Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng hệ thức Vi-Ét trong giải Toán

A) Kiến thức cơ bản :
1) Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có 2 nghiệm phân biệt thì tổng và tích hai nghiệm đó là:
S = và P = 
2 ) Tính nhẩm nghiệm
a ) Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 
b ) Nếu a - b + c = 0 thì phương trình ax + bx + c = 0 ( a 0 ) có các nghiệm số là 
3 ) Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng
Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì u và v là 2 nghiệm của phương trình bậc hai : 
B ) Bài tập áp dụng và bài tập phát triển , nâng cao
1 ) Loại toán xét dấu nghiệm của phương trình mà không giải phương trình
Bài tập 1: Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ? 
a) 
b) 
c) 
 Giải
Theo hệ thức Vi – ét có S = 
	P = 
Vì P > 0 nên 2 nghiệm x và x cùng dấu
 S > 0 nên 2 nghiệm cùng dấu dương 
 Theo hệ thức Vi – ét có P = nên 2 nghiệm cùng dấu
 S = nên 2 nghiệm cùng dấu âm 
 c) P = nên 2 nghiệm trái dấu
 S = 
Bài tập 2 : Cho phương trình (1)
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m 0 . Nghiệm mang dấu nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn ?
 Giải 
Ta có a = 1 > 0 , c = - m< 0 với mọi m 0
Vì a , c trái dấu nên phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt . Theo hệ thức Vi - ét : P = < 0 . Do đó và trái dấu 
 S = nên nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn 
Bài tập 3: (Đề TS chuyên Hạ Long 1999 – 2000)	(3đ) 
Cho phương trình (1) (với m là tham số)
a) Giải phương trình trên với m = 2 
b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu m
c) Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x Tìm m để biểu thức 
 đạt giá trị lớn nhất
Giải : 
a) Thay m = 2 vào phương trình ta được 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
b)Xét 
Có 
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu 
Gọi 2 nghiệm của phương trình đã cho là x, x 
Từ kết quả phần b có x, x 0 , biểu thức A được xác định với mọi x, x tính theo m và 
Đặt Với a > 0 
Có A = -a + mang giá trị âm 
A đạt giá trị lớn nhất - A có giá trị nhỏ nhất 
Có – A = a + 	 
Theo bất đẳng thức Cô si áp dụng cho hai số không âm a và ( vì a > 0 và )
Có 
Vậy – A 2 nên – A có giá trị nhỏ nhất là 2 A 2 nên A có GTLN là - 2
( thoả mãn điều kiện a > 0 ) 
Với a = 1 thì 
Theo kết quả có 
 * Kết luận : Với m = 1 thì biểu thức A đạt giá trị lớn nhất là - 2
2) Loại toán tính giá trị biểu thức chứa tổng, tích 2 nghiệm
Bài tập 4: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m 
Gọi 2 nghiệm là x và x tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
 a ) Ta có a = 1 > 0 
 a, c trái dấu nên phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi tham số m 
Theo hệ thức Vi ét P = do đó 2 nghiệm trái dấu
b) Ta có 
 = 
Vậy Min khi m = 
Bài tập 5:
Cho phương trình 
Tìm giá trị dương của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng nghịch đảo của nghiệm kia 
Giải :
Ta có a = 2 > 0 
Phưong trình có 2 nghiệm trái dấu 
Với điều kiện này giả sử x 0 theo đề ra ta có 
Vì m > 0 nên ta chọn m = ( thoả mãn điều kiện )
Kết luận : Vậy với m = thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối bằng ngịch đảo của nghiệm kia .
Bài tập 6 : ( Đề tuyển sinh lớp 10 năm 2006 – 2007 )	(2 đ)
Xét phương trình : (1) với m là tham số 
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình (1) luôn có 4 nghiệm phân biệt
Gọi các nghiệm của phương trình (1) là . Hãy tính theo m giá trị của biểu thức M = 
Giải :
1) Đặt x = y ( ĐK : y 0 ) Pt (1) trở thành 
 (2)
Có nên Phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt 
Theo hệ thức Vi – ét có 
Xét có 
nên P > 0 với mọi m Z
cùng dấu
Xét . 
Vì 
nên S > 0 cùng dấu dương (thoả mãn ĐK y 0) 
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt đối nhau từng đôi một .
2) Theo kết quả phần a có 
và 
Thay kết quả S và P vào M ta được 
Kết luận: 
Bài tập 7: (Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 1997 - 1998 )	( 2,5 đ)
Cho phương trình ( mlà tham số) 
Chứng minh : Phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi m
Trong trường hợp m > 0 và là các nghiệm của phương trình nói trên hãy tìm GTLN của biểu thức 
Giải:
a) 
Vì nên 
 Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m
b) 
Theo kết quả phần a phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt 
áp dụng hệ thức Vi – ét ta có 
S = 
P = 
Vì P = m > 0 nên biểu thức A được xác định với mọi giá trị tính theo m 
 = 
Thay S và P vào biểu thức A ta được : 
Theo bất dẳng thức Cô Si vì 	( do m > 0và ) 
Vậy biểu thức A có GTNN là 8 
Trong bất đẳng thức Cô Si dấu bằng xảy ra m = 
Với m = 1 thoả mãn điều kiện m > 0 
	m = -1 không thoả mãn điều kiện m > 0
 Vậy với m = 1 thì A có GTNN bằng 8
Bài tập 8 : ( đề TS chuyên Hạ Long 2005 - 2006 ) 	(2 đ)
Xét phuương trình mx+ (2m -1) x + m -2 = 0 (1) với m là tham số
a ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thoả mãn 
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
 Giải 
a ) Điều kiện để m có 2 nghiệm 
Xét 
Vậy điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là m và m 
Với điều kiện trên theo hệ thức Vi ét có 
Gọi 	
 áp dụng hệ thức Vi ét có A = 4 ( ĐK ) 
Có a + b + c = 3 – 2 – 1 = 0 => m = 1 ( thoả mãn điều kiện m và m )
 m = ( không thoả mãn điều kiện m và m )
Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 2 nghiệm thoả mãn 
Gọi n ta có m = n( n + 1 ) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp ( TMĐK m 0 )
Theo kết quả phần a ta có 
 vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m 
 ( do n > 0 ) 
Vì n nên 1- n và n => là phân số 
 tử n +2 và n +1 => là phân số 
Kết luận:Với m là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm số hữu tỉ
 3 ) Loại toán tìm hai số biết tổng và tích của chúng
 Bài tập 9 : Tìm hai số x y biết 
x + y = 11 và xy = 28 
x – y = 5 và xy = 66
 Giải : 
a ) Với x + y = 11 và xy = 28 theo kết quả hệ thức Vi ét x ,y là nghiệm của phương trình x - 11x + 28 = 0 
= 121 – 112 = 9 > 0 
 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
= 4
Vậy x = 7 thì y = 4
 x = 4 thì y = 7
b) Ta có 
có x , y là nghiệm của phương trình x - 5x - 66 = 0
 = 25 + 264 = 289 > 0 , = 17 
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là 
Vậy x = 11 thì y = - 6 còn x = - 6 thì y = 11
Bài tập 10 : Tìm hai số x y biết x + y = 25 và xy = 12 
Giải : 
Ta có x + y = 25 (x + y ) - 2xy = 25 (x + y )- 2.12 = 25
 (x + y ) = 49 x +y = 7
* Trường hợp x + y = 7 và xy =12 
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 
 = 49 – 4.12 = 1
* Trường hợp x + y = - 7 và xy =12
Ta có x và y là nghiệm của phương trình x +7x +12 = 0 
Giải phương trình ta được x = -3 ; x= - 4 
các cặp số x, y cần tìm là (4 ; 3) ; (3 ; 4) ;(- 4 ; - 3) ; ( -3 ; -4)
4 ) Loại toán tìm biểu thức liên hệ giữa tổng tích 2 nghiệm không phụ thuộc 
 tham số : 
Bài tập 11 : Cho phương trình x- ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm 
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị biểu thức 
b) Tìm a để tổng các bình phương 2 nghiệm số đạt GTNN ? 
Giải
a) 
Theo hệ thức Vi ét có 
Vậy 
 (ĐK : )
b) Ta có (1)
 (2)
Trừ 2 vế của (1) cho (2) ta có , đây là biểu thức liên hệ giữa xvà x không phụ thuộc vào a
C) Các bài tập tương tự
Bài tập 1 : Không giải phương trình cho biết dấu các nghiệm ? 
x- 6x +8 = 0 
11 x+13x -24 =0
2 x- 6x + 7 = 0
Bài tập 2 : Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k , phương trình 
7 x+ kx -23 = 0 có 2 nghiệm trái dấu 
12 x+70x + k+1 = 0 không thể có 2 nghiệm trái dấu 
x- ( k +1)x + k = 0 có một nghiệm bằng 1 
Bài tập 3 : Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh 
mx - 2(m +1)x + m + 2 = 0
(m -1) x + 3m + 2m + 1 = 0
(1 – 2m) x + (2m +1)x -2 = 0
Bài tập 4 : Cho phương trình x- 2m + m - 4 = 0
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau . Tính 2 nghiệm đó 
Định m để phương trình có 2 nghiệm thực dương 
Bài tập 5 : ( đề TS chuyên Hạ Long năm học 2002 -2003 )	(2,5 đ)
Cho phương trình x - mx +1 = 0 ( m là tham số )
Giải phương trình trên khi m = 5 
Với m = , giả sử phương trình đã cho khi đó có 2 nghiệm là 
 Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức 
Hướng dẫn giải:
a) Với m = 5 phương trình trở thành x-5x +1 = 0
 = 21 , phương trình có 2 nghiệm phân biệt , 
b)Với m = , ta có phương trình bậc hai : 
Theo hệ thức Vi ét : và 
Thay S và P vào A ta được :
Bài tập 6 :( đề thi học sinh giỏi lớp 9 thị xã Hà Đông , Hà Tây 2003 -2004) (4đ)
Cho phương trình bậc 2 ẩn x : (1) 
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Gọi là nghiệm của phương trình , chứng minh rằng 
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình (1) có nghiệm 
 hoặc 
Khi m 1 , theo hệ thức Vi ét có 
Vì do đó 
Vì 
Bài tập 7 : ( đề thi TS lớp 10 Hải Dương 2003 – 2004 )	(1đ)
Cho phương trình : 
Tính (Với x , xlà 2 nghiệm của phương trình)
Hướng dẫn giải:
Theo định lý Vi ét ta có 
 Ta có 
 Nếu 
Do đó A = 
Bài tập 8 : (đề thi học sinh giỏi lớp 9 - TP Hồ Chí Minh 2003- 2004)	(4đ)
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
b) Gọi 2 nghiệm là x , x , Tìm GTNN của biểu thức 
Hướng dẫn giải:
a) 
Phương trình có 2 nghiệm 
b)Theo định lý Vi ét có 
Do đó ta có 
Vì nên (m + 2)(m - 3) 0
Khi đó 
Vậy GTNN của A là khi và chỉ khi m = 2
Bài tập 9 : (đề thi TS lớp 10 chuyên toán THPT năng khiếu Trần Phú) (2,5đ)
1) Chứng tỏ rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt x , x
Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là và 
2) Tìm mđể phương trình có hai nghiệm cùng dấu .Khi đó hai nghiệm cùng dấu âm hay cùng dấu dương ?
Hướng dẫn giải:
1) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
vậy phương trình cần tìm là x- 14x +1 = 0
2) Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu 
Khi đó Suy ra phương trình có 2 nghiệm dương
Bài tập 10 : ( Đề tuyển sinh chuyên Hạ Long 2005 – 2006)
Xét phương trình vói m là tham số 
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm là x, xthoả mãn 
b) Chứng minh rằng nếu m là tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì phương trình có nghiệm hữu tỉ