Sáng kiến kinh nghiệm Tìm cực trị trong Đại số 9

A. Đặt vấn đề
I. Lý DO CHọN đề TàI: 
Xu thế đổi mới phương pháp dạy học toán hiện nay là phát huy tính tích cực học tập của học sinh. Học sinh là chủ thể, người quyết định việc tiếp nhận tri thức toán nói chung và việc vận dụng vào giải bài tập toán nói riêng. Do đó, quá trình giảng dạy giáo viên phải giúp các em tiếp cận với các dạng toán mà sự vận dụng của các em còn quá bở ngỡ. 
Dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” là một vấn đề phức tạp và khó đối với mọi đối tượng học sinh nói chung đặc biệt đối với các em có hạn chế về tư duy toán học. Khi gặp các dạng bài tập này không ít học sinh lúng túng, không biết nên bắt đầu từ đâu, hướng giải quyết thế nào.
Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời giúp các em có được một cách nhìn nhận mới, giúp các em xây dựng phương pháp giải loại toán này trên nền tảng kiến thức cơ bản đã được trang bị trong chương trình toán THCS (Hằng đẳng thức bình phương tổng hoặc hiệu; bất đẳng thức Côsi; Công thức nghiệm phương trình bậc hai; ...) qua đó giúp các em nâng cao chất lượng học toán, phát triển các phẩm chất trí tuệ như: cách nhìn nhận vấn đề, khai thác vấn đề, phát huy tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong quá trình giải toán.
Chính lẽ đó tôi đúc kết lại một số kinh nghiệm “Tìm cực trị trong Đại số 9” nhằm nâng cao kỷ năng giải toán nói chung và giải toán “Tìm cực trị trong Đại số 9” nói riêng, đặc biệt là trong thi tuyển sinh THPT giúp các em có điều kiện học toán tốt hơn.
II. Đối tượng, thời gian và Phạm vi thực hiện đề tài 
Tôi thực hiện đề tài này trong năm học, trên đối tượng là lớp 9A năm học 2010 - 2011.
Trong quá trình thực hiện tôi tập trung đi sâu phân tích, khai thác, nhìn nhận, xây dựng một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số lớp 9” . 
B. Nội dung đề tài
I. Cơ sở khoa học.
1) Cơ sở kiến thức:
	Kiến thức cơ bản phục vụ cho việc giải loại toán này là:
1.1. Hằng đẳng thức bình phương tổng, hiệu.
1.2. Căn bậc hai và các phép biến đổi, Bất đẳng thức Côsi. 
1.3. Công thức ngiệm phương trình bậc hai, hệ thức Vi ét, các biến đổi cơ bản biểu thức nghiệm hai phương trình.
2) Cơ sở phương pháp
2.1. áp dụng hằng đẳng thức: biến đổi biểu thức về dạng hay khi đó giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A là m hay giá trị lớn nhất (GTLN) của A là m khi f(x) = 0.
2.2. áp dụng bất đẳng thức để tìm GTLN. Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b.
2.3. áp dụng bất đẳng thức để tìm GTNN. Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
2.4. áp dụng bất đẳng thức Cô si: để tìm GTNN, GTLN. Dấu “=” xảy ra khi a = b.
2.5. áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai: . Dấu “=” xảy ra khi phương trình có nghiệm kép .
II. Cở sở thực tế.
1. Tình hình thực tế: 
1.1. Thuận lợi
Trường THCS Mỹ Thủy đã nhiều năm có truyền thống về chất lượng dạy và học, là trường trọng điểm chất lượng cao của huyện, có bề dày thành tích 
trong công tác dạy và học, nhất là kết quả thi học sinh giỏi và chất lượng tuyển sinh THPT hàng năm. 
Phụ huynh học sinh xã Mỹ Thuỷ quan tâm đến việc học tập của con em, nên đã tạo điều kiện để các em học tập tốt, rèn luyện tốt. 
Đa số các em học sinh đều chăm ngoan, học giỏi, có ước mơ, hoài bão do đó đã tạo thuận lợi cho chất lượng dạy và học. 
1.2. Khó khăn
1.2.1. Định tính 
Đa số học sinh đều có tâm lí “sợ học toán” đặc biệt là dạng toán “Tìm cực trị” nói riêng các em thường lúng túng không biết nên xuất phát từ đâu, nên bắt đầu từ cái gì do đó dễ nãy sinh tâm trạng hoang mang, lúng túng dẫn đến bó tay, bất lực. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 9 kiến thức cũ có liên quan ít nhiều đã lãng quên nên gây khó khăn không nhỏ cho các em.
1.2.2. Định lượng 
Qua giảng dạy, điều tra, tìm hiểu và qua kết quả kiểm tra đầu năm học 2010 -2011 ở lớp 9A tôi thu được số liệu như sau:
Đặc biệt qua kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 Đại số 9 năm học 2010 - 2011 ở lớp 9A trong đề bài có câu:
Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức 
Tôi thu được kết quả:
Bài 
kiểm tra
Tổng số học sinh
Điểm <5
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Bài số 1
31
12
2
5
5
19
10
9
38,7%
6,5%
16,1%
16,1%
61,3%
32,3%
29,0%
Và dạng toán này thường gặp nhiều trong kiểm tra HKII và các đề tuyển sinh lớp 10 THPT. 
Ví dụ 1: Cho phương trình bậc hai : 
a. Giải phương trình với m = 5.
b. Chứng minh phương trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009)
Ví dụ 2: Tìm GTNN của với 
(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2008 - 2009)
Ví dụ 3 . Cho x, y > 0, . Tìm GTNN của .
(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2010 - 2011)
Chính vì thế trong bài viết tôi xin trình bày một số giải pháp nhằm định hướng học sinh cách tìm tòi lời giải dạng toán “Tìm cực trị trong Đại số 9”.
III. GIảI PHáP THựC HIệN
Quá trình thực hiện đề tài “Tìm cực trị trong Đại số 9” tôi đã thực hiện các giải pháp như sau:
Giải pháp 1: Dạy chắc kiến thức cơ bản
Giáo viên phải dạy chắc kiến thức cơ bản cho học sinh về: 
- Hằng đẳng thức: 
- Chứng minh bất đẳng thức 
- Chứng minh bất đẳng thức 
- Chứng minh bất đẳng thức Cô si: 
- Công thức nghiệm và điều kiện của phương trình bậc hai. 
Giải pháp 2: Rèn luyện kỉ năng nhìn nhận, vận dụng kiến thức.
	2.1. Nhìn nhận.
Giá trị biểu thức hay với m hằng số. Khi đó biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất là m (Dấu “=” xảy ra)
2.2. Kết hợp nhìn nhận và biển đổi để đi đến kết quả. 
+ Dạng 1: hay đối với dạng này hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phương tổng, hiệu.
Cụ thể: Biến đổi biểu thức hay với m hằng số.
	+ Dạng 2: đối với dạng này hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất. 
	+ Dạng 3: đối với dạng này hướng dẫn học sinh vận dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ nhất. áp dụng bất đẳng thức Cô si: để tìm GTLN.
	+ Dạng 4: đối với dạng này hướng dẫn học sinh áp dụng bất đẳng thức Cô si: để tìm GTLN.
	+ Dạng 5: hay biến đổi biểu thức và áp dụng bất đẳng thức Cô si: để tìm GTLN (GTNN).
	+ Dạng 6: áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm GTNN, GTLN.
Giải pháp 3: Tập cách phân tích, nhìn nhận, lựa chọn kiến thức, tìm tòi lời giải cho học sinh.
	Đây là việc làm vừa khó, vừa công phu, vừa là đánh giá hiệu quả công việc của người thầy giáo. Nó đòi hỏi giáo viên phải uyên thâm kiến thức, linh hoạt sáng tạo, kiên trì trong công việc mới đưa lại hiệu quả cần mong muốn.
Giải pháp 4. Một số ví dụ minh hoạ
4.1. Các bài toán sử dụng hằng đẳng thức 
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Vậy GTNN của A là khi 
Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Vậy GTNN của A là khi 
Ví dụ 3. Tìm GTNN của với 
(Tuyển sinh lớp 10 THPT Sở GD ĐT Quảng Bình năm 2008 - 2009)
Hướng dẫn: 
Vậy GTNN của P là khi và chỉ khi 
Ví dụ 4. Cho phương trình bậc hai : 
a. Giải phương trình với m = 5.
b. Chứng minh phương trình (1) có nghiệm phân biệt với mọi m.
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
(Kiểm tra HKII toán 9 Sở GD ĐT Quảng Bình năm học 2008-2009)
Hướng dẫn câu c.
Theo Vi ét: 
	Vậy GTNN của P là 3 khi m = 0.
4.2. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng .
Phương pháp giải:
- áp dụng bất đẳng thức 
- Dấu “=” xảy ra khi b = 0 hoặc a = b.
Ví dụ 5. Tìm GTLN của 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 
Vậy GTLN A là 3 khi x - 8 = 0 x = 8.
4.3. Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng .
Phương pháp giải:
- áp dụng bất đẳng thức 
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
Ví dụ 6. Tìm GTNN của 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 
Vậy GTNN A là khi x = 3 hoặc x = 5.
4.4. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng .
Phương pháp giải:
- Bình phương biểu thức A
- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 
- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0.
Ví dụ 7. Tìm GTLN của 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 
GTLN của là 4 khi
Vậy GTLN của A là 2 khi 
Tổng quát: Tìm GTLN của 
+ 
+ khi 
+ khi 
4.5. Các bài toán tìm GTLN biểu thức dạng .
Phương pháp giải:
- Nhân và chia f(x) cùng một số khác 0
- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 
Ví dụ 8. Tìm GTLN của 
Hướng dẫn: 
Điều kiện: 
GTLN của A là khi 
Tổng quát: Tìm GTLN của 
+ 
+ khi 
4.5. Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng (bậc f(x) lớn hơn g(x)).
Phương pháp giải:
- Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức mà tích của chúng là hằng số.
- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 
Ví dụ 9: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
	 khi 
Ví dụ 10: Cho x 0. Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Min M = 4 Khi 
Ví dụ 11: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Min P = 300 khi 
Ví dụ 12: Tìm GTLN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Min = 1 khi . Vậy Max Q = 1 khi x = 1.
4.6. Các bài toán tìm GTNN biểu thức dạng A = f(x) + g(x).
Phương pháp giải:
- Biến đổi biểu thức thành tổng các biểu thức mà tích của chúng là hằng số.
- áp dụng bất đẳng thức Cô si: 
Ví dụ 13: Cho 0 < x <12. Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Min P = 7 khi 
4.7. Các bài toán tìm GTNN, GTLN áp dụng công thức nghiệm và điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai.
Ví dụ 14: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Gọi a là một giá trị của A. Phương trình (1) có nghiệm.
 (2)
- Nếu a = 0 thì (2) 
- Nếu thì pt (2) là phương trình bậc hai.
Pt(2) có nghiệm 
Vậy:	Min A = -4 khi pt(2) có nghiệm kép 
	Max A = -1 khi pt(2) có nghiệm kép 
Ví dụ 15: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn: 
Gọi a là một giá trị của B. Phương trình (1) có nghiệm.
 (2)
- Nếu a = 1 thì (2) Û x = 0
- Nếu thì pt (2) là phương trình bậc hai.
Pt (2) có nghiệm 
Vậy:	Min B = khi pt(2) có nghiệm kép 
	Max B = 3 khi pt(2) có nghiệm kép 
Giải pháp 5. Một số bài toán thực hành áp dụng
Bài tập 1: Cho phương trình . Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 2: Cho phương trình . Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm GTNN, GTLN của .
Bài tập 3: Cho phương trình . Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 4: Cho phương trình . Gọi là các nghiệm của phương trình. Tìm m để:
a. đạt giá trị lớn nhất.
b. đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 5: 
a. Tìm GTNN của 
b. Tìm GTNN của 
Bài tập 6: 
a. Tìm GTNN của 
b. Tìm GTNN của 
Bài tập 7: Cho x + y = 15. Tìm GTNN của 
Bài tập 8: 
a. Tìm GTLN của 
b. Tìm GTLN của 
Bài tập 9: Cho x + y = 15. Tìm GTLN của 
Bài tập 10: Tìm GTLN của các biểu thức sau: 
Bài tập 11: Tìm GTNN của các biểu thức: 
Bài tập 12: Cho x 0. Tìm GTNN của biểu thức 
Bài tập 13: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 	
Bài tập 14: Cho x > 9. Tìm GTNN của biểu thức 
Bài tập 15: Cho x > 1. Tìm GTNN của các biểu thức 
Bài tập 16: Tìm GTNN, GTNN của biểu thức 
IV. Kết quả đạt được
Qua quá trình thực hiện, kiểm nghiệm đề tài tôi có kết quả như sau:
1. So sánh kết quả kiểm tra 45 phút bài số 1 Đại số 9 và kết quả kiểm tra học kỳ I năm học 2010-2011 ở lớp 9A Trường THCS Mỹ Thuỷ thu được kết quả: 
Bài 
kiểm tra
Tổng số học sinh
Điểm <5
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Bài số 1
31
12
2
5
5
19
10
9
38,7%
6,5%
16,1%
16,1%
61,3%
32,3%
29,0%
Học kỳ I
31
22
16
3
3
9
8
1
71,0%
51,6%
9,7%
9,1%
29,0%
25,8%
3,2%
2. Kết quả kiểm tra bài số 4 Đại số, bài khảo sát học kỳ 2 và kết quả chất lượng bộ môn Toán năm học 2010-2011 lớp 9A trường THCS Mỹ Thủy như sau:
Bài 
kiểm tra
Tổng số học sinh
Điểm <5
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Bài số 4
31
24
12
7
5
7
6
1
77,4%
38,7%
22,6%
16,1%
22,6%
19,4%
3,2%
Học kỳ II
31
23
11
7
5
8
8
0
74,2%
35,5%
22,6%
16,1%
25,8%
25,8%
0%
TBm Cả năm
31
26
7
6
13
5
5
0
83,9%
22,6%
19,4%
41,9%
16,1%
16,1%
0%
So sánh đối chiếu với kết quả điều tra và kết quả đạt được rõ ràng có sự tăng trưởng về chất lượng học toán của học sinh. 
3. Điều đặc biệt hơn là tâm lý “lo sợ” học toán của học sinh đã giảm hẳn, học sinh ứng khởi say sưa với học toán hơn, yêu thích môn toán hơn, do đó đã góp phần khẳng định thương hiệu môn toán của Trường THCS Mỹ Thủy nói riêng, chất lượng giáo dục của Lệ Thủy nói chung.
V. Bài học kinh nghiệm.
Qua quá trình nghiên cứu đề tài và áp dụng tại lớp 9a Trường THCS Mỹ Thủy, tôi rút ra một số kinh nghiệm:
 	1. Giáo viên phải thường xuyên tạo tâm lý ưa thích học toán cho học sinh (thông qua đổi mới, cải tiến phương pháp dạy học; thông qua hướng dẫn cách vận dụng kiến thức toán vào việc giải bài tập; thông qua tháo gỡ những vướng mắc của học sinh ...) 
	2. Giáo viên phải thực sự tâm huyết với môn dạy của mình để nghiên cứu, tìm tòi, tích luỹ kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân ngày càng tốt hơn.
	3. Phải thường xuyên dạy chắc kiến thức cơ bản, phân chia các loại bài tập theo chủ đề, theo dạng toán, theo sự vận dụng kiến thức, ... để giúp học sinh tiếp thu, lựa chọn phương pháp giải một cách chủ động, dễ dàng hơn và có hiệu quả cao hơn.
C. Kết luận
	Có thể khẳng định rằng, với cách làm trên tôi đã giúp đỡ, hỗ trợ rất lớn cho các em học sinh trong việc học toán, giúp cho các em có thêm phương pháp “Tìm cực trị trong Đại số 9”. Giúp các em không còn thấy lo sợ, e ngại khi làm các bài toán dạng này và tạo cho các em một niềm tin, tạo cho các em có sự cảm nhận, sáng tạo và ngày càng yêu thích môn Toán hơn, thấy được vẽ đẹp muôn màu của Toán học.
Trên đây là một số kinh nghiệm về việc “ Tìm cực trị trong Đại số 9” mà bản thân tôi đã áp dụng tại trường THCS Mỹ Thủy trong năm học 2010 - 2011. Dù rằng còn khá mới mẽ song hiệu quả mà nó đem lại là rất lớn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và giáo dục của trường.
Trong bài viết này chắc chắn không thể tránh được những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý của Hội đồng khoa học, cùng các thầy cô giáo để kinh nghiệm của bản thân ngày một tốt hơn, được bạn bè đồng nghiệp áp dụng rộng rãi, nhằm nâng cao chất lượng môn toán nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung.
 Mỹ Thủy, ngày 15 tháng 05 năm 2011
ý kiến nhận xét HĐKH 	Người viết
	Hoàng Thái Anh