Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể tích của các khối đa diện

'
9 a 3 3 3.a
V
10 6 20
  . 
Ví dụ 2.9. Cho khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung 
điểm của cạnh .AB Mặt phẳng  ' 'MB D chia khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D thành 
hai khối đa diện. Tính thể tích của phần khối đa diện chứa đỉnh .A 
A. 
5045
6
. B. 
7063
6
. C. 
10090
17
. D. 
7063
12
Lời giải 
Chọn D 
a
O
D
C
A B
S
C'
D'
B'
17 
-

  
  
( ) / /( ' ' ' ')
( ' ') ( ) / / ' '
( ' ') ( ' ' ' ') ' '
ABCD A B C D
MB D ABCD MN B D
MB D A B C D B D
. 
- Trong mp ( ' ' )AA B B gọi  ' 'S B M AA . 
Do đó ' , ' , 'B M D N AA là giao tuyến của 3 mặt phẳng đôi một cắt nhau nên chúng 
đồng quy tại S . 
- Áp dụng định lí Talet ta có   
1
' ' ' 2
SA SM SN
SA SB SD
. 
-  . . ' ' ' . ' ' '
1
. .
' ' ' 8S AMN S A B D S A B D
SA SM SN
V V V
SA SB SD
  . ' ' ' . ' ' ' ' ' '
7 7 1
. . .
8 8 3AMN A B D S A B D A B D
V V SA S 
  . ' ' ' '
7 1 1 7 7063
. .2. '. . ' '. ' '
8 3 2 24 12ABCD A B C D
AA A B A D V 
Ví dụ 2.10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy 
ABCD là hình chữ nhật, AB = a; BC = a 2 . 
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = b. 
Gọi M là trung điểm SD, N là trung điểm AD. 
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua BM và cắt mặt 
phẳng (SAC) theo một đường thẳng vuông 
góc với BM. Chứng minh rằng: AC  (BMN) 
và tính thể tích khối đa diện S.KMHB. 
Lời giải : 
Dễ CM được AC  BN (1) 
Lại có: MN // SA  MN  AC (2) 
I
O
N
M
B
C
A
S
D
K
H
18 
Từ (1) và (2) ta có: AC  (BMN) 
Giả sử (P) cắt (SAC) theo giao tuyến (d)  BM. Mà do (d) và AC đồng phẳng 
 (d) // (AC). Gọi: O = (AC)(BD). 
Trong mặt phẳng (SBD): SO cắt BM tại I. 
Qua I kẻ đường thẳng (d) // (AC) cắt SA, SC lần lượt tại H, K  Mặt phẳng 
(MHBK) là mặt phẳng (P) cần dựng. Lại vì I là trọng tâm SDC và HK//AC nên: 
SH SK SI 2
SC SA SO 3
   (3) 
Theo công thức tính tỉ số thể tích, ta có: 
SMBK
SDBA
V SM SB SK 1
. . ;
V SD SB SA 3
  SMHB
SDCB
V SM SH SB 1
. . .
V SD SC SB 3
  
 VSKMHB =VSKMB + VSMHB =  S.DBC S.DBA S.ABCD
1 1
V V .V
3 3
  = 2
1
2.a b
3
 (đvtt). 
Dạng toán 3: Sử dụng công thức tỉ số thể tích trong các bài toán Min, Max 
trong hình học không gian. 
Nội dung phương pháp: Trong toán học nói chung, chúng ta thấy: Việc tìm giá 
trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên là không hề dễ dàng. Bởi 
vậy việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một đại lượng biến thiên đối với hình 
học không gian lại càng khó khăn hơn. Tuy nhiên nếu biết cách sử dụng công thức 
tỉ số thể tích vào giải toán min, max một số bài toán hình không gian sẽ cho chúng 
ta lời giải ngắn gọn và rất hay. 
Ví dụ 3.1. Cho tứ diện .S ABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh 
AG cắt các cạnh ,SB SC lần lượt tại ,M N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số .
.
S AMN
S ABC
V
V
 là 
A. 
4
9
. B. 
3
8
. C. 
1
3
. D. 
1
2
. 
Lời giải 
Chọn A 
19 
Gọi , ,E F G lần lượt là trung điểm , ,BC SA EF suy ra G là trọng tâm tứ diện 
.S ABC . Điểm I là giao điểm của AG và SE . Qua I dựng đường thẳng cắt các 
cạnh ,SB SC lần lượt tại ,M N . Suy ra  AMN là mặt phẳng quay quanh AG 
thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Kẻ   // ,GK SE K SA suy ra K là trung điểm FS
3
4
KG AK
SI AS
   . 
Mà 
1 2
2 3
KG SI
SE SE
   . 
Kẻ // , // BP MN CQ MN ;  ,P Q SE . Ta có: ;
SM SI SN SI
SB SP SC SQ
  . 
BEP CEQ   E là trung điểm PQ 2SP SQ SE   (đúng cả trong 
trường hợp P Q E  ). 
Ta có: 
 
22 2
.
2 2
.
4
. . 1. .
9
4
AM GM
S AMN
S ABC
V SA SM SN SI SI SI SI SI
V SA SB SC SP SQ SE SESP SQ
  
      
 
. 
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi SP SQ SE  . Hay // P Q E MN BC   . 
Vậy tỉ số nhỏ nhất là 
4
9
. 
Ví dụ 3.2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, , 2 .AB a AD a  
Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 3 .SA a Điểm P là trung điểm của SC . Một 
mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N . Gọi 1V là thể 
tích của khối chóp .S AMPN . Giá trị nhỏ nhất của 1V bằng 
A. 32
3
a . B. 31
3
a . C. 34
3
a . D. 3a . 
Lời giải 
Chọn A 
20 
Ta có: 
 3.
1 1 1. . . . . .3 . .2 2
3 3 3S ABCD ABCD
V SA S SA AB AD a a a a    . 
Đặt ,SM SNx y
SB SD
  thì 
. . . . .
. . . .
1 .( ) (1)
2. 2. 4
S AMPN S AMP S ANP S AMP S AMP
S ABCD S ABCD S ABC S ADC
V V V V V
x y
V V V V

     
. . . . .
. . . .
3
 (2)
2. 2. 2 4 4
S AMPN S AMP S ANP S AMN S PMN
S ABCD S ABCD S ABD S CBD
V V V V V xy xy xy
V V V V

      
Từ (1) và (2) ta có : 
33
0
4 4 , 0
xy x yxy x y
x y
 
   
 
Với , 0x y  ta có: 
 
2 4
3 2 3 4 0
9
xy x y xy xy xy xy        . 
Đẳng thức xảy ra 
2
.
3
x y   
3.
. .
.
3 3 4 1 1 2 . .
4 4 9 3 3 3
S AMPN
S AMPN S ABCD
S ABCD
V xy
V V a
V
      
Đẳng thức xảy ra 2 .
3
SM SN
SB SD
   
Vậy giá trị nhỏ nhất của 1V bằng 
32
3
a . 
Ví dụ 3.3. Cho hình chóp đều S.ABC có SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác 
SBC, mặt phẳng (P) đi qua AG cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại M, N. Gọi V1, V 
lần lượt là thể tích khối chóp S.AMN và S.ABC. Tìm giá trị lớn nhất của 
1
V
V
. 
21 
Lời giải : 
Gọi J là giao điểm của SG và BC  J là trung điểm BC. Suy ra: 
ABJ ACJ ABC
1
S S S
2
 
   S.ABJ S.ACJV V  S.ABC
1 V
V
2 2
 . 
Đặt: 
SM SN
x ,y (x,y (0;1])
SB SC
   . 
Ta có: S.AMG
S.AMG
S.ABJ
V SA SM SG 2x V 2x
. . V
V SA SB SJ 3 2 3
    
Tương tự: 
S.AGN 1 S.AMG S.AGN
2y V V
V V V V (y x)
3 2 3
      (1) 
1
1
V SA SM SN
. . xy V V.xy
V SA SB SC
    (2) 
Từ (1) và (2)  x + y = 3xy (*) 
Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có: 
x y 2 xy  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y. 
Từ (*) ta có: 
4
3xy 2 xy xy .
9
   Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = 
2
3
. 
1
V 1 9
.
V xy 4
  Dấu “=” xảy ra x = y = 
2
.
3
Vậy giá trị lớn nhất của 
1
V
V
 = 
9
4
 SM SN 2 .
SB SC 3
   
Ví dụ 3.4. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm 
A , C thỏa mãn 
1
3
 SA SA , 
1
5
 SC SC . Mặt phẳng  P chứa đường thẳng 
 AC cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại B , D . Đặt     .
.
S A B C D
S ABCD
V
k
V
. Giá trị nhỏ 
nhất của k là: 
A
S
G
N
M
B
C
22 
A. 
4
15
. B. 
1
30
. C. 
1
60
. D. 
15
16
. 
 Lời giải: 
Ta có 
1
15
  
   
 .
.
. . .S A C B
S ACB
V SA SC SB SB
V SA SC SB SB
 (1). 
Và 
1
15
  
   
 .
.
. . .S A CD
S ACD
V SA SC SD SD
V SA SC SD SD
 (2). 
Mà 
. .S ACB S ACD
V V (do hai hình chóp . , .S ACB S ACD có chung chiều cao 
  

,S ABCD
h d và hai tam giác ,ACB ACD có diện tích bằng nhau). 
Do đó 
1
2
 
. . .S ACB S ACD S ABCD
V V V . Cộng (1) và (2) theo vế ta được: 
1 1
1 15 30
2
         
       
       
   
. . .
.
.
S A C B S A CD S A BC D
S ABCD
S ABCD
V V VSB SD SB SD
SB SD V SB SD
V
. 
Từ giả thiết, ta có 
1
30
  
  
 
SB SD
k
SB SD
 (3). 
* Tương tự: 
1 1 4
1 3 5 15
2
         
     
    
 
. . .
.
.
. . .S BD A S BDC S A BC D
S ABCD
S ABCD
V V VSB SD SB SD
SB SD V SB SD
V
23 
Suy ra 
4
15
 
 . .
SB SD
k
SB SD
 (4). Từ (3) và (4) ta có: 
 2
1 1 15 15 1
2
30 15 4 30 60 60
 
      . .
SB SD k k
k k k k
SB SD
Vậy   1
60
min k . Chọn C 
Ví dụ 3.5. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng () đi 
qua trung điểm I của đoạn thẳng AG và cắt các cạnh AB, AC, AD tại các điểm 
(khác A). Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến 
mặt phẳng (). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 
2 2 2
B C D
2
A
h h h
P
h
 
 . 
Lời giải: 
Gọi B’, C’, D’ lần lượt giao điểm của mặt phẳng 
() với các cạnh AB, AC, AD. 
Ta có: 
AGBC AGCD AGDB ABCD
1
V V V V .
3
   (*) 
Vì:   
AB'C 'D ' AIB'C ' AIC 'D ' AID 'B'
V V V V và (*) nên: 
  AB'C'D' AIB'C' AIC'D' AID'B'
ABCD AGBC AGCD AGDB
V V V V
V 3V 3V 3V
AB'.AC'.AD' AI.AB'.AC' AI.AC'.AD' AI.AD'.AB'
AB.AC.AD 3.AG.AB.AC 3.AG.AC.AD 3.AG.AD.AB
    
Mà 
AB AC AD AG
3. 6
AB' AC' AD' AI
     
BB' CC' DD'
3
AB' AC' AD'
   . 
Mặt khác ta có: B C D
A A A
BB' h CC' h DD' h
, , .
AB' h AC' h AD' h
   
Suy ra: B C D B C D A
A A A
h h h
3 h h h 3h
h h h
       
Ta có:    2 2 2 2B C D B C Dh h h 3 h h h .     (**) 
      
2 2 2
B C C D D Bh h h h h h 0      (luôn đúng). 
Kết hợp với (**) ta được:    2 2 2 2A B C D3h 3 h h h   hay: 
2 2 2
B C D
2
A
h h h
3.
h
 
 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
B C D
2
A
h h h
P 3.
h
 
  
B'
C'
D'
I
G
D
C
B
A
24 
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN 
Câu 1. Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB sao cho 
3AE EB . Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V . 
A. 
4
V
. B. 
2
V
. C. 
3
V
. D. 
5
V
. 
Câu 2. Cho hình lăng trụ .ABC A B C   . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của 
CC và BB . Tính tỉ số 
.
ABCMN
ABC A B C
V
V   
. 
A.
1
6
. B.
1
3
. C.
1
2
. D.
2
3
. 
Câu 3. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích bằng 2
. Gọi M , N lần lượt là các điểm trên cạnh SB và SD sao cho 
SM SN
k
SB SD
  . 
Tìm giá trị của k để thể tích khối chóp .S AMN bằng 
1
8
. 
A. 
1
8
k  . B. 
2
4
k  . C. 
1
4
k  . D. 
2
2
k  . 
Câu 4. Cho hình chóp .S ABCD , gọi I , J , K , H lần lượt là trung điểm các cạnh 
SA , SB , SC , SD . Tính thể tích khối chóp .S ABCD biết thể tích khối chóp .S IJKH 
bằng 1. 
 A. 16. B. 8. C. 2 . D. 4 . 
Câu 5. Cho hình chóp .S ABC có thể tích là V biết , ,M N P lần lượt thuộc các 
cạnh , ,SA SB SC sao cho , 2 , 3SM MA SN NB SC SP   . Gọi V  là thể tích của 
.S MNP . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. 
6
V
V   . B. 
12
V
V   . C. 
9
V
V   . D. 
3
V
V   . 
Câu 6. Cho khối chóp .S ABC có thể tích bằng 35a . Trên các cạnh ,SB SC lần lượt 
lấy các điểm M và N sao cho 3SM MB , 4SN NC (tham khảo hình vẽ). 
Tính thể tích V của khối chóp .A MNCB . 
A. 3
3
5
V a . B. 3
3
4
V a . C. 3V a . D. 32V a . 
Câu 7. Cho hình chóp .S ABC trên các cạnh SA , SB , SC lần lượt lấy các điểm 
, ,M N P sao cho 2, 3
SA SB
SM SN
  , 4
SC
SP
 . Biết thể tích của khối chóp .S ABC 
bằng 1. Hỏi thể tích của khối đa diện MNPABC bằng bao nhiêu ? 
A.
5
24
 . B.
3
4
 . C.
1
24
 . D.
23
24
. 
25 
Câu 8. Cho hình chóp . ,S ABC trên các cạnh bên , ,SA SB SC theo thứ tự lấy các 
điểm ' ' ', ,A B C sao cho ' ' ' ' ' '2 , 5 , .SA A A SB B B SC kCC   Biết ' ' ' ..
1
,
2
S ABCS A B C
V V
tính giá trị của .k 
A. 6.k  B. 7.k  C. 8.k  D. 9.k  
Câu 9. Cho khối chóp . ,S ABCD các điểm , , ,M N P Q lần lượt là trung điểm của 
các cạnh , , , .SA SB SC SD Tỉ số thể tích của khối chóp .S MNPQ và khối chóp 
.S ABCD là 
A. 
1
.
16
 B. 
1
.
8
 C. 
1
.
2
 D. 
1
.
4
Câu 10. Cho khối tứ diện có thể tích V . Gọi 'V là thể tích của khối đa diện có 
các đỉnh là các trung điểm của các cạnh tứ diện đã cho. Tính tỷ số 
'V
V
. 
A. 
' 1
4
V
V
 . B. 
' 5
8
V
V
 . C. 
' 3
8
V
V
 . D. 
' 1
2
V
V
 . 
Câu 11. Cho hình chóp .S ABC có , ,SA a SB b SC c   và 
   060 .ASB BSC CSA   Tính thể tích khối chóp .S ABC theo , , .a b c 
A. 
2
12abc
 B. 
2
.
12
abc C. 
2
.
4
abc D. 
2
4abc
 
Câu 12. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a ; 
2SA SB SC a   , M là trung điểm của cạnh SA ; N là giao điểm của đường 
thẳng SDvà mặt phẳng  MBC . Gọi 1,V V lần lượt là thể tích của các khối chóp 
.S ABCD và .S BCNM , Tỷ số 1
V
V
 là? 
A. 
1
6
. B. 
3
8
. C. 
1
8
. D. 
1
4
. 
Câu 13. Cho khối chóp .S ABC . Gọi M là điểm trên đoạn SB sao cho 
3SM MB , N là điểm trên đoạn AC sao cho 2AN NC . Tỉ số thể tích khối 
chóp .M ABN và .S ABC bằng 
A. 
4
9
. B. 
2
9
. C. 
1
2
. D. 
1
4
. 
Câu 14. Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C có thể tích bằng 2 . Gọi ,M N lần lượt là hai 
điểm nằm trên hai cạnh 'AA và 'BB sao cho M là trung điểm của 'AA và 
2
'
3
BN BB . Đường thẳng CM cắt đường thẳng ' 'C A tại P và đường thẳng CN 
cắt đường thẳng ' 'C B tại Q . Thể tích khối đa diện ' 'A MPB NQ bằng 
26 
A. 
5
9
. B. 
13
18
. C. 
7
18
. D. 
7
9
. 
Câu 15. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2 . Xét 
đa diện lồi H có các đỉnh là trung điểm tất cả các cạnh của hình chóp đó (tham 
khảo hình vẽ). Tính thể tích của H . 
A. 
9
2
. B. 4 . C. 2 3 . D. 
5
12
. 
Câu 16. Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác đều với tất cả các cạnh bằng nhau 
và bằng a . Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy của 
khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích 
thiết diện viên đá bị cưa bởi mặt phẳng nói trên. 
A. 
2
3 2
a
. B. 
2
3
a
. C. 
2
3 4
a
. D. 
23 2
4
a
. 
Câu 17. Cho hình chóp .S ABC có thể tích .V Gọi ,P Q lần lượt là trung điểm 
của ,SB SC và G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích 1V của khối chóp 
.G APQ theo .V 
A. 1
1
8
V V . B. 1
1
12
V V . C. 1
1
6
V V . D. 1
3
8
V V . 
Câu 18. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông 
góc với đáy, 2SA a . Gọi ', D'B là hình chiếu của A lần lượt lên , SDSB . Mặt 
phẳng  ' 'AB D cắt SC tại 'C . Thể tích khối chóp . ' ' 'S AB C D là. 
A. 
3 2
9
a
V  . B. 
32 3
3
a
V  . C. 
32 3
9
a
V  . D. 
32 2
3
a
V  . 
Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a . Cạnh bên hợp 
với đáy góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm của 
SC . Mặt phẳng  BMN chia khối chóp .S ABCD thành hai phần có thể tích là 1V
, 2V , trong đó 1V là thể tích của phần chứa đỉnh A . Tính tỉ số 
2
1
V
V
. 
A. 
7
5
. B. 
5
12
. C. 
12
5
. D. 
5
7
. 
Câu 20. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,M N lần 
lượt là trung điểm các cạnh , .SB SC Tính thể tích khối chóp .S AMND biết rằng 
khối chóp .S ABCD có thể tích bằng 3.a 
 A. 
3
.
4
a
 B. 
3
.
8
a
 C. 
3
.
2
a
 D. 
33
.
8
a
27 
Câu 21. Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên cạnh SB của khối 
chóp tam giác .S ABC sao cho  
1
, 2.
2
SM SN
MA NB
 Mặt phẳng   qua MN và 
song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi 
1
V là thể tích của khối đa 
diện chứa A, 
2
V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1
2
?
V
V
A. 1
2
5
.
6
V
V
 B. 1
2
6
.
5
V
V
 C. 1
2
5
.
4
V
V
 D. 1
2
4
.
5
V
V
Câu 22. Cho khối chóp .S ABC có thể tích V , M là điểm trên cạnh SB . Thiết 
diện qua M và song song với hai đường thẳng SA , BC chia khối chóp .S ABC 
thành hai phần. Gọi 1V là thể tích phần khối chóp chứa cạnh SA . Biết 
1 20
27
V
V
 . 
Tính tỷ số 
SM
SB
. 
A. 
4
5
. B. 
2
3
. C. 
3
4
. D. 
1
2
. 
Câu 23. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và  SA ABCD
. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD tại D lấy điểm S  thỏa 
mãn 
1
'
2
S D SA và ,S S ở cùng phía đối với mặt phẳng  ABCD . Gọi 1V là thể 
tích phần chung của hai khối chóp .S ABCD và .S ABCD . Gọi 2V là thể tích khối 
chóp .S ABCD . Tỉ số 1
2
V
V
 bằng 
A. 
7
18
. B. 
1
3
. C. 
7
9
. D. 
4
9
. 
Câu 24. Cho tứ diện .S ABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh 
AG cắt các cạnh ,SB SC lần lượt tại ,M N . Giá trị nhỏ nhất của tỉ số .
.
S AMN
S ABC
V
V
 là 
A. 
4
9
. B. 
3
8
. C. 
1
3
. D. 
1
2
. 
Câu 25. Cho hình lập phương .ABCD A B C D    cạnh a , M là điểm thuộc cạnh 
A D  sao cho MD x   0 x a  . Mặt phẳng  MBC cắt AA tại N . Tìm x để 
thể tích của khối lập phương đã cho gấp ba lần thể tích khối đa diện .MNA C BB   . 
A. 
5 1
2
x a

 . B. 
3 3
2
x a

 . C. 
1
2
x a . D. 
3 5
2
x a

 . 
28 
Câu 25. Cho hình chóp .S ABC có ( )SA ABC , tam giác ABC vuông tại B . Biết 
SA a , AB b , BC c . Gọi ', 'B C tương ứng là hình chiếu vuông góc của A 
trên ,SB SC . Gọi , 'V V tương ứng là thể tích của các khối chóp . , . ' 'S ABC S AB C
. Khi đó ta có: 
A. 
2
2 2
'V a
V a b


. B. 
2
2 2 2
'V a
V a b c

 
. 
C. 
4
2 2 2 2 2
'
( )( )
V a
V a b a b c

  
. D. 
2 2
2 2 2 2 2
'
( ) ( )
V a a
V a b a b c
 
  
. 
Câu 27. Cho khối chóp .S ABCD có thể tích bằng V . Gọi M , N , P , Q lần lượt 
là trọng tâm các mặt bên  SAB ,  SBC ,  SCD ,  SDA . Tính thể tích của khối 
chóp .S MNPQ theo V . 
A. 
8
81
SMNPQV V . B.
16
81
SMNPQV V . C.
4
27
SMNPQV V . D. 
2
27
SMNPQV V . 
Câu 28. Cho hình chóp .S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB 
sao cho 2MA SM , 2SN NB ,   là mặt phẳng qua MN và song song với SC
. Kí hiệu  1H và  2H là các khối đa diện có được khi chia khối chóp .S ABC 
bởi mặt phẳng   , trong đó  1H chứa điểm S ,  2H chứa điểm A ; 1V và 2V 
lần lượt là thể tích của  1H và  2H . Tính tỉ số 1
2
V
V
. 
A.
4
3
 B.
5
4
. C.
3
4
 D.
4
5
. 
Câu 29. Cho hình chóp .S ABCD có SA x , BC y , 1AB AC SB SC    . 
Thể tích khối chóp .S ABC lớn nhất khi tổng x y bằng: 
A. 3 . B. 
2
3
. C. 
4
3
. D. 4 3 . 
Câu 30. Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy là hình bình hành. Các điểm A
, C thỏa mãn 
1
3
 SA SA , 
1
5
 SC SC . Mặt phẳng  P chứa đường thẳng  AC 
cắt các cạnh SB , SD lần lượt tại B , D . Giá trị nhỏ nhất của    .
.
S A BCD
S ABCD
V
V
 được 
biểu diễn dưới dạng   *, ,a a b
b
, 
a
b
 tối giản. Khi đó tổng a b bằng 
A. 19. B. 31. C. 61. D. 91. 
29 
8. Các thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không 
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
- Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xuân. 
- Với giáo viên: Giáo viên cần nắm chắc đối tượng học sinh để có phương pháp 
dạy học hữu hiệu nhất. 
- Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn luôn 
không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi 
chúng lại và xây dựng thêm những bài toán có hình ảnh trực quan phát triển năng 
lực cho học sinh. 
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng 
kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia 
áp dụng sáng kiến lần đầu. 
- Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “SỬ DỤNG PHƯƠNG 
PHÁP TỈ SỐ THỂ TÍCH ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN” 
đã giúp học sinh khắc phục được những “sai lầm” và những khó khăn khi gặp bài 
toán tính tỉ số thể tích, tính thể tích của các khối đa diện và cao hơn là làm được 
bài toán min-max trong hình học không gian giải bằng sử dụng phương pháp tỉ số 
thể tích. 
- Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá, 
đã có tăng lên mặc dù số lượng trung bình vẫn còn. Nhưng đối với tôi, điều quan 
trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ môn toán, 
tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học. 
- Bản thân giáo viên khi viết đề tài này cũng đã tự trau dồi cho mình về chuyên 
môn và cũng có được những kĩ năng phân tích tổng hợp tốt. 
- Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho học sinh học tập và cho 
những giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo. 
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng 
sáng kiến lần đầu: 
Số 
TT 
Tên tổ chức/cá 
nhân 
Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực 
áp dụng sáng kiến 
1 Tô Ngọc Dũng THPT Nguyễn Viết Xuân Học sinh khối lớp 12. 
30 
Vĩnh Tường, ngày 12 tháng 
2 năm 2020 
Thủ trưởng đơn vị 
Chính quyền địa phương 
Vĩnh Tường, ngày 14 tháng 
2 năm 2020 
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG 
SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ 
Phạm Thị Hòa 
Vĩnh Tường, ngày 10 tháng 
2 năm 2020 
Tác giả sáng kiến 
Tô Ngọc Dũng