Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính kế thừa của bài toán gốc

a khi M’ trùng với M 
Vậy AM + MB nhỏ nhất khi A, M, B thẳng hàng 
Bài toán 2: 
 Cho hai điểm A và B cùng năm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường 
thẳng xy. Hãy tìm trên xy một điểm M sao cho MA + MB là ngắn nhất . 
Qua bài này thầy phải xem xét kiến thức của học sinh tìm được có đúng hay 
sai. Nếu sai thầy sửa chữa cho trò. 
 Trò: Hoạt động tư duy tích cực sáng tạo, thầy chú trọng đến tính huống 
để trò tích cực, tự giác, tạo nguồn lực cho học sinh. 
 Nâng cao mưu đồ khó khăn. 
Tư tưởng của bài toán 2: 
Để giải bài toán này ta đưa về bài toán 1 
Lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng xy 
Khi đó: AM + MB = A’M + MB nhỏ nhất 
Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh Giải quyết bài toán 2 bằng cách 
đưa về bài toán1 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
6 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
A 
x 
A’ 
M 
B 
M’ 
y 
A 
B 
M 
x y 
Hướng dẫn 
* Phân tích 
 Giả sử điểm M thuộc xy đã tìm được để có MA+ MB là ngắn nhất. 
Lấy A’ đối xứng với A qua xy 
 ta có: MA = MA’ 
 suy ra MA’ + MB cũng ngắn nhất . 
 Mà A và B lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng xy 
 Nên M phải nằm giữa A’và B tức là MA’ + MB = A’B 
 Suy ra M phải là giao của A’B và xy. 
* Cách dựng 
 Dựng A’ đối xứng với A qua xy, 
 Nối A’với B cắt xy tại điểm M 
 *Chứng minh : 
 Nối M với A ta có MA = MA’ (A và A’ đối xứng với nhau qua xy) 
 Mà MA’ + MB = A’B 
 suy ra MA+MB =A’B là ngắn nhất 
 Thật vậy: nếu lấy một điểm M’ thuộc xy mà M’ khác M , 
 nối M’ với A’ và M’ với B 
 ta có tam giác M’A’B. 
 Do đó M’A’ + M’B > A’B 
 mà M’A’ = M’A’(tính chất đối xứng). 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
7 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
 Suy ra M’A+M’B > A’B 
 Hay M’A + M’B > MA + MB 
 Vậy MA + MB là ngắn nhất 
 Trường hợp A và B nằm trong cùng nửa mặt phẳng có bờ là xy như hình thì 
hai đường thẳng A’B và xy chỉ cắt nhau tại một điểm M. 
 Nếu có một trong 2 điểm A hoặc B nằm trên xy thì chính điểm A hoặc B đó 
là điểm cần tìm. 
 Nếu cả hai điểm A và B đều nằm trên xy thì tất cả các điểm M nằm giữa A 
và B đều thỏa mãn điều kiện của bài ra. 
Bài toán 3: 
 Cho đường thẳng xy và hai điểm A, B cố định ở về cùng một phía của xy. 
Hãy xác định trên xy một đoạn thẳng CD = a cho trước sao cho AC + CD + DB 
là ngắn nhất. 
Hướng dẫn 
*Phân tích 
Khi đó giáo viên bắt đầu nâng cao mưu đồ khó khăn của vai trò thừa kế. 
Tư tưởng: 
 Dựng B’ sao cho BB’  CD và BB’ = CD 
 Khi đó AC + CD + DB = A’C + CD + CB’ 
Bài toán trở thành Tìm điểm C trên xy sao cho AC + CB’ nhỏ nhất 
Đây là tư tưởng của bài toán 2 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
8 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
x 
a 
A 
A’ 
y C 
D 
B 
B’ 
a 
a 
Giả sử đã xác định được đoạn thẳng CD = a trên xy để có AC + CD + DB là ngắn 
nhất. 
 Ta dịch chuyển BD theo phương song song với xy cho D trùng với C thì B 
tới vị trí B’ 
 ta có BB’ = CD = a 
 Suy ra AC + CB’ là ngắn nhất 
 Lấy A’ đối xứng với A qua xy . 
 Nối A’với C ta có A’C = AC (tính chất đối xứng) 
 mà AC + CB’ cúng là ngắn nhất , 
 chứng tỏ A’, C, B’ thẳng hàng. 
* Cách dựng 
 Dựng BB’ = a và song song với xy , B’ và C cùng nằm trong một nửa mặt 
phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh BD 
 Dựng A’ đối xứng với A qua xy 
 Nối A’với B’ cắt xy tại C 
 Đặt CD = a trên xy 
 Nối A với C và B với D ta được AC + CD + BD là ngắn nhất 
 CD là đoạn thẳng phải xác định trên xy 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
9 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
x 
A 
A’ 
y 
C D 
B B’ 
C’ D’ 
* Chứng minh 
 Thật vậy: 
 Tứ giác BDCB’ là hình bình hành (vì BB’ = CD = a và BB’//CD) 
 Suy ra BD = B’C, 
 mà AC = A’C (tính chất đối xứng) 
 Nên B’C + AC = B’C + A’C = A’B’ ngắn nhất 
 Do đó B’C + AC + CD là ngắn nhất 
 hay BD + AC + CD là ngắn nhất 
 Giả sử có một điểm C’ khác C trên xy và xác định được C’D’ = a. 
 Ta chứng minh 
 AC’ + C’D’ + D’B > AC + CD + DB 
 Nối A’ với C’ và C’ với B’. 
 Tam giác A’B’C’ cho ta A’C’ + C’B’ > A’B’ 
 Ta cũng có A’C’ = AC’ (tính chất đối xứng) 
 C’D’ = D’B ( vì BB’C’D’là hình bình hành C’D’ = BB’ = a, C’D’ // BB’) 
 Suy ra AC’ + D’B > A’C + CB’ 
 Hay AC’ + D’B > AC + DB 
 Suy ra AC’ + C’D’ + D’B > AC + CD + DB 
 * Biện luận 
 Điểm C xác định được trên xy là duy nhất 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
10 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
(d) 
0 
M 
N 
P 
x 
y 
Bài toán 4: 
 Cho một góc nhọn xOy và một điểm P ở trong góc ấy. Dựng một đường thẳng 
d cắt cạnh Ox tại M và cạnh Oy tại N sao cho tổng PM + MN + NP có độ dài 
ngắn nhất. 
Hướng dẫn 
 * Phân tích: 
 Giả sử ta dựng được đường thẳng d cắt cạnh Ox ở M và cạnh Oy ở N 
Sau khi hướng dẫn giải quyết bài toán này giáo viên cần phải thăm dò 
kiểm tra xem kiến thức của học sinh cô đọng được từng nào? Có đúng hay 
sai? Nếu sai giáo viên sửa chữa cho trò. 
 Trò: Hoạt động tích cực, sáng tạo, tư duy, nhanh nhẹn. 
 Thầy: Ủy thác chuyển giao ý đồ nâng cao mưu đồ khó khăn tính kế 
thừa thành nhu cầu nhận thức của học sinh. 
Tư tưởng: 
Dựng: P1 là điểm đối xứng với P 
 qua Ox P2 là điểm đối xứng với P qua O 
Khi đó PM + MN + NP = P1M + MN + NP2 
Bài toán trở thành: P1M + MN + NP2 nhỏ nhất, là tư tưởng của bài toán 3 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
11 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
N’ 
M’ 
d' 
d 
x 
y 
P 
P2 
P1 
M 
N 
 Lấy điểm đối xứng P1 của P qua Ox và P2 qua Oy, 
 ta có: 
 PM = P1M 
 PN = P2N 
 Và PM + MN + NP = P1M + MN + P2N ≥ P1P2 
(đường gấp khúc có độ dài lớn hơn đường thẳng có chung 2 đầu mút) 
Vậy tổng PM + MN + NP nhỏ nhất. 
tức tổng P1M + MN + P2N đạt giá trị nhỏ nhất khi bằng P1P2. 
Lúc đó 4 điểm P1, M, P2, N nằm trên cùng một đường thẳng. 
 Cách dựng: 
- Dựng các điểm P1, P2 theo thứ tự là ảnh của P lần lượt trong các phép đối 
xứng qua Ox, Oy. 
- Đường thẳng d qua P1, P2 là đường thẳng cần dựng 
*Chứng minh: 
Thật vậy, giả sử d cắt Ox, Oy lần lượt tại M, N. 
ta chứng minh tổng PM + MN + NP là nhỏ nhất. 
Xét một đường thẳng d’ ≠ d, cắt Ox tại M’ và Oy tại N’, 
 ta có PM’ = P1M’ 
 PN’ = P2N’ 
O 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
12 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
N’ 
A 
B 
C 
M 
K 
N 
P1 
P2 
M 
N 
K 
K’ 
A 
B 
C 
(d) 
(d’) 
 PM’ + M’N’ + N’P = P1M’ + M’N’ + P2N’. 
Tổng này rõ ràng là không nhỏ hơn P1P2: 
 P1M’ + M’N’ + P2N’ ≥ P1P2 
 PM’ + M’N’ + N’P ≥ P1P2 
 PM’ + M’N’ + N’P ≥ PM + MN + NP 
Hay tổng PM + MN + NP với cách dựng các điểm M, N như trên có độ dài ngắn 
nhất. 
 *Biện luận: 
 Bài toán luôn có một nghiệm. 
Bài toán 5: 
 Cho tam giác ABC nhọn, lấy điểm M thuộc BC. Tìm trên các cạnh AB, 
AC các điểm K, N sao cho chu vi tam giác KMN bé nhất. 
Không dừng ở bài toán 4 mà ta tiếp tục nâng cấp hóa tăng thêm mưu đồ khó 
khăn 
Tư tưởng: 
Bài toán 5 được đặt ra từ bài toán 4. 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
13 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
C 
B 
M 
A 
Q 
N 
A 
Q 
C 
Q1 
Q2 
B 
N M 
I 
H 
Bài toán 6: 
 Cho tam giác nhọn ABC ngoại tiếp trong tam giác MNQ sao cho M thuộc 
AB, N thuộc BC, Q thuộc AC và chu vi tam giác MNQ bé nhất. 
Bài toán 7: 
 Hai làng A và B ở hai bên bờ sông, một con sông cần bắc chung một cây cầu 
phục vụ cho việc đi lại của nhân dân hai làng sao cho đoạn đường đi từ làng A 
sang làng B là ngắn nhất. Hãy tìm địa điểm thích hợp trên bờ sông để bắc cầu đó 
Tư tưởng: 
Lấy các điểm Q1 và Q2 lần lượt là hình chiếu của Q qua các cạnh BC và AB 
Khi đó bài toán trở thành xác định điểm M và N lần lượt nằm trên AB và BC 
sao cho Q1N + MN + MQ2 nhỏ nhất 
Đây chính là tư tưởng của bài toán 4 
Từ những bài toán trên theo dạng góc ta có thể biến dạng ra những bài toán 
khác để cho trò có một cách nhìn rộng hơn, sâu hơn, xa hơn. 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
14 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
A
B 
M 
N x
x’ 
y 
y’ 
(coi hai bờ sông là 2 đường thẳng song song và cầu bắc vuông góc với hai bờ 
sông ). 
Hướng dẫn 
Gọi hai bờ sông đó là xy và x’y’ (xy song song với x’y’). 
Hai làng A và B là hai điểm A và B nằm ngoài hai đường thẳng song song đó 
 * Phân tích : 
Giả sử vị trí bắc cầu đã chọn được. 
Chiều dài cây cầu là MN (MN vuông góc với xy). 
Đường đi từ hai làng A và B đến hai mố cầu là AN và BM. 
Tổng đoạn đường từ A đến B là AN + NM + MB 
MN là chiều dài cây cầu không thay đổi. 
Muốn đoạn đường từ A đến B ngắn nhất còn phụ thuộc vào AN + BM là ngắn 
nhất 
Tư tưởng: 
Bài toán đặt ra cho đoạn thẳng cho trước vuông góc với hai đường thẳng 
song song. Xác định hai điểm mút của đoạn thẳng cho trước sao cho khoảng 
cách từ làng A sang làng B là ngằn nhất. 
Đây là tư tưởng của bài toán 3. 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
15 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
Giả sử ta có thể dời được làng A theo phương vuông góc với bờ sông xy một 
đoạn bằng chiều dài MN của cây cầu cho tới A’ 
Ta có AA’ = MN. ( theo đề bài) 
Ta thấy khoảng cách ngắn nhất từ A’ tới B là đoạn A’B. 
A’B cắt bờ sông x’y’ tại M, thì M chính là vị trí để bắc cầu cần phải chọn 
 *Cách dựng 
 Trên khoảng cách vuông góc từ A tới bờ sông xy (AH) 
 Ta chọn vị trí A’ cách A một khoảng bằng chiều dài của cây cầu (AA’ = MN) 
 Dóng thẳng A’B để xác định vị M trên sông x’y’ (A’B cắt x’y’ tại M). 
 Dựng cây cầu MN (MN vuông góc xy) 
 MN chính là vị trí cây cầu để chọn. 
 *Chứng minh 
 Thật vậy : 
 Nối A với N . 
 Ta có tứ giác ANMA’ là hình bình hành (vì AA’ = MN, AA’//MN) 
 Suy ra AN = A’M 
 Vậy BM + MN + NA = BM + MN + A’M = MN + BA’ 
Mà BA’ là ngắn nhất nên BM + MN + NA là ngắn nhất 
Giả sử có một vị trí bắc cầu khác tại M’N’ 
x 
x' 
y 
y' 
N’ N 
M M’ H 
A’ 
A 
B 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
16 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
Ta chứng minh rằng tại vị trí đó đoạn đường đi từ A sang B qua cầu M’N’ xa hơn 
đoạn đường qua cầu ở vị trí MN 
Nối M’ với A’ và B với M’ ta được tam giác A’BM’ có BM’ + M’A’ > A’B 
Nối A với N’ ta cũng có AN’M’A’là hình bình hành nên AN’ = A’M’ 
Suy ra BM’ + AN’ > A’B 
Hay BM’ + AN’ > AN + BM 
Chứng tỏ BM + MN + AN là ngắn nhất 
 * Biện luận 
 Vị trí bắc cầu MN là duy nhất . 
A’B chỉ cắt bờ sông x’y’ tại một điểm ta có một điểm M thích hợp cho vị trí bắc 
cầu. 
Bài toán 8: 
 Cho hai đường thẳng song song xy và x’y’, hai điểm cố định A và B nằm ở 
hai phía ngoài hai đường thẳng đó. 
 Hãy chọn trên xy một vị trí thích hợp để dựng đường thẳng EF vuông góc 
với hai đường thẳng song song sao cho AE = BF. 
Hướng dẫn 
Di chuyển AE theo phương song song với EF sao cho E tới F và A tới A’ thì 
 A’F = AE. Nhưng AE lại bằng BF. 
 Tới đây chính là tư tưởng của bài toán 7. 
Không dừng ở bài toán 7 mà ta tiếp tục nâng cấp hóa tăng thêm mưu đồ khó 
khăn. 
Tư tưởng: 
Bài toán được đặt ra từ bài toán 7 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
17 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
E 
F 
y 
y’ x’ 
x 
A’ 
II.5.3. Kết quả nghiên cứu 
 3.1 Thực trạng 
 Học sinh lớp 11A, lớp 11B trường PTDT Nội Trú Tây Nguyên. Tổng số có 
2 lớp với 65 học sinh, chất lượng về học lực bộ môn Toán thấp, cụ thể qua bài 
kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm như sau: 
Điểm 
Lớp 
Sĩ 
số 
Giỏi Khá T. Bình Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
11A 32 0 0 1 3.12 14 43.75 11 43.38 6 18.75 
11B 33 0 0 1 3.0 13 39.4 12 36.4 7 21.2 
 3.2 Tiến hành khảo nghiệm SKKN 
 Hai lớp 11A và 11B có lực học về môn Toán là tương đương nhau, vì thế 
tôi đã chọn lớp 11A làm lớp thực nghiệm (để tiến hành dạy theo phương pháp đã 
 Những bài toán trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh giải quyết một 
cách nhẹ nhàng dựa vào các bài tập trước. 
 Từ một bài toán đơn giản cho trước giáo viên có thể hướng dẫn cho học 
sinh giải quyết được vô số bài tập mang tính thừa kế của bài trước. 
 Cũng từ đây giáo viên có thể mở rộng ra hướng dẫn cho các em giải quyết 
hàng loạt bài toán, tìm biểu thức ngắn nhất trong hai đường thẳng song song 
,tam giác, tứ giác, ngũ giác 
A 
B 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
18 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
trình bày ở trên) và lớp 11B là lớp đối chứng (vẫn dạy theo phương pháp cũ). Sau 
đó tôi tiến hành kiểm tra kết quả học tập của 2 lớp thông qua một bài khảo sát. 
 Kết quả thu được như sau: 
Nhận xét chung: Sau khi thực nghiệm, tôi thấy học sinh lớp 11A không 
những có kết quả học tập tốt hơn mà các em còn có ý thức hơn, cẩn thận hơn, 
trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn. 
3.3 Đề xuất biện pháp 
 Qua thời gian nghiên cứu và tiến hành khảo nghiệm thực tế, tôi có một vài 
đề xuất đối với việc học của trường PT DTNT Tây Nguyên nói chung và với môn 
Toán nói riêng như sau: 
- Vì đặc thù của học sinh trường PT DTNT Tây Nguyên là lực học của các 
em tương đối thấp nên tăng thời gian phụ đạo học sinh yếu kém, tìm ra những 
vấn đề còn vướng mắc trong môn học từ đó đưa ra những biện pháp giải quyết. 
 - Qua kết quả thực nghiệm, tôi nghĩ phương pháp mà tôi đưa ra trong sáng 
kiến kinh nghiệm này là khả thi nên có thể nhân rộng mô hình này trong bộ môn 
Toán để chất lượng ngày cáng được cải thiện và nâng cao. 
III.Phần kết luận và kiến nghị 
 III.1.Kết luận 
 Hoạt động sáng tạo là một dạng lao động trí óc và miệt mài rèn luyện ý chí 
gian khổ, nó đòi hỏi người ta phải có khát vọng cháy bỏng về hiểu biết và lòng 
say mê, sáng tạo mãnh liệt, phải biết định hướng, phải biết vận dụng những tri 
thức từ cái đã biết “Quy lạ về quen”, vận dụng một cách linh hoạt và triệt để. 
Điểm 
Lớp 
Sĩ 
số 
Giỏi Khá T. Bình Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
11A 32 0 0 4 12.5 18 56.25 10 31.25 0 0 
11B 33 0 0 1 3.0 17 51.5 10 30.3 5 15.2 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
19 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
 Nội dung đề tài chỉ đưa ra tư tưởng, hướng giúp học sinh giải quyết trong 
quá trình giải toán và hệ thống một số bài tập mang tính thừa kế của lớp bài toán 
trước sao cho phù hợp để giải. Còn việc giải các bài toán trên nhường lại cho 
giáo viên và học sinh giải ở trên lớp chứ không đưa ra lời giải cụ thể trong đề tài. 
 Do điều kiện và năng lực của bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham 
khảo chưa đầy đủ nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót, những lời giải có thể chưa 
phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong rằng SKKN này ít nhiều cũng 
giúp học sinh hiểu kỹ hơn về giải toán hình học. 
 Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ 
thông, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng 
nghiệp cũng như dự giờ các đồng nghiệp ở trường khác, cùng với sự giúp đỡ tận 
tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn, các thầy cô trong trường 
PTDT NT Tây Nguyên, tôi đã hoàn thành SKKN "Sử dụng tính kế thừa của bài 
toán gốc" này một cách hoàn thiện. 
 III. 2. Những kiến nghị, đề xuất: 
Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và 
học của giáo viên và học sinh : 
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa, soạn 
giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học sao cho sinh động và thu hút 
đối tượng học sinh tham gia. 
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm 
và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường 
xuyên. 
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp. 
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý. 
 - Làm tốt công tác xã hội hoá giáo dục làm cho cha mẹ học sinh, Ban đại diện 
cha mẹ học sinh quan tâm hơn nữa đến việc học tập của con em mình trên lớp, ở 
trường, học tập kỹ năng sống, kỹ năng tư duy vận dụng lý luận vào thực tiễn. 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
20 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO. 
 1. Đào Tam. Bài giảng phương pháp dạy học hình học ở trường phổ thông. 
 2. Nguyễn Huy Cận. Bài tập quỹ tích và dựng hình, nhà xuất bản giáo dục 1999. 
 3. Nguyễn Phúc Trình. Dựng hình và phương pháp giải các bài toán dựng hình, 
nhà xuất bản thành phố Hồ Chí Minh. 
 4. Văn Như Cương (chủ biên). Hình học 10, nhà xuất bản giáo dục. 
 5. Trần Văn Hạo (tổng chủ biên). Hình học 11, nhà xuất bản giáo dục. 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
21 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
MỤC LỤC 
Trang 
I. Phần mở đầu .......................................................................................... 1 
 I.1. Lý do chọn đề tài .............................................................................. 1 
 I.2.Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài ............................................................ 2 
 I.3. Đối tượng nghiên cứu ....................................................................... 2 
 I.4. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2 
 I.5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... 3 
II. Phần nội dung ........................................................................................ 3 
 II.1. Cơ sở lí luận .................................................................................... 3 
 II.2. Cơ sở thực tiễn ................................................................................. 3 
 II.3. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu ................................................. 4 
 II.4 Nội dung cụ thể ................................................................................. 4 
 II.5.1. Kiến thức sử dụng ..................................................................... 4 
 II.5.2. Nội dung ................................................................................... 4 
 II.5.3.Kết quả nghiên cứu .................................................................. 17 
 3.1. Thực trạng ................................................................................ 17 
 3.2.Tiến hành khảo sát SKKN ......................................................... 17 
 3.3. Đề xuất biện pháp ..................................................................... 18 
III. Phần kết luận và kiến nghị ................................................................ 18 
 III.1.Kết luận ...................................................................................... 18 
 III.2. Kiến nghị đề xuất ........................................................................ 19 
Danh mục các tài liệu tham khảo ............................................................ 20 
Mục lục ..................................................................................................... 21 
SKKN: SỬ DỤNG TÍNH KẾ THỪA CỦA BÀI TOÁN GỐC 
2012 
22 
GV Phạm Văn Thắng – Trường PT DTNT Tây Nguyên 
D 
A 
B 
C 
M 
B 
C 
A’ 
M 
A 
PHỤ LỤC 
Đề kiểm tra khảo sát 
Thời gian 35 phút không kể chép đề 
Đề 1 
 Tìm một điểm M nằm trong tứ giác ABCD sao cho tổng 
MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất . 
HƯỚNG DẪN 
Ta có: MA + MB + MC + MD = ( MA + MC ) + ( MD + MB ) 
Mà MA + MC ≥ AC 
 MD + MB ≥ DB 
Vậy MA + MC đạt giá trị nhỏ nhất khi MA + MC = AC 
 Suy ra ba điểm A, M, C thẳng hàng (1) 
 Tương tự MB + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi MB + MD = DB 
 Suy ra ba điểm B, M, D thẳng hàng (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 
------------------------------------------------------- 
Đề 2 
 Cho tam giác ABC. Kẻ đường phân giác ngoài Cx của góc C. Trên Cx lấy 
một điểm M. 
 Chứng minh: MA + MB > CA + CB 
HƯỚNG DẪN 
Lấy điểm A’ đối xứng của A qua Cx. Ta có MA’= AM và A’C = AC 
AM + MB = A’M +MB > A’B và A’B = A’C + CB 
Suy ra A’B = AC + CB hay MA + MB > CA + CB 
-------------------------------------------------