Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử

PHẦN I:ĐẶT VẤN ĐỀ
I/Lý do chọn đề tài:
 Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực tư duy toán học. Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học được tốt.
 Trong chương trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm. Vì nó được sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ,chứng minh đẳng thức, giải phương trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh.
 Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp. Việc tìm ra phương pháp thích hợp cho lời giải một bài toán được ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán ...tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh. Khi lựa chọn các phương pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển tư duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể. Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh được ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan như : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức..Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải tư duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó.
 Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng như nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy được trí tuệ của học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra chuyên đề “ Rèn kĩ năng của học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp các em nắm vững một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy được đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán. Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học.
Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Phối hợp nhiều phương pháp
Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
Phương pháp tách, phương pháp thêm bớt
Phương pháp đặt nhân tử chung
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
PHẦN II:CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TICH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
I. Phương pháp đặt nhân tử chung
	Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp này thường làm như sau:
Tìm nhân tử chung 
Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác.
Viết nhân tư chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x – 6y
Giải: 
 3x – 6y = 3x – 3.2y = 3.(x-2y)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 14x2y – 21xy2 + 28x2y2
Giải:
14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.x – 7xy.3y + 7xy.4xy
 = 7xy(x- 3y + 4xy)
II. Phương pháp dùng hằng đẳng thức 
	Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. 
Bình phương của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2
Bình phương của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2
Hiệu hai bình phương: A2- B2 =( A + B ).( A - B )
Lập phương của một tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3
Lập phương của một hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3
Tổng hai lập phương : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 )
Hiệu hai lập phương : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )
Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13
Giải
8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải
25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2
 III. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
	Khi sử dụng phương pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp ,nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm ,rồi dùng các phương pháp đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y
Giải:
4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2 + 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y) = (x+2y)(4x-3)
Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2
Giải
 	x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)
IV. Phối hợp nhiều phương pháp
 Thường được tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn
+ Nhóm hạng tử 
+ Dùng hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung
 Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz
	Giải:
x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) (Nhóm các hạng tử)
 = (x+y)2 - z(x+y) (dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
=(x+y)(x+y-z) (đặt NTC)
Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy 
 	Giải:
3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy = 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1) (đặt NTC)
 =3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)] (nhóm các hạng tử)
=3xy[(x-1)2-( y+a)2] (dùng hằng đẳng thức)
=3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a) (dùng hằng đẳng thức)
V. Phương pháp tách hạng tử :
 Trong một số trường hợp ,bằng các phương pháp đã học không thể giải được mà ta phải tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng được các phương pháp đã biết.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8
	Giải:
 	Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 (tách -6a = (-4a) +(-2a) 
= (x2 - 4x)- (2x-8) (nhóm hạng tử)
= x(x-2)-4(x-2) ( đặt NTC)
= (x-2)(x-4) (đặt NTC)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử,trong đó có thể kết hợp làm xất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 (tách 8= 9-1) 
= (x2 - 6x +9) – 1 (nhóm hạng tử) 
= (x-3)2 -12 (dùng hằng đẳng thức)
=(x-3+1)(x-3-1) (dùng hằng đẳng thức)
= (x-2)(x-4)
	Cách 3 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)
	Cách 4 :x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4)
*Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác trong đó có 2 cách thông dụng là :
 Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.(cách 1)
Cách 2 : Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương (cách 2 và cách 3)
IV . Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
	Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào. cũng như không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp phân tích đã biết.
Ví dụ 11 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử
Ta thấy: x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm, bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 4x2 
x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2– 4x2 (thêm 4x2,bớt 4x2)
 = (x4 + 4x2 + 4 )– 4x2 ( nhóm hạng tử)
 = (x2+2)2 – (2x)2 (dùng hằng đẳng thức) 
 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2) (dùng hằng đẳng thức)	
 Ví dụ 12 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử
Ta thấy: 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2
64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
	 = (64a2 + 16a2b2 +b4) - 16a2b2
	 = (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)
*Như vậy việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,song ta cần xét xem thêm bớt hạng tử nào,để làm xuất hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng hay hiệu hai bình phương  thì mới phân tích triệt để được
PHẦN 3:TIẾT DẠY MINH HỌA
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết 13:	PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
 BẰNG CÁCH PHỐI HỢP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP
MỤC TIÊU :
-HS nắm được các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Học sinh biết vận dụng một cách linh hoạt các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học vào việc giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử
II. CHUẨN BỊ :
GV: Bảng phụ, giáo án.
HS: Ôn tập các hằng đẳng thức đáng nhớ, Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học 
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC : 
	1. Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ:
Câu 1:	Phân tích một đa thức thành nhân tửlà gì? 
Câu 2: Nêu lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học?
	2. Bài mới:
Hoạt động của GV và HS
Ghi bảng
Hoạt động 2 : Ví dụ:
- GV đưa ra ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Ví dụ 1: 3x2 – 6x2y + 3xy2
- GV gợi ý: Ta có thể phân tích đa thức trên thành nhân tử bằng phương pháp nào?
+ Đặt nhân tử chung 
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Nhóm nhiều hạng tử
+ Hay có thể phối hợp các phương pháp trên
- HS :Đặt nhân tử chung 
3x2 – 6x2y + 3xy2 = 3x( x2 – 2xy + y 2) 
- GV : Đa thức trong ngoặc còn có thể phân tích thành nhân tử được không? Sử dụng phương pháp nào để phân tích?
- HS: Dùng phương pháp hằng đẳng thức 
3x2 – 6x2y + 3xy2 = 3x( x2 – 2xy + y 2) = 3x( x- y ) 2
- GV: Vậy ta đã sử dụng những phương pháp nào để phân tích đa thức trên thành nhân tử?
- HS: Phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức
- GV: Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả 3 phương pháp trên để có thể phân tích đa thức thành nhân tử
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
M = x2 + 2xy + y2 – 16
- GV gợi ý: Dùng PP đặt NTC cho 4 hạng tử trên được không?
 4 hạng tử trên có dạng hằng đẳng thức nào không ?
Vậy dùng PP gì để phân tích được? 
Ta thấy 3 hạng tử đầu có dạng HĐT. VÌ vậy ta dùng PP nhóm ba hạng tử đó 
 M = x2 + 2xy + y2 – 16 = ( x2 + 2xy + y2 )– 16
- Dùng HĐT ở nhóm thứ nhất. M = ( x + y )2 - 42
- Tiếp tục dùng HĐT để phân tích: M = ( x + y + 4)( x + y – 4)
* GV chốt lại: Để phối hợp nhiều PP trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bước sau:
- Đặt nhân tử chung cho cả đa thức ( nếu có thể )
- Xét xem đa thức có dạng HĐT nào không? Nếu không có nhân tử chung hoặc không có HĐT thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thỏa mãn điều kiện xuất hiện nhân tử chung hoặc HĐT. 
- Hoạt động nhóm: ?1 
- GV: yêu cầu HS làm ?1
2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
= 2xy( x2 – y2 – 2y –1) ( Đặt nhân tử chung)
= 2xy[ x2 – (y2 + 2y + 1)] ( Nhóm hạng tử )
= 2xy[ x2 – ( y + 1 )2] ( Hằng đẳng thức)
= 2xy[ x + ( y + 1 )][ x – ( y + 1 )] ( Hằng đẳng thức)
= 2xy( x + y + 1 )( x – y – 1 )
- GV: Cho HS hoạt động nhóm ?2 bài a
HS: 
 x2 + 2x + 1 – y2= ( x + 1 )2 – y2
 = ( x + 1 + y )( x + 1 – y )
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức trên ta có :
( 94,5 + 1 + 4,5 )( 94,5 + 1 – 4,5 )
= 100 . 91 = 9100
Câu b: GV chiếu lên màn hình HS quan sát nêu các phương pháp mà Việt đã áp dụng để phân tích đa thức trên thành nhân tử. 
* Củng cố :
- GV: Phân tích đa thức x2 + 5x + 6 thành nhân tử 
- GV : Hướng dẫn HS tách hạng tử 5x = 2x + 3x
- Rồi sau đó nhóm các hạng tử
 x2 + 5x + 6 = x2 + 2x + 3x + 6 = (x2 + 2x ) + (3x+ 6)
= x( x + 2 ) + 3( x + 2 ) ( đặt nhân tử chung)
= ( x + 2 )( x + 3) ( đặt nhân tử chung)
- GV hướng dẫn thêm cách khác: Tách hạng tử tự do
 6 = 10 – 4 
x2 + 5x + 6 = x2 + 5x + 10 - 4 = (x2 - 4 ) + (5x + 10)
= ( x - 2)( x + 2) + 5( x + 2) = ( x + 2)( x + 3)
Ví dụ: Phân tích đa thức P = x4 + 4 Thành nhân tử
- GV: Ta thấy đa thức P đã có bình phương hạng tử x 2 và bình phương hạng tử 2 . Vậy muốn là HĐT thì còn thiếu 2 lần tích của hai hạng tử đó. Do đó ta thêm 2x2 .2 = 4x2 thif đồng thời bớt 4x2
- P = x4 + 4x2 + 4 – 4x2 ( thêm bớt 4x2 ) 
 = [ ( x2 )2 + 2x2.2 + 22] – (2x)2 ( Nhóm hạng tử)
 = ( x2 + 2)2 - ( 2x)2 ( HĐT)
 = ( x2 + 2x + 2)( x2 – 2x + 2)
1.Ví dụ:
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 
 5x3 + 10 x2y + 5xy2 
= 5x( x2+ 2xy + y2 )
= 5x( x + y )2 
Ví dụ 2 : 
Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 
 x2 - 2xy + y2 – 9 
 = ( x2 - 2xy + y2 ) – 9
 = ( x – y )2 – 32 
 = ( x – y + 3 )( x – y – 3 )
 2:Áp dụng
VD 1: 
 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy
= 2xy( x2 – y2 – 2y –1)
= 2xy[ x2 – (y2 + 2y + 1)]
= 2xy[ x2 – ( y + 1 )2]
= 2xy[ x + ( y + 1 )][ x – ( y + 1 )]
= 2xy( x + y + 1 )( x – y – 1 )
VD 2:
 x2 + 2x + 1 – y2
= ( x + 1 )2 – y2
= ( x + 1 + y )( x + 1 – y )
Thay x = 94,5 và y = 4,5 vào biểu thức trên ta có :
( 94,5 + 1 + 4,5 )( 94,5 + 1 – 4,5 )
= 100 . 91 = 9100
Phân tích các đa thức thành nhân tử :
 x3 – 2x2 + x
= x( x2 – 2x + 1 )
= x( x – 1 )2
2x2 + 4x + 2 – 2y2
2( x2 + 2x +1 – y2 )
2[(x2 + 2x +1) – y2 ]
2[( x + 1)2 – y2]
2( x+ 1 + y )( x + 1 – y )
2xy – x2 – y2 + 16
-( x2 – 2xy + y2 – 16 )
 -[( x2 – 2xy + y2) – 42]
 -[( x – y )2 – 42 ]
 - ( x – y + 4 )( x – y – 4 )
IV. HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ : 
Làm các bài tập 52, 54, 55, 57 trang 24, 25.