Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử

h tích các nhân tử hoặc luỹ thừa của 1 đa thức đơn giản.
*Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
*Các hằng đẳng thức bổ sung:
 Căn cứ vào cách khai triển các hằng đẳng thức trên GV cần chú ý rèn cho học sinh cách nhận dạng các hằng đẳng thức, cụ thể như sau:
+ Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử viết được dưới dạng bình phương thì nhận dạng ở hằng đẳng thức bình phương 1 tổng hoặc bình phương 1 hiệu. 
+ Đa thức lµ 1 hiệu 2 hạng tử mµ cả 2 hạng tử đó đều viết được dưới dạng bình phương hoặc lập phương thì nghĩ đến hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương hoặc hiệu 2 lập phương.
 Trong trường hợp đa thức cũng chứa 2 hạng tử nhưng viết dưới dạng 1 tổng, các hạng tử cũng viết được dưới dạng bình phương thì không được phép nhận dạng hằng đẳng thức nào. Nhưng nếu 2 hạng tử đó viết dưới dạng lập phương thì nhận dạng hẳng đẳng thức tổng 2 lập phương.
+ Tương tự như thế ta chú ý cho học sinh nhận dạng hằng đẳng thức lập phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu. 
*Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 9x2 + 6x + 1
= (3x)2 + 2.3x.1+12 ( Nhận dạng đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử 9x2 = (3x)2 và 1 =12, tất cả các hạng tử đều dương)
 = (3x+1)2 (Viết hằng đẳng thức bình phương của 1 tổng)
b) 125x3+8y3
 = (5x)3+(2y)3 ( Nhận dạng hằng đẳng thức tổng 2 lập phương)
=(5x+2y)(25x2 - 10xy + 4y2) (Viết hằng đẳng thức tổng 2 lập phương).
c) 4x2 - 9y2 
= (2x)2 - (3y)2 (Nhận dạng hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương) 
= (2x-3y)(2x+3y) (Viết hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương)
d)x3+3x2+3x+1 (Nhận dạng hằng đẳng thức lập phương 1 tổng)
= (x+1)3 ( Viết hằng đẳng thức lập phương 1 tổng)
3.1.2.3.Phương pháp nhóm hạng tử.
*Phương pháp : Phương pháp nhóm hạng tử 1 cách thích hợp nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung mới ( quan trọng là quá trình phân tích vẫn phải được tiếp tục)
*Các ví dụ vận dụng : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) x2 – 3x+ xy – 3y 
-GV hướng dẫn cho học sinh :Ở đây đa thức này có 4 hạng tử nên nếu nhóm thì có thể chia làm 2 nhóm, mỗi nhóm có 2 hạng tử.
Cách 1 : = (x2- 3x) +(xy- 3y) ( Nhóm 2 hạng tử đầu và 2 hạng tử cuối với nhau).
 = x(x-3)+y(x-3) ( Xác định nhân tử chung của mỗi nhóm)
 = (x- 3)(x+ y) ( xác định nhân tử chung của cả 2 nhóm) 
Cách 2 : = (x2 +xy) – (3x+3y) ( Nhóm hạng tử đầu và hạng tử thứ 3 ; 2 hạng tử còn lại nhóm với nhau)
 = x(x+y) -3(x+y) ( Xác định nhân tử chung của mỗi nhóm)
 = (x+y)(x-3) ( Xác định nhân tử chung của 2 nhóm)
b) x2+2x+1-y2 
 Đa thức này cũng có 4 hạng tử xong không thể nhóm làm 2 nhóm, mỗi nhóm có hạng tử như ví dụ a). mà ở đây chỉ có thể nhóm 3 hạng tử đầu với nhau nhằm làm xuất hiện hằng đẳng thức bình phương 1 tổng, sau đó nhận dạng tiếp hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương.
= (x2+2x+1)-y2 ( Nhóm hạng tử thích hợp)
= (x+1)2-y2 ( Nhận dạng đa thức trong ngoặc là hằng đẳng thức bình phương 1 tổng)
= (x+1+ y)(x+1-y) ( Nhận dạng hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương và viết hằng đẳng thức đó).
 Tuy nhiên, trong quá trình khi làm bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử không phải bài tập nào cũng chỉ áp dụng 1 phương pháp mà đã phân tích đa thức được ngay mà ta có thể phối hợp các phương pháp trên mới phân tích được. Trong khi làm bài tập có những bài không thể áp dụng ngay 3 phương pháp trên. Sau đây là 1 số phương pháp khác.
3.1.2.4. Phương pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử.
* Phương pháp : Ta tách 1 hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử thích hợp, để xuất hiện những nhóm số hạng mà ta có thể phân tích thnàh nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức hay đặt nhân tử chung.
*Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử : 3x2 - 8x + 4
- Nhận dạng : Đa thức trên không có chứa thừa số chung, không có dạng 1 hằng đẳng thức đáng nhớ nào, cũng không thể nhóm hạng tử. Ta biến đổi đa thức này thành đa thức có nhiều hạng tử hơn:
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: -8x = -6x-2x
3x2- 8x + 4 = 3x2 - 6x- 2x +4 
Cách 1 : = (3x2 - 6x) - ( 2x- 4) ( Nhóm các hạng tử làm 2 nhóm, mỗi nhóm có 2 hạng tử)
 = 3x(x-2) -2(x-2) ( xác định nhân tử chung của mỗi nhóm)
 = (x- 2)(3x - 2) (Xác định nhân tử chung của 2 nhóm) 
Cách 2 : = (3x2 – 2x) –(6x -4) ( Nhóm các hạng tử làm 2 nhóm, mỗi nhóm có 2 hạng tử)
 = x(3x-2) -2(3x-2) ( xác định nhân tử chung của mỗi nhóm)
 = (3x-2)(x-2) (Xác định nhân tử chung của 2 nhóm) 
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:3x2 = 4x2 –x2 
3x2- 8x + 4 = 4x2 –x2 -8x+4 (Tách hạng tử thích hợp)
 = (4x2 - 8x + 4) - x2 (Nhóm hạng tử thích hợp, chú ý cuối cùng xuất hiện hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương để quá trình phân tích được tiếp tục)
 = (2x-2)2  x2 ( xác định hẳng đẳng thức trong dấu ngoặc)
 = (2x-2-x)(2x-2+x) ( Xác định hằng đẳng thức và viết hằng đẳng thức đó)
 = (x-2)(3x-2)
*Tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax2+bx+c thành nhân tử ta làm như sau:
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c thành tích của 2 số nguyên bằng mọi cách.
+Chọn ra 2 thừa số mà có tổng bằng b.
Trong ví dụ trên: a = 3; b= -8; c =4; a.c = 12 nên ta phân tích 12 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng dấu và cùng âm : 12 = (-1)(-12) = (-2)(-6)
 = (-3)(-4) 
 Sau đó ta chọn ra 2 thừa số có tổng bằng -8 là -2; -6.
*Ví dụ 2: Phân tích x2- 8x+7 thành nhân tử.
Cách 1: x2-x-7x +7 = x(x-1)-7(x-1) = (x-7)(x-1)
 Hoặc: = x( x-7) –(x-7) = (x-7) (x-1)
Cách2: x2- 8x +16 - 9 = (x- 4)2 - 32 = (x- 4 -3)(x- 4+3) = (x-7)(x-1)
Cách 3: x2- 8x +7 = x2- 1 -8x + 8 = (x- 1)(x+1) - 8(x-1) = (x-1)(x-7)
*Nhận xét: qua 2 ví dụ trên, ta thấy việc tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích:
+ Làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung (cách 1)
+Làm xuất hiện hiệu 2 bình phương (cách 2)
+Với các đa thức có từ 3 hạng tử trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các tỉ số tỉ lệ, ta thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
(Nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: số a được gọi là nghiệm của đa thức 
f (x) nếu f (a) = 0; như vậy nếu đa thức f (x) có 1 nghiệm x = a thì nó chứa 1 thừa số (x- a))
-Ta chứng minh được nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do.
*Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 -x2 - 4
Các ước của hệ số tự do - 4 là: 
Ta thấy f (2) = 0 . Ta tách như sau:
Cách 1 : x3-x2- 4 = x3-2x2 +x2 - 4 = x2 (x-2)+(x-2)(x+2)
 = (x- 2)(x2 + x +2)
Cách 2: x3-x2- 4 = x3 -8- x2 +4 = (x-2)(x2+2x + 4)-(x-2)(x+2)
 = (x-2)(x2+2x+4-x-2) = (x-2)(x2+x+2)
Hoặc dùng phép chia đa thức để phân tích tiếp đa thức đó.
*Chú ý :
1. Khi xét nghiệm nguyên của đa thức cần lưu ý:
+ Nếu đa thức f (x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức, đa thức đó chứa thừa số x -1.
+Nếu đa thức f (x) có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng hệ số của các hạng tử lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức f (x), do đó đa thức đó có chứa thừa số x +1.
2. Để nhanh chóng loại trừ các ước của hệ số tự do không là nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét: Nếu a là nghiệm nguyên của đa thức f (x) và f (1); f(-1) khác 0 thì đều là số nguyên.
3.1.2.5. Phương pháp thêm và bớt cùng 1 hạng tử
*Phương pháp: Ta thêm hay bớt cùng 1 hạng tử vào đa thức đã cho để làm xuất hiện nhóm số hạng mà ta có thể phân tích được thành nhân tử chung bằng các phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức...
*Ví dụ vận dụng:
Ví dụ 1: Thêm bớt cùng 1 hạng tử làm xuất hiện hiệu của 2 bình phương.
4x4 + 81 ( xác định không dùng được phương pháp nào trong các phương pháp thông thường)
 = 4x4 + 36x2 + 81 -36x2 ( xác định thêm vào hạng tử 36x2 và bớt đi 36x2 để khi sử dụng phương pháp nhóm hạng tử thì xuất hiện hằng đẳng thức)
= (2x2 + 9)2-(6x)2 ( Xác định hằng đẳng thức)
= (2x2-6x+9)(2x2+6x+9) ( Viết hằng đẳng thức đó)
Ví dụ 2: Thêm bớt cùng 1 hàng tử làm xuất hiện nhân tử chung.
x7+x2+1 = x7-x+x2+x+1 = x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1)
 = (x2+x+1)
3.1.2.6. Phương pháp đổi biến:
*Phương pháp: Trong trường hợp đa thức đã cho có biểu thức xuất hiện nhiều lần. Ta đặt biểu thức ấy là một biến mới, từ đó viết đa thức đã cho thành đa thức theo biến mới để phân tích thành nhân tử sẽ đơn giản hơn.
*Ví dụ vận dụng:
Phân tích đa thức ra thừa số: x(x+4)(x+6)(x+10)+ 128
Ta có: x(x + 4)(x + 6)(x + 10)+128 = (x2 + 10)(x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, 
đa thức dã cho có dạng: (y-12)(y + 12) + 128 = y2-16
 =(y- 4)(y + 4)
Vậy x (x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2+10x+12- 4)(x2+10x+12+4)
 = (x2+10x+8)(x2+10x+16)=(x2+10x+8)(x+2)(x+8)
3.1.2.7. Phương pháp hệ số bất định :
*Phương pháp:
Trong phương pháp này trước hết ta xác định được dạng phân tích đa thức thành nhân tử của đa thức, rồi sử dụng tính chất: Hai đa thức cùng bậc, bằng nhau khi và chỉ khi hệ số của các hạng tử cùng bậc tương ứng của chúng phải bằng nhau, để xác định các hệ số của dạng phân tích đó.
*Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3 - 5x2+8x -3
Đa thức 2x3 - 5x2+8x -3 là 1 đa thức bậc 3 nên nếu có thể phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (ax+b)(cx2+dx+e), với a;b;c;d; e là số nguyên; ac khác 0.
Ta có (ax+b)(cx2+dx+e) = acx3+(ad+bc)x2 +(ac+bd)x+be
Đồng nhất hệ số của đa thức này với đa thức đã cho, ta có:
Giả sử rằng a > 0 thì a = 2 hoặc a = 1
Với a = 2 thì c = 1, ta được
Vì be = -3 n ên b có thể = hoặc .
Với b = -1 thì e = 3; d = -2
Vậy a = 2; b = -1; c = 1;d = -2; e = 3 thoả mãn các điều kiện trên.
Do đó, 2x3 – 5x2+8x -3 = (2x-1)(x2- 2x+ 3).
3.1.2.8. Phương pháp xét giá trị riêng:
Ví dụ: Phân tích đa thức A = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) thành nhân tử.
Lời giải:
Nếu thay a bởi b thì ta có, A = 0 + bc(b-c) + cb(c-b) = 0
Như vậy đa thức A chia hết cho (a-b)
Do vai trò của a,b, c như nhau trong đa thức A nên đa thức A chia hết cho (b-c); (c-a) tức là chia hết cho tích (a-b)(b-c)(c-a)
Vì 2 đa thức A và (a-b)(b-c)(c-a) đều là bậc 3 đối với tập hợp các biến nên thương của phép chia A cho (a-b)(b-c)(c-a) là 1 hằng số khác không k, tức là 
ab (a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = k.(a-b)(b-c)(c-a)
Ta cho các biến nhận giá trị riêng cụ thể, chẳng hạn: a = 2,b = 1,c = 0 thì ta được
2.1.1+0+0 = k.1.1.(-2) nên k = -1
Vậy A = -(a-b)(b-c)(c-a) hay A = (a-b)(b-c)(a-c)
Cách làm như trên được gọi là phương pháp xét giá trị riêng. Phương pháp này cho ta xác định được nhanh chóng hằng số cần tìm dựa vào việc cho các biến số 1 giá trị cụ thể nào đó. Tuy nhiên khi phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý tới bậc của biến hay tập hợp các biến có trong đa thức.
3.2. Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong chương trình giảng dạy bộ môn Toán THCS chúng ta thấy phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng trong giải toán nhưng chủ yếu như:
+ Toán tìm x.
+ Toán rút gọn biểu thức.
3.3.Một số dạng toán sử dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
3.3.1. Dạng toán: Rút gọn biểu thức đại số:
Ta đã biết muốn rút gọn được biểu thức đại số thì bước đầu tiên phải phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài toán: Rút gọn các biểu thức sau:
a) (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT ngày 8/7/2010)
b) (Đề thi khảo sát vào lớp 10 THPT năm học 2010-2011)
c) (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT ngày 12/7/2012).
d) 
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT ngày 14/7/2012).
Kết luận : Qua các bài toán trên ta thấy : Muốn rút gọn biểu thức bắt buộc học sinh phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong chương trình dạng toán tính giá trị của một biểu thức có nhiều và rất hay gặp trong chương trình thi vầo lớp 10 THPT, xong thời gian để các em luyện tập làm quen lại ít. Vì vậy các em còn bỡ ngỡ trong việc biến đổi và trình bày lời giải.
Một số học sinh còn yếu, kiến thức cơ bản ở các lớp trước các em không nắm được dẫn đến khó khăn trong tính toán.
Một số bài tập tính giá trị của một biểu thức rất khó có nhiều bài toán các bước biến đổi còn phức tạp, đòi hỏi có sự linh hoạt sáng tạo của học sinh.
3.3.2. Dạng toán chứng minh đẳng thức :
Bài toán: Chứng minh đẳng thức:
 (Toán 9 tập 1)
*Hướng dẫn:
Phân tích đa thức 
3.3.3. Dạng toán: Giải phương trình và bất phương trình:
Bài toán 1: Giải các phương trình sau:
a, x2 -3x+2 = 0
b, (x-1)(x2 +5x - 2)-(x3 - 1) = 0
c, x2 +(x+2)(11x- 7) = 4
d, x3 +x2 +x+1 = 0
e,-x5 = x4+x3 +x2+x+1
*Hướng dẫn: Phân tích vế trái thành nhân tử ở các câu a,b,d,e,f.
Câu c, g thì chuyển vế các hạng tử đưa về dạng phương trình tích (1 vế bằng 0)
Câu a:
Cách 1: x2 - 2x- x+2 =0
Cách 2: 3x2 - 3x -2x2+2 = 0
Câu b: Phân tích x3-1 = (x-1)(x2+x+1)
Câu c: x2 +(x+2)(11x- 7) - 4=0
 (x2- 4)+(x-2)(11x-7) = 0
 (x-2)(x+2) +(x-2)(11x-7) = 0
 (x-2)(x+2+11x-7) = 0. Từ đó giải phương trình tích.
Câu d: Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử (hai hạng tử với nhau và 2 hạng tử cuối với nhau)
Câu e: x5 + x4+ x3 + x2+ x+1 = 0
 x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1) = 0
 (x+1)(x4+x2+1) =0
Bài tóan 2: Giải bất phương trình:
a, x2- 4x+3 >0
b, 7x3- 12x2 -8 <0
*Hướng dẫn: Phân tích vế trái của bất phương trình thành nhân tử.
a, x2- 4x+3 
Cách 1: x2- 4x+3 = x2-3x - x+3 = x(x-3)-(x-3) = (x-3)(x-1)
Cách: x2- 4x+3 = x2 - 4x +4 -1= (x 2- 4x +4) – 1= (x-2)2 -1 =(x-3)(x-1)
3.3.4. Một số bài toán tổng hợp khác:
Bài toán 1:
Chứng minh rằng:
a, n3- n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
b, n4- 1 chia hết cho 8 với n là số tự nhiên lẻ bất kỳ.
c, n4- 4n3 - 4n +16n chia hết cho 384 với n là số tự nhiên chẵn lớn hơn 4.
d, n2+121222n + 3292 không chia hết cho 49 với mọi số tự nhiên n.
*Hướng dẫn chung: Phân tích các biểu thức trên thành nhân tử.
Câu a 
 n3 - n = n(n 2-1) = n(n-1)(n+1)
Với n là số tự nhiên thì (n-1)n(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3,.
Vì 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên biểu thức đã cho chia hết cho tích 2. 3 = 6.
Câu b, 
 n4 - 1 = (n2- 1 )(n2+ 1 ) = (n-1)(n+1)(n2+1)
Với n là số tự nhiên lẻ thì n -1 và n +1 là 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp, do đó1 trong 2 số đó chia hết cho 2 và số còn lại chia hết cho 4
Vậy tích của chúng chia hết cho 2.4 = 8
Câu c, 
 Phân tích thành nhân tử (n- 4)(n-2)n(n+ 2)
Vì n chẵn lớn hơn 4 nên n = 2k+ 2 (k N, k> 2)
Do đó, (n- 4)(n -2)n(n+ 2) = (2k- 2)2k(2k +2)(2k+ 4) = 16(k - 1)(k(k+ 1) (k+2)
Vì (k-1)k(k+1)(k+2) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3, đồng thời chia hết cho 8, mà 3 và 8 là 2 số nguyên rố cùng nhau nên tích đó chia hết cho 3. 8= 24
Vậy biểu thức đã cho chia hết cho 16.24 = 384.
Câu d, Ta có M = (n+2)(n+9) +21.
Xét (n+9)-(n+2) = 7 nên n +9 và n +2 cùng chia hết cho 7 hoặc cùng không chia hết cho 7.
+Nếu n +9 và n +2 cùng chia hết cho 7 thì (n+9)(n+2) chia hết cho 49, mà 21 không chia hết cho 49 nên M không chia hết cho 49
+ Nếu n +9 và n +2 cùng không choia hết cho 7, nhưng 21 chia hết cho 7 nên M không chia hết cho 49.
Vậy M không chia hết cho 49.
Bài toán 2:
Tìm số tự nhiên n để giá trị của các biểu thức sau là số nguyên tố.
a, A = n3- 4n2+ 4n- 1 b, B = n3- 6n2 +9n- 2
*Hướng dẫn giải: Phân tích các biểu thức đó thành nhân tử.
Câu a, A = n3- 4n2+ 4n- 1 = n3- n2 -3n2 +3n +n -1= n2(n- 1)-3n(n- 1)+(n- 1)
=(n-1)(n2 -3n+ 1)
A là số nguyên tố thì n - 1 = 1 hoặc n2 -3n+1 =1
Từ đó tìm n.
Câu b, B = n3- 6n2 +9n- 2 = n3 -2n2- 4n2 +8n + n - 2
= n2(n-2) - 4n(n-2) +(n-2) = (n-2)(n2 - 4n +1)
Để B là số nguyên rố thì n -2 = 1 hoặc n2- 4n+1 = 1. Từ đó tìm n.
 KÕt luËn:
1.2.Bài học kinh nghiệm :
Từ chuyên đề ta nhận thấy, các kiến thức toán học, các dạng toán luôn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, bổ sung cho nhau. Bài toán phức tạp là tổng hợp của nhiều bài toán đơn giản, vì vậy cần nắm chắc các bài toán cơ bản, biết suy luận phân tích tổng hợp một bài toán giúp học sinh dễ hiểu và có thể tự mình tìm ra lời giải góp phần gây hứng thú học tập của học sinh .
 Từ thực tế cho thấy các kiến thức toán học dù phức tạp đến đâu, nếu giáo viên tích cực nghiên cứu, tìm tòi cả nội dung và phương pháp giảng dạy biết định hướng cho học sinh tạo cho các em niềm tin lòng ham học hỏi thì sẽ thu được kết quả cao.Từ kiến thức cơ bản tới kiến thức mở rộng, đòi hỏi mỗi giáo viên muốn có kết quả giảng dạy tốt phải có sự đầu tư công sức thời gian cho bài giảng.
 Trong mỗi tiết dạy, mỗi chuyên đề cần đầu tư thời gian tìm ra phương pháp giảng dạy phù hợp với các đối tượng học sinh
 Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này học sinh được rèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được vai trò của kỹ năng này trong toán học.
 Tuy nhiên 1 số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như PP đổi biến, PP xét giá trị riêng chưa thể áp dụng rộng rãi và khai thác sâu cho học sinh đại trà nhưng lại rất có tác dụng đối với học sinh khá giỏi.
2. Giải pháp và kiến nghị:
- Đối với GV và HS : Để khắc phục những hạn chế trong quá trình vận dụng đề tài cần chú ý giải quyết tốt một số điểm sau đây: 
 Giáo viên cần cho học sinh nắm chấc các kiến thức về lý thuyết phân tích đa thức thành nhân tử và các phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ giáo viên hướng dẫn, khai thác thêm một số vấn đề mở rộng, phát triển của bài toán.
 Thông qua các bài tập giáo viên củng cố, rèn luyện kiến thức và phương pháp giải, hình thành cho học sinh khả năng phân tích, tổng hợp các kiến thức đã vận dụng vào bài tập.
Đối với học sinh trung bình yếu, giáo viên phân tích bài toán hướng dẫn, lý giải cơ sở và điều kiện vận dụng các kiến thức vào giải toán. Có thể tách nhỏ các bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản hơn, giúp các em có thể tự mình vận dụng các kiến thức giải quyết tốt các bài toán.
Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần biết chọn lọc bài toán phù hợp với đối tượng học sinh.Tìm những bài toán đơn giản có nhiều ứng dụng trong quá trình giải, rồi xây dựng mở rộng thành các bài toán phức tạp hơn.
- Đối với nhà trường :
+ Tạo điều kiện về mọi mặt cho GV giảng dạy khối lớp 8 và khối 9.
+Cử GV tham gia các chuyên đề cũng như các buổi tập huấn đầy đủ.
+ Tổ chức các chuyên đề liên trường để GV có cơ hội va chạm và học hỏi kinhg nghiệm của các đồng nghiệp ở trường bạn.
- Đối với Phòng giáo dục : Đề nghị Phòng giáo dục thường xuyên tổ chức các chuyên đề Toán và giới thiệu các sáng kiến có hiệu quả trong toàn huyện để :
+ GV có thể học hỏi thêm kinh nghiệm cho bản thân.
+ GV Toán trong huyện có thể trao đổi và chia sẻ thường xuyên với nhau về PP cũng như về kinh nghiệm.
3. Kết luận:
Qua thực tế vận dụng và áp dụng đề tài trong giảng dạy cho thấy chúng ta lựa chọn các biện pháp thích hợp cả về kiến thức lẫn phương pháp giảng dạy thì sẽ thu được kết quả cao.
Các kiến thức trau dồi cho các em học sinh phải dễ nhớ, dễ hiểu, các bài tập áp dụng từ đơn giản đến phức tạp. Giáo viên phải là người chỉ đạo dẫn dắt học sinh vận dụng kiến thức tìm ra lời giải, khơi dậy trong các em hứng thú, tự tin có ý thức tìm tòi trong giải toán.
Trong giảng dạy giáo viên phân ra làm các mảng chuyên đề, bố trí lượng kiến thức để truyền đạt phù hợp với đối tượng học sinh. Giúp các em tiếp cận kiến thức một cách có hệ thống, rèn luyện tính cần cù sáng tạo trong tư duy.
Để nâng cao chất lượng giáo dục nhất là thực hiện thành công NQ40 /QH10 về đổi mới giáo dục phổ thông, cụ thể là đổi mới chương trình SGK các cấp học mà trọng tâm là phương pháp dạy học đòi hỏi mỗi giáo viên phải không ngừng trau dồi kiến thức trong môn dạy, nâng cao trình độ chuyên môn thể hiện qua vốn kiến thức chuẩn về môn mình dạy. Và điều quan trọng hơn nữa là trong thực tế khi giảng dạy, người giáo viên ngoài việc tổ chức cho các em lính hội các kiến thức về khái niệm, định lý, định nghĩa, các công thức, tính chất... càn đặc biệt chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng. Bởi có kỹ năng tốt thì các em mới có thể làm bài tập nhanh và chuẩn xác.
Nội dung kinh nghiệm mà tôi trình bày trên đây chỉ là 1 khía cạnh rất nhỏ trong hệ thống kiến thức toán THCS. Những vấn đề lý luận và 1 số bài tập minh hoạ chưa phải là tiêu biểu nhất cho vấn đề này song nội dung đó đã phần nào giúp các em học sinh có hướng đi bổ ích khi rèn kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.Với bản thân tôi thì tôi vừa viết sáng kiến kinh nghiệm này và vừa đang áp dụng vào việc giảng dạy toán 8, 9 tại trường thì thấy bước đầu đã có hiệu quả.
Cuối cùng tôi nghĩ rằng mỗi sáng kiến dù nhỏ, cũng giúp thêm quá trình dạy học của mình có hiệu quả hơn, chuyên đề này tôi viết không ngoài tinh thần ấy. Tôi mong được sự tham gia góp ý của các bạn đồng nghiệp để đề tài này của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.