Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện kỹ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình mũ - Logarit có chứa tham số

ề này không có ứng dụng trong thực tế, bởi chúng ta chưa thể xác định được các giá trị nghiệm của phương trình f(x) = g(x), để có thể kiểm tra h(x) có xác định với các giá trị nghiệm đó hay không.
Ngoài phép biến đổi tương đương SGK Đại số 10, Nâng cao, còn đưa ra khái niệm phương trình hệ quả và đưa ra định lý về phép biến đổi bình phương hai vế của phương trình như sau:“f1(x) = g1(x) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x) nếu nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f(x) = g(x)” và “Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho: f(x) = g(x) ị [f(x)]2= [g(x)]2”.
Đối với bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phép biến đổi phương trình hệ quả. Nên cần lưu ý học sinh điều kiện có thể thực hiện phép bình phương hai vế, để thu được phương trình tương đương.
Trong phép biến đổi nhằm giải phương trình, có những phép biến đổi dẫn tới phương trình hệ quả, tuy nhiên đây là điều không dễ nhận ra đối với học sinh. Giáo viên cần đưa ra ví dụ cụ thể về phép biến đổi thu được phương trình hệ quả, để rồi khắc sâu cho học sinh nhằm tránh sai lầm tương tự trong khi thực hiện phép biến đổi đưa đến phương trình hệ quả mà học sinh không nhận ra và gặp phải sai lầm khi nghĩ đó là phép biến đổi tương đương.
Khi giảng dạy về bất phương trình giáo viên cần lưu ý học sinh không có thuật ngữ bất phương trình này là hệ quả của bất phương trình kia, bởi SGK Đại số 10, Nâng cao, không đưa ra khái niệm bất phương trình hệ quả. Để tránh nhầm lẫn với kiến thức về phương trình giáo viên cần lưu ý học sinh:
Nếu không có điều kiện gì đối với f(x) và g(x) thì không thể nói rằng f(x) < g(x) tương đương trên D (D là tập xác định của bất phương trình f(x) < g(x)) với [f(x)]2 < [g(x)]2, thậm chí trong các tập nghiệm của bất phương trình không chắc chắn tập nghiệm nào là con của tập nào.
3.2. Hình thành kĩ năng biến đổi phương trình, bất phương trình
 Đồng nhất thức
logaf(x).g(x) = logaf(x) + logag(x)
logaf2k(x) = 2k logaf(x)
logaf(x).g(x) = loga[-f(x)] + loga[-g(x)]
logaf2k(x) = 2k loga [-f(x)]
Điều kiện
A ³ 0
 A ³ 0 và B ³ 0
 A ³ 0 và B > 0
 A ³ 0 và B ³ 0
A Ê 0 và B ³ 0
A ³ 0 và B > 0
A Ê 0 và B > 0
f(x) > 0 và g(x) > 0
f(x) > 0 và g(x) > 0
f(x) > 0
f(x) < 0 và g(x) < 0
f(x) < 0 và g(x) < 0
f(x) < 0
Học sinh nhiều khi biến đổi phương trình cũng chỉ dựa trên cơ sở cảm tính mà không ý thức đầy đủ về phép biến đổi đó. Do vậy, để hạn chế sai lầm của học sinh giáo viên có thể đưa ra những phép biến đổi cơ bản, với điều kiện thực hiện nhằm hạn chế sai lầm của học sinh:
	Giáo viên không thể lấy ví dụ để minh họa cho việc sử dụng tất cả các đồng nhất thức trên nhưng có thể chỉ ra một vài ví dụ về việc biến đổi phương trình, bất phương trình sử dụng các đồng nhất thức này. Để từ đó giúp học sinh ý thức được việc biến đổi, nhằm tránh được sai lầm trong quá trình giải toán sau này.
Trong quá trình giải toán có lúc chúng ta cần tách thành , tuy nhiên nếu thay như vậy thì tập xác định của bài toán sẽ bị thu hẹp và có thể sẽ làm mất nghiệm. xác định khi A.B > 0 tức là A > 0; B > 0 hoặc A 0; B > 0, vô tình làm mất đi trường hợp A < 0; B < 0.
Ví dụ 16: Giải và biện luận phương trình:
	 	(1)
Hướng dẫn lời giải:
H: Tìm điều kiện xác định của phương trình?
	Û x < 3
H: Hãy quan sát phương trình và thực hiện phép biến đổi?
(1) Û log2(x – 5) – log2(x – 3) + log2 (3 - x) = m.
H: Có thể biến đổi để làm phương trình đơn giản hơn được không?
Có sự giống nhau log2(x – 3) và log2(3 - x) thử biến đổi xem chúng có triệt tiêu không:
	- log2 (x - 3) = - [log2(-1).(3 - x)]
Mâu thuẫn
H: Đúng rồi! Hãy xem xét lại sự tồn tại log2(x – 3) và log2 (3 - x)? 
Để xác định thì:
	Û Không tồn tại giá trị x.
H: Như vậy phép biến đổi đã làm thay đổi điều kiện xác định phương trình thay đổi! Hãy xem xét lại phép biến đổi?
Điều này đúng theo nội dung định lí!
H: Nó chỉ đúng khi nào theo định lý?
Khi x - 5 > 0 và x – 3 > 0
H: ở đây đã đảm bảo điều đó chưa? Hãy xem xét!
Với x < 3 thì x - 5 < 0 và x - 3 < 0
H: Hãy thực hiện phép biến đổi?
H: Tiếp tục giải phương trình!
	(1) Û log2(5 – x) – log2(3 – x) + log2 (3 - x) = m.
	 Û log2(5 – x) = m
	 Û 5 – x = 2m
	 Û x = 5 – 2m
H: Đây có phải là nghiện của phương trình hay không?
Chưa, bởi nghiệm của phương trình còn phải thỏa mãn điều kiện: x < 3.
H: Hãy biện luận theo m nghiệm của phương trình?
 x = 5 – 2m 2 Û m > 1 .
Kết luận:
+) Với m > 1 thì phương trình có nghiệm là: x = 5 – 2m.
+) Với m Ê 1 thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Thông qua Ví dụ 16, giáo viên cần giáo dục cho học sinh ý thức thận trọng, cẩn thận trong phép biến đổi. Những sai lầm như trên cũng là dễ hiểu bởi học sinh thường vận dụng định lý, phép biến đổi một cách máy móc mà không chú ý đến điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi ấy.
Ngoài các phép biến đổi đồng nhất thức như trên, giáo viên cần hình thành kĩ năng giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng biến đổi tương đương. Đối với các phép biến đổi tương đương để giải các phương trình, bất phương trình vô tỷ cơ bản như:
;	;;	
; 	;
(trong đó f(x), g(x) là các hàm số)
Thì cần truyền thụ sao cho học sinh hiểu được bản chất của các phép biến đổi đó. Cần tránh lối truyền thụ áp đặt, máy móc rồi yêu cầu học sinh vận dụng vào thực hành giải toán, làm như vậy học sinh sẽ nhớ không chính xác phép biến đổi, thậm chí không nhớ chỉ sau một thời gian ngắn. Cơ sở của các phép biến đổi này chính là các bất đẳng thức số, để học sinh xâu chuỗi kiến thức, nắm chắc bản chất vấn đề giáo viên có thể đưa ra hoạt động sau:
	3.3. Giúp học sinh ý thức được diễn biến của tập hợp nghiệm khi biến đổi phương trình
Thực tiễn sư phạm chỉ ra, không ít học sinh khi giải phương trình thường dùng phương pháp biến đổi dẫn phương trình ban đầu tới phương trình đơn giản hơn, mà quên mất rằng mọi sự giản lược đó đều có thể “có vấn đề”. Trong thực tế, không phải mọi phép biến đổi đều bảo toàn, tức là không làm thay đổi tập hợp nghiệm của phương trình ban đầu. Nó có thể thu hẹp tập hợp nghiệm (tức là làm mất nghiệm), hoặc mở rộng tập hợp nghiệm (tức là làm xuất hiện hiện nghiệm ngoại lai). Giáo viên cần có sự hướng dẫn, rèn luyện nhằm giúp học sinh có ý thức trong việc biến đổi, để từ đó nhận biết được diễn biến của tập nghiệm. Khi học sinh hiểu được diễn biến của tập nghiệm, thì cần đề ra cho họ phương pháp tìm đúng và đầy đủ tất cả các nghiệm của phương trình đã cho. Sự thay đổi của tập nghiệm là hoàn toàn phụ thuộc vào phép biến đổi, do vậy giáo viên cần giáo dục học sinh khả năng ý thức diễn biến tập nghiệm thông qua việc dạy các phép biến đổi.
Với phép biến đổi tương đương thì tập nghiệm của phương trình là không thay đổi. Do đó, nghiệm của phương trình cuối cùng là nghiệm của phương trình ban đầu. Như vậy học sinh cần phải ý thức được rằng 2 phương trình tương đương có cùng tập nghiệm, kể cả trường hợp đó là tập rỗng.
Như vậy, nếu trong quá trình biến đổi học sinh sử dụng phép biến đổi phương trình hệ quả, thì có thể sẽ làm xuất hiện nghiệm ngoại lai. Do vậy, trong quá trình giải phương trình việc ý thức được phép biến đổi và diễn biến tập nghiệm là điều quan trọng. Giáo viên cần nhắc nhở học sinh nếu biến đổi mà thu được phương trình hệ quả thì sau khi tìm ra nghiệm phương trình cuối cùng thì cần phải thử lại để loại các nghiệm ngoại lai.
4. Biện pháp 4: Hình thành khả năng nhận dạng, định hướng phương pháp giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số
Trong quá trình giải toán thì khả năng nhận dạng, định hướng phương pháp giải là điều hết sức quan trọng. Đây chính là khâu đầu tiên của quá trình tư duy tìm lời giải bài toán, nếu bế tắc ở giai đoạn này thì chắc chắn sẽ không có lời giải đưa ra (kể cả là lời giải sai lầm), hay có thể nói học sinh đã “đầu hàng”. Tất nhiên, không thể đưa ra sự định hướng cho lời giải của mọi bài toán nhưng có thể rèn luyện khả năng này thông qua quá trình tìm tòi, phát hiện lời giải bài toán. Bài tập toán vô cùng đa dang, phong phú, mỗi bài đều có bản sắc riêng, nhưng đối với một dạng toán nào đó thì phương pháp giải là không nhiều và có thể kể tên các phương pháp đó. Đối với dạng toán phương trình và bất phương trình có chứa tham số ở trường THPT, có thể kể tên một số phương pháp thường dùng để giải như sau:
+) Phương pháp biến đổi tương đương.
+) Phương pháp đặt ẩn số phụ.
+) Phương pháp hàm số.
+) Phương pháp lượng giác hóa.
+) Phương pháp đồ thị.
+) Phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ.
 Phương pháp giải tuy không nhiều, nhưng khi đứng trước một bài toán để định hướng được phương pháp giải là điều không đơn giản, bởi phương pháp giải luôn được che giấu bởi những con số, công thức và những mối liên hệ được giấu đi. Trong khi tìm lời giải thì việc định hướng phương pháp giải cần phải tự nhiên, hợp lôgic, tránh việc truyền thụ áp đặt, nhồi nhét. 
5.1. Giúp học sinh có cái nhìn tổng quan về các phương pháp
Khi tiếp xúc với một chủ đề toán học, thì việc hình thành cái nhìn tổng quan về nội dung đó là hết sức quan trọng. Chỉ khi có tổng quan về các phương pháp, học sinh mới đỡ bỡ ngỡ và có khả năng ứng phó khi đứng trước những bài toán khác nhau. Trong tư duy con người, thì khả năng bắt chước cũng là quan trọng, tất nhiên không phải là bắt chước theo dạng “photocopy”, mà chỉ bắt chước về mặt đường lối và phương pháp làm việc mà thôi. Đối với học sinh trình độ “đại trà” thì việc phát hiện ra một phương pháp giải mới (chỉ mới đối với học sinh) cũng là điều rất khó. Vì những lý do trên khi bắt đầu tiếp xúc với dạng toán mới, giáo viên cần cung cấp đầy đủ cho học sinh những phương pháp giải cơ bản, đồng thời nêu lên những dạng toán điển hình.
Các phương pháp giải phương trình và bất phương trình có chứa tham số được đưa ra ở trên thì hầu hết học sinh đã được làm quen khi học về nội dung phương trình, bất phương trình không chứa tham số. Như vậy, học sinh hầu như đã định hình được về các phương pháp đó, duy chỉ có phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ là học sinh chưa được làm quen. ở đây, xin đưa ra cách giới thiệu phương pháp giải sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số. Giáo viên có thể đưa ra một ví dụ về bài toán giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ, chẳng hạn:
Ví dụ 18: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
	 	(1)
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
H: Hãy vận dụng các phương pháp đã biết để giải bài toán?
Biến đổi tương đương (1) Û , đây là phương trình vừa chứa hàm mũ vừa chứa căn thức, 
Giáo viên: Sử dụng các phương pháp khác vào việc giải bài toán này là tương đối khó khăn, nếu không muốn nói là bế tắc. ở đây, ta sử dụng phương pháp giải mới là phương pháp điều kiện cần và đủ. Trước hết ta sẽ đi tìm điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất và sau đó là kiểm tra xem điều kiện cần đó có đủ để phương trình, bất phương trình có nghiệm duy nhất hay không, như vậy: 
Điều kiện cần: Dựa vào tính duy nhất nghiệm suy ra nghiệm của phương trình, bất phương trình thỏa mãn tính chất nào đó, dựa vào tính chất này suy ra các giá trị của tham số.
Điều kiện đủ: Kiểm tra các giá trị của tham số tìm được trong điều kiện cần có thỏa mãn yêu cầu phương trình có nghiệm duy nhất hay không.
	Cơ sở suy luận lôgic của phương pháp này là: A ị B và kiểm tra xem B ị A có đúng hay không?
H: Giả sử phương trình (1) có nghiệm là x0, từ nghiệm x0 này liệu có thể suy ra một nghiệm khác nữa hay không?
.
H: Hãy suy nghĩ bài toán đơn giản hơn: “Giả sử x0 là nghiệm của phương trình: x2 – m = 0, hãy chỉ ra một nghiệm khác x0 của phương trình ?”!
- x0 cũng là một nghiệm của phương trình trên bởi (- x0)2 – m = x02 – m = 0
H: Đúng rồi! Như vậy nếu phương trình (1) có nghiệm thứ 2 là x’ thì nó phải thỏa mãn điều gì?
H: Hãy chỉ ra các trường hợp cụ thể để đẳng thức trên đúng?
	 và 	 (2)
hoặc và 	 (3)
H: Hãy tìm tương quan giữa x0 và x’ trong các khả năng (2), (3)?
+) Từ đẳng thức (2) suy ra: x0 = x’, nên nghiệm x’ vẫn trùng x0
+) Từ (3) suy ra:
 Û 
 ( với x0 là nghiệm nên: - 5 Ê x0 Ê 4) 
Û x’ = - 1 –x0
H: Chỉ ra nghiệm thứ 2 của phương trình khác với x0 (không đồng nhất bằng x0)?
Đó là: x’ = - 1 – xo.
H: Để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là gì?
Điều kiện cần để (1) có nghiệm duy nhất là : x’ = x0
ị x0 = - 1 – x0 Û x0 = - 1/2
H: Điều này có nghĩa là gì?
Nếu phương trình (1) có một nghiệm là x0, khi đó để phương trình (1) có nghiệm duy nhất thì x0 = - 1/2.
H: Khi nào phương trình (1) có nghiệm x0 = - 1/2?
(1) có nghiệm x0 = - 1/2 nên ta có :
 Û a = 1
H: Nêu kết luận về điều kiện cần của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất?
a = 1 là điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất.
H: Bước tiếp theo ta cần làm gì?
Sang điều kiện đủ: Tức là đi kiểm tra xem với a = 1 thì phương trình có đúng là có nghiệm duy nhất hay không! (tới đây học sinh dễ dàng giải phương trình: , tìm ra nghiệm duy nhất là: x = - 1/2)
H: Nêu kết luận bài toán?
Vậy với a = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất. 
Sau khi hoàn thành Ví dụ này, giáo viên cần khẳng định hiệu quả của phương pháp khi giải bài toán tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm duy nhất. Cụ thể với bài toán trong Ví dụ 18, nếu giải bằng phương pháp khác là rất khó khăn trong khi nếu giải bằng phương pháp sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ sẽ rất thuận lợi, dễ dàng.
5.2. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích bài toán để từ đó định hình phương pháp giải
Bài giảng của giáo viên nếu chỉ dừng lại ở việc đưa ra lời giải, thì giáo viên ấy chỉ làm được việc là tái hiện những gì viết trong sách vở. Nhiệm vụ của người giáo viên cần làm là thông qua hoạt động toán học nhằm rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh, để từ đó giúp học sinh có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết. Giáo viên cần làm sao cho lời giải bài toán đến với học sinh như là một quá trình suy luận, tư duy của học sinh, bởi dạy học có nghĩa là dạy cho học sinh cách suy nghĩ.
Đứng trước một bài toán các phương pháp giải thì đã biết, tuy nhiên lựa chọn phương pháp gì thì phụ thuộc hoàn toàn vào đặc điểm của bài toán. Mà mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, suy luận và thử sai (lựa chọn phương pháp phù hợp thông qua quá trình thử các phương pháp). Như vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên cần coi trong vai trò của việc phân tích đặc điểm bài toán, để minh họa việc phân tích đặc điểm bài toán ta xem xét Ví dụ sau:
6. Kết luận 
Để xây dựng các Biện pháp sư phạm nhằm khắc phục những trở ngại, khó khăn, sai lầm mà học sinh thường gặp phải trong quá trình học nội dung phương trình, bất phương trình. Biện pháp sư phạm phù hợp với học sinh ở nhiều trình độ khác nhau, nó có thể giúp học sinh hiểu hơn các vấn đề về phương trình và bất phương trình có chứa tham số. Đồng thời, vạch ra phương hướng nhằm tìm ra lời giải một số dạng toán về phương trình và bất phương trình có chứa tham số. Các Biện pháp sư phạm xây dựng dựa trên quan điểm phương pháp dạy học mới, đó là: lấy học sinh làm trung tâm, giáo viên chỉ là người tổ chức, điều khiển học sinh chiếm lĩnh tri thức. Các Biện pháp này có thể vận dụng linh hoạt trong từng nội dung dạy học và nếu vận dụng tốt chắc chắn sẽ phát huy tác dụng. Các ví dụ, hoạt động tuy không nhiều nhưng nó phần nào minh họa được cách thức để hình thành kĩ năng cho học sinh, đồng thời thể hiện được phương pháp dạy học tích cực.
 III . Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình, bất phương trình chứa tham số; kiểm nghiệm tính đúng đắn của Giả thuyết khoa học.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại trường THPT bán công số I Hà trung – Thanh hoá
+) Lớp thực nghiệm : 11B1
+) Lớp đối chứng : 11B10
3.2.2. Nội dung thực nghiệm
	Thực nghiệm được tiến hành trong bài Phương trình và bất phương trình bậc hai (từ tiết 86 và tiết 87). Sau khi dạy thực nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra. Sau đây là nội dung đề kiểm tra:
Đề kiểm tra (thời gian 90 phút)
Câu I: Giải và biện luận theo tham số α bất phương trình 
 	log3x + logx3 +2cosα ≤ 0
	( Đề 109 câu I2 - Đề thi tuyển sinh )
	Câu II: Với giá trị nào của m thì phương trình 
	 có nghiệm duy nhất ?
	( Đề 49 Câu III1- Đề thi tuyển sinh )
	Câu III: Giải và biện luận theo tham số m bất phương trình
(Đề 80 Câu II1- Đề thi tuyển sinh)
	Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên Đề kiểm tra này dành cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng. Xin được phân tích rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh.
	Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh. Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học sinh. Cả ba câu trong đề kiểm tra đều không nặng về tính toán, mà chủ yếu là kiểm tra khả năng suy luận, vận dụng kiến thức đã được học về phương trình và bất phương trình bậc hai.
Kết quả :
TT
Lớp
Số bài
Điểm dưới TB
Điểm TB
Điểm khá
Điểm giỏi
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
1
11B1
58
12
20.6
25
43.1
15
25.9
6
10.4
2
11B10
54
17
31.4
28
51.9
7
12.9
2
3.8
Nhận xét : 
-) ở lớp thực nghiệm : tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB thấp hơn ở lớp đối chứng ,tỉ lệ khá và giỏi cao hơn . 
-) ở lớp đối chứng : Tỉ lệ học sinh có điểm TB và dưới TB cao hơn ở lớp thực nghiệm, tỉ lệ có điểm khá giỏi thấp hơn
Điều đó cho thấy học sinh ở lớp thực nghiệm lĩnh hội , tiếp thu và vận dụng kiến thức tốt hơn. Khả năng nhìn nhận và giải quyết bài toán chứa tham số tốt hơn so với đối chứng
 IV.Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng.
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến phương trình và bất phương trình mũ –logarit có chứa tham số.
3. Chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong quá trình giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình mũ –logarit có chứa tham số.
4. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến phương trình và bất phương trình mũ –logarit có chứa tham số.
5. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực.
6. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Hà trung 20/04/ 2007
người thực hiện 
nguyễn văn trung
Tài liệu tham khảo
1. 	Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2003), Các bài giảng luyện thi môn Toán ( Tập 1), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
2. 	Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2003), Các bài giảng luyện thi môn Toán (Tập 2), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
3. 	Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2004), Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải Toán, Nhà xuất bản Hà Nội, Hà Nội.
4. 	Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải (2004), Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải Toán, Nhà xuất bản Hà Nội, Hà Nội.
5. 	Nguyễn Thái Hòe (2002), Dùng ẩn phụ để giải Toán, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
6. 	Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
7. 	Nguyễn Bá Kim, Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường (1994), Phương pháp dạy học môn Toán (Phần hai), Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
8. 	Nguyễn Văn Mậu (2005), Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
9. 	Đặng Hùng Thắng (2005), Phương trình bất phương trình và hệ phương trình, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.