Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển tư duy học toán qua phương pháp dạy Toán dạng dãy số

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC TOÁN QUA PHƯƠNG PHÁP DẠY TOÁN DẠNG DÃY SỐ 
PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
	I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
	1. Cơ sở lí luận: 
Phương pháp dạy học Toán trong trường Trung học cơ sở phải phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động của học sinh, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy. Kinh nghiệm dạy học là quá trình từ tích lũy chuyên môn của bản thân, học hỏi qua đồng nghiệp qua thực tiễn dạy học – đặc biệt là tiếp cận với nhiều thế hệ học sinh với nhiều lớp trình độ giỏi, khá, trung bình lẫn yếu kém. Thực tế công việc dạy cho ta hàng ngày. Qua nghiên cứu, tìm tòi và những trăn trở khi bài giáo án chuẩn bị chưa thật sự tốt. Vẫn còn vướng điều “gì đó” mà phải va chạm rồi mới rút ra được kinh nghiệm.
	Từ công việc hàng ngày và sự kiên trì chịu khó của bản thân – dĩ nhiên cũng còn hạn chế về năng lực – nhưng ấp ủ và trăn trở tôi mạnh dạn viết về một phần kinh nghiệm tích lũy trong thời gian công tác. Vì vậy, việc “Phát triển tư duy học toán qua phương pháp dạy toán dạng dãy số” cho học sinh lớp 6 là hết sức quan trọng và cần thiết.	
	2. Cơ sở thực tiễn: 
	 Toán học là một khoa học trừu tượng, có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Việc rèn luyện tư duy lôgic là một trong những yêu cầu hàng đầu của dạy học Toán ở nhà trường phổ thông. Trong chương trình Toán lớp 6 phần số học, bài tập rất phong phú và đa dạng. Khi gặp những dạng bài tập toán có phương pháp sẵn thì việc giải quyết bài toán đó khá dễ dàng. Tuy nhiên, khi gặp những bài tập phức tạp nếu đơn thuần chỉ sử dụng phương pháp có sẵn thì khó có thể giải quyết được. Bỡi vậy, việc định hướng lời giải cho một bài tập nói chung quan trọng hơn rất nhiều so với việc giải một bài toán cụ thể nào đó, vì việc giải cụ thể lời giải một bài toán đối với các em chỉ là các “thao tác” sử dụng các “công cụ” toán học mà các em đã rất thành thạo. Đặc biệt, khi học sinh tìm ra hướng giải toán, phát hiện được quy luật và mục đích cao hơn : “Tạo ra bài toán mới”. Có như vậy các em mới tự tin hơn trong học tập và nhận biết được vẻ đẹp của môn toán và yêu thích hơn trong học tập.
	Trên cơ sở những lí do nêu trên, bản thân tôi đã thực hiện đề tài “Phát triển tư duy học toán qua phương pháp dạy toán dạng dãy số”.
	II. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI:
	1. Đối tượng nghiên cứu:
	Người học không chỉ đơn thuần là học sinh mà là những người học Toán, có cả bản thân người dạy Toán. Ở đây cơ bản là học sinh cấp THCS.
	2. Phạm vi nghiên cứu:
	- Học sinh lớp 6 trường THCS Kpă Klơng nói riêng và học sinh lớp 6 cấp THCS nói chung.
	- Những kiến thức cơ bản về dãy số và tìm quy luật dãy số trong chương trình môn Toán 6 cấp THCS.
	3. Thời gian nghiên cứu: Từ năm học 2009-2010 đến hết năm học 2011-2012.
	4. Mục đích của đề tài:
	Người học Toán phải suy nghĩ tìm tòi hướng giải Toán, từ kết quả đó người làm toán nên phát hiện được quy luật để khi dự kiện thay đổi sẽ tìm được kết luận tương ứng. Mục đích cao hơn là tạo ra bài toán mới. Từ đó tổng hợp bài toán thành lớp bài toán. Giúp người học có ý thức tự học, hứng thú và tự tin trong học tập, khả năng sáng tạo. Từ đó nhận biết được vẻ đẹp của toán học và yêu thích môn Toán.
5. Khảo sát chất lượng học sinh lớp 6 khi chưa áp dụng đề tài:
Năm học
Số học sinh tham gia 
Điểm dưới trung bình
Điểm trên trung bình
Cộng
5
6
7
8
9
10
2007-2008
32
25
5
2
0
0
0
0
7
2008-2009
24
21
2
1
0
0
0
0
3
	III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
	Trong quá trình thực hiện đề tài này, bản thân tôi đã sử dụng các phương pháp sau: 
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu. 
- Phương pháp phân tích, tổng hợp. 
- Phương pháp thống kê.
- Phương pháp liên hệ thực tế. 
- Phương pháp thực nghiệm điều tra. 
- Phương pháp trao đổi với đồng nghiệp. 
- Và một số phương pháp khác.
PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh lớp 6 phần số học về các bài toán dạng dãy số mà nếu muốn giải được cần phải tìm được quy luật, bản thân tôi đã hướng dẫn các em phân tích các yếu tố, điều kiện có trong đề bài để từ đó tìm quy luật như thế nào là hợp lí nhất. Đồng thời, tôi cũng đã cố gắng hướng dẫn các em qua mỗi dạng bài tập cụ thể cần rút ra được bài toán mới, sử dụng phương pháp quy lạ về quen để đạt hiệu quả cao nhất, tìm ra lời giải trong sáng và ngắn gọn nhất. Đối với mỗi dạng bài tập, đều có những ví dụ minh hoạ để các em tập tìm ra được quy luật và tạo ra bài toán mới. 
	I. PHÂN TÍCH VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA:
	 Cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từ những bài toán đơn giản.
	Bài toán 1: Tính tổng: T = 0,01+0,03+0,05+...+0,15+0,17+0,19
Phân tích: Ta nhận thấy T là tổng của nhiều số hạng, nếu lần lượt thực hiện các phép tính thì sẽ mất nhiều thời gian. Chú ý đến các số hạng của tổng ta thấy mỗi số hạng đứng sau nhiều hơn số hạng đứng trước liền kề nó là 0,02. Với đặc điểm này, ta vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng ta có: T = (0,01+0,19)+(0,03+0,17)+(0,05+0,15)+(0,07+0,13)+(0,09+0,11)
	 = 0,2+0,2+0,2+0,2+0,2
	 = 1.
Khai thác bài toán: Ta có thể tính tổng T theo phương pháp (Gauss) như sau:
T = 0,01+0,03+0,05+...+0,15+0,17+0,19
T = 0,19+0,17+0,15+...+0,05+0,03+0,01
 2T = 0,2 + 0,2 + 0,2 +...+ 0,2 + 0,2 + 0,2 ( có 10 số hạng)
 	 = 0,2.10 = 2
Vậy T = 1.
Giải bài toán tương tự: B = 1,1+1,3+1,5+...+9,9+10,1
	= (1,1+10,1).23 = 257,6
Mở rộng đến bài toán: S = a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+nd) = 
	Bài toán 2: Tính: B = 
Phân tích: Nếu quy đồng mẫu số để thực hiện phép tính thì sẽ rất cồng kềnh và mất nhiều thời gian. Ta nhận thấy các mẫu số có tính chất đặc biệt và với tính chất đó ta phân tích mỗi phân số thành hiệu của hai phân số đơn giản hơn:
Khi đó các phân số đối nhau sẽ triệt tiêu và còn lại: B = 
Khai thác bài toán: Mở rộng tổng B đến tổng có n số hạng:
= 
Giải bài toán tương tự: Tính tổng: C = 
Bài toán 3: Chứng tỏ rằng:
Biến đổi vế trái bằng vế phải. Quá trình dạy học như sau:
Giải: Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái
Từ bài toán trên ta có dạng tổng quát như sau:
Nếu n + 1 – n = 1 thì với nN
Nhận xét: Phương pháp giải loại toán này là viết mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số. Số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp còn lại số hạng đầu tiên trừ đi số hạng cuối cùng. Lúc đó ta thực hiện dễ dàng.
Khai thác bài toán: Mở rộng bài toán 3 tính tổng sau:
A = 	với n = 1, 2, 3, 4,
 	với n = 1, 3, 5, 7,
 	C = 	với n = 1, 4, 7, 10,
D = 	với n = 1, 5, 9, 11,
Cả bốn câu trên đều vận dụng công thức của bài toán 3 ta giải như sau: A = 
B = 1-
B = 1 - 
C = 1-
C = 1-
D = 1-
D = 1-
Giải bài toán tương tự: Tính tổng:	E = 
 	Ta nhận thấy với bài toán này hai thừa số ở mẫu mỗi phân số hơn kém nhau hai đơn vị mà tử là 1 đơn vị. Vậy giải quyết như thế nào? Trong quá trình giảng dạy cho học sinh được thực hiện như sau:
Ta nhân cả hai vế của E với 2 ta được:
2E =
Theo câu A ở trên ta có:	2E = E = 
Tạo bài toán mới tương tự: Tính tổng: F = 
Bài toán cho ta thấy các phân số đều có tử là 7 và mẫu số là tích của các thừa số hơn kém nhau là 4 đơn vị. Thừa số thứ hai ở mẫu phân số trước chính là thừa số thứ nhất ở mẫu của phân số sau liền kề với nó. Vậy ta giải quyết bài này như thế nào để đưa về dạng tổng quát. Ta lần lượt giải quyết như sau:
 Ta nhân cả tử và mẫu của các phân số với rồi sau đó đưa phân số ra ngoài dấu ngoặc ta được:
F = 
	F = 
Bµi to¸n 4: TÝnh tæng: G = 3 + 32 + 33 + 34+...+32008
Lêi gi¶i:
 3G = 32 + 33 + 34 + 35 +...+ 32009
2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 + 35+...+ 32009) – (3 + 32 + 33 + 34+...+32008)
 = 32009 – 3
 G = 
	Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 4 thµnh bµi to¸n sau:
 	Bài toán 5: TÝnh tæng: G = a + a2 + a3 + a4 + + an 
	 (víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d­¬ng, a 1)
Lêi gi¶i:
 aG = a2 + a3 + a4 + a5 +...+ an
(a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+...+an+1) – ( a + a2 + a3 + a4+...+an)
 = an+1 – a
 G = 
Bµi to¸n 6: TÝnh tæng: H = 
Ta cã thÓ tÝnh tæng H b»ng c¸ch ®Æt th× :
 H = a + a2 + a3 + a4+...+a2008
 Tuy nhiên, ta cßn cã c¸ch kh¸c phï hîp h¬n:
 5.H =
 4H = 5H – H = () – ()
 = 1- =
 H = 
Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 6 thµnh bµi to¸n sau:
Bài toán 7: TÝnh tæng: H = 
(víi mäi a vµ n lµ sè nguyªn d­¬ng, a 1)
Bµi gi¶i:
 a.H= 
(a-1)H = aH – H = () – ()
 = 1- =
 H = 
Tõ kÕt qu¶ cña bµi to¸n 7 ta cã thÓ khai th¸c d­íi mét d¹ng kh¸c nh­ sau:
Bµi to¸n 8: 
a. Chøng minh r»ng: 
 I = < 
Tõ bµi to¸n 6 ta cã: 
 4.I = 1- < 1 I < 
b. Chøng minh r»ng:
 K = < 
§©y lµ mét bµi to¸n khã h¬n víi lêi gi¶i nh­ sau:
 3K = 
 2K = 3K – K = () – ()
 = 
 2K < 	 ( *)
 §Æt: L =
Ta cã: 3L = 
2L = 3L – L = () – ()
 =< 1
 L <
Tõ (*) ta cã: 2K< 1+L < 1+ =	 K <
 Ta cã thÓ dễ dµng chøng minh ®­îc c¸c bµi to¸n tæng qu¸t sau:
 Bài toán 9: Chøng minh: Víi mäi a, n lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng, a 1 th×:
 a) <
 b) <
Bµi to¸n 10: TÝnh tæng: M= 1.2 +2.3 + 3.4 + + 99.100
Giải:
3M = 1.2 (3-0) + 2.3(4-1) + 3.4(5-2) + + 99.100.( 101-98)
 = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +...+ 99.100.101 – 98.99.100
 = 99.100.101.
 M =
H­íng dÉn: 3n(n+1) = n(n+1)=n(n+1)(n+2) – (n-1) n (n+1)
Ta tæng qu¸t thµnh bµi to¸n như sau:
Bài toán 11: TÝnh tæng: 
 M = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1); Víi n lµ sè nguyªn d­¬ng.
Víi c¸ch lµm t­¬ng tù ta cã:
3M = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +...+ n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1)
 = n(n+1)(n+2).
 M =
Tõ bµi to¸n tæng qu¸t nµy ta cã thÓ ®Ò xuÊt thªm 2 bµi to¸n tÝnh tæng sau:
	Bài toán 12: Tính tổng:
 12 + 22 + 32 + + n2
 1.4 + 2.5 + 3.6 +...+ n(n+3)
Lêi gi¶i:
a) NhËn xÐt: n2 = n(n+1) – n
 12 + 22 + 32 ++n2 = 1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 ++ n(n+1) – n
 = 1.2 +2.3 + 3.4 ++ n(n+1) – ( 1 +2 +3 ++n)
 = 
 =
b) NhËn xÐt: n(n+3) = n(n+1) + 2n
1.4 +2.5 +3.6 ++ n(n+3) = 1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+...n(n+1) +2n
 =(1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 ++n)
 =+
 = 
Bài toán 13:	a) Tính tổng N=1.99+2.98+3.97++97.3+98.2+99.1
Giải:
 Để giải bài toán này nhanh gọn ta biến đổi về dạng bài toán 10 như sau:
N=1.99+2.(99 - 1)+3.(99 - 2)++98.(99 - 97)+99.(99 - 98)
N=(1.99+2.99+3.99++98.99+99.99) - (1.2+2.3++97.98+98.99)
N=99.(1+2+3++98+99) - M (Bài toán 10)
N=99. - = 166650
b) Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị bằng 1
P = 
Nhận xét: Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng và số 1 có mặt ở 98 tổng, số 2 có mặt ở 97 tổng, số 97 có mặt ở 2 tổng , số 98 có mặt ở 1 tổng.
Giải:
P = = 1
Vậy P=1
Dạng tổng quát: 1.n+2.(n-1)+3.(n-2)++(n-1).2+n.1=
Bµi to¸n 14: a) Tính tổng: Q =
 Qua bài toán trên ta thấy mẫu số của các phân số là tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp nhau thì bài toán được giải quyết như thế nào? Trong quá trình giảng dạy cho học sinh được giải như sau:
Cách 1:	Ta xét: 
 	 ..
Tổng quát: 
Vậy nhân cả hai vế của Q với 2 ta có:
2Q =
2Q =
2Q =
 Q =
Cách 2:	Ta thấy: 
b) TÝnh tæng: R = 
Giải:
R=
R=
R=
Tổng quát: Ta cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n 14 nh­ sau:
II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
 Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài tập mà trong quá trình thực hiện đề tài tôi đã sử dụng cho học sinh làm bài tập luyện tập:
Bài 1: Tính tổng: A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+99.100
Hướng dẫn: 3A = 1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
Bài 2: Tính tổng: B = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:	B = 1.(2+1)+2.(3+1)+3.(4+1)+...+99.(100+1)
	B = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
	B = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+4+...+99)
Bài 3: Tính tổng: C = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn: C = 1.(2+2)+2.(3+2)+3.(4+2)+...+99.(100+2)
	C = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
	C = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2.(1+2+3+...+99)
Bài 4: Tính:	D = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn: 	4D = 1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
Bài 5: Tính: E = 12+22+32+...+992+1002
Hướng dẫn: E = 1+2.(1+1)+3.(2+1)+...+99.(98+1)+100.(99+1)
Bài 6: Tính: F = 22+42+62+...+982+1002
Hướng dẫn: F = 22.(12+22+32+...+492+502)
Bài 7: Tính: G = 12+32+52+...+972+992
Hướng dẫn: G = E – F
Bài 8: Tính: H = 12-22+32-42+...+992-1002
Hướng dẫn: H = E – 2.(22+42+62+...+982+1002)
Bài 9: Tính: K = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
Hướng dẫn: K = (1.2.3+2.3.4+...+98.99.100) – (1.2+2.3+...+98.99)
Bài 10: a) So sánh: 23 và 32 ;	b) So sánh: 2300 và 3200
Hướng dẫn: Thực hiện câu a) suy ra câu b).
 chú ý: 300 = 3.100; 200 = 2.100
Áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa.
III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC:
Thông qua việc giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh lớp 6, bản thân tôi đã áp dụng đề tài này. Cuối mỗi đợt, tôi đều ra các bài tập kiểm tra về các bài toán dãy số có quy luật, tìm dạng tổng quát, tạo ra bài toán mới tương tự và thu được kết quả như sau:
Năm học
Số học sinh tham gia bồi dưỡng
Điểm dưới trung bình
Điểm trên trung bình
Cộng
5
6
7
8
9
10
2009-2010
33
8
9
3
5
3
4
1
25
2010-2011
39
10
14
7
1
4
2
1
29
2011-2012
28
4
12
1
4
3
2
2
24
Như vậy, thông qua việc áp dụng đề tài này tôi nhận thấy đa số các em đã biết nhận xét, phân tích đề toán để tìm ra quy luật và tạo ra bài toán mới. Các em không còn lúng túng mà biết định hướng rõ ràng để tìm ra cách giải phù hợp đối với mỗi bài toán. Qua đó, các em thêm yêu thích dạng toán khó này của số học nói riêng và Toán học nói chung. 
PHẦN 3: KẾT THÚC ĐỀ TÀI
Trên đây là một số vấn đề mà bản thân tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, xây dựng để áp dụng vào công tác giảng dạy và bồi dưỡng học sinh lớp 6 trong một số năm qua và thu được một số kết quả cụ thể. Tôi viết sáng kiến này với mong muốn được trao đổi và học hỏi thêm kinh nghiệm ở quý thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp. Vì thời gian và năng lực còn nhiều hạn chế, chắc chắn đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý phê bình của quý thầy cô giáo và đặc biệt là Hội đồng khoa học các cấp.
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Hội đồng khoa học 	 Người thực hiện
 Hồ Đức Ốc
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
	- Sách giáo khoa Toán 6-Tập 1,2 – NXB GD
	- Sách giáo viên Toán 6-Tập 1,2 – NXB GD
	- Sách nâng cao và phát triển Toán 6 – Tập 1– Vũ Hữu Bình
	- Toán chọn lọc cấp 2-Lê Hải Châu-NXB Hải Phòng
	- Để học tốt môn Toán 6– Võ Đại Mau-NXB GD
	- Thực hành giải toán- Nhà xuất bản giáo dục.
	- Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS-Nhiều tác giả-Trần Kiều chủ biên-viện khoa học Giáo dục.
MỤC LỤC
PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
	I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	1. Cơ sở lý luận
	2. Cơ sở thực tiễn
	II. PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI
	1. Đối tượng nghiên cứu
	2. Phạm vi nghiên cứu
	3. Thời gian nghiên cứu
	4. Mục đích của đề tài
	5. Khảo sát chất lượng học sinh lớp 6 khi chưa áp dụng đề tài
	III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
PHẦN 2: NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
	I. PHÂN TÍCH VÀ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA
	II. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
	III. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC
PHẦN 3: KẾT THÚC ĐỀ TÀI