Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp suy luận hình học

PHÒNG GIÁO DỤC KIM SƠN
TRƯỜNG THCS CỒN THOI
TỔ TỰ NHIÊN
=================
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP 
SUY LUẬN HÌNH HỌC
Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
	- Giáo viên trường THCS Cồn Thoi
Cồn Thoi, tháng 4 năm 2019
Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài này, chúng tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ rất nhiều của các thày cô giáo trong tổ KHTN trường THCS Cồn Thoi - Kim Sơn – Ninh Bình cùng bạn bè đồng nghiệp. 
Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thày cô giáo và bạn bè đồng nghiệp để đề tài này được hoàn thiện hơn.
	Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
	 Cồn Thoi, tháng 4 năm 2019
	NGƯỜI THỰC HIỆN
	Nguyễn Đức Hải
MỤC LỤC
Phần mở đầu
Phần nội dung
Chương I. Cơ sở lí luận
Chương II. Chứng minh hình học
Chương III. Bài tập
Phần kết luận
Phần mở đầu
1) Lí do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy các môn nói chung và môn hình học nói riêng thì việc tìm ra lời giải một bài toán đối với học sinh là tương đối khó khăn và thường là không có hệ thống và phương pháp cụ thể, nhất là những bài toán chứng minh hình học. Học sinh đọc sách giáo khoa và sách bài tập thì dễ hiểu nhưng để làm được bài thì lại gặp khó khăn. 
Bởi vì những chứng minh đó được lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ nhàng dẫn đến một hệ quả tất yếu. Nhưng làm sao biết được cái trật tự lôgic đó? Làm sao biết được phải bắt đầu từ chỗ nào? Phải làm gì trước, làm gì sau? ...
	Một trong những phương pháp để tìm được lời giải là phương pháp suy luận phân tích, là phương pháp đơn giản, dễ thực hiện và liên kết được điều phải chứng minh với những giả thiết và những điều đã biết.
	2) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
	- Đối tượng nghiên cứu: phương pháp suy luận phân tích.
	- Phạm vi nghiên cứu: Dùng phương pháp suy luận phân tích để tìm và giải bài toán chứng minh nói chung và bài tập hình học trong chương trình THCS
	3) Ý nghĩa 
	- Về mặt lí luận, đề tài này sẽ góp phần minh hoạ cho phương pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lôgic giữa điều cần chứng minh với điều cần có để chứng minh.
	- Về mặt ý nghĩa thực tiễn, kết quả nghiên cứu của đề tài này có thể được sử dụng để tổ chức dạy chuyên đề về phương pháp chứng minh hình học chương trình lớp 8
Phần nội dung
Chương I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
	I) SUY LUẬN TOÁN HỌC
	1) Suy luận là gì?
	Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đó cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề mới được rút ra gọi là kết luận hay hệ quả.
	Ký hiệu: X1, X2, ..., Xn Y
	Nếu X1, X2, ..., Xn Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay hệ quả logic
	Ký hiệu suy luận logic: 
	2) Suy diễn
	Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đó có được thực hiện theo các qui tắc logic. 
 - Quy tắc kết luận: 
	- Quy tắc kết luận ngược: 	
	- Quy tắc bắc cầu: 
 	- Quy tắc đảo đề: 
	- Quy tắc hoán vị tiền đề: 
	- Quy tắc ghép tiền đề: 
	3) Suy luận quy nạp:
	Suy luận quy nạp là phộp suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc trưng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai, có tính ước đoán. 
 Vd: 4 = 2 + 2
 6 = 3 + 3
 10 = 7 + 3
 ................
	Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố. 
	 a) Quy nạp không hoàn toàn :
	Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể đó được xét đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
	Sơ đồ:
	A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là B
 	A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là 1 số phần tử của A
 	Kết luận: Mọi phần tử của A là B
Phép tương tự:
	 Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó. Kết luận của phép tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
 Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d
 B có thuộc tính a, b, c 
 Kết luận : B có thuộc tính d .
 	c) Phép khái quát hóa:
	Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng nào đó có chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
	d) Phép đặc biệt hóa:
	Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
	Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đến nó.
	II) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TOÁN HỌC
Phương pháp chứng minh tổng hợp: 
	Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, điều cần chứng minh.
	Cơ sở: Quy tắc logic kết luận
Sơ đồ: A B C ... Y X 
	Trong đó A là mệnh đề đó biết hoặc đó cho trước; B là hệ quả logic của A; C là hệ quả logic của B; ..... ; X là hệ quả lụgớc của Y. 
 Vai trò và ý nghĩa:
	+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây ra khó khăn là đột ngột, không tự nhiên vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng nào đó thì nó phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh.
	+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó.
	+ Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 
Phương pháp chứng minh phân tích đi lên: 
	Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich đi lên là phương pháp chứng minh suy diễn đi ngược lên đi từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó.
	Cơ sở: Quy tắc logic kết luận.
	Sơ đồ: X Y ... B A 
	Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh; Y là tiền đề logic của X ; ..... ; A là tiền đề logic của B; A là mệnh đề đã biết hoặc đã cho trước; 
	Vai trò và ý nghĩa:
	+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận.
	+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên thường rất dài dòng vì thường từ mệnh đề chọn là mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh đề khác nhau làm tiền đề logic của nó.
	+ Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường phổ thông. 
	Ví dụ: Bài toán
	 “ Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không chứa nước sau 12 giờ thì đầy bể. Biết rằng lượng nước mỗi giờ chảy vào bể của vòi 1 gấp 1,5 lần lượng nước của vòi 2 chảy vào bể. Hỏi sau mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?” 
	3) Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống : 
 Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tích đi xuống là phương pháp chứng minh suy diễn đi từ điều cần tìm đến điều đã biết nào đó.
	Cơ sở: Quy tắc logic kết luận.
Sơ đồ: X Y ... B A 
	Trong đó: X là mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y là hệ quả logic của X ; ..... ; A là hệ quả logic của B và A là mệnh đề đó biết nào đó. Nếu A sai thì X sai. Nếu A đúng thì X có thể đúng có thể sai. Lúc này chúng ta phải dùng phương pháp tổng hợp đi từ A tới X.
guyễn Đức Hải
Chương II. CHỨNG MINH HÌNH HỌC
Ví dụ mở đầu
	Cho tam giác ABC (AC<AB). Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Tia phân giác của góc A cắt BC tại D, cắt BE tại H. Chứng minh:
BD = DE
BE ^ AD
GT
AC < AB
AE = AB
KL
BD = BE
BE ^ AD
Giải:
Phân tích
Chứng minh
a) 	cm 	BD = DE
	 ­
	cm	DBDA = DEDA
	 ­
	Có: 
Đủ điều kiện (c.g.c)
a) DBDA và DEDA có:
® DBDA = DEDA (c.g.c)
® BD = DE
b) 	cm	BE ^ AD ( = 900)
	 ­
	cm	1 = 2
	 ­
cm	DABH = DAEH
	 ­
Có: 	
Đủ điều kiện (c.g.c)
b) DABH và DAEH có:
	® DABH = DAEH
	® 1 = 2 
mà 1 + 2 = 1800
nên 1 = 2 = 1800: 2 = 900
Vậy BE ^ AD
Ta có thể chứng minh BE ^ AD bằng cách chứng minh AD là đường trung trực của BE.
Bài tập 1
	Cho tam giác ABC và trung tuyến BD. Chứng minh rằng nếu M là trung điểm của BD thì AN cắt BC tại điểm N và CN = 2BN.
GT
AD = CD
BM = DM
KL
CN = 2BN
Giải:
Phân tích
Chứng minh
Cách 1
cm	CN = 2BN
Nếu lấy P là trung điểm của CN thì
	 ­
cm	CP = PN = BN
	 ­
cm	AN // DP
Đúng vì DP là đường trung bình của tam giác ACN
Cách 1
Gọi P là trung điểm của CN
® DP là đường tung bình của tam giác ACN
® AN // DP
Tam giác BDP có MN đi qua trung điểm cạnh BD và song song với cạnh DP nên đi qua trung điểm của BP.
® BN = PN = CP
Vậy CN = 2BN
Cách 2
Hướng dẫn:
- Vẽ BE = AB
 - Chứng minh N là trọng tâm của tam giác ACE
Bài tập 2
	Cho tam giác ABC. Trên đường phân giác AD của góc A, lấy một điểm D bất kì. BD cắt AC tại M, CD cắt AB tại N. Chứng minh rằng nếu BM = CN thì tam giác ABC cân.
GT
D Î phân giác của 
BM = CN
KL
DABC cân
Giải: Đây là một bài tương đối khó.
 Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng: Giả sử DABC không cân (cụ thể là AB < AC). Ta sẽ chứng minh BM ¹ CN.
Phân tích
Chứng minh
Giả sử AB < AC. Kẻ:
Ta sẽ chứng minh CN > NE 
tức là CN > BM
	­
CM	 và 
Giả sử AB < AC
Lấy điểm K trên AB sao cho AK=AB
® K nằm giữa A và C và > 
a) cm 	
mà	 (cùng bù với )
	 ­
cm 	
Lấy điểm K trên AB sao cho AK=AB
® DABD = DAKD (c.g.c) (1)
® 
® cm 	
Đúng vì là góc ngoài của DCKD
b) Chứng minh 
«	cm: CM > ME
« 	cm: CM > BN
	­
DBCM và DCBN có BC chung, BM=CN (gt)
	­
cm	« 	CD > BD
mà BD = KD (từ (1))
	­
cm	CD > KD
đúng vì kề bù với góc nhọn nên là góc tù:
 > 
Xét DABD và DAKD có 
® DABD = DAKD (c.g.c) 
® 	(1)
 và BD = KD	(2)
Trong DCKD, góc CKD kề bù với góc nhọn AKD nên nó là góc tù:
 ® KD < CD	(3)
Từ (2) và (3) suy ra:
BD < CD ® 
Hai tam giác BCM và CBN có
 nên CM > BN (4)
Kẻ NE//BM và ME//AB cắt nhau tại E thì ta có: BN = ME (5)
BM = NE (6) và (7)
Từ (4) và (5) suy ra CM > ME
vậy trong DCME có 
Từ (1) và (7) suy ra 
® 
® CN > EN (8)
Từ (6) và (8) suy ra CN > BM
(trái giả thiết)
Điều này chứng tỏ điều giả sử là sai.
Vậy AB = AC tức là tam giác ABC cân tại A
Chương III. Bài tập
	Bài 1 (Lớp 7)
	Một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song m và n lần lượt tại A và B. Chứng minh rằng hai tia phân giác của cặp góc so le trong tương ứng song song với nhau.
	Bài 2 (Lớp 7)
	Cho tam giác ABC với các trung điểm M và N của AB và AC. Kéo dài N và CM những đoạn NB’ = BN và MC’ = CM. Chứng minh A là trung điểm của B’C’.
	Bài 3 (Lớp 7)
	Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Chứng minh rằng:
AB = CD, AD = BC
AB // CD, AD // BC
	Bài 4
	Cho tam giác ABC rtong đó = 900. Kẻ tia phân giác AD của góc A
D Î BC). Chứng minh = 450
	Bài 5
	Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có hai đường phân giác BM và CN bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.
Phần kết luận
Cùng một vấn đề có thể phân tích theo các cách khác nhau từ đó dẫn đến nhiều cách giải khác nhau. Vì vậy, khi đã phân tích và tìm ra lời giải rồi, chúng ta cần xem xét lại xem có phân tích theo cách khác được không, từ đó sẽ có lời giải mới mà có khi chúng ta lại phát hiện ra cái mới.
Suy luận phân tích cần phải luyện tập nhiều, dần dần có kinh nghiệm và hình thành cái quan trọng nhất là trực giác mà trong đó, sự suy luận phân tích chỉ diễn ra rất nhanh, rất gọn trong não. Đó là phản xạ tự nhiên, sự nhạy bén trong phân tích mà người học toán cần phải đạt được.
Phép suy luận nói chung và phép suy luận phân tích nói riêng rất cần trong thực tiễn chứ không chỉ riêng trong học toán. Trong thực tế, khi gặp một vấn đề phức tạp khó giải quyết, phải làm rất nhiều công việc khác để giải quyết vấn đề đó thì chúng ta cần phải ngẫm nghĩ xem cần làm cái gì trước, cái gì sau, sử dụng những cái đã có như thế nào, những cái còn thiếu thì giải quyết như thế nào ... và khi đó thì phép suy luận phân tích đi lên là một cách tối ưu.
Hạn chế của đề tài này, tôi chỉ dừng ở phép suy luận phân tích đi lên. Chúng ta có thể sử dụng kết hợp cả phương pháp phân tích đi xuống và sau đó, ta có thể sử dụng phương pháp chứng minh tổng hợp để hệ thống tư duy được phát triển đầy đủ. Rất mong được sự đóng góp ý kiến, nhận xét của các thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể hơn và có dịp được trình bày đầy đủ hơn, góp phần nâng cao khả năng học hình học của học sinh.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
	Cồn Thoi, tháng 04 năm 2019
	 NGƯỜI THỰC HIỆN 
	Nguyễn Đức Hải