Sáng kiến kinh nghiệm Tìm hiểu một số bài toán về số và chữ số trong chương trình toán Tiểu học

y víi c¸c sè 7, 8, 9 ë hµng ngh×n.
VËy ta cã sè c¸c sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau lµ : 6 x 4 = 24 (sè)
Ngoµi nh÷ng bµi to¸n t×m sè c¸c sè mµ ch÷ sè kh¸c nhau ra th× chóng ta cßn gÆp nh÷ng bµi to¸n t×m sè c¸c sè mµ c¸c ch÷ sè kh«ng cÇn kh¸c nhau.
Bµi to¸n 2: cho 4 ch÷ sè 1, 2, 3, 4 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã hai ch÷ sè tõ 4 ch÷ sè trªn?
Bµi gi¶i
Sö dông s¬ ®å c©y ta cã: nÕu ®Æt ch÷ sè 1 ë vÞ trÝ hµng chôc th× hµng ®¬n vÞ sÏ lµ mét sè trong 4 ch÷ sè: 1, 2, 3, 4 khi ®ã ta cã s¬ ®å sau:
 1 1 1 1
 2 2 2 2
 1 2 3 4
 3 3 3 3
 4 4 4 4
VËy sè c¸c sè cã hai ch÷ sè lµ : 4 x 4 =16 (sè)
2. Bµi to¸n t×m sè l­îng c¸c sè tháa m·n yªu cÇu kh¸c.
2.1. Bµi to¸n t×m sè l­îng c¸c sè tháa m·n tÝnh ch½n, lÎ.
Bµi to¸n 1: Víi 7 ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 em viÕt ®­îc bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè tháa m·n mét vµ chØ mét ®iÒu kiÖn trong c¸c ®iÒu kiÖn sau :
a. lµ sè ch½n 
b. lµ sè lÎ 
Bµi gi¶i
a. Gäi sè cã 4 ch÷ sè lµ abcd (a ≠ 0) 
V× abcd lµ sè ch½n nªn cã 3 c¸ch chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ (lµ mét trong 3 ch÷ sè 2, 4, 6)
Sè c¸ch chän ch÷ sè hµng ngh×n lµ 7 c¸ch .
Sè c¸ch chän ch÷ sè hµng tr¨m lµ 7 c¸ch.
Sè c¸ch chän ch÷ sè hµng chôc lµ 7 c¸ch.
VËy c¸c sè cã 4 ch÷ sè vµ lµ sè ch½n lµ :
 3 x 7 x 7 x 7 =1029 (sè)
b. Gäi sè cã 4 ch÷ sè lµ: abcd (a ≠ 0)
V× abcd lµ sè lÎ nªn sè c¸ch chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 4 c¸ch (lµ mét trong 4 ch÷ sè 1, 3, 5, 7) 
sè c¸ch chän ch÷ sè hµng ngh×n lµ 7 c¸ch.
Sè c¸ch chän ch÷ sè hµng tr¨m lµ 7 c¸ch.
Sè c¸ch chän ch÷ sè hµng chôc lµ 7 c¸ch.
VËy tÊt c¶ sè cã c¸c sè cã 4 ch÷ sè vµ lµ sè lÎ lµ :
4 x 7 x 7 x 7 =1372 (sè)
2.2. Bµi to¸n t×m sè l­îng c¸c sè tháa m·n tÝnh chÊt chia hÕt.
Bµi to¸n. cã 5 ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 hái cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau v× chia hÕt cho 5?
Bµi gi¶i
Gäi sè cã 4 ch÷ sè klh¸c nhau vµ chia hÕt cho 5 lµ abcd (a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d)
V× abcd lµ sè chia hÕt cho 5 suy ra chØ cã mét c¸ch chän ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 5 .
Sè c¸ch chän ch÷ sè hµng chôc lµ 4 c¸ch.
øng víi mçi c¸ch chän ch÷ sè hµng chôc chØ cßn 3 c¸ch chän ch÷ sè hµng tr¨m.
øng víi mçi c¸ch chän ch÷ sè hµng tr¨m cã 2 c¸ch chän ch÷ sè hµng ngh×n.
VËy sè c¸c sè tháa m·n ®Ò bµi lµ.
1 x 4 x 3 x 2 =24 (sè)
2.3. Bµi to¸n t×m sè c¸c sè mµ c¸c ch÷ sè s¾p xÕp theo thø tù t¨ng dÇn hoÆc gi¶m dÇn. 
Bµi to¸n 1: cho 5 ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 hái cã thÎ lËp ®­îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau mµ c¸c ch÷ sè gi¶m dÇn theo thø tù tõ tr¸i qua ph¶i? 
Bµi gi¶i
Gäi sè cã 3 ch÷ sè s¾p theo thø tù gi¶m dÇn tõ tr¸i qua ph¶i lµ abc (a ≠ 0, a > b > c)
V× abc cã a > b > c nªn a chØ cã thÓ lµ mét trong 3 ch÷ sè 3, 4, 5 
VËy ta ®Æt lÇn l­ît ch÷ sè 3, 4, 5 vµo vÞ trÝ hµng tr¨m ta viÕt ®­îc c¸c sè sau tháa m·n yªu cÇu:
543, 542, 541, 532, 531, 521, 432, 431, 421, 321
VËy sè c¸c sè cã 3 ch÷ sè tháa m·n ®Ò bµi lµ 10 sè. 
3. Mét sè bµi to¸n kh¸c.
Bµi to¸n 1. Cã bao nhiªu sè cã bèn ch÷ sè mµ tæng cña bèn ch÷ sè ®ã lµ ch½n?
Bµi gi¶i
Gäi abcd (a ≠ 0 ) lµ sè gåm bèn ch÷ sè mµ a + b + c + d lµ sè ch½n.
Cã chÝn c¸ch chän ch÷ sè a (lµ mét trong nh÷ng ch÷ sè kh¸c 0)
Cã 10 c¸ch chän ch÷ sè b (lµ mét trong 10 ch÷ sè)
Cã 10 c¸ch chän ch÷ sè c (lµ mét trong 10 ch÷ sè)
VËy sè c¸ch chän 3 ch÷ sè a, b, c lµ 9 x 10 x 10 = 900 (c¸ch)
§Ó tæng a + b + c + d lµ sè ch½n :
NÕu a + b +c lµ sè lÎ th× ph¶i chän d lµ ch÷ sè lÎ, suy ra cã 5 c¸ch chän ch÷ sè d (lµ mét trong c¸c ch÷ sè : 1, 3, 5, 7, 9)
NÕu a + b + c + d lµ sè ch½n th× ph¶i chän d lµ sè ch½n, suy ra cã 5 c¸ch chän d (lµ mét trong c¸c ch÷ sè 0, 2, 4, 6, 8)
VËy mçi c¸ch chän 3 ch÷ sè a, b, c th× cã 5 c¸ch chän ch÷ sè d suy ra c¸c sè gåm cã 4 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè lµ mét sè ch½n lµ : 900 x 5 = 4500 (sè)
III. Bµi to¸n t×m sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cho tr­íc.
1. Bµi to¸n t×m hai sè khi biÕt tæng vµ hiÖu cña hai sè ®ã.
Bµi to¸n 1. T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 55 vµ hiÖu cña chóng b»ng 15?
Bµi gi¶i
Khi gi¶i bµi bµi to¸n nµy th× ta cÇn ph©n tÝch bµi to¸n nh­ sau :
- NÕu ta gi¶ thiÕt sè lín gi¶m ®i 15 ®¬n vÞ th× hai sè sÏ b»ng nhau (®Òu b»ng sè bÐ). B­íc nµy thùc chÊt ta biÓu diÔn sè lín theo sè bÐ.
- Nh­ vËy tæng sÏ gi¶m ®i 15 ®¬n vÞ vµ tæng nµy b»ng hai lÇn sè bÐ.
- Tõ ®©y ta t×m ®­îc sè bÐ
- LÊy sè bÐ céng víi hiÖu hai sè ta ®­îc sè lín.
T­¬ng tù nÕu ta gi¶ thiÕt sè bÐ t¨ng thªm 15 ®¬n vÞ th× ta sÏ ®­îc c¸ch gi¶i thø hai.
Tõ ph©n tÝch trªn ta ®i ®Õn lêi gi¶i cña bµi to¸n :
C¸ch 1. Ta cã s¬ ®å sau :
Sè bÐ 
 15 55 
Sè lín 
Sè bÐ lµ : (55 - 15) : 2 = 20.
Sè lín lµ 20 + 15 = 35.
§¸p sè : 20 vµ 35.
Ngoµi ra ta cßn cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c.
Bµi to¸n 2. Tæng cña 3 sè lÎ liªn tiÕp b»ng 51. T×m ba sè ®ã?
Bµi gi¶i.
Ph©n tÝch : NÕu ta gi¶i sè thø hai gi¶m ®i hai ®¬n vÞ vµ sè thø ba (sè lín nhÊt) gi¶m ®i 4 ®¬n vÞ th× ba sè sÏ b»ng nhau (®Òu b»ng sè bÐ nhÊt). B­íc nµy thùc chÊt lµ ta biÓu diÔn sè thø hai vµ sè thø ba qua sè bÐ nhÊt.
- Nh­ vËy tæng cña ba sè sÏ gi¶m ®i 2 + 4 = 6 (®¬n vÞ) vµ tæng nµy b»ng 3 lÇn sè bÐ nhÊt.
- Tõ ®©y ta t×m ®­îc sè bÐ nhÊt.
LÊy sè bÐ nhÊt céng víi hai ta ®­îc sè thø hai, céng víi 4 ta ®­îc sè thø ba.
T­¬ng tù ta gi¶ thiÕt sè thø nhÊt t¨ng thªm 4 ®¬n vÞ, sè thø hai t¨ng thªm hai ®¬n vÞ th× ta sÏ cã c¸ch gi¶i thø hai.
- NÕu ta gi¶ thiÕt sè thø nhÊt t¨ng thªm 2 ®¬n vÞ, sè thø 3 gi¶m ®i 2 ®¬n vÞ th× dÉn ®Õn c¸ch gi¶i thø ba.
Tõ c¸ch ph©n tÝch trªn ta cã mét trong nh÷ng c¸ch gi¶i sau.
Ta cã s¬ ®å 
Sè thø nhÊt : 
 2
Sè thø hai 51
 2 2
Sè thø ba 
Sè bÐ nhÊt lµ : [ 51 – (2 + 2 + 2)] : 3 = 15.
Sè thø hai lµ : 15 + 2 = 17.
Sè thø ba lµ : 17 + 2 = 19.
 	 	§¸p sè : 15, 17 , 19.
	2. C¸c bµi to¸n vÒ sè tù nhiªn tæng, hiÖu, tÝch, th­¬ng c¸c ch÷ sè cña nã.
	Bµi to¸n 1. T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 21 lÇn hiÖu cña ch÷ sè hµng chôc trõ ®i sè hµng ®¬n vÞ.
	Bµi gi¶i
	Gäi sè cÇn t×m ab ( a ≠ 0, a > b; a,b < 10)
	Theo bµi ra ta cã : ab = 21 x (a – b)
	 	 a x 10 + b = 21 x a – 21 x b (cÊu t¹o sè)
	 21 x a = a x 10 + b + 21 x b (t×m sè bÞ trõ)
	 11 x a = b x 1 + 21 x b (cïng bít ®i a x 10)
	 a x 11 = 22 x b.
	 a = 2 x b (cïng chia cho 11)
	VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Çu bµi lµ : 21, 42, 63, 84.
	 §¸p sè : 21, 42, 63, 84.
	Bµi to¸n 2. T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 3 lÇn tÝch c¸c ch÷ sè cña nã?
	Bµi gi¶i
	Gäi sè cÇn t×m lµ ab (a ≠ 0, b ≠ 0; a,b < 10)
	Theo bµi ra ta cã : ab = a x b x 3
	 a x 10 + b = a x b x 3 (cÊu t¹o sè)
	V× a x 10 + b > a x 10 nªn a x b x 3 > a x 10; do ®ã b > 3.
	NÕu b = 4 th× a x 10 + 4 = a x 4 x 3 = a x 12
	 a x 10 + 4 = a x 10 + a x 2.
 4 = a x 2 
 	 a = 4 : 2.
	 a = 2
	Khi ®ã ab = 24.
	Thö l¹i : 2 x 4 x 3 = 24 (®óng víi ®Çu bµi)
	NÕu b = 5 th× a x 10 + 5 = a x 5 x 3 = a x 15
	 a x 10 + 5 = a x 10 + a x 5
 	 5 = a x 5.
	 	 a = 5 : 5
 	 	 a = 1
	Khi ®ã ab = 15
	Thö l¹i 1 x 5 x 3 = 15 ®óng víi ®Çu bµi.
	- NÕu b = 6 th× a x 10 + 6 = a x 6 x 3 = a x 18
	 a x 10 + 6 = a x 10 + a x 8
	 6 = a x 8 
	 a = 6 : 8
	 a = 6/8 kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn nªn lo¹i
	- NÕu b = 7 th× a x 10 + 7 = a x 7 x 3
	 a x 10 + 7 = a x 21
	 11 x a = 7
	 a = 7/11 kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn nªn lo¹i
	- NÕu b = 8 th× a x 10 + 8 = a x 8 x 3
	 a x 10 + 8 = a x 4
	 14 x a = 8 
 	 a = 8/14
	 8/14 kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn nªn lo¹i.
- NÕu b = 9 th× a x 10 + 9 = a x 9 x 3
 a x 10 + 9 = a x 27
 17 x a = 19
 a = 9/17
9/17 kh«ng ph¶i lµ sè tù nhiªn nªn lo¹i.
VËy sè ph¶i t×m lµ 15 vµ 24.
	 §¸p sè 15 vµ 24.
Ngoµi ra cßn nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c.
	3. C¸c bµi to¸n vÒ sè tù nhiªn vµ c¸c ch÷ sè t¹o thµnh.
	Bµi to¸n 1. T×m sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã gÊp 9 lÇn ch÷ sè hµng ®¬n vÞ?
	Bµi gi¶i
	Gäi sè ph¶i t×m lµ ab (a ≠ 0; a,b < 10)
	Theo bµi ra ta cã ab = b x 9 
	C¸ch 1 : V× a ≠ 0 nªn b ≠ 0
	V× b x 9 cã tËn cïng lµ b (b ≠ 0) nªn b = 5.
	Do ®ã ab = 5 x 9 = 45
	VËy sè ph¶i t×m lµ 45.
	C¸ch 2 : V× ab = b x 9 nªn 
	 ab = b x (10 – 1)
 	 ab = b x 10 – b (mét sè nh©n mét hiÖu)
	 ab + b = b0 (t×m sè bÞ trõ)
	V× b + b cã tËn cïng b»ng 0 mµ b ≠ 0 nªn b = 5
	Do ®ã ab = 50 – 5 = 45 
	VËy sè cÇn t×m lµ 45
	 §¸p sè : 45.
	Bµi to¸n 2 :
	NÕu mét sè cã hai ch÷ sè chia cho ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã th× ®­îc th­¬ng lµ 6 d­ 5. T×m sè ®ã?
	Bµi gi¶i
	Gäi sè cÇn t×m ab (a ≠ 0, a, b < 10) theo bµi ra ta cã :
	ab = b x 6 + 5 
	NhËn xÐt : v× sè d­ bÐ h¬n sè chia nªn 5 < b. do ®ã b cã thÓ lÊy gi¸ trÞ 6, 7, 8 hoÆc 9.
	V× b x 6 lµ sè ch½n nªn b x 6 + 5 lµ sè lÎ. Do ®ã ab lµ sè lÎ, v× thÕ b = 7 hoÆc b = 9
	XÐt tõng tr­êng hîp 
	- NÕu b = 7 th× 7 x 6 + 5 = 47.
	- NÕu b = 9 th× 9 x 6 + 5 = 59
	VËy sè cÇn t×m lµ 47 vµ 59.
	 §¸p sè : 47 vµ 59.
	Bµi toµn nµy cßn cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c
	4. C¸c bµi to¸n vÒ tæng cña sè tù nhiªn vµ c¸c ch÷ sè cña nã.
	Bµi to¸n 1. T×m sè tù nhiªn biÕt r»ng sè ®ã céng víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× b»ng 106?
	Bµi gi¶i
	V× sè ph¶i t×m céng víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× b»ng 106 nªn sè ®ã ph¶i nhá h¬n 106. Sè ®ã chØ cã thÓ gåm 3 ch÷ sè hoÆc hai ch÷ sè.
	- Gi¶ sö sè ph¶i t×m lµ sè cã 3 ch÷ sè : abc ( a ≠ 0; a,b,c < 10)
	Theo bµi ra ta cã abc + a + b + c = 106.
	Do ®ã a = 1. khi ®ã ta cã 
	1bc + 1 + b + c = 106.
	101 + bc + b + c = 106
	bc + b + c = 106 – 101 = 5
	bb + c x 2 = 5 do ®ã b ph¶i lµ sè lÎ
	Gi¶ sö lÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña b lµ 1 th× : 
	11 + c x 2 = 5. kh«ng thÓ t×m gi¸ trÞ thÝch hîp cña c v× tæng l¹i nhá h¬n mét sè h¹ng cña tæng (5 < 11)
	VËy kh«ng cã sè cã ba ch÷ sè phï hîp víi ®Çu bµi
	- Gi¶ sö sè ph¶i t×m lµ sè cã hai ch÷ sè : ab ( a ≠ 0. a, b < 10)
	Theo bµi ra ta cã : ab + a + b = 106
	NÕu lÊy gi¸ trÞ lín nhÊt cña a + b lµ 9 x 2 = 18 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña ab lµ 106 – 18 = 88 tøc a ≥ 8
	Tõ ab + a + b = 106 ta cã + b x 2 = 106. Suy ra a ch½n vËy a = 8
	Khi ®ã ta cã : 88 + b x 2 = 106.
	 b = (106 – 88) : 2 = 9
	Thö l¹i : 89 + 8 + 9 = 106
	VËy sè cÇn t×m lµ 89.
	 	 §¸p sè : 89.
	Bµi to¸n 2. T×m sè cã 4 ch÷ sè, biÕt r»ng tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× b»ng hiÖu cña 1990 vµ sè ph¶i t×m?
	Bµi gi¶i
	Gäi sè ph¶i t×m lµ abcd (a ≠ 0; a,b,c,d < 10)
	Theo bµi ra ta cã : 1990 – abcd = a + b + c + d hay 
	abcd + a + b + c + d = 1990
	NhËn xÐt v× a + b+ c + d + d < 9 x 5 = 45 nªn nÕu phÐp céng cã nhí sang hµng chôc th× nhí nhiÒu nhÊt lµ 4, do ®ã phÐp céng nµy kh«ng thÓ nhí sang hµng tr¨m. VËy ab = 19. khi ®ã ta cã :
	19cd + 1+ 9 + c +d = 1990
	1910 + cc + d x 2 = 1990.
	cc + d x 2 = 1990 – 1910 = 80
	V× 80 vµ d x 2 ®Òu lµ sè ch½n nªn c lµ sè ch½n vµ c < 8 
	NÕu lÊy gi¸ trÞ lín nhÊt cña d lµ 9 th× d x 2 = 9 x 2 = 18 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña cc lµ 80 – 18 = 62, hay gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c lµ 6. VËy c = 6.
	Khi ®ã ta cã d x 2 = 80 – 66 = 14
	 d = 14 :2 = 7
	Thö l¹i 1967 + 1 + 9 + 6 +7 = 1990.
	VËy sè ph¶i t×m lµ 1967
	 §¸p sè : 1967. 
	5. Bµi to¸n vÒ trung b×nh céng.
	Bµi to¸n : Cho d·y sè 1,2,3,5, 8, 13, 21.
	a, H·y xem sè 8 lµ sè trung b×nh céng cña n¨m sè nµo trong c¸c sè ®· cho?
	b, H·y xem sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña nh÷ng sè nµo trong d·y ®· cho?
Bµi gi¶i
	Tæng cña d·y sè lµ : 1 + 2 + 3 +5 + 8 + 13 + 21 = 53
	a, Tæng cña n¨m sè ph¶i t×m lµ : 8 x 5 = 40.
	N¨m sè ph¶i t×m lµ : 1, 2, 3, 13, 21.
	b, V× ch­a biÕt sè 5 lµ trung b×nh céng cña mÊy sè trong c¸c sè ®· cho trong bµi to¸n ta lµm nh­ sau :
	Ta xÐt tõng tr­êng hîp : sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña hai sè, ba sè, bèn sè.., b¶y sè trong d·y sè ®· cho.
	- Tr­êng hîp 1 : sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña hai sè :
	Ta cã : 5 x 2 = 10, ta thÊy (2+ 8) : 2 = 5.
	Sè 5 lµ trung b×nh céng cña 2 vµ 8.
	- Tr­êng hîp 2 : Sè 5 lµ trung b×nh céng cña ba sè.
	Ta cã : 5 x 3 = 15, ta thÊy (2+ 8 + 5) : 3 = 5.
	Sè 5 lµ trung b×nh céng cña ba sè 2, 8 vµ 5.
	- Tr­êng hîp 3 : Sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña bèn sè
	Ta cã : 5 x 4 = 20, trong d·y sè kh«ng cã 4 sè nµo cã tæng b»ng 20 (lo¹i)
	- Tr­êng hîp 4 : Sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña n¨m sè
	Ta cã : 5 x 5 = 25. Kh«ng cã n¨m sè nµo trong d·y sè cã tæng lµ 25 (lo¹i)
	- Tr­êng hîp 5 : Sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña s¸u sè
	Ta cã : 6 x 5 = 30. Kh«ng cã 6 sè nµo trong d·y sè cã tæng lµ 30 (lo¹i)
	- Tr­êng hîp 6 : Sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña b¶y sè
	Ta cã : 7 x 5 = 35. mµ b¶y sè trong d·y sè cã tæng lµ 53 (lo¹i)
	VËy cã c¸c sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n lµ : 
	Sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña 2 vµ 8.
	Sè 5 lµ sè trung b×nh céng cña 2, 5 vµ 8.
Bµi tËp ¸p dông
	Bµi 1 : Trong mét phÐp trõ biÕt tæng cña hai sè b× trõ, sè trõ vµ hiÖu b»ng 6542 vµ hiÖu lín h¬n sè trõ 684. T×m sè bÞ trõ, sè trõ vµ hiÖu?
	Bµi 2 : Tæng cña hai sè lÎ liªn tiÕp lµ 284. T×m hai sè ®ã.
	Bµi 3 : T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng khi chia sè ®ã cho tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®­îc th­¬ng lµ 11?
	Bµi 4 : Cã bao nhiªu sè gåm 3 ch÷ sè cã tæng c¸c ch÷ sè lµ 5?
	Bµi 5 : Trung b×nh céng cña 3 sè lµ 50. T×m sè thø ba biÕt r»ng nã b»ng trung b×nh céng cña hai sè ®Çu?
 Bµi 6: T×m sè cã hai ch÷ sè sao cho nÕu lÊy 3 lÇn ch÷ sè hµng chôc trõ ®i 1th× b»ng ch÷ sè hµng ®¬n vÞ.
6. C¸c bµi to¸n t×m thµnh ch­a biÕt trong mét phÐp tÝnh.
Bµi to¸n 1 :
	X¸c ®Þnh c¸c ch÷ a,b,c, trong phÐp tÝnh sau: 
	abc 
	 x 
bac
 ****
 ** a 
 ***b
 ******
Bµi gi¶i
	XÐt tÝch riªng thø hai : abc x a = **a. TÝch nµy lµ sè cã 3 ch÷ sè nªn a chØ cã thÓ lµ mét trong c¸c sè 1, 2,3.
	- NÕu a = 1 th× tÝch riªng thø hai :
	1bc x 1 = **1 suy ra c ph¶i b»ng 1 mµ a ≠ c. Do ®ã a kh«ng thÓ b»ng 1.
	- NÕu a = 2 th× tÝch riªng thø hai lµ : 2bc x 2 = **2.
	Nªn c chØ cã thÓ b»ng 1 hoÆc b»ng 6.
	NÕu c = 1 th× tÝch riªng thø nhÊt lµ :
	 x 1 = kh«ng thÓ lµ sè cã 4 ch÷ sè nh­ yªu cÇu (lo¹i)
	NÕu c = 6 th× tÝch riªng thø nhÊt :
	 2b6 x 6 hiÓn nhiªn lµ sè cã bèn ch÷ sè.
	Nh­ vËy nÕu a = 2 th× c = 6 ta xÐt tÝch riªng thø ba :
	 2b6 x b = ***b, do ®ã b chØ thÓ b»ng 2,4,6,8.
	Nh­ng do b ≠ c vµ b ≠ a nªn b chØ lÊy c¸c gi¸ trÞ 4, 8.
	NÕu b = 4 th× abc =246.
	XÐt tÝch riªng thø ba abc x b = 246 x 4 = 984 (kh«ng tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n)
	VËy b = 8, khi ®ã ta cã c¸c thõa sè 286 vµ 826.
 Thùc hiÖn nh©n : 286
	 x 
 826
 1716
 572
 2288
 236236
	- NÕu a = 3 th× tÝch riªng thø hai : 3bc x 3 = **3.
	Suy ra c ph¶i b»ng 1. Nh­ng khi ®ã tÝch riªng thø nhÊt :
	3b1 x 1 kh«ng ph¶i lµ sè cã bèn ch÷ sè (lo¹i)
	VËy a kh«ng thÓ b»ng 3.
	Nh­ vËy ta cã phÐp tÝnh 286 x 826 = 236236.
	Bµi tËp ¸p dông
	Bµi 1 : T×m sè ab biÕt aba x aa = aaaa
	Bµi to¸n 2 : Thay mçi ch÷ sè trong phÐp tÝnh sau bëi ch÷ sè thÝch hîp ®Ó phÐp tÝnh ®óng.
	a, abab + ab = 8568
	b, 12abc = abc x 97
	c, 7ab : 26 = ab.
	d, X + XA + XAN + XANH = 4321.
	Bµi 3. Thay c¸c ch÷ a,b,c,d b»ng c¸c ch÷ sè thÝch hîp :
	(ab + 15) x cd = 1440.
	(ba + 5) x cd = 680
	BiÕt a = b + 1.
	7. C¸c bµi to¸n vÒ xÐt ch÷ sè tËn cïng cña sè.
	§Ó lµm tèt d¹ng bµi tËp nµy häc sinh cÇn nhí c¸c biÓu thøc sau :
	- Ch÷ sè tËn cïng cña mét tæng (hay mét tÝch) b»ng ch÷ sè tËn cïng cña tæng (hay tÝch) c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña c¸c sè h¹ng (c¸c thõa sè) trong tæng (tÝch) ®ã.
	- Tæng cña 1 + 2 + 3 + ..+ 8 + 9 cã tËn cïng lµ 5.
	- TÝch cña 1,3,5,7,9 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5 (tÝch c¸c sè lÎ víi 5 cã tËn cïng b»ng 5)
	- TÝch hai sè gièng nhau kh«ng cã tËn cïng b»ng 2,3,7,8.
	Bµi to¸n 1. Kh«ng lµm tÝnh h·y cho biÕt kÕt qu¶ mçi phÐp tÝnh sau cã tËn cïng b»ng ch÷ sè nµo?
	a, (1999 + 2378 + 4545 + 7956) – (315 + 598 + 736 + 89)
	b, 6 x 16 x 116 x 1216 x 11996
	c, 31 x 41 x 51 x 61 x 71 x 81 x 91.
	d, 11 x 13 x 15 x 17 x 19 x 21 x 23 x 25.
Bµi gi¶i 
	a, HiÖu cã tËn cïng b»ng 0 (v× c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè bÞ trõ gièng c¸c ch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña sè trõ)
	b, Ch÷ sè tËn cïng cña tÝch b»ng 6.
	c, Ch÷ sè tËn cïng b»ng 1.
	d, Ch÷ sè tËn cïng cña tÝch lµ 5 (v× tÝch cña 5 sè lÎ víi sè lÎ cã ch÷ sè tËn cïng lµ 5)
	Bµi to¸n 2 : T×m 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã tÝch b»ng 24024.
Bµi gi¶i
	V× tÝch tËn cïng lµ 4 nªn trong 4 thõa sè kh«ng cã thõa sè nµo tËn cïng lµ 0 hoÆc 5. bèn sè ®ã chØ cã thÓ cã tËn cïng liªn tiÕp lµ 1,2,3,4 hoÆc 6,7,8,9.
	TÝch 24024 > 10000; 10000 = 10 x 10 x 10 x 10
	TÝch 24024 < 160000; 160000 = 20 x 20 x 20 x 20.
	Thö 11 x 12 x 13 x 14 = 24024 (tho¶ m·n)
	 16 x 17 x 18 x 19 = 93024 (lo¹i)
	VËy 4 sè ®ã lµ : 11, 12, 13, 14.
Giíi thiÖu mét sè bµi to¸n thi häc sinh giái
	Bµi to¸n 1 (Hµ Néi 2000)
	T×m tÊt c¶ c¸c sè ch½n cã 3 ch÷ sè mµ khi chia mçi sè ®ã cho 9 ta ®­îc th­¬ng lµ sè cã 3 ch÷ sè?
	Bµi to¸n 2 : (B¾c Giang 2001)
	T×m ba sè lÎ liªn tiÕp cã tæng b»ng 111.
	Bµi to¸n 3 ; (Th¸i B×nh 2001)
	Cã tÊt c¶ bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè mµ tæng c¸c ch÷ sè cña nã b»ng 3?
	Bµi to¸n 4 : (VÜnh Phóc 2001)
	T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng mçi sè ®ã chia hÕt cho 5 vµ khi chia sè ®ã cho 9 ta ®­îc th­¬ng lµ mét são cã 3 ch÷ sè.
	Bµi to¸n 5 : (Hµ TÜnh 2002)
	T×m sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè, biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 9, chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 2?
 Bµi to¸n 6: ( VÜnh Yªn 2011) T×m sè cã ba ch÷ , biÕt sè ®ã gÊp 71 lµn ch÷ sè hµng chôc.
PhÇn III
 KÕt luËn vµ ®Ò xuÊt ý kiÕn
I. KÕt luËn.
	Gi¶i c¸c bµi to¸n sè vµ ch÷ sè lµ mét néi dung kiÕn thøc quan träng trong ch­¬ng tr×nh m«n to¸n ë TiÓu häc. D¹ng to¸n nµy rÊt ®a d¹ng vµ phong phó, mçi bµi to¸n cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau. Sù phong phó ®ã buéc ng­êi gi¸o viªn ph¶i cã nh÷ng gîi ý, dÉn d¾t, h­íng dÉn cô thÓ cho c¸c em. Trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n gi¸o viªn nªn vËn dông c¸c ph­¬ng ph¸p linh ho¹t sao cho phï hîp víi nhËn thøc cña häc sinh, gióp häc sinh n¾m v÷ng ph­¬ng ph¸p gi¶i to¸n, tr¸nh ®­îc sai lÇn trong gi¶i c¸c d¹ng bµi tËp sè vµ ch÷ sè.
	khi gi¶i c¸c bµi to¸n sè vµ ch÷ sè gi¸o viªn cÇn gióp häc sinh ph©n biÖt ®­îc bµi to¸n ®ã thuéc d¹ng to¸n nµo ®· häc. Khi gi¶i c¸c bµi to¸n ®ã cµn ph¶i sö dông nh÷ng kiÕn thøc, c«ng thøc nµo ®Ó häc sinh gi¶i bµi to¸n mét c¸ch tèt nhÊt.
	Trong qóa tr×nh gi¶ng d¹ng t«i thÊy C¸c bµi to¸n vÒ sè vµ ch÷ sè lµ mét d¹ng to¸n hay vµ khã. V× vËy t«i kh«ng ngõng s¸ng t¹o trau råi kiÕn thøc. §Ó trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹ng gióp c¸c em häc sinh gi¶i tèt c¸c bµi tËp sè vµ ch÷ sè.
II. §Ò xuÊt ý kiÕn.
	Trong qóa tr×nh gi¶ng d¹y t«i ®· ph¸t hiÖn nh÷ng sai lÇm vµ khã kh¨n mµ häc sinh th­êng m¾c ph¶i :
	- Häc sinh kh«ng thÊy ®­îc mèi quan hÖ gi÷a ®iÒu kiÖn ®· cã vµ yªu cÇu bµi to¸n.
	- Häc sinh kh«ng ph¸t hiÖn bµi to¸n thuéc d¹ng nµo, mÉu nµo ®Ó chän ph­¬ng ph¸p gi¶i ®óng. 
	- Häc sinh kh«ng n¾m ch¾c ®­îc mèi quan hÖ gi÷a c¸c thµnh phÇn vµ kÕt qu¶ cña phÐp tÝnh nªn hay lËp biÓu sai.
	- Häc sinh chØ quen t­ duy ®¬n gi¶n nªn khi gÆp bµi to¸n khã th× häc sinh lóng tóng.
	- Häc sinh hay bá sãt nghiÖm.
	- C¸ch tr×nh bµy bµi gi¶i th­êng thiÕu phÇn lý luËn hoÆc hiÓu nh­ng kh«ng diÔn ®¹t ®­îc.
Tõ nh÷ng sai lÇm vµ khã kh¨n cña häc sinh, t«i ®· m¹nh r¹n xin nªu ra mét sè yªu cÇu khi gi¶i to¸n nh­ sau :
	* Häc sinh ph¶i ®äc kü ®Ò bµi, ph©n tÝch ®­îc ®Ò bµi.
	* Häc sinh ph¶i biÕt tãm t¾t ®Ò bµi.
	* Tr×nh bµy bµi chÆt chÏ vµ l«gic.
	* Thö l¹i kÕt qu¶ sau khi gi¶i xong, t×m c¸ch gi¶i kh¸c (nÕu cã)
	§Ó häc sinh gi¶i quyÕt tèt c¸c bµi to¸n th× gi¸o viªn cÇn :
	* H­íng dÉn häc sinh ph¸t hiÖn bµi to¸n ®ã thuéc d¹ng nµo ®Ó ®­a ®Õn ph­¬ng ph¸p gi¶i dÔ dµng.
	* H­íng dÉn häc sinh lùa chän c«ng thøc vµ kiÕn thøc hîp lý cho mçi bµi.
*Kết hợp chặt chẽ với phụ huynh học sinh để có kế hoạch phụ đạo học sinh yếu một cách có hiệu quả.
*Coi trọng và thực hiện tốt việc cải tiến phương pháp trong giảng dạy. Nghiên cứu kĩ yêu cầu căn bản của từng bài, từng đơn vị kiến thức. Để chọn lựa phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nội dung kiến thức ấy để đạt hiệu quả tốt nhất.
*Thực hiện tốt sự phối hợp giữa thầy và trò, phát huy tối đa tính tích cực, tự giác của học sinh trong giờ học.
*Lời nói của giáo viên phải chuẩn, rõ ràng, cách nói phải cô đọng tránh rườm rà. Đồng thời phải tạo được không khí vui tươi và hứng thú cho học sinh trong giờ học.
Hướng dẫn giúp học sinh tự tìm ra phương pháp học phù hợp với bản thân mình.
Trên đây là những vấn đề mà tôi đã không ngừng nỗ lực nghiên cứu, tìm hiểu, vận dụng vào quá trình gi¶i to¸n vÒ sè vµ ch÷ sè cho học sinh. Trong cách trình bày ý tưởng của mình, chắc hẳn sẽ có những điều thiếu sót hoặc chưa rõ ràng. Tôi rất mong nhận được sự góp ý chân thành của cấp trên cũng như các anh chị đồng nghiệp, giúp cho đề tài của tôi thêm sâu sắc và có tính phổ dụng hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
X¸c nhËn cña BGH
Héi Hîp , ngµy  th¸ng . n¨m 2011
Ng­êi viÕt
TrÇn ThÞ H¶i Lý
	.