Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình

ài toán.
	Trong quá trình giảng dạy toán tại trường THCS tôi thấy dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình luôn luôn là một trong những dạng toán cơ bản. Dạng toán này không thể thiếu được trong các bài kiểm tra học kỳ môn toán lớp 9, cũng như trong các bài thi vào THPT, nó chiếm 2 điểm nhưng đại đa số học sinh bị mất điểm ở bài này do không nắm chắc cách giải chúng, cũng có những học sinh biết cách làm nhưng không đạt điểm tối đa vì:
	- Thiếu điều kiện hoặc đặt điều kiện không chính xác. 
 - Không biết dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để thiết lập phương trình.
	- Lời giải thiếu chặt chẽ. 
	- Giải phương trình chưa đúng.
	- Quên đối chiếu điều kiện .
	Vì vậy, nhiệm vụ của người giáo viên phải rèn cho học sinh kỹ năng giải các loại bài tập này tránh những sai lầm của học sinh hay mắc phải. Do đó, khi hướng dẫn học sinh giải loại toán này phải dựa trên quy tắc chung là: Yêu cầu về giải bài toán, quy tắc giải bài toán bằng cách lập phương trình, phân loại các bài toán dựa vào quá trình tham gia của các đại lượng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó học sinh tìm ra lời giải cho bài toán đó.
	 Trong giảng dạy một số giáo viên chưa chú ý phân loại các dạng toán, mà chỉ chú trọng đến việc học sinh làm được nhiều bài, đôi lúc biến việc làm thành gánh nặng, một công việc buồn tẻ đối với học sinh. Xuất phát từ đặc điểm tâm lý của học sinh, giáo viên cần dạy và rèn cho học sinh các phương pháp tìm lời giải các bài toán. 
	- Thực tế đã có rất nhiều giáo viên nghiên cứu về phương pháp giải các dạng phương trình và giải bài toán bằng cách lập phương trình song mới chỉ dừng lại ở việc vận dụng các bước giải một cách nhuần nhuyễn chứ chưa chú ý đến việc phân loại dạng toán - kỹ năng giải từng loại và những điều cần chú ý khi giải từng loại đó. Sau khi có kết quả điều tra về chất lượng học tập bộ môn toán của học sinh và tìm hiểu được nguyên nhân dẫn đến kết quả đó tôi đã đưa ra một vài biện pháp và áp dụng các biện pháp đó vào trong quá trình giảng dạy thấy rằng học sinh có những tiến bộ, học sinh tiếp cận kiến thức một cách nhẹ nhàng hơn kết quả học tập của các em khả thi hơn. 
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ thông tôi đã mạnh dạn viết đề tài ''Rèn kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình'' cho học sinh lớp 9. Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét; đưa bài toán về các dạng cơ bản. Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải khác để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải bài toán bằng cách lập phương trình.
2.Giải pháp mới cải tiến.
2.1. Yêu cầu về giải một bài toán:
 1. Yêu cầu 1: Học sinh phải hiểu rõ đề bài
	2. Yêu cầu 2: Học sinh biết phân loại dạng toán. 	
	3. Yêu cầu 3: Học sinh nắm vững các bước giải một bài toán bằng cách lập phương trình: 
Bước 1:
+ Chọn ẩn, đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập PT biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: + Giải phương trình.
Bước 3: + Đối chiếu điều kiện rồi kết luận bài toán.
Bài giải phải đảm bảo dễ hiểu . Có lập luận, mang tính toàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được.
	4. Yêu cầu 4: Lời giải phải trình bày khoa học. 
	Đó là lưu ý đến mối liên hệ giữa các bước giải trong bài toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau. Các bước sau được suy ra từ các bước trước nó đã được kiểm nghiệm, chứng minh là đúng hoặc những điều đã biết từ trước.
5. Yêu cầu 5: Lời giải bài toán phải rõ ràng , đầy đủ, có thể lên kiểm tra lại.
	Cần rèn cho học sinh có thói quen sau khi giải xong cần thử lại kết quả và tìm hết các nghiệm của bài toán, tránh bỏ sót nhất là đối với phương trình bậc hai.
2.2. Phân loại dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình :
	Trong số các bài tập thường gặp về giải bài toán bằng cách lập phương trình ta có thể phân loại thành các dạng như sau:
	-Dạng bài toán về chuyển động.
	- Dạng toán về năng suất lao động.
	-Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
	-Dạng toán về sự thay đổi các thừa số của tích.
	-Dạng toán có liên quan đến hình học.
	 -Dạng toán có liên quan đến vật lí, hoá học.	 
2.3. Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán:
 Dạng toán chuyển động: 
 Chú ý:
- Trong dạng toán chuyển động cần cho học sinh nhớ và nắm chắc mối quan hệ giữa các đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian (S = v.t). Do đó, khi giải nên chọn một trong ba đại lượng( thường thì hỏi gì thì chọn cái đó ) làm ẩn và điều kiện thường luôn dương. 
	- Trong dạng toán chuyển động cũng có thể chia ra nhiều dạng.
 Chuyển động cùng chiều: (tvật chạy chậm- tvật chạy nhanh = tchênh lệch)
Ví dụ 1: Bài tậpp 47 trang 59 SGK
Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc .Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ .Tính vận tốc xe của mỗi người.
Hướng dẫn giải : Hai đối tượng tham gia bài toán là bác Hiệp và cô Liên , còn các đại lượng liên quan là quãng đường (đã biết) , thời gian và vận tốc( chưa biết), các đại lượng ấy quan hệ với nhau theo công thức :   
 S = v.t  ; t = S : v                                
  Nên chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn. Gỉa sử gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x(km/h) ta có thể lập bảng để biểu diễn các đại lượng trong bài toán như sau :
v (km/h)
t(h)
s(km)
Bác Hiệp
x 
30
Cô Liên
x - 3
30
Giải:
Gọi vận tốc xe của bác Hiệp là x (km/h), x >3.
Khi đó vận tốc xe của cô Liên là x – 3 (km/h)
Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là (h)
Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là (h)
Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ nên ta có PT: - =
 x(x – 3) = 60x – 60x + 180
x2 – 3x – 180 = 0
D = 9 +720 = 729 = 272
 suy ra x1 = 15(thỏa mãn đk) Nhận ; x2 = - 12 (không thỏa mãn đk) ( loại) 
Vậy vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h.
Vận tốc của xe cô Liên là 12 km/h.
Ví dụ 2:
Một người đi xe máy trên quãng đường AB dài 120 km với vận tốc định trước. Sau khi đi được quãng đường với vận tốc đó, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường. Biết người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
Hướng dẫn giải:
	- Trong bài này cần hướng dẫn học sinh xác định được vận tốc dự định của xe máy. Từ đó xác định thời gian dự định đi hết quãng đường của xe máy; thời gian xe máy thực tế đi hết quãng đường AB.
	- Thời gian dự định đi hết quãng đường của xe máy bằng quãng đường AB chia cho vận tốc dự định của xe máy.
	- Thời gian thực tế đi hết quãng đường AB của xe máy bằng thời gian đi trên quãng đường đầu và quãng đường sau.
- Thời gian thực tế ít hơn thời gian dự định là 24 phút.
 Giải:
Đổi 24 phút = (giờ).
Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x (km/h) ; x > 0
Suy ra, thời gian dự định để đi hết quãng đường AB là: (giờ).
Thời gian người đi xe máy đi hết quãng đường (tương ứng với = 40 km) 
là: (giờ).
 quãng đường còn lại người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h nên thời gian người đi xe máy đi hết quãng đường là: (giờ).
Do người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút nên ta có phương trình:
 = + + 
Û 120.5(x + 10) = 40.5(x + 10) +80.5x + 2x(x + 10) 
Û 2x2 + 20x + 4000 = 0 Û .
Vậy vận tốc dự định là 40 km/h và thời gian dự định là = 3(giờ).
Thời gian xe lăn bánh trên đường là thời gian dự định trừ thời gian đến sớm bằng:
3 - = 2 (giờ) = 2 giờ 36 phút.
Giáo viên có thể hướng dẫn HS làm theo cách khác như sau: Xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên 2/3 quãng đường còn lại do đó về B sớm 24 phút như vậy phương trình không cần phải có sự tham gia của 1/3 quãng đường đầu.
Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là x (km/h) ; x > 0
Lập luận tương tự như trên ta có phương trình :
 - = 
-Chuyển động ngược chiều: Sau một thời gian hai chuyển động gặp nhau thì có thể lập phương trình: S + S = S
Ví dụ 3:
Hai địa điểm A và B cách nhau 32 km. Cùng một lúc xe máy khởi hành từ A đến B, một xe đạp khởi hành từ B về A sau giờ thì gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe máy nhanh hơn vận tốc của xe đạp 16 km/h.
Giải:
Gọi x (km/h) là vận tốc của xe máy.
 y (km/h) là vận tốc của xe đạp.
Điều kiện : x > y > 0.
 Vì sau giờ thì 2 xe gặp nhau, nên ta có phương trình :
 	(1)
 Vì vận tốc của xe máy nhanh hơn vận tốc của xe đạp 16 km/h, nên ta có phương trình :
 	 (2)
 Từ (1) và (2) Þ (thoả đk)
 Vậy : Vận tốc của xe máy 28 km/h.
 Vận tốc của xe đạp 12 km/h.
Toán tổng hợp về chuyển động:
Ví dụ 4:
Hai người đi xe đạp trên đoạn đường AB. Người thứ nhất đi từ A đến B, cùng lúc đó người thứ hai đi từ B đến A với vận tốc bằng vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ 30 phút họ gặp nhau. Hỏi mỗi người đi hết đoạn đường AB mất bao lâu?
Hướng dẫn giải:
Bài toán là sự kết hợp của toán chuyển động ngược chiều và toán tìm thời gian để một mình hoàn thành một công việc.
Giải:
Gọi thời gian người thứ nhất đi hết đoạn đường AB là x (km/h) đk x > 0
 Thì 1 giờ người thứ nhất đi được đoạn đường AB.
 1 giờ người thứ hai đi được . đoạn đường AB.
 Sau 2 giờ 30 phút = giờ họ gặp nhau nghĩa là tổng quãng đường hai người đi được sau giờ là cả một đoạn đường AB. Vậy 1 giờ hai người đi được là giờ.
Theo bài ra ta có phương trình:
	 + . = 
 Giải ra ta được x = ( thỏa mãn đk)
Vậy thời gian người thứ nhất đi hết đoạn đường AB là giờ
 1 giờ người thứ nhất đi được đoạn đường AB.
 1 giờ người thứ hai đi được . = đoạn đường AB.
 Vậy thời gian người thứ hai đi hết đoạn đường AB là giờ.
 Chuyển động dưới nước( Có sự tham gia của vận tốc dòng nước)
Ví dụ 5:
Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km. Cả đi và về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng. Biết vận tốc của dòng nước là 4km/h.
	Hướng dẫn giải:
Trong chuyển động dưới nước có sự tham gia của vận tốc dòng nước thì :
 	Vxuôi = Vriêng + Vnước ; Vngược = Vriêng - Vnước ; Tđi + Tvề = Tcả đi và về
Giải:
Gọi vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng là x km/h (x > 4).
Vận tốc của tầu thuỷ khi xuôi dòng là: x + 4 ( km/h).
Vận tốc của tầu thuỷ khi ngược dòng là: x - 4 (km/h).
Theo bài ra ta có phương trình:
 5x2 - 96x - 80 = 0
Giải phương trình tìm được :
x1 = 20 (thỏa mãn đk) ; x2 = ( không thỏa mãn đk) loại 
Vậy vận tốc của tầu thuỷ khi nước yên lặng là 20 km/h 
	Dạng toán về năng suất lao động:
Ví dụ: ( SGK đại số 9)
	Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai tổ một vượt mức 15%, tổ hai vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy, tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Hướng dẫn giải:
	- Biết số chi tiết máy cả hai tổ trong tháng đầu là 720. Nếu biết được một trong hai tổ sẽ tính được tổ kia.
	- Đã biết được số chi tiết máy của tháng đầu, sẽ tính được số chi tiết máy sản xuất được của tháng hai.
	- Tính số chi tiết máy sản xuất vượt mức trong tháng sau từ đó xây dựng phương trình.
Giải:	Gọi số chi tiết máy tổ 1 sản xuất trong tháng đầu là x (chi tiết )
 Điều kiện x nguyên, dương, x < 720
 Khi đó tháng đầu tổ 2 sản xuất được: 720 - x ( chi tiết ).
	Tháng 2 tổ một sản xuất vượt mức ( chi tiết ).
	Tháng 2 tổ hai sản xuất vượt mức ( chi tiết ).
Số chi tiết máy tháng 2 cả hai tổ vượt mức: 
 819 - 720 = 99 ( chi tiết )
Theo bài ra ta có phương trình:
 = 99
 15x + 8640 - 12x = 9900
 3x = 9900 - 8640
 3x = 1260
 x = 420 (thoả mãn).
	Vậy, trong tháng giêng tổ một sản xuất được 420 chi tiết máy, Tổ hai sản xuất được 720 - 420 = 300 chi tiết máy.
 Chú ý:
	Loại toán này tương đối khó giáo viên cần gợi mở dần dần để học sinh hiểu rõ bản chất nội dung của bài toán để dẫn tới mối liên quan xây dựng phương trình và giải phương trình như các loại toán khác.
	Khi gọi ẩn, điều kiện của ẩn cần lưu ý bám sát ý nghĩa thực tế của bài toán.
Dạng toán về công việc làm chung, làm riêng.
Bài tập 38 tr 24 sgk:
Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn (không có nước) thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được 
bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy riêng đầy bể?
Giải:
 Gọi x(giờ), y(giờ)là thời gian vòi 1; vòi 2 chảy một mình đầy bể. ĐK x;y > 
Trong 1 giờ vòi I chảy được:(bể)
Trong 1 giờ vòi II chảy được:(bể)
Trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được: ( bể)
Theo đề cho ta có hệ pt:
Giải hệ ta được x=2, y=4
Thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là: 2(giờ)
Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là: 4(giờ)
Dạng toán về sự thay đổi các thừa số của tích:
Ví dụ: Bài tập 34 tr 24 sgk:
Nhà Lan có một mảnh vườn trồng cây cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: Nếu tăng thêm 8 luống và mỗi luống giảm đi 3 cây thì số cây toàn vườn ít đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống tăng 2 cây thì số cây toàn vườn tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan trồng bao nhiêu cây cải bắp?
Gọi x là số luống rau trong vườn; y là số cây rau cải trên mỗi luống .ĐK: x,y
Số cây rau cải bắp cả vườn : xy(cây)
Nếu tăng thêm 8 luống và mỗi luống giảm đi 3 cây thì số cây là:(x+8).(y-3) (cây)
Nếu giảm đi 4 luống và mỗi luống tăng 2 cây thì số cây là: (x-4).(y+2) (cây)
Theo đề ta có hệ phương trình :
Giải hệ ta được : x=50; y=15 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số luống rau trong vườn là: 50 luống và số cây trong mỗi luống là 15 cây.
Số cây cải bắp trong vườn là 50 . 15 = 750 (cây)
 Dạng toán có liên quan đến hình học:
Ví dụ: ( SGK đại số lớp 9 ).
	Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm một lối đi xung quanh vườn ( thuộc đất của vườn ) rộng 2m, diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của vườn.
Hướng dẫn giải:
	- Nhắc lại công thức tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật.
	- Vẽ hình minh hoạ để tìm lời giải
Giải:
	Gọi độ dài một cạnh hình chữ nhật là x ( m ), điều kiện 4 < x < 140
	Độ dài cạnh còn lại là: 140 - x (m ).
	Khi làm lối đi xung quanh, độ dài các cạnh của phần đất trồng trọt là x - 4(m) và 140 - x - 4 = 136 - x (m).
	Theo bài ra ta có phương trình:
 ( x - 4 ).( 136 - x ) = 4256
 140x - x2 - 544 = 4256
 x2 - 140x + 4800 = 0
	Giải phương trình tìm được x = 80(thoả mãn). ; x = 60 (thoả mãn).
Vậy một kích thước của hình chữ nhật là 80m; kích thước kia là 140 - 80 = 60 (m)
Hoặc một kích thước của hình chữ nhật là 60m; kích thước kia là 140 - 60 = 80(m) 
	Vậy kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật là 60m và 80m.
 Toán có nội dung vật lý, hoá học:
 Ví dụ: ( tài liệu ôn thi tốt nghiệp bậc THCS )
	Người ta hoà lẫn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
 Hướng dẫn giải:
	- Để giải bài toán ta cần chú ý khối lượng riêng của mỗi chất được tính theo công thức: D = V = 
	Trong đó:	m là khối lượng tính bằng kg
	V là thể tích của vật tính bằng m3
	D là khối lượng riêng tính bằng kg/m3
Giải: Gọi khối lượng riêng của chất thứ nhất là x (kg/m3), điều kiện x > 200
	Thì khối lượng riêng của chất thứ hai là: x – 200 (kg/m3)
	Thể tích của chất thứ nhất là: (m3)
 	Thể tích của chất thứ hai là: ( m3 ).
	Thể tích của khối chất lỏng hỗn hợp là: ( m3).
	Trước và sau khi trộn thì tổng thể tích của hai chất lỏng không đổi, nên ta có phương trình: 
	Giải phương trình ta được: x = 800 thoả mãn điều kiện ; x = 100 ( loại ).
	Vậy khối lượng riêng của chất thứ nhất là 800 kg/m3
 	Khối lượng riêng của chất thứ hai là 600 kg/m3.
Kết luận: Trên đây tôi đã đưa ra được các dạng toán thường gặp ở chương trình THCS lớp 9 . Mỗi dạng toán có những đặc điểm khác nhau và trong mỗi dạng ta còn chia nhỏ ra hơn nữa. Việc chia dạng trên đây chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại nhưng đều chung nhau ở các bước giải cơ bản của loại toán "Giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình".
	Mỗi dạng toán, tôi chọn một số bài toán điển hình có tính chất giới thiệu về việc thiết lập phương trình:
	+ Phương trình bậc nhất một ẩn.
	+ Phương trình bậc hai một ẩn.
	IV. HIỆU QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
 Trước khi chưa áp dụng sáng kiến:
Trước khi chưa áp dụng sáng kiến tôi thấy học sinh thụ động tiếp thu kiến thức SGK chưa biết phân tích, phân loại các bài toán, suy nghĩ tìm tòi lời giải cho bài toán nên kết quả học tập chưa cao. 
Hiệu quả sau khi áp dụng sáng kiến:
 	Tôi đã thực hiện ở lớp 9A, 9B đã có những kết quả đáng kể đối với học sinh.Cuối năm học đa số các em đã quen với loại toán "Giải bài toán bằng cách lập phương trình; hệ phương trình", đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng, các em bình tĩnh, tự tin và cảm thấy thích thú khi giải loại toán này .
Kết quả cụ thể như sau:
- Đối với học sinh đại trà: 
Năm học
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
2012 - 2013
12,5
39,3
42,9
5,3
2013 - 2014
15,4%
42,3%
38,5
3,8%
- Đối với học sinh giỏi: 
Năm học 2012- 2013 thi học sinh giỏi cấp huyện có 1 giải ba, 9 giải khuyến khích.
Năm học 2013- 2014 thi học sinh giỏi cấp huyện có 1 giải nhì, 1 giải ba, 2 giải khuyến khích; Cuộc thi học sinh giỏi cấp tỉnh có 1 giải nhì, 1 giải ba; Cuộc thi học sinh giỏi cấp quốc gia có 1 giải khuyến khích.
V. ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:
Với cách làm trên đây, tôi đã giúp các em phân loại các dạng toán, các em nhận biết nhanh từng dạng toán, biết kết hợp giữa việc phân loại các dạng toán, các yếu tố đã biết, các đại lượng cần tìm và vận dụng linh hoạt các kiến thức trong thực tế để làm bài. Từ đó các em có hứng thú say mê học toán hơn và chất lượng học tập của các em ngày một nâng lên. Với sáng kiến này có thể áp dụng cho mọi đối tượng học sinh, tuỳ trình độ học sinh mà chúng ta chọn các bài tập phù hợp. 
Riêng phần bài tập về dạng toán có nội dung lý, hóa nên áp dụng cho đối tượng HS khá, giỏi. 
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi được rút ra trong thực tế giảng dạy trong việc giúp học sinh xoá đi mặc cảm với bài toán khó và có hứng thú trong giải các dạng toán bằng cách lập phương trình. Tôi nghĩ rằng đây cũng là một cách đổi mới phương pháp dạy và học trong nhà trường THCS và cũng mong muốn được chia sẻ với những bạn bè đồng nghiệp để áp dụng vào giảng dạy nâng cao chất lượng đại trà cũng như chất lượng mũi nhọn.
Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các quý vị.
 	Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tân Thành ngày 20 tháng 4 năm 2014
Người viết đề tài
 Dương Thị Bích Huệ
VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÊN TÁC GIẢ
TÊN TÀI LIỆU
NHÀ XUẤT BẢN
NƠI XUẤT BẢN
Phan Đức Chính
SGK, SGV toán 9
NXB Giáo dục
Hà Nội
Nguyễn Ngọc Đạm
Toán phát triển đại số 8, 9
NXB Giáo dục
Hà Nội
Phạm Gia Đức
Tài liệu BDTX chu kỳ III
NXB giáo dục
Thái Nguyên
TS Lê Văn Hồng
Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán
NXB Giáo dục
Hà Nội
NguyễnVăn Nho
Phương pháp giải các dạng toán 9
Nhà xuất bản Giáo dục
TP. Hồ Chí Minh
ThS. Đào Duy Thụ - ThS. Phạm Vĩnh Phúc
Tài liệu tập huấn Đổi mới phương pháp dạy học môn toán 
NXB Giáo dục
Hà Nội
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 T/M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
Ý KIẾN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRÊN
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 T/M HỘI ĐỒNG KHOA HỌC