Sáng kiến kinh nghiệm Phân loại, chọn phương pháp giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản của phân số

20 lần.
 Vậy phân số mới chưa giản ước là: 
 Số cần tìm là: 23 - 20 = 3 
 Đáp số 3.
Bài 3: Cho phân số giá trị của phân số này thay đổi như thế nào nếu:
	a. Thêm vào tử số a một số bằng mẫu số b ().
	b. Thêm vào tử số a một số chính bằng tử số a ().
	c. Trường hợp là một phân số lớn hơn 1, bớt ở tử số a một số đúng bằng b ().	
Giải	 a. Khi ta thêm vào tử số của phân số một số chính bằng b mà mẫu số giữ nguyên, chứng tỏ ta đã thực hiện phép cộng: = . Vậy phân số tăng lên một đơn vị
	b. Thêm vào tử số a một số chính bằng a ta có:
	Vậy phân số tăng lên 2 lần
	c. hay a > b. Vậy theo đầu bài ta có: 
Vậy phân số giảm đi 1 đơn vị.
	Bài 4: Viết 3 phân số khác nhau cho mỗi trường hợp sau:
a. Nhỏ hơn đơn vị b. Lớn hơn đơn vị c. Bằng đơn vị
Giải: 
	a. b. 	 c. 
Bài 5: Viết các phân số sau dưới dạng hỗn số mà phần phân số của hỗn số là phân số thập phân.
Giải:
*Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui đồng.
Bài 1: Không qui đồng mẫu số so sánh các cặp phân số sau:
	a. và 	b) và 	c) và 
	d) và ; e) và g) và f. và 
Giải:
a. hoặc 
b) . Vậy 
c) và Nhận xét có: 27 - 13 = 41 - 27 = 14
1- và 1- . Do nên 
Vậy 
d) và Có 
Vậy .
e) và . Ta có 
 1 > 
g) và . Ta có . Mà 3 > 2 Vậy: 3hay 
f. và . Ta có. ; . Mà . Vậy 
Bài 2: Tìm phân số ở giữa hai phân số sau: và 
 Ta có ; 	 mà . Vậy 
Biện pháp 3: Giúp học sinh tìm ra những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về cấu tạo, so sánh phân số.
1. Các bài toán về cấu tạo phân số đưa về dạng toán điển hình.
Một số bài toán về cấu tạo phân số mà khi giải bài toán đó thực chất là giải các bài toán.
Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số.
Trước khi thực hiện giải bài toán người giải toán cần phân tích, thực hiện các bước trung gian để chuyển bài toán có “hình thức phân số” sang giải các bài toán điển hình.
	Ví dụ 1: Cho một phân số . Hãy tìm một số sao cho đem tử số trừ đi số đó, đem mẫu số cộng với số đó ta được phân số mới bằng phân số tối giản .
	Nhận xét: Tìm số a sao cho . Thực chất là tìm a, nhưng muốn tìm được a thì phải tìm được phân số . Mặt khác ta có 17 + 3 = (17 - a) + (3 + a) = 20. Vậy bài toán đưa về là tìm 2 số (17 - a ) và (3 + a) biết tổng của chúng là 20 và tỉ số là .
Giải: Tổng của tử số và mẫu số của phân số đã cho là: 17 + 3 = 20. 
Khi trừ ở tử số đi bao nhiêu đơn vị và cộng thêm vào mẫu của nó đi bấy nhiêu đơn vị thì tổng của tử số và mẫu số không thay đổi nên vẫn là 20. 
Vậy theo bài ra ta có sơ đồ sau:
20
Tử số mới:
Mẫu số mới: 
Tổng số phần bằng nhau là: 1 + 3 = 4 (phần)
Tử số mới là: 20 : 4 = 5
Mẫu số mới là: (20 : 4) 3 = 15
Phân số mới 
Vậy số cần tìm là: 17 – 5 = 12
Đáp số 12:
Ví dụ 2:	Cho phân số . Hỏi phải bớt ở tử số và mẫu số đi bao nhiêu đơn vị để được một phân số mới có giá trị bằng .
Nhận xét. Giả sử có 2 số A và B thì A - B = (A- C) - (B - C) có nghĩa là khi cùng bớt ở số bị trừ và số trừ đi cùng một số thì hiệu quả chúng không thay đổi. Đưa A, B về dạng một phân số thì hiệu của tử số và mẫu số không thay đổi. Vậy bài toán thực chất là tìm 2 số A, B sao cho hiệu A - B = 33 – 21 = 12 và tỉ số .
Giải: Khi cùng bớt ở tử số và mẫu số của phân số đi cùng một số thì hiệu giữa chúng không thay đổi: 33 – 21 = 12. Bài toán trở thành tìm 2 số (tử số, mẫu) biết hiệu chúng là 12 và tỉ số là . Theo đề bài ra ta có sơ đồ sau:
12
Tử số mới:	
Hiệu số mới:
	Hiệu số phần bằng nhau: 5 – 3 = 2 (phần)
Mẫu số mới: (12: 2) 3 = 18
Phân số mới: 
Vậy số cần tìm: 33 – 30 = 3
2. Một số thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về so sánh các phân số.
	Các bài toán về so sánh phân số có rất nhiều dạng và dù ở dạng nào thì bằng cách quy đồng mẫu số các phân số ta luôn so sánh được giá trị các phân số. Song trong phạm vi bài viết này tôi xin đề cập một vài thủ thuật nhận dạng từ đó đưa ra phương pháp áp dụng giải bài toán so sánh phân số nhanh nhất và không quy đồng mẫu số. (Yêu cầu dành cho học sinh giỏi). Giải những bài toán dạng này ngoài việc rèn cho học sinh kĩ năng còn bồi dưỡng tư duy, sáng tạo toán học, năng lực, nhân cách mỗi học sinh, giúp các em học tập các lớp trên tốt hơn.
	2.1. Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian
	Ví dụ 1: Không quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:
a) và 	b) và 	 
Giải: a. và 
	Nhận xét: có 1999 < 2000
	 có 2002 > 2001
Theo quy tắc ta chọn 1 làm yếu tố trung gian để so sánh.
 < à 	
b) 
Đối với những phân số này đều là những phân số nhỏ hơn 1 (1999 < 2002, 2000 < 2001). Khi so sánh tử số và mẫu số trong cùng một phân số nhưng chưa tìm ra yếu tố, dấu hiệu so sánh. Ta nghĩ đến việc so sánh tử số, mẫu số của cả hai phân số. Ví dụ so sánh tử số 1 với tử số 2 mẫu số 1 với mẫu số 2
Nhận xét: Tử số 1: 1999 < Tử số 2: 2000
Mặt khác MS1 2002 > MS2 2001 chọn phân số trung gian là: 
 hoặc (hoặc )
Giải:
Do < 	nên à < 
 < 	
* Vậy những cặp phân số như thế nào có thể áp dụng cách so sánh qua trung gian?
+ và nếu a > b và c > d thì yếu tố trung gian là 1
+ và nếu a d thì yếu tố trung gian là và 
* Xét thấy học sinh đã thành thạo đối với những bài toán cụ thể này giáo viên có thể bồi dưỡng học sinh qua bài toán tổng quát để giúp học sinh có thể tự ra đề toán cho bạn bè.
Ví dụ 2: Cho phân số thêm 1 vào tử số và bớt 1 ở mẫu số ta được phân số lớn hơn hay nhỏ hơn phân số ban đầu, giải thích cách làm không dùng quy đồng mẫu số.
nên: < 
Giải: Do: < 
	* Từ bài toán này bạn có thể dùng cho bất kì một phân số nào, từ đó trừ đi hoặc cộng thêm ở tử số và ngược lại cộng thêm hoặc trừ đi ở mẫu số được một cặp phân số cần so sánh.
2.2. Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần hơn
	Đối với những bài toán về so sánh phân số việc tìm ra những dấu hiệu qua việc so sánh giữa các yếu tố tử số với mẫu số trong cùng một phân số, so sánh tử số, mẫu số phân số này với tử số và mẫu số phân số kia là hết sức quan trọng. Từ đó chọn phương pháp so sánh hợp lí nhất.
	Ví dụ 1:	Không quy đồng hãy so sánh các cặp phân số sau:
	a) và 	b) và 	
Do:	 nên:	 < 
Giải:	a) và 	
	Có 1- 	 	 
 1- 	
	b) và 
Do:	 nên:	
nên:	 < (T.T2)
	Có 	 
	* Các cặp phân số có dấu hiệu như thế nào thì áp dụng cách so sánh thông qua phần bù hay phần hơn ?
	- Sử dụng cách so sánh phần bù nếu cả hai phân số đều nhỏ hơn 1 và hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số ấy đều bằng nhau.
- Sử dụng cách so sánh phần hơn cả hai phân số đều lớn hơn 1 và hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số ấy đều bằng nhau 
	* Nguyên tắc tổng quát để ra đề đối với những phân số dạng trên:
	- Chọn một phân số tối giản.
	- Tìm hiệu a – b hoặc b – a giả sử hiệu là e.
	- Chọn một phân số tối giản có hiệu (c - d) hoặc (d – c) là e
	Ta có: Cặp 2 phân số và cần so sánh không quy đồng bằng cách so sánh phần bù hoặc phần hơn.
	2.3. Những bài toán về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần nguyên).
* Những cặp phân số như thế nào thì chọn cách so sánh bằng cách đưa về hỗn số?
	- Những cặp phân số lớn hơn 1.
	Ví dụ: So sánh các cặp phân số sau bằng cách nhanh nhất:
	a) ă 	b) ă 
	Giải: a) và 	 hay	 < 
	 b) và .Vậy < 
	* Những cặp phân số dạng này khi đưa về hỗn số trường hợp các phần nguyên bằng nhau lúc này việc so sánh phần phân số lại đưa về các dạng đã đề cập ở trên.
2.4. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc biệt.
Ví dụ: So sánh những phân số sau: 	 và 
 	- Có 
- Những bài toán dạng này đã theo một quy tắc nhất định có:
	 x 1001 = 	x10101=
3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần
	* Đây là những bài toán chia phần quen thuộc để giải được những bài toán kiểu này ta cần tìm ra quy tắc ra đề toán từ đó đi ngược lại có cách giải.
	- Những bài toán dạng chia một số vật cụ thể thành một số phần nhất định sao cho số lần cắt là ít nhất. ( dạng bài 3 trang 8)
 	- ở dạng toán này người ra đề thường chọn một số vật cụ thể thực tế cần chia (Ví dụ: Cái bánh, quả cam, ). Số lượng chọn thường là các số nguyên tố: như 5, 7, 9, 11,  Sau đó chọn một cặp số có tổng bằng số lượng trên sao cho các số là nhỏ nhất. Ví dụ: 3 + 2 = 5; 4 + 3 = 7; 5 + 4 = 9; 5 + 6 = 11; từ đó mới định ra số người cần chia bằng cách nhân 2 số đã chọn. Ví dụ: 3 2 = 6; 4 3 = 12,  Cuối cùng định số phần chia ít nhất cho một yếu tốt phải chia.
Ví dụ: Có 11 cái bánh cần chia đều cho 30 người. Hỏi phải cắt thế nào để mỗi cái bánh không cắt quá 6 lần.
Giải: Lấy 5 cái bánh, mỗi cái cắt thành 6 phần bằng nhau. 6 cái bánh còn lại mỗi cái cắt thành 5 phần bằng nhau. Chia mỗi người và cái bánh.
4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính ngược từ cuối trong giải các bài toán về phân số
* Những bài toán đưa ra một số lượng của một yếu tố thực tế ( quả cam, quả táo, hòn bi, số người, ). Sau một số lần chia còn lại một số lượng nhất định, yêu cầu tính số lượng ban đầu.
- Từ số lượng còn lại người giải toán dựa vào điều kiện của bài toán lần lượt đi từ cuối để tìm ra số lượng ban đầu (bước làm này là tính ngược từ cuối). Để dễ diễn giải và minh hoạ cho học sinh giáo viên thường dùng sơ đồ đoạn thẳng để minh hoạ.
	Ví dụ1 : Một phụ huynh học sinh hỏi thầy giáo “Trong lớp thầy có bao nhiêu học sinh?”. Thầy cười trả lời: “ Nếu có thêm một số trẻ em bằng số hiện có và thêm một nửa số đố rồi lại thêm số đó rồi thêm cả con quí vị nữa thì vừa đúng 100”. Em tính giúp vị phụ huynh học sinh?
	- Phân tích:
? em
99 em
 	Nếu trừ con của phụ huynh thì theo lời thầy giáo ta có 100 -1 = 99 (em). Vậy theo đầu bài ta có sơ đồ sau:
	Số học sinh của lớp:
	Thêm số học sinh hiện có:
	Thêm số học sinh:
 Thêm số học sinh:
Giải: Nếu coi số học sinh của lớp là 4 phần bằng nhau thì số học sinh sẽ là 2 phần, số học sinh sẽ là 1 phần như thế.
Theo sơ đồ ta có phần bằng nhau là: 	4 + 4 + 2 + 1 = 11 (phần)
Số học sinh của lớp là: (99:11) 4 = 36 (em)
 Đáp số: 36 em
	Ví dụ 2: (Bài 5 trang 18 “Vui học toán 5”)
 Bà nội có một số cam
Chia đều làm bốn, tặng Lan một phần
 Số cam còn lại đem phân
Ra đều ba phần, lấy một cho Tâm
 Số cam còn lại tặng Lâm
Lâm chia đôi để biếu Ông một phần
Bổ ra một quả Lâm ăn
 Còn thừa hai quả dành phần cho Nhung
 Đố các bạn nhỏ tính cùng
Số cam Bà đã chia chung cả nhà?
* Phân tích: Bà có một số cam chia làm bốn. Lan nhận còn chia 3 cho Tâm 1phần; Tâm nhận (số cam) còn tặng Lâm. Ông nhận số cam còn số cam Lâm ăn 1 quả còn phần Nhung 2 quả.
Lan
Tâm
Ông
1quả
2quả
Giải: Theo đề bài ra ta có sơ đồ:
Lâm
 số cam còn lại của Lâm: Lâm ăn 1 quả còn Nhung 2quả.
Tổng cộng: 1 + 2 = 3 (quả)
Vậy số cam của Bà là 3 4 = 12 (quả)
Đáp số: 12 quả
* ở những bài toán dạng này khi tiến hành giải toán người giải đi từ những dữ kiện ban đầu dẫn đến số đã cho ở cuối bài toán bước này ta gọi là phân tích và trên thực tế là bước vẽ sơ đồ. Sau khi phân tích xong từ sơ đồ kết hợp với số liệu đã biết bài toán được tính ngược từ cuối (bước  tổng hợp). Toàn bộ những bài toán được tiến hành như vậy là đã sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối trên cơ sở phương pháp cơ bản là phân tích tổng hợp.
	5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải toán – Phạm Đình Thực) vào giải những bài toán về phân số
	* Muốn tìm một giá trị chưa biết ta gán cho nó một giá trị cụ thể nào đó trên cơ sở của đề toán. Sau đó tính toán ra một giá trị sai khác theo điều kiện của bài toán, rồi tìm cách chỉnh cho đúng với điều kiện bài toán giá trị chỉnh được đó là đáp số của bài toán. 
	* Đối với những bài toán về phân số áp dụng phương pháp tính ngược từ cuối (mục 4) đều có thể áp dụng thủ thuật này:
- Chẳng hạn ở ví dụ 2 trang 18
+ Theo bài ra: Tổng số học sinh hiện có và thêm bằng số học sinh có và số học sinh và số học sinh thì bằng 100 -1 = 99 (em)
+ ở đây ta cần tìm số học sinh của lớp. Vậy ta gán cho nó một giá trị tuỳ ý. Để dễ tính toán ta chọn số chia hết cho 4. Giả sử số học sinh là 12:
- số học sinh là: 12 : 2 = 6 (em)
- số học sinh là: 12 : 4 = 3 (em)
Vậy theo bài ra ta tính được tổng như sau: 12 + 12 + 6 + 3 = 33 (em). Nhưng thực tế tổng ấy là 9 em gấp 3 lần 33. Vậy ta chỉnh giá trị 12 cho đúng. Giá trị này sẽ phải tăng 3 lần thì đúng.
Vậy số học sinh của lớp là: 12 3 = 36 (em)
Đáp số 36 em
	* Chú ý: Có thể chọn bất kì giá trị nào khác 12. Xong ta để ý đây là số học sinh nên không thể là số thập phân vậy chọn số chia hết cho 4 tuỳ ý. Ví dụ: 16; 20; 24; 
Ví dụ: (Bài 7 trang 17 sách “vui học toán 5”)
	- Thưa ông Pi - ta - go lỗi lạc, trường ông có bao nhiêu môn đồ?
	Nhà hiền triết trả lời:
	- Một nửa học toán, một phần tư học nhạc, một phần bẩy ngồi suy nghĩ và ngoài ra có 6 phụ nữ. 
Em hãy tính số môn đồ của nhà hiền triết Pi - ta - go.
* Nhận xét:
ở đây số cần tìm là môn đồ của Pi - ta - go theo lời của ông thì số môn đồ là số chia hết cho cả 4 và 7:
Giải:
Giả sử chọn số môn đồ là: 28 người ( vì 4 7 = 28)
Một nửa học toán là: 	28 : 2 = 14 (người)
Một phần tư học nhạc là: 28 : 4 = 7 (người)
Một phần bẩy suy nghĩ là: 28 : 7 = 4 (người)
Vậy số người còn lại là phụ nữ là: 28 - 14 - 7 - 4 = 3 (người)
Thực tế phụ nữ còn lại là 6 người gấp 2 lần 3 người.
Vậy số môn đồ của Pi - ta - go là: 28 2 = 56 (người)
Đáp số 56 người
Chương 3: Kết quả thực nghiệm
Sau khi học sinh được học xong về cấu tạo và khái niệm phân số để khắc sâu về các kiến thức này bằng cách cho học sinh làm các bài tập dạng 1, dạng 2. ở từng dạng toán tiếp theo các em được nhận dạng, được định vị phương pháp. Các dạng toán tiếp theo được giới thiệu tiếp trong các tiết bồi dưỡng và tăng buổi. Với cách thức tiến hành như trên kết quả thu được ở học sinh rất khả quan:
+ Học sinh nắm chắc về khái niệm, cấu tạo phân số. 
+ Biết phân loại, nhận dạng và sử dụng phương pháp vào giải một bài toán liên quan đến cấu tạo, khái niệm phân số. 
+ Nắm chắc các bước tiến hành từng phương pháp được giới thiệu, có thủ thuật giải toán phù hợp.
+ Có kĩ năng phân tích tìm bản chất toán học trong một bài toán.
+ Bồi dưỡng cho học sinh có tư duy lôgíc có khả năng (phân tích, tổng hợp, lập luận có căn cứ) để học toán.
+ Khi giải được những bài toán các em đã có được khả năng lập luận, ứng dụng xử lí những vấn đề trong cuộc sống.
- Với kết quả này đã khẳng định thành công bước đầu cho bài viết của tôi tuy chưa cao xong nó mở ra một hướng cho học sinh giải toán ở giai đoạn tiếp.
- Với những đánh giá nhận định trên đã được khẳng định, minh chứng qua bài trắc nghiệm và khảo sát sau:
1. Bài tập khảo sát:
Bài 1: Viết số tự nhiên 8 thành các phân số có mẫu số lần lượt là: 3, 5, 112, 105 (2 điểm)
Bài2: Tìm số tự nhiên x biết (2 điểm)
Bài3: So sánh các cặp phân số sau bằng phương pháp nhanh nhất:(2 điểm)
a. và 	b. và 
Bài 4: Có 9 quả cam chia đều cho 20 người. Hỏi phải chia như thế nào để mỗi quả cam không bị cắt quá 5 phần. (1 điểm)
Bài 5: Cho phân số. Hãy tìm một số nào đó để khi cùng thêm số đó vào tử và mẫu số của phân số đã cho thì được một phân số mới có giá trị bằng phân số (2,5 điểm).
	Bài 6: Phát biểu lời bài toán theo số liệu sau: nếu = (0,5 điểm)
	2.Câu hỏi trắc nghiệm:
	Câu 1: Đánh dấu x vào ô trống trước ý em cho là đúng.
ở bài toán 1: Các kiến thức sử dụng để giải là:
a)+ Tính chất cơ bản của phân số. Ê
b)+ Mọi số tự nhiên đều được viết dưới dạng một phân số. Ê
c) + Thực hiện quy đồng mẫu số: Ê
ở bài toán 2
d). Chỉ sử dụng cách quy đồng mẫu số . Ê
e). Sử dụng quy đồng mẫu số và rút gọn phân số. (4,5 điểm) Ê
	Câu 2: Nêu phương pháp ứng dụng để so sánh phân số ở bài toán 3. (3,5 điểm)
	Câu 3: ở bài toán 5 cần xét hiệu hay tổng của tử số và mẫu số (2 điểm).
3. Kết quả
Với đề khảo sát cho học sinh khá giỏi tại lớp 5 của trường Tiểu học Nghĩa Đô kết quả thu được như sau:
G
K
TB
Đạt
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Khảo sát 
36
17
47%
18
50%
1
3%
36
100
Trắc nghiệm
36
15
42%
16
44%
5
14%
36
100
Nhìn vào bảng thống kê kết quả trách nhiệm và khảo sát cho thấy: Hiệu quả của phương pháp áp dụng sáng kiến là rất khả quan, có thể bạn đọc cho rằng số liệu là khá giỏi còn ít. Song nhìn lại đề khảo sát và mức độ thời gian triển khai sáng kiến thì kết quả thu được như trên là rất khả quan. Bởi lẽ kết quả bài trắc nghiệm với số lượng khá tốt điều này cho thấy học sinh đã biết lựa chọn, áp dụng những kiến thức đã học, các phương pháp, thủ thuật đã được biết để giải một bài toán. Để có thể chọn đúng phương pháp như vậy nếu được triển khai chu đáo từ năm học lớp 4 và ở các lớp 2 buổi/ ngày chắc chắn hiệu quả rất tốt. 
Kết luận Khuyến nghị
1. Kết luận 
Với thực tiễn kinh nghiệm giảng dạy, vốn hiểu biết chưa được nhiều tôi mạnh dạn đưa ra những biện pháp để hướng học sinh vào giải một số dạng toán chứa đựng yếu tố phân số. Qua tổng hợp nghiên cứu thực nghiệm bước đầu thu được kết quả chưa cao, song đã mở ra một hướng áp dụng có tính khả quan. Mong rằng trong giai đoạn tới có được sự quan tâm của các đồng nghiệp để bài viết của tôi được khẳng định trong thực tiễn. Hi vọng bài viết này ít nhiều đóng góp công sức nâng dần chất lượng giáo dục học sinh. Rất mong được sự giúp đỡ, đóng góp của bạn bè đồng nghiệp và các thầy, cô cho bài viết của tôi ngày càng hoàn thiện. 
2. Khuyến nghị 
Trên cơ sở quan điểm chỉ đạo giáo dục hiện nay, kết hợp với mục đích của sáng kiến, điều kiện thực tế tôi mạnh dạn đưa ra những kiến nghị như sau:
Đội ngũ người thầy: Giáo viên phải giàu về vốn kiến thức, có năng lực sư phạm đầu tư nghiên cứu giảng dạy, lựa chọn phương pháp phù hợp với học sinh, với kiến thức cần truyền tải (mức độ kiến thức, dạng bài, loại bài) tránh quá tải trong giảng dạy.
Đối với các cấp quản lý giáo dục: Tổ chức các chuyên đề về đổi mới phương pháp, chuyên đề nội dung kiến thức ở phương pháp cần được đề cập một cách cụ thể các thao tác kĩ thuật các bước, kĩ năng đặt câu hỏi để dạy một loại bài, dạng bài cụ thể.
	Trân trọng cảm ơn. 
 Hà Nội, tháng 4 /2008
 Người viết 
 Nguyễn Thị Mai PhươngMục lục
Mở đầu
Lí do chọn đề tài 
Mục đích nghiên cứu 
Khách thể và đối tượng nghiên cứu 
Nhiệm vụ nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu
Phạm vi giới hạn nghiên cứu:
Nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn 
1. Mục tiêu giáo dục toán học ở Tiểu học 
2.Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học 
Chương 2: Thực trạng giải những bài toán về phân số và tính chất cơ bản phân số
1. Nhận định chung 
2. Những khó khăn sai lầm của học sinh khi giải toán về cấu tạo phân số. 
Chương 3: Giải pháp
Biện pháp 1: Giúp học sinh hệ thống kiến thức về phân số và tính chất cơ bản của phân số .
1. Phân số
2.Các tính chất về phân số
3.ứng dụng các tính chất cơ bản của phân số
3.1.Rút gọn phân số
3.2.Quy đồng mẫu số
3.3. So sánh phân số
3.3.1. Quy tắc 1:
3.3.2. Quy tắc 2:
4. Các kiến thức bổ sung
4.1. Cách tìm mẫu số chung 
4.2. Các cách so sánh phân số không qui đồng
4.3. Các kiến thức dùng cho giải các bài toán về cấu tạo phân số
Biện pháp 2: Các bài toán về cấu tạo khái niệm và so sánh phân số
Dạng 1: Các bài toán khắc sâu về khái niệm sử dụng các tính chất của phân số.
Dạng 2: Các bài toán về cấu tạo phân số.
Dạng 3: Các bài toán về so sánh phân số không sử dụng phương pháp qui đồng.
Biện pháp 3: Giúp học sinh tìm ra những thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về cấu tạo, so sánh phân số.
1. Các bài toán về cấu tạo phân số đưa về dạng toán điển hình.
2. Một số thủ thuật nhận dạng để giải các bài toán về so sánh các phân số.
2.1. Những bài toán so sánh phân số qua đại lượng trung gian
2.2. Những bài toán về so sánh phân số bằng cách sử dụng phần bù, phần hơn
2.3. Những bài toán về só sánh phân số bằng cách đưa về hỗn số (tách phần nguyên).
2.4. Những bài toán so sánh phân số bằng cách rút gọn những phân số đặc biệt.
3. Thủ thuật tìm hướng giải các bài toán chia phần
4. Sử dụng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng kết hợp với tính ngược từ cuối trong giải các bài toán về phân số
5. ứng dụng thủ thuật “Gán sai chỉnh đúng” (thủ thuật giải toán – Phạm Đình Thực) vào giải những bài toán về phân số
Chương 3: Kết quả thực nghiệm
1. Bài tập khảo sát:
2.Câu hỏi trắc nghiệm:
3. Kết quả
Kết luận Khuyến nghị
1. Kết luận 
2. Khuyến nghị