Sáng kiến kinh nghiệm Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

A. Đặt vấn đề
Trong việc nâng cao chất lượng dạy toán học ở trường phổ thông, việc cải tiến phương pháp dạy học có ý nghĩa rất quan trọng. Sự phát triển nhanh như vũ bão của khoa học kỹ thuật đang đặt ra cho người thầy nhiều yêu cầu về phương pháp dạy học. Trong những năm qua nhiều GV ở trường phổ thông đã có nhiều cố gắng cải tiến phương pháp dạy học toán theo các phương pháp: “tinh giản, vững chắc” “vừa giảng vừa luyện” “phát huy trí lực của HS” “gắn với đời sống và lao động sản xuất”.......
Học sinh học toán, một khoa học rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏi HS phải tích cực chủ động tiếp cận kiến thức mới dưới sự hướng dẫn của GV.
Chính vì vậy trong quá trình dạy tôi đã cố gắng dạy cho HS cách định hướng phương pháp giải bài tập trước mỗi dạng bài. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa bằng phương pháp số học ở lớp 6 là một mảng kiến thức khó đối với học sinh.
Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết có trúng thưởng những giải cuối hay không ta chỉ cần so hai chữ số cuối cùng. Trong toán học, khi xét một số có chia hết cho 2; 4; 8 hoặc chia hết cho 5; 25 ; 125 hay không ta chỉ cần xét 1; 2; 3 chữ số tận cùng của số đó.
Tìm chữ số tận cùng của những luỹ thừa bậc thấp, đơn giản học sinh dễ dàng biết được. Vấn đề đặt ra là đứng trước những luỹ thừa bậc cao dựa vào đâu HS định hướng được cách giải?
Trong một số năm giảng dạy tôi đã đúc kết một số kinh nghiệm tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa để củng cố cho HS nhằm nâng cao kết quả học tập của HS nhất là đối với HS khá giỏi. Sau đây mong các đồng nghiệp tham khảo, góp ý kiến.
B. Nội dung
I. Kiến thức cơ bản
1/ Tìm một chữ số tận cùng.
Nhận xét: Để tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa,ta chú ý rằng:
- Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0)cũng tận cùng bằng 0; 1; 5; 6
- Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 6
- Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tận cùng bằng 1
 (Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng bằng chính nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1)
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của 187324
Giải:
Ta thấy các số có tận cùng bằng 7 nâng lên luỹ thừa bậc 4 thì được số có tận cùng bằng 1. Các số có tận cùng bằng 1 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0 ) cũng tận cùng bằng 1. Do đó
 187324= (1874)81 =(.1)81 =(1)
Vậy chữ số tận cùng của 187324 là 1
Ví dụ2: Chứng minh rằng 8102-2102 chia hêt cho 10
Giải: 
Ta thấy các số có tận cùng bằng 2 hoặc 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì được số có tân cùng là 6. Một số có tận cùng bằng 6 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 6. Do đó ta biến đổi như sau:
 8102 =(84)25.82 = (.6)25.64=(.6).64 = 4
 2102 =( 24)25.22 =1625.4 =(6).4 = 4
 Vậy 8102 -2102 tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10
2/ Tìm hai chữ số tận cùng
Nhận xét: Để tìm hai chữ số tận cùng của một luỹ thừa, cần chú ý đến những số đặc biệt:
- Các số có tận cùng bằng 01, 25, 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 01, 25, 76
- Các số 320 ( hoặc 815) , 74 , 512 , 992 có tận cùng bằng 01
- Các số 220 ,65 ,184 ,242 ,684 ,742 có tận cùng bằng 76
- Số 26n (n>1) có tận cùng bằng 76
Ví dụ 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 71991
Giải:
Ta thấy : 74 =2401 ,số có tận cùng bằng 01 nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 01. Do đó :
 71991 = 71988.73 = (74)497.343 =(01)497.343
 =(.01).343 =.43
Vậy 71991 có hai chữ số tân cùng bằng 43
Ví dụ 2: Tìm hai chữ số tận cùng của 2100
Giải: 
Chú ý rằng :210=1024 ,bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76,số có tận cùng bằng 76 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 76.Do đó
 ( 2)100=(210)10 =(1024)10 =(10242)5 =(.76)5 =.76
Vậy hai chữ số tận cùng của 2100 là 76
3/ Tìm ba chữ số tận cùng trở lên.
Nhận xét ; Để tìm ba chữ số tận cùng trở lên của một luỹ thừa ,cần chú ý rằng:
- Các số có tận cùng bằng 001 ,376 ,625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ,376 ,625 
- Các số có tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng tận cùng bằng 0625.
Ví dụ 1: Tìm bốn chữ số tận cùng của 51992
Giải: 
 51992 =(54)498 =625498 =0625498 =(...0625)
Vậy bốn chữ số tận cùng của 51992 là 0625
Ví dụ 2 ; Chứng minh rằng 261570 chia hết cho 8
Giải: Ta thấy : 265= 11881376 ,số có tận cùng bằng 376 nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) cũng có tận cùng bằng 376. Do đó:
 261570= (265)314= (376)314= (376)
Mà 376 chia hết cho 8
Một số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8
Vậy 261570 chia hết cho 8
II. Bài tập
Bài 1: Chứng tỏ rằng 175+244-1321 chia hết cho 10
Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ;4931 ;8732 ;5833 ;2335
Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của 5n (n>1)
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
 a/(2345)42	 b/(5796)35
Bài 5: Cho A =51n+47102 (n€ N). Chứng tỏ rằng A chia hết cho 10
Bài 6: Tìm chữ số tận cùng của các tổng, hiệu sau:
 a/ 132001-82001	b/7552-218	c/12591+12692	d/116+126+136+146+156+166
Bài 7: Chứng tỏ rằng với mọi n€N* (n>1) thì (22)n +1 có chữ số tận cùng là 7
Bài 8: Chứng tỏ rằng vói mọi số tự nhiên n:
a/74n-1 chia hết cho 5	;b/34n+1 +2 chia hết cho 5; c/24n+1+3 chia hết cho 5
d/24n+2+1 chia hết cho 5	 ; e/92n+1+1 chia hết cho 10
Bài 9: Tìm hai chữ số tận cùng của
 a/5151 	 b/(9999)99	 c/6666	 d/14101 .16101
C. Kết luận
Từ khi tôi thực hiện chuyên đề‘Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa’ học sinh của tôi không còn lúng túng khi gặp phải những bài tập dạng này. Đặc biệt các em chủ động tìm tòi giải ra kết quả. Do vậy kết quả kiểm tra của chương nâng lên rõ rệt, tạo tâm lý thích học môn toán hơn.
Trên đây là một số ý kiến của tôi về cách tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa giải bằng phương pháp số học ở lớp 6. Vấn đề này sẽ được nghiên cứu đầy đủ hơn bằng cách dùng hằng đẳng thức học ở lớp 8.
Rất mong được sự góp ý bổ sung của các bạn đồng nghiệp.