Sáng kiến kinh nghiệm Rèn luyện giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

 không có cách giải cụ thể thì học sinh sẽ rất lúng túng trong khi giải toán. Nhìn chung đa số các em chỉ mới nêu được cách giải các phương trình đơn giản việc đi sâu vào giải phương trình thì các em còn bế tắc, chưa có cách giải.
2 – Kết quả của thực trạng
 Từ thực trạng trên với mục đích khảo sát cụ thể để đánh giá và từ đó có biện pháp giảng dạy có hiệu quả tôi đã tham khảo nhiều tài liệu và tiến hành khảo sát 8 em trong đội tuyển học sinh giỏi.
Bài tập 1: Giải phương trình x4 – 5x2 + 6 = 0 
Bài tập 2: Giải phương trình (x – 1)4 + (x + 3)4 = 82
Bài tập 3: Giải phương trình x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 1 = 0 
Bài tập 4: Giải phương trình (3x + 4)(x + 1)(6x + 7)2 = 6
 Kết quả thu được sau khi các em làm 4 bài tập trên như sau
Điểm < 5
Điểm 5 <6,5
Điểm 6,5 < 8
Điểm 8 10
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
4
50,0
3
37,5
1
12,5
0
0
 Trong khi chấm khảo sát tôi còn phát hiện thấy phần đa số các em chưa có phương pháp giải, lời giải dài dòng, lập luận không chặt chẽ, thiếu tính lo gic. Ở một số em còn thử và ngộ nhận kết quả. Chính vì vậy sau thời gian đắn đo bản thân còn bỡ ngỡ khi đã nhiều lần tìm tòi, giải các phương trình, đến nay với kinh nghiệm ít ỏi tôi quyết định đúc rút được một số kiến thức tôi đã mạnh dạn chọn đề tài này để nghiên cứu và xin giới thiệu với đồng nghiệp cùng tham khảo
III.Các giải pháp tổ chức thực hiện
 Phương trình là một đề tài lý thú của phần đại số, là loại bài toán khó tuy nhiên nó lôi cuốn được nhiều đối tượng học sinh. Trong khi giải phương trình có nhiều phương pháp để giải. Mỗi bài toán khi giải cần vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan sao cho phù hợp với đặc điểm của bài toán đó nhằm rèn luyện tư duy toán học một cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy, các bài toán về phương trình thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, chọn đội tuyển, học sinh giỏi cấp tỉnh, các bài toán thi Violimpic
1.1. Tiến hành khảo sát đối tượng học sinh
 Khi được phân công giảng dạy các em tôi đã tiến hành khảo sát học sinh bằng cách cho các em một số bài toán dễ để kiểm tra xem các em giải như thế nào và mức độ vận dụng ra sao để phát hiện và có kế hoạch bồi bổ những phần mà các
em còn lúng túng, diễn đạt thiếu logíc, thiếu chặt chẽ.
1.2. Tìm tòi và tham khảo tài liệu
 Trước khi dạy bồi dưỡng các em bản thân tôi đã tìm đến các hiệu sách tìm và mua các tài liệu có liên quan đến phương trình, tìm tòi trên mạng intenet những chuyên đề về phương trình. Hay thu thập một số đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và một số bài toán trong phần Tự luyện Violimpic.
1.3. Biên soạn và phân dạng các bài toán.
 Sau khi đã tìm tòi được một số bài toán thông qua các sách tham khảo và các kênh thông tin khác tôi tiến hành phân dạng các bài toán thành các dạng cụ thể: 
1. Phương trình dạng a[F(x)]4 + b[F(x)]2 + c = 0.
2. Phương trình bậc 4.
2.1 Phương trình đối xứng bậc 4
2.2 Phương trình phản thương
2.3. Phương trình hồi quy dạng tổng quát.
2.4. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
2.5. Phương trình có dạng: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 trong đó ad = bc 
2.6. Phương trình dạng (x +a)4 + (x +b)4 = c
3. Phương trình căn thức ( Phương trình vô tỉ)
3.1. Sử dụng 1 ẩn phụ.
3.2. Sử dụng 2 ẩn phụ
3.3. Sử dụng 3 ẩn phụ
3.4.Sử dụng 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình
4. Phương trình đẳng cấp đối với các biểu thức chứa ẩn
5. Phương trình mũ
1.4.Các biện pháp tổ chức thực hiện
1. Phương trình dạng a[F(x)]4 + b[F(x)]2 + c = 0.
Trong đó F(x) là biểu thức chứa ẩn; a, b, c Î R.
Cách giải: Giải phương trình này ta đặt ẩn phụ t = [F(x)]2 đk: t ≥ 0 để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 với ẩn phụ t có dạng: at2 + bt + c = 0
Đây là phương trình quen thuộc mà học sinh dễ dàng giải được
 Ví dụ 1: Giải phương trình : 2x4 – 3x2 – 2 = 0. (1)
Phương trình trên không phải là phương trình bậc hai song có thể đưa nó về phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ.
 Giải:
Đặt = x2 (Điều kiện t ≥ 0 ) ta được phương trình bậc 2 đối với ẩn t.
 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm
 ( loại)
Với thỏa mãn điều kiện t ≥ 0.
 => x2 = => = 
Vậy tập nghiệm của phương trình S = 
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 Giải : 
 Đặt 	(Điều kiện ) 
Phương trình (2) trở thành: 
 (TMĐK)
 (loại)
Với 
 (vì )
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. x1 = ; x2= 
2. Phương trình bậc 4.
Phương trình tổng quát có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.
 x là ẩn; a, b, c, d, e là các hệ số, a ≠ 0
2.1 Phương trình đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. (a ≠ 0) (1)
Đặc điểm của dạng phương trình này là vế trái của các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau.
Phương pháp giải gồm 4 bước:
- Bước 1: Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả 2 vế của (1) cho x2 
(đk x ≠ 0) rồi nhóm các số hạng cách đều 2 số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta được phương trình mới.
 x2 + x + + = 
- Bước 2: Đặt y = x + (2) Đk 
Từ đó ta có 
 (3)
- Bước 3: Giải phương trình (3) ta được y = .( Đối chiếu với điều kiện của y)
- Bước 4: Thay các giá trị của y thỏa mãn vào (2) để ta tìm x và trả lời nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình (3)
 Giải : Ta có x = 0 không phải là nghiệm của pt (3)
Chia cả 2 vế của pt (3) cho x2 (đk x ≠ 0) ta được phương trình:
 (3.1)
Đặt x + = (3.2) Đk 
Thay vào (3.1) ta có 	
Giải (3.3) ta được y1 = - (TMĐK) y2 = (TMĐK)
* Với x + = 
	 ; x2 = 
* Với = x + = 
	 => x3 = ; x4 = 
Vậy phương trình (3) có tập nghiệm S = { ; ; ; }
Ví dụ 4: Giải phương trình: 
Đây không phải là phương trình dạng tổng quát tuy nhiên nếu đặt ẩn phụ hợp lý ta sẽ được một phương trình dạng tổng quát như trên.
 Giải: (4)
 Đặt = x – ta có x = 
Phương trình (4) 
 (4.1)
Vì y = 0 không phải là nghiệm của (4.1) nên chia cả 2 vế của phương trình (4.1) cho y2 ta được 
Đặt Đk 
=>
Phương trình (4.2) 
Với (KTMĐK)
Với (TMĐK) ta có 
Với thì 
Với thì 
Vậy phương trình (4) có 2 nghiệm ; 
Tổng quát:
 Phương trình đối xứng bậc chẵn là phương trình có dạng:
a0x2n + a1x2n-1 + ..+ an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 với (1) 
* Cách giải
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (1) thì ta chia cả 2 vế của phương trình (1) cho xn ¹ 0 
(1) Û = 0
Û = 0
Đặt ta đưa phương trình (2) về phương trình bậc n với ẩn y
Phương trình đối xứng bậc lẻ là phương trình có dạng:
a0x2n+1 + a1x2n + ..+ an+1xn+1 +anxn + an-1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (2) với 
* Cách giải
Phương trình này luôn có nghiệm nên ta chia cả 2 vế của phương trình (2) cho x + 1 ta được phương trình đối xứng bậc chẵn
	2.2 Phương trình phản thương
Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 – bx +a = 0 (a ≠0) (1)
 Hoặc ax4- bx3 + cx2 + bx + a = 0 () 
Cách giải:
a ≠ 0 nên x = 0 không là nghiệm của (1).
Chia cả 2 vế của (1) cho x2 ta được
 x2 + x + = 
 (2)
Đặt y = x - 
Phương trình (2) được đưa về dạng 
	 (3)
Giải phương trình (3) ta được y = 
Ví dụ 5: Giải phương trình. 
 Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (5) nên ta chia cả 2 vế của (5) cho x2 ta được:
 Pt 
 Đặt 
Phương trình (5.1) được đưa về dạng 
	Với ta có 
 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm 
Ví dụ 6: Giải phương trình (x2 – )( x2 – x) = 	
Đây không phải là phương trình dạng trên nhưng ta biến đổi thêm một bước nữa 
 (x2 – )( x2 – x) = rồi đặt = x – thì sẽ đưa được về dạng trên.
 Giải: đặt = x – => x = y + 
Phương trình (6) 
Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm chia cả 2 vế cho y2 ta được 
 y2 + y = 
Đặt = ta được => = 
Với = ta được = 
 Giải phương trình trên ta được = 
Với = + ta được = + 
	Giải phương trình trên ta được = 
 Vậy nghiệm của phương trình đã cho. = 
 = 
2.3. Phương trình hồi quy dạng tổng quát.
 ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (1)
Trong đó: x: ẩn; a. b, c, d, e là các hệ số a ≠ 0, e ≠ 0 và 
Cách giải:
Nếu x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) thì chia cả 2 vế của phương trình (1) cho x2 ta được.
 x2 + x + + = 
Nhóm hợp lý 
Đặt x + = x2 +2x 
Do nên x2 + 
Khi đó phương trình (2) trở thành.
Giải (3) ta được nghiệm phương trình ban đầu.
Ví dụ 7: Giải phương trình: 	(7)
Nhận xét nên phương trình (1) là phương trình hồi quy.
 Giải: Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) do đó chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được.
 (7.1)
Đặt (7.2) => thay vào (7.1).
 ; 
Với phương trình (7.2) 	 
	 x2 + x – = 
	 => x1 = 
 x2 = 
Với 	 phương trình (7.2) 	 
	=> x3 = x4 = 
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm S = { ;;; }
2.4. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m
Trong đó a + d = b + c
Cách giải:
Nhóm x + a với x + d; x + b với x + c.
Khi đó phương trình có dạng: [ x2 + (a +d)x + ad] [ x2 + (b + c)x + bc] = 0
Do a + d = b + c nên ta đặt [ x2 + (a +d)x + k] = t (2) ( k có thể là ad hoặc bc) ta có phương trình. t2 +Bt +C = 0.
Giải phương trình tìm được t sau đó thay vào (2) tìm x.
Ví dụ 8: Giải phương trình. (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = (8)
 Giải: 
 (8)
 (8.1)
 Đặt: (8.2)
 Phương trình (8.1) 
 ; 
Với ta có phương trình 
=> x1,2 = 
 ta có phương trình 
=> x3 = ; x4 = 
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
2.5. Phương trình có dạng (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = mx2 trong đó ad = bc
* cách giải:
Ta nhóm 
 (1)
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1) do đó chia cả 2 vế của phương trình cho x2 thì pt (1) 
 Đặt Pt (1) 
Ví dụ 9: Giải phương trình (9)
Hướng dẫn
PT (9) (9.1)
Vì x = 0 không phải là nghiệm của (9.1) nên ta chia cả 2 vế của pt(9.1) cho x ta có:
Đặt ta có: (9.2)
Giải phương trình (9.2) ta có y0; giải phương trình có x0 là nghiệm của phương trình (9) 
2.6. Phương trình dạng (x +a)4 + (x +b)4 = c (1)
	x là ẩn; a, b, c là các hệ số.
Cách giải: Đối với dạng phương trình này ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của x +a và x +b.
Đặt t = x + => 	
Khi đó phương trình (1) trở thành. 
Đây là phương trình trùng phương đã biết cách giải.
Ví dụ 10: Gải phương trình sau: 	(x +3)4 + (x -1)4 = 626 (10)
Hướng dẫn: Đặt t = 	
Phương trình (10) 
 ; 
Từ đó tìm được x = 8 và x = -34 là nghiệm của phương trình đã cho
3. Phương trình căn thức ( Phương trình vô tỉ)
3.1. Sử dụng 1 ẩn phụ.
Ví dụ 11: Giải phương trình:	 (11)
Nhận xét: Ta thấy biểu thức dưới dấu căn đều có số hạng 3x2 -2x và đây là biểu thức chung, và ta chỉ quan tâm đến biểu thức chung chứa biến còn nếu có thêm hằng số cũng không quan trọng, ta có thể đặt ẩn phụ t = 3x2 -2x để đưa phương trình về dạng cơ bản. Tuy nhiên để bài toán được gọn hơn ta thường đặt ẩn phụ cho nguyên biểu thức căn. Đặt t = 
 Giải: Đặt t = 	đk: t ≥ 0
Phương trình (11) 	 
 (TMĐK)
Với ta có = 
	=> 
Vậy tập nghiệm của phương trình (11) là: S = 
Ví dụ12: Giải phương trình: 	(12)
 Giải : Đk: 
 Đặt = đk (t ≥ 0)
=> = 7 + = 
=> 
Khi đó phương trình (12) trở thành 	 + 
	 (loại) ; (TMĐK)
Với t = 3 ta có = 
	 = 
	 x2 – x – = 
Vậy tập nghiệm của phương trình (12) là: S = 
Tổng quát: Các phương trình có biểu thức trong đó A ; B hằng số khi đó ta đặt t = 
	=>
Đưa phương trình về ẩn t.
3.2. Sử dụng 2 ẩn phụ.
Ví dụ 13 : Giải phương trình 	(13)
 Giải :
 Đặt =  ; = 
 Phương trình (13) được đưa về dạng : 
 Vậy phương trình (13) có nghiệm 
Ví dụ 14: Giải phương trình 	(14)
 Giải
 Ta có: 
 Đặt = 
 = 	( đk: x ≥ ; ; ) 
 Phương trình (14) 
 hoặc 
 hoặc 
*Trường hợp 1: 	
Ta có 
	Þ x1 = ; x2 = (TMĐK)
*Trường hợp 2: 
Ta có 
	 < nên PTVN
Vậy nghiệm của phương trình (14) là x1 = ; x2 = 
Ví dụ 15: Giải phương trình (15)
Nhận xét: Phương trình này nếu để như thế này thì chưa đặt ẩn phụ được vậy ta biến đổi thêm một bước nữa để dễ dàng đặt ẩn phụ
 Giải
Phương trình ( 15) (15.1)
 Đặt = = ( )
 PT (15.1) 
 Vì 
 Nên Với ta có = 
 x2 – = 
 x = 2 hoặc x = vì x > 0 nên nghiệm của phương trình là x = 2
Tổng Quát:Các phương trình có dạng 
Khi đó đặt (xét )
Hoặc đặt . Tính theo . 
Ví dụ 16: Giải phương trình 
 Giải
Điều kiện 
Ta có: 
Đặt điều kiện 
Khi đó phương trình trở thành 
Với ta có (TMĐK)
Với ta có 
 (KTMĐK) 
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
3.3 Sử dụng 3 ẩn phụ
Ví dụ 17: Giải phương trình (17)	
 (Trích đề thi HSG huyện Thạch Thành năm 2012 – 2013)
 Giải: Cách giải 1:
Ta có: 
Vì nên 
Vậy nghiệm của phương trình 
Nhận xét:trong ví dụ này nếu quy đồng khử mẫu thì ta dễ dàng biến đổi phương trình về dạng 1 vế là tổng các bình phương và 1 vế bằng 0 từ đó dễ dàng tìm nghiệm của phương trình tuy nhiên khi giải một bài toán không chỉ có một cách giải duy nhất mà chúng ta nên khuyến khích cho học sinh phát huy tính tích cực bằng cách cho học sinh tìm tòi khám phá ra nhiều cách giải dần dần các em sẽ có khả năng phán đoán và tìm ra cách giải hay và ngắn gọn khi giải toán.
Ngoài cách giải như trên trong ví dụ này ta nên hướng dẫn học sinh cách đặt ẩn phụ để giải phương trình.
Cách giải 2:
 Đặt
 (*) (ĐK: u;v;t > 0)
 ; ; 
Phương trình ( 17)	
Thay vào (*) ta được Vậy nghiệm của phương trình 
Ví dụ 18: Giải phương trình 
 Giải : 
 	(ĐK: ) (18 )
Đặt ĐK: a;b;c 
PT ( 18 ) 
* Với 
* Với ptvn
Vậy PT(18 ) có 1 nghiệm x = 2
3.4 Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
a) Đối với căn bậc chẵn
Ví dụ 19: Giải phương trình (19)
 Giải : ĐK : 
Đặt với 
PT (19) Û (TMĐK)
Vậy phương trình (19 ) có 1 nghiệm x = 1
Ví dụ 20: Giải phương trình (20)
 Giải :
Đặt với u,v
PT (20 ) 
Từ đó ta có: Þ 
Vậy phương trình (20) có 2 nghiệm 
b) Đối với căn bậc lẻ
Ví dụ 21 : Giải phương trình: 
 Giải
Đặt: 
Ta có hệ: 
, sau đó thay vào ta có:
Vậy phương trình (21) có tập nghiệm là: S = 
Ví dụ 22: Giải phương trình (22)
Chú ý: 
Hướng dẫn:
PT (22) 
Đặt 	
Vậy phương trình đã cho tương đương với hệ
 Từ đây thay u,v vào trên dễ dàng tìm được x
4. Phương trình đẳng cấp đối với các biểu thức chứa ẩn
Dạng tổng quát
ay2a + byaza + cz2a = 0 (*)
Trong đó y = y(x) z = z(x) a;b;c a2 = b2 + c2 ≥ 0
Cách giải:
Nếu z(x) = 0 hoặc y(x) = 0
Không phải là nghiệm của x ta chia cả 2 vế của (*) cho z2a ta được 
a
Đặt t = Đưa phương trình đã cho về dạng at2 + bt + c = 0
Ví dụ 23: Giải phương trình 
Hướng dẫn:
Ta có 
Nhận thấy x = 2 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả 2 vế của phương trình cho (x-2)4 ta được
Đặt t = ĐK : t ≥ 0
Khi đó phương trình đã cho tương đương với t2 – t – 2 = 0
	Þ t = -1 hoặc t = 2 mà t ≥ 0 Þ t = 2
Ta có: = 2 
Ví dụ 24: Giải phương trình 
 Giải: 
 Nhận thấy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình nên ta chia cả 2 vế của phương trình cho (x+1)2 ta được
Đặt = Phương trình đã cho tương đương với 
Þ hoặc Với t = 2 Þ = 2 
Với Þ = 
 nên pt vô nghiệm
Vậy PT đã cho có nghiệm 
5. Phương trình mũ
Một số dạng thường gặp và cách giải
Ví dụ 25: Giải phương trình 2x + 22x = 20
 Giải:
 Đặt t = 2x t ≥ 0 phương trình đã cho có dạng
6t2 + t – 20 = 0
Þ t = 4 (TMĐK) hoặc t = -5 (loại)
Với t = 4 Þ x = 2
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = 2
Ví dụ 26: Giải phương trình (26)
 Giải:
Nhận thấy 
Đặt t = t > 0
Phương trình (26) tương đương với + = 
 Với 
 Với 
Vậy nghiệm của phương trình là x = -2 ; x = 2 Ví dụ 27 : Giải phương trình 
 Giải:
Chia cả 2 vế của pt cho 4x ta được 
Nhận thấy 
Đặt = (*) 	t > 0
Ta quy về PT (TMĐK)
Thay vào (*) ta được = Þ x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
Ví dụ 28 : Giải phương trình 
Hướng dẫn
Phương trình đã cho viết được thành 
Đặt ; (*) 
Khi đó ; (TMĐK)
Thay vào (*) ta có 
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
6. Bài tập vận dụng
A - Đề bài
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) 
b) 
c) 
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) 
b) 
c) 
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 4: Giải các phương trình sau
a)(x – 1)2 + 4(x2 + x + 1)2 – 5(x3 – 1) = 0
b) 
c) 
Bài 5: Giải các phương trình sau
a) 
b) 
c) 
d) 
B - Lời giải,hướng dẫn hoặc đáp số 
Bài 1: 
a) Đáp số: 
b) Đáp số:
c) HD: Phương trình là phương trình đối xứng bậc lẻ nên 
x = -1 là 1 nghiệm của phương trình ta biến đổi phương trình về dạng
Đáp số: 
Bài 2: 
a) 
b) 
c) 
Bài 3: 
a) 
b)HD: Đặt ; thì 
Đáp số: 
c) 
d) HD: Đặt ta được phương trình: 
Đáp số: 
Bài 4: 
a)HD: Vì x2 + x + 1 > 0, "x nên chia 2 vế của phương trình cho (x2 + x + 1)2, ta được :
	Đặt : t = . 
Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
b)HD: ĐK: Đặt thì 
Đáp số: 0;1;6
c)HD: Đặt ; ; thì do đó 
 vậy 
Đáp số: 
Bài 5: 
a) HD:Điều kiện: 
Nhận xét. 
Đặt thì phương trình có dạng: 
Thay vào tìm được 
b) HD: Đặt 
Đáp số: 
c) HD: Đặt 
Ta được hệ phương trình: 
Đáp số: 
d) HD:ĐK:
Đặt 
Đáp số: 
IV.Kiểm nghiệm
 Sau khi bản thân đã áp dụng cách giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ trên tôi nhận thấy các em nắm vững được các phương pháp giải, khi giải các em không còn lúng túng, diễn đạt chặt chẽ, giải không thiếu , không thừa nghiệm. Hơn nữa theo tôi các phương pháp trên đã giúp cho các em sáng tạo khi học và giải toán. Biết cách định hướng và giải các bài toán một cách ngắn gọn . Học sinh phát huy được trí lực của bản thân và có những lúc các em phát triển được bài toán mới. Đặc biệt trong số các em tôi bồi dưỡng từ chỗ các em ngại gặp dạng toán này đến nay một số em đã ham muốn tìm tòi các bài toán này và giải được các bài toán rất khó và vận dụng rất linh hoạt khi giải.
 Kết quả cụ thể đối với các em mà tôi bồi dưỡng sau một thời gian tôi nhận thấy :
Điểm < 5
Điểm 5 <6,5
Điểm 6,5 < 8
Điểm 8 10
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
SL
TL%
0
0
3
37,5
3
37,5
2
25,0
 Như vậy sau khi đã áp dụng các phương pháp trên các em hoc sinh đã giải được các phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ từ đơn giản đến phức tạp một cách hiệu quả. Bước đầu các em đã thấy được những sai sót và tiếp cận được với các phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ, vận dụng để giải một số bài tập áp dụng. Hình thành cho các em được kĩ năng phân tích đề, trình bày lời giải, tư suy toán học các em được nâng lên, kiến thức Số học và Đại số của các em được củng cố . Trình bày lôgic, chặt chẽ, các em không còn ngại khi giải phương trình.
 C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
 Trong đề tài này,bằng tìm tòi tham khảo, nghiên cứu tôi đã đưa ra chuyên đề cụ thể là: Giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Các bài toán đã được giải hoặc hướng dẫn giải chi tiết cụ thể.Có những dạng phương trình đã được khái quát hoặc giải trên cơ sở đó học sinh đã nắm được phương pháp chung khi giải bài toán đó.Có những dạng không khái quát hóa được thì đã có lời giải chi tiết. Nhờ đó mà học sinh đọc dễ hiểu và tạo cho mình lối mòn , một khả năng tư duy sáng tạo khi gặp phải dạng đó. Quả thật trong Toán học giải một số phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ rất đa dạng. Phương pháp để giải từng dạng cũng rất phong phú. Tôi đã cố gắng đưa ra một số phương trình thường gặp và một số phương pháp giải chúng. Tôi nghĩ rằng để giải các phương trình trên không chỉ dừng lại ở những phương pháp đó. Chắc chắn trong quá trình giảng dạy ta còn có thể tìm ra được nhiều phương pháp hay hơn, độc đáo hơn. Bản thân không ngoài mục đích trao đổi với đồng nghiệp để cùng tìm ra phương án tối ưu nhất cho việc giảng dạy phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ qua đó góp phần nâng cao chất lượng đào tạo học sinh giỏi.
 Đề xuất :
 Phòng giáo dục tổ chức một số chuyên đề về bồi dưỡng học sinh giỏi của một số đồng chí có kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi trong đó có chuyên đề về giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ để giáo viên trong huyện tham khảo.
 Rất mong rằng sáng kiến này bổ sung thêm một ít tài liệu để đồng nghiệp tham khảo. Bản thân rất mong sự góp ý của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp để sáng kiến này ngày càng hoàn thiện hơn và là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh 
 Xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thạch Thành, ngày 10 tháng 4 năm 2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân, không sao chép nội dung của người khác.
 Người thực hiện 
 Hoàng Thị Dung
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH THÀNH
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THẠCH QUẢNG 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CHO HỌC SINH LỚP 8, 9
NHẰM PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH KHÁ GIỎI
 Người thực hiện: Hoàng Thị Dung
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thạch Quảng
 SKKN thuộc môn : Toán
 THẠCH THÀNH, NĂM 2014