Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp

BÁO CÁO KẾT QUẢ 
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu:
Toán học 11 tiếp nối chương trình Toán 10 bắt đầu từ phần “Lượng giác”. Việc học phần phương trình lượng giác của lớp 11 gây khó khăn không nhỏ cho học sinh vì học sinh không nắm chắc công thức lượng giác nên khả năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác của học sinh còn yếu và đặc biệt khả năng nhận dạng các phương trình lượng giác của học sinh còn hạn chế đó là một trong những lí do tôi chọn sáng kiến kinh nghiệm này. 
2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số phương trình lượng giác thường gặp
3. Tác giả sáng kiến:
- Họ và tên: Nguyễn Thanh Nhàn
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Thị trấn Lập Thạch - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
- Số điện thoại: 0948028536. E_mail: nguyenthanhnhan@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Đại số và giải tích
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 28/9/ 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
- Về nội dung của sáng kiến:
Phần I
ĐẶT VẤN ĐỀ
Cơ sở lý luận:
 - Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của ngành giáo dục ở bậc phổ thông trung học.
 - Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh hệ phổ thông trung học trong việc học tập bộ môn Đại số và giải tích 11.
 - Kinh nghiệm giảng dạy của một số nhà Toán học trình bày trong các tài liệu.
 - Cách giải phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp đã nêu trong sách giáo khoa lớp 11(cơ bản và nâng cao).
 - Chuẩn kiến thức kỹ năng trong chương trình toán 11.
 Cơ sở thực tiễn
 - Những thuận lợi và khó khăn trong quá trình giảng dạy bộ môn Đại số và giải tích và nhất là phần phương trình lượng giác.
 Mục đích nghiên cứu:
- Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn và rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
- `Nhằm tạo ra tư liệu cho học sinh tự rèn luyện và ôn thi.
a. Kết quả khảo sát đầu năm học
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1
36
03
8,3
06
16,7
17
47,2
06
16,7
04
11,1
11A3
31
0
03
9,6
16
51,6
06
19,4
06
19,4
b. Nguyên nhân
* Nguyên nhân khách quan
- Sau ba tháng nghỉ hè kiến thức cũ của học sinh mai một nhiều.
- Phân phối chương trình Toán 11 không có tiết ôn tập đầu năm số tiết học Toán giảm nhiều so với chương trình cũ.
* Nguyên nhân chủ quan
- Đa số các em học sinh chưa có động cơ học tập đúng đắn.
- Chưa phát huy được tính tự học, tự rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc học toán nói riêng và học tập nói chung .
- Chưa có phương pháp học để khắc sâu kiến thức để từ đó vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào việc giải toán, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải phương trình lượng giác ...còn yếu.
c. Các giải pháp thực hiện
Để đạt được kết quả cao trong việc học toán nhất là chủ đề “Lượng giác” đòi hỏi học sinh cần nắm vững kiến thức từ thấp đến cao, phải học toán thường xuyên liên tục, biết quan sát bài toán và định hướng được phương pháp giải, biết vận dụng và kết nối các chuỗi kiến thức đã học để từ đó tiếp thu dể dàng hơn, thuận lợi hơn trong quá trình giải toán góp phần triệt để đổi mới chương trình môn Toán trung học phổ thông. Trong yêu cầu đổi mới chương trình và phương pháp giảng dạy Toán ở trường THPT với phương châm “lấy học sinh làm trung tâm” kết hợp với kết quả khảo sát đầu năm học trong chuyên đề này tôi đưa ra giải pháp chính là: hệ thống lại “Các công thức lượng giác liên quan, công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản và phương pháp giải các phương trình lượng giác thường gặp đồng thời nêu lên hướng mở rộng, nâng cao” đảm bảo cho tính liên tục và tính thực tiễn thuận lợi cho học sinh trong việc học, rèn luyện và ôn tập.
Phần II
NỘI DUNG
A. CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN:
Công thức cộng:
– cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb	– cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb 
– sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb 	– sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb 
– 	– 
Công thức nhân đôi:
– cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a 
– sin2a = 2sinacosa 	– 
Công thức hạ bậc:
– 	– 
Công thức biến đổi tích thành tổng:
– 
– 
– 
Công thức biến đổi tổng thành tích: 
– 	– 
– 	– 
Một số cung liên quan đặc biệt
Cung đối:(cos đối)
Cung bù: (sin bù)
Cung phụ:(phụ chéo)
Cung khác : (khác tang và côtang)
Phương trình lượng giác cơ bản:
a. Phương trình 
 : Phương trình vô nghiệm
 Tổng quát: 
* Các trường hợp đặc biệt
b.Phương trình 
 : Phương trình vô nghiệm
 Tổng quát: 
* Các trường hợp đặc biệt
c. Phương trình 
 Tổng quát: 
d. Phương trình 
 Tổng quát: 
B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
1.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 
 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng (1) trong đó a,b là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.
Phương pháp giải: Biến đổi đưa phương trình (1) về các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 
 Giải
Ví dụ 2: Giải phương trình sau: (Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác)	
Giải 
 1.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: 
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng (2), trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong các hàm số lượng giác.
 Cách giải: Biến đổi đưa phương trình (2) về các phương trình lượng giác cơ bản.
Ví dụ 3: 
 a) là phương trình bậc hai đối với .
 b) là phương trình bậc hai đối với .
 c) là phương trình bậc hai đối với .
 d) là phương trình bậc hai đối với .
Giải
Đặt , điều kiện . Phương trình (1) trở thành:
Với t=1, ta được 
Đặt , điều kiện . Phương trình (2) trở thành:
Với ta được 
Các câu còn lại giải tương tự
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
Giải
	*) Giải phương trình:
*) Giải phương trình: 
	Vì nên phương trình vô nghiệm.
	Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là 
	 Điều kiện: và 
	 Khi đó: 
Đặt , ta giải phương trình bậc hai theo t: 
Bài tập tương tự
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
 a) 	b) c) 
 Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
 a) 	b) 	 c) 
 d) 	e) g)
 h) i) k) 
Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Phương trình nào sau đây vô nghiệm? 
A . .	 B. .	C.. D. .
Câu 2. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:.
 . B. . C. . D.
Câu3.Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: .
A. . 	B. . 
C. . 	D. .
 Câu 4. Tìm tập nghiệm T của phương trình .
A. . 	B. 
C. .	D. .
 DẠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx và cosx 
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng trong đó và 
 C¸ch gi¶i:
Ta cã thÓ lùa chän 1 trong 2 c¸ch sau:
C¸ch 1: Chia hai vế phương trình cho ta được:
Nếu : Phương trình vô nghiệm.
Nếu thì đặt 
 (hoặc )
 Đưa phương trình về dạng: (hoặc ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình trong đó và có nghiệm khi .
C¸ch 2: Thùc hiÖn theo c¸c b­íc 
B­íc 1: Víi thö vµo ph­¬ng tr×nh (1) xem cã lµ nghiÖm hay kh«ng?
B­íc 2: Víi 
§Æt suy ra 
Khi ®ã ph­¬ng tr×nh (1) cã d¹ng 
B­íc 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2) theo t , sau ®ã gi¶i t×m x.
* D¹ng ®Æc biÖt:
 . 
 . .
Chó ý: Tõ c¸ch 1 ta cã kÕt qu¶ sau
 tõ kÕt qu¶ ®ã ta cã thÓ ¸p dông t×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè cã d¹ng , vµ ph­¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ cho mét sè ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c .
VÝ dô: Gi¶i ph­¬ng tr×nh: (1)
	Gi¶i :
C¸ch 1: Chia c¶ hai vÕ ph­¬ng tr×nh (1) cho ta ®­îc
§Æt . Lóc ®ã ph­¬ng tr×nh (1) viÕt ®­îc d­íi d¹ng
VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm 
C¸ch 2:Ta nhËn thÊy lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh 
-Víi . §Æt ,ta cã 
Ph­¬ng tr×nh (1) sÏ cã d¹ng 
Hay 
	VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 hä nghiÖm
C¸ch 3: BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng 
	VËy ph­¬ng tr×nh cã hai hä nghiÖm 
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
 Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a) 	b) c) 
d) 	e) 	g) 
h) 	(*)	i) 
Chú ý: Tùy từng bài có thể đặt theo lý thuyết nhưng có một số bài lại không nên dập khuôn quá máy móc nên tìm cách giải phù hợp đối với từng loại bài .
 Bài tập trắc nghiệm: 
Câu 1. Các nghiệm của phương trình là:	
A. 	B. 	C. D. 
Câu 2: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 3: Phương trình: tương đương với phương trình nào sau đây:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4: Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm:
	A. 0 < m < 	B. 	C. 	D. m < 0 ; 
DẠNG 3 : MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC GIẢI ĐƯA VỀ 
 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
DẠNG 3. 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinx và cosx 
Định nghĩa: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx là phương trình có dạng 
 Cách giải
Phương trình chứa tổng và tích (còn gọi là phương trình đối xứng theo sin và côsin)
Dạng phương trình:
 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (1)
Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 
 (1) .
 Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn .
 Thay giá trị t0 vào PT (*) và giải PT sin2x = để tìm x.
Phương trình chứa hiệu và tích ( còn gọi là phương trình phản xứng)
Dạng phương trình: 
a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c (2)
Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 
 (1) .
 Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn .
 Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- để tìm x
Ví dụ : Giải các phương trình sau :
	a. 	
 b. 
	c. 	
 d. 
Giải
a. . 
Do đó : 
b. (1)
Đặt : 
.
 Do đó phương trình :
c. . Điều kiện : . Khi đó phương trình (c) trở thành : 
Đặt : . Thay vào phương trình ta được :
Thỏa mãn điều kiện .
d. . Điều kiện : .
Khi đó : 
Trường hợp : 
Trường hợp : sinx+cosx-sinx cosx=0 .
Đặt : Cho nên phương trình : 
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
Bài tập 2: Giải các phương trình sau :
	a. 	b. 
	c. 	d. 
DẠNG 3.2 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI ĐỐI VỚI sinx và cosx 
Định nghĩa: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x là phương trình có dạng 
Cách giải:
 Caùch giaûi 1: (Dùng công thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và côsin cùng cung)
 (1) 
 .
Caùch giaûi 2 (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
 Kiểm tra có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
 chia cả hai vế cho đưa về phương trình bậc hai theo : 
Ví duï: Giaûi phöông trình 
a. cos2x - sin2x = 1 + sin2x	(1)
b. 4sin2x – 3sinxcosx + cos2x = 4	(2)
c. 10 cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4 	(3)
d. cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.	(4)
GIẢI
a.(1) 
b. +Xét cosx = 0 thì nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm .
 +Xét . Chia hai vế PT(2) cho và thay và đặt ăn 
 phụ t = tanx :
 Ta có : 	
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : ; 
c. (3) 
d. +Xét cosx = 0 thì nghiệm đúng phương trình (2).
 Vậy (2) có nghiệm .
 +Xét . Chia hai vế PT(2) cho và thay và đặt ẩn phụ t = tanx :
 Ta có : 
Bài tập tương tự:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
Phöông trình thuaàn nhaát baäc cao theo sin vaø coâsin cuøng moät cung
Ví dụ 1: Giải phương trình: (1)
Giải cách 1: 
+ĐK: .
+(1) (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 không nghiệm đúng PT. (vì ; vô lý)
+cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
 (t = tanx)
Giải cách 2:
(*) (**)
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
 (**)
 . 
 Ví dụ 2 : Giaûi phöông trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = 0 (4) (đẳng cấp 
 bậc 4)	
Giải cách 1:
 + cosx = 0 thì sinx = không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx 
 + Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
Giải cách 2:
(4) 
Ví dụ 3: Giải phương trình : (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : 
 = 
Và biến đổi : 
Thì PT (5) (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: (đẳng cấp bậc 6)
Làm theo cách giải (1) sau bước 2 đã thu gọn ta được phương trình:
 (Với t = tanx ) 
 Khi đó PT (5.1) (5.2)
 PT (5.2) đặt ẩn phụ thì được PT bậc hai .
Trở lại với ẩn t thì các PT này vô nghiệm.
 + Với t = 0 .
Chú ý: Khi xét cosx = 0 thì nó nghiệm đúng PT đẳng cấp bậc 6 nên:
 cũng là nghiệm PT. Kết hợp nghiệm thì được x = phù hợp với mọi cách giải.
Bài tập tương tự:
1) Giaûi phöông trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x	 (đẳng cấp bậc 3)	
2) Giaûi phöông trình sin3x + cos3x + 2cosx = 0	(đẳng cấp bậc 3)	
3) Giaûi phöông trình sinx – 4sin3x + cosx = 0 (đẳng cấp bậc 3)	
4) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 3)
 5) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3) 
 6) Giải phương trình : (đẳng cấp bậc 3)
 7) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 3) 
 8) Giaûi phöông trình : 4 (đẳng cấp bậc 4) 
 9) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 6)
 10) Giaûi phöông trình : (đẳng cấp bậc 6)
Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là:
Câu 2: Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn là:
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Câu 3. Phương trình có nghiệm là:
A. 	B. 
C. 	 D. Đáp án khác.
Câu 4. Phương trình có các nghiệm là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5. Phương trình sin4x + cos4x = 2cos2x - 1.
	A) B) C) D) 
Câu 6. Phương trình có các họ nghiệm là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
DẠNG 4: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Cách giải 
+ Dùng các công thức biến đổi về các phương trình đã biết 
+ Đưa về phương trình tích.
+ Áp dụng một số tính chất đặc biệt trong biến đổi đại số
+ Áp dụng tính chất: 
+ Áp dụng tính chất: 
+ Áp dụng tính chất: 
Bài 1: Giải phương trình (1)
Giải : (1) 
Bài tập áp dụng: 
Bài tập 1: Giải các phương trình:
a) cosxcos7x = cos3xcos5x (1)	b) sin2x + sin4x = sin6x (2)
c) (3)	d) (4)
Chú ý: Dùng các công thức biến đổi tích về tổng, tổng về tích, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc và sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác.
Giải: 
a)	
Câu 2 , 3 , 4 giải tương tự
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
Giải tương tự như bài tập 1
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
Cách giải: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi
Bài tâp 4: Giải các phương trình sau:
Chú ý: Với dạng bài tập 4 cần phải có điều kiện
Bài tập 5: Giải các phương trình sau:
Lưu ý: câu a là dạng của pt bậc nhất theo sin x và cos x
Câu b và c đặt nhân tử chung hoặc đưa về pt bậc 3 theo sin x
 Bài tập trắc nghiệm:
Câu 1. Nghiệm của phương trình là:	
A. B. C. D. 
Câu 2. Phương trình có nghiệm là:
	A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 3. Cho phương trình . Các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:
A. B. 	 C. 	D. 
Câu 4. Số nghiệm của phương trình thuộc đoạn là:
A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Câu 5: Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là:
	A. B. C. 	D. 
DẠNG 5. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC – 
 THPTQG
KD-2002: Tìm nghiệm đúng pt: 
KB-2002: 
KA-2002: Tìm nghiệm thuộc của pt: 
KD-2003: 
KB-2003: 
KA-2003: 
KD-2004: 
KB-2004: 
KA-2004: Không hỏi về giải pt LG (thay bởi bài hệ thức lượng trong tam giác)
KD-2005: 
KB-2005: 
KA-2005: 
KD-2006: 
KB-2006: 
 KA-2006: 
KD-2007: 
KB-2007: 
KA-2007: 
CĐ-2008: 
KD-2008: 
KB-2008: 
KA-2008: 
CĐ-2009: 
KD-2009: 
KB-2009: 
KA-2009: 
KD-2010: 
KB-2010: 
KA-2010: 
KD-2011: 
KB-2011: 
KA-2011: 
KD-2012: 
KB-2012: 
KA-2012: 
KA-2013: KB- 2013: 
KD-2013: CĐ – 2013: 
KA- 2014 : 
THPTQG-2015 Tính giá trị của biểu thức biết 
THPT QG - 2016 Giải phương trình: .
Phần III
KẾT LUẬN
Phương trình lượng giác là một nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Vì vậy, bản thân tôi rất chú trọng khi dạy phần này cho học sinh. 
	Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân khi dạy phương trình lượng giác cho học sinh. Tuy bản thân rất cố gắng tìm tòi học hỏi, nhưng chắc hẳn bài viết còn nhiều hạn chế, mong các thầy cô chân tình góp ý và bố sung.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 cơ bản và nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.
Báo Toán học tuổi trẻ - Nhà xuất bản Giáo dục.
Các đề thi Đại học - Cao đẳng – THPT QG các năm.
Giải toán Đại số và lượng giác 11 – Võ Anh Dũng - Nhà xuất bản Giáo dục.
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Sáng kiến có thể sử dụng làm giáo án giảng dạy cho giáo viên và tài liệu học tập cho học sinh trong nhà trường.
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 
Trình độ chuyên môn: Nắm vững các kiến thức cơ bản của phần lượng giác và có phương pháp truyền đạt phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Cơ sở vật chất: Lớp học có đầy đủ các trang thiết bị cần thiết cho quá trình học tập. 
10. Kết quả đạt được :
 Sáng kiến đã nêu lên các dạng phương trình lượng giác thường gặp và các phương pháp giải phù hợp. Sau khi áp dụng sáng kiến với các lớp trực tiếp giảng dạy tôi thu được kết quả cụ thể như sau:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung Bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1
36
03
8,3
06
16,7
21
58,3
04
11,1
02
5,6
11A3
31
0
03
9,7
20
64,5
05
16,1
03
9,7
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu :
TT
Tên tổ chức/cá nhân
Địa chỉ
Phạm vi/Lĩnh vực
áp dụng sáng kiến
l
11A1
Trường THPT Triệu Thái – Vĩnh Phúc
Đại số và giải tích
2
11A3
Lập Thạch, ngày tháng năm 2018
Thủ trưởng đơn vị
Lập Thạch, ngày 25 tháng 10 năm 2018
Tác giả sáng kiến
Nguyễn Thanh Nhàn