lấy 1 điểm M trên cạnh BC và 1 điểm N trên cạnh AB sao cho AM = CN. Chứng minh rằng đỉnh D của hình bình hành cách đều 2 đường thẳng AM, CN. 
Giải 
Gọi DI là đường cao của DNC, DK là đường cao của DAM. 
Do ABCD là hình bình hành AB//CD SCDN = SCDA (1)
M
(đỉnh thứ 3 A và N của hai tam giác nằm trên đường thẳng
song song với đáy chung DC) 
Tương tự ta cũng chứng minh được: SADM = SCDA (2)	
Từ (1)(2) SCDN = SADM (= SCAD) DI.NC = DK.AM (3)
Theo giả thuyết, AM = CN, kết hợp (3) ta có: DK = DI (đpcm)
Bài toán 3: Tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c, các chiều cao tương ứng là ha, hb, hc. Biết rằng a + ha = b + hb = c + hc. Chứng minh tam giác ABC đều. 
Giải
Áp dụng công thức diện tích tam giác: 
SABC = ha=; hb= 
 Do a + ha = b + hb 
a - b = hb - ha 
a - b = - 
a - b =
a - b =
(a - b)( =0
ABC cân ở C hoặc vuông ở C (1)
Tương tự, ABC cân ở B hoặc vuông ở B (2); ABC cân ở A hoặc vuông ở A (3)
Xảy ra cả (1)(2)(3) ABC đều.(đpcm)
Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A; AB = c; AC = b; AM là đường phân giác của ABC. Gọi khoảng cách từ M đến AC là d. Chứng minh: 
Giải 
Gọi N, K lần lượt là hình chiếu của M lên AC, AB. 
Theo bài ra, MN =d. 
Do M nằm trên phân giác góc A nên:
 MN = MK = d (tính chất đường phân giác)
Ta có: SABM =MK.AB =d.c; 
 SACM =MN.AC =d.b;
 SABC =AB.AC =b.c
Mà: SABC = SABM + SACM d.c +d.b =b.c d.c + d.b = b.c (1)
Chia hai vế (1) cho d.b.c, ta được: (đpcm)
Bài toán 5: Các điểm E, F nằm trên các cạnh AB, BC của hình bình hành ABCD sao cho AF = CE. Gọi I là giao điểm của AF, CE. Chứng minh: ID là tia phân giác của góc AIC. 
Giải 
Do AB//CD. EAB.
Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành ta dễ chứng minh được: 
SEDC=SABCD (1).
Tương tự ta cũng chứng minh được: SADF = SABCD (2)
Từ (1)(2) SEDC = SADF (3)
Gọi DH, DK lần lượt là đường cao của ADF và EDC. Từ (3) 
DH.AF = DK.EC 
Mặt khác, AF = CE (gt) DH = DK 
D nằm trên tia phân giác góc AIC (tính chất tia phân giác một góc) DI là tia phân giác góc AIC.
Bài toán 6:Trong tam giác ABC , có AB=c; AC=b; BC=a; Gọi ha; hb lần lượt là hai đường cao ứng với cạnh BC và AC. Chứng minh nếu a > b thì a + ha b + hb 
Hãy xác định khi nào dấu xảy ra.
Giải 
Ta có: SABC = a.ha = b.hb 2.SABC = a.ha = b.hb 
 ; 
Do ha b(đường xiên luôn lớn hơn đường vuông góc) 
 2.SABC a.b 1 (1)
Ta có: a + ha - (b + hb) = a + - (b + ) = (a - b) + 
 = (a - b)(1 - ) 
Do a - b > 0 (gt) (2)
Ta lại có: (Xem công thức trong phần II, chương II, dạng I)
 1 - = 0 (3)
Từ (1)(2) (a - b)(1 - ) 0 
 a + ha - (b + hb) 0
 a + ha b + hb
Dấu đẳng thức xảy ra khi 2.S=a.b tức S = 
 Hai cạnh đã có độ dài là a và b phải vuông góc với nhau, hay ABC vuông tại C.
Bài tập tương tự:
Bài toán 1: Tam giác ABC có BC bằng trung bình cộng của hai cạnh còn lại. Gọi I là giao điểm các phân giác, G là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: IG//BC.
Bài toán 2: Cho điểm M thuộc miền trong tam giác ABC. Gọi x, y, z thứ tự là các khoảng cách từ M đến các cạnh BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh:
a) a. MA by + cz
b) a. MA bz + cy
c) MA + MB + MC 2( x + y + z )
Bài toán 3: Trong tam giác đều ABC, vẽ các đoạn AK, BL, CM và được các diện tích các PQR, AMP, BKQ, CLR tương ứng là S0, S1 , S2 , S3 với: S0 = S1 + S2 + S3 
Chứng minh: AM + BK + CL = AB
DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN.
I. XÂY DỰNG CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC.
1. Công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh. ( Công thức hêrông)
a. Xây dựng công thứcvới 
ABC có: AB = c; AC = b; BC = a. 
Kẻ đường cao AH của ABC. 
Gọi HB = x HC = BC - HB = a - x
Xét AHB vuông tại H, ta có: 
AH2 = c2 - x2 ( Đl Pytago) (1)
Xét AHC vuông tại H, ta có:
AH2 = b2 - ( a - x )2 (2)	
Từ (1)(2) c2 - x2 = b2 - ( a - x )2 = b2 - a2 - x2 + 2ax 
 (3)
Mặt khác, SABC = BC.AH 
Theo (2) (4)
Thay (3) vào (4) ta có: 
Đặt: , ta có: 
	với 
b.Ứng dụng.
Bài toán: Tính diện tích hình thang ABCD khi biết độ dài 4 cạnh của nó: AB =8cm; BC=7cm; CD=13cm; DA=4cm .
Giải
Từ A kẻ AM//BC(MDC), tứ giác ABCM là hình bình hành AB = MC = 8cm; AM = BC = 7cm
AH là đường cao của ADM, áp dụng công thức Hêrông vào ADM, ta có:
SADM = = với p = (cm)
 SADM = (cm2)
Mà SADM = AH.DM AH = = (cm)
SABCD = (cm2)
2. Công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài 2 cạnh và góc xen giữa. 
a. Xây dựng công thức: SABC = 
Tam giác ABC có: AB = c; AC = b; BC = a.
Kẻ đường cao AH của ABC
Trong AHB vuông tại H, ta có:	 
sinB = AH = AB. sinB = c. sinB
Ta có: SABC = 	
Tương tự: SABC = ; SABC=	 
Vậy: SABC =
b. Ứng dụng: 
Bài toán: Cho ABC nội tiếp (O,R) với AB = c; BC = a; AC = b.Chứng minh: 
Giải
a có: SABC = 
 b.c.sinA = a.c.sinB = a.b.sinC 
Chia đẳng thức trên cho a.b.c ta được: 
 (đpcm)	 
 C
3. Công thức tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Xây dựng công thức: SABC =
Gọi (O,R) là đường tròn ngoại tiếp tiếp tam giác ABC. 
AB = c; AC = b; BC = a. Đường cao AH = ha
Vẽ đường kính AD AD = 2R.
Xét ABH và ADC, có: 
 ( Do góc nội tiếp C chắn nửa đường tròn);	 
 (cùng chắn cung AC) 
ABH∽ADC (g.g) ha = (1)
Ta lại có: SABC = AH.BC = ha.a.
 Thay (1) vào ta được: SABC = 
4. Công thức tính diện tích tam giác khi biết ba cạnh và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.
Xây dựng công thức: SABC = p.r Với p = 	 
Goi (O,r) là đường trong nội tiếp tam giác ABC.
AB = c; AC = b; BC = a.
Gọi N, M, K lần lượt là hình chiếu của O lên AC, AB, BC. 
Ta có: OM = ON = OK
SAOC = ON.AC =r.b ;	 
 SAOB = OM.AB =r.c; 
 SBOC = OK.BC =r.a
SABC = SAOC + SAOB + SBOC = r.(a+b+c) = p.r (Với p = )
II. ỨNG DỤNG CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC VÀO CÁC BÀI TOÁN TÍNH TOÁN.
Đối với các bài toán về tính toán, hầu như việc vận dụng công thức của các em học sinh THCS đang còn bị bó hẹp trong những công thức thường gặp, vì vậy khi vận dụng vào làm bài tập các em thường gặp rất nhiều khó khăn. Thông qua việc xây dựng thêm một số công thức làm cho việc sử dụng công thức tính diện tích tam giác không còn bị bó hẹp nữa. Các em hãy quan sát những ví dụ sau để thấy được ứng dụng của các công thức đó vào trong thực hành giải toán.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có: AB = c = 4 cm; AC = b = 6 cm; ha, hb, hc là độ dài ba đường cao của tam giác ứng với ba cạnh BC, AC, AB và . Tính độ dài cạnh BC.
	Giải	
Ta có: SABC =
 ; ; 
Ta lại có: (gt) 
 (cm)
Vậy độ dài cạnh BC là 4,8 cm.
Bài toán 2: Tam giác ABC có ba cạnh AB = c= 26 cm; AC=b=28 cm; BC=a=30 cm. Tính chiều cao ứng với cạnh AC. 
Giải
Áp dụng công thức Hêrông vào ABCkhi biết độ dài 3 cạnh, ta có: 
 Với
 (cm2) 
Áp dụng công thức tính diện tích ABC: 
SABC=(cm) 
Vậy chiều cao ứng với cạnh AC là 24 cm. 
Bài toán 3: Tính diện tích tam giác ABC biết ba trung tuyến của tam giác có độ dài là: 
AD = 30 cm; BM = 51 cm; CN = 63 cm. 
Giải
Gọi G là trọng tâm của ABC
Lấy K đối xứng với G qua điểm D 
 GK = AG = AD =.30 = 20 (cm)
BG = BM=.51= 34 (cm) (gt)
C
Vì G là trung điểm của AK NG là đường trung bình của ABK
 BK= 2.NG = 2. .NC=2. .63= 42 (cm) 
Áp dụng công thức Hêrông vào trong BGK khi biết ba cạnh tam giác, ta có:
 Với
 (cm2)
Dễ dàng chứng minh được: SBGK = SBGC = SAGC = SAGB = 336 (cm2) 
(xem chứng minh chương I, mục I)
SABC = 3.336 = 1008 (cm2)
Bài toán 4: Có tam giác nào mà độ dài ba đường cao bằng 3 cm, 4cm, 7cm không?
Giải
Giả sử cóABC có độ dài ba đường cao tương ứng với ba cạnh AB=c, AC=b, BC=a là: hc=3cm, hb=4cm, ha=7cm. Do ha > hb > hc a < b < c(Theo bài toán 1, phần II, chương II, dạng II) (1)
Ta lại có: SABC = 
 ; ; 
Ta đi so sánh a + b và c: 
a + b = (1)
 (2)
Từ (1)(2) a + b > c ( do )
Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác thì tồn tại ABC điều giả sử đó là đúng.
Vậy Có tam giác nào mà độ dài ba đường cao bằng 3 cm, 4cm, 7cm . 
Bài tập tương tự:
Bài toán 1: Tính diện tích hình thang biết:
a) Hai đáy 16 cm và 44 cm; Hai cạnh bên 17 cm và 25 cm.
b) Hai đáy 10 cm và 14 cm; Hai cạnh bên 13 cm và 15 cm.
Bài toán 2: Tính diện tích của một tam giác cân có chiều cao ứng với cạnh đáy bằng 10 cm, chiều cao ứng với cạnh bên bằng 12 cm.
PHẦN III. KẾT LUẬN.
Một bài toán nói chung có thể có nhiều cách giải. Khi đứng trước một bài toán đòi hỏi chúng ta phải lựa chọn cho mình một phương pháp sao cho thật ngắn gọn, chính xác và độc đáo. Và đề tài: “ Ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác vào thực hành giải toán ” cũng không nằm ngoài mục đích đó. Thông qua đề tài này, tôi muốn cung cấp cho các em 1 phương pháp giải không phải là mới nhưng tương đối lạ với các em. Tuy nhiên, do thời gian quá ngắn tôi chưa thể tìm hiểu hết các ứng dụng của công thức tính diện tích tam giác vào thực hành giải toán, vì vậy đề tài này còn nhiều thiếu sót. Mong các em cùng góp ý để tôi hoàn thành tốt đề tài này. 
Tôi xin chân thành cảm ơn./...
NGƯỜI VIẾT
PHẠM DUY THƯƠNG