Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trong Toán học

I. đặt vấn đề
Năm học 2006 - 2007 tôi được nhà trường phân công giảng bộ môn toán lớp 8. Qua thực tế dạy học, các kỳ thi chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử.
Nếu như các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phương pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn.
Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, ra phương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúp các em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng toán khó.
Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau.
II: Những nội dung của công việc: "Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử"
1) Nội dung thứ nhất.
Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ bản như các quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức đã sắp xếp, các quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2) Nội dung thứ hai.
Giáo viên dạy "Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử"
Giáo viên cho học sinh nắm vững bản chất của việc phân tích đa thức thành nhân tử.
Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) là biến đổi đa thức thành tích của nhiều đơn thức và đa thức khác.
Ví dụ: ym+3 - ym = ym (y3 - 1) = ym(y - 1) (y2 + y + 1)
2.1) Các phương pháp thông thường.
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để có thể phân tích đa thước thành nhân tử.
Ví dụ1: 	Phân tích thành nhân tử.
M1 	= 3a - 3b + a2 - 2ab + b2
	= (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2)	(Nhóm các hạng tử)
	= 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC và dùng hằng đẳng thức)
	= (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung)
Ví dụ 2:	Phân tích thành nhân tử.
M2 	= a2 - b2 - 2a + 2b
	= (a2 - b2) - (3a - 2b) 	(Nhóm các hạng tử)
	= (a - b) (a + b) - 2(a - b)	(Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
	= (a -b) (a + b - 2)	(Đặt NTC)
Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú ý các bước sau đây:
+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đa thức.
+ Xem xét đa thứccó dạng bằng đẳng thức nào không ?
+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhóm các hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuất hiện nhân tử chung của các nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức. Cụ thể các ví dụ sau:
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
M3 = 5a2 + 3(1 + b)2 - 5b2
 Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung, vậy làm gì để phân tích được. Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung. Vì vậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên. 
M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2. Sau đó đặt nhân tử chung của nhóm thứ nhất làm xuất hiện hằng đẳng thức M3 = 5(a2 - b2) + 3 (a + b)2. Sử dụng hằng đẳng thức ở nhóm đầu làm xuất hiện nhân tử chung của cả hai nhóm là (a + b). Vậy M3 = 5(a + b) (a + b). Đã có nhân tử chung là: (a + b) Vậy ta tiếp tục đặt nhân tử chung.
M3 = (a + b) (6a - 4b). Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (6a - 4b).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy22 - 3xyz2 + 3xy.
Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?
Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy.
+ Đặt nhân tử chung.
M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - Z2 + 1)
Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không? 
+ Nhóm hạng tử: M4 = 3 xy[(x2 - 2x + 1 ) - (y2 + 2y z + z2)]
+ Dùng hằng đẳng thức: M4 = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] xem xét hai hạng tử trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức nào.
+ Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có:
M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1)
Vậy: M4 đã được phân tích các đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát xem, kiển tra, linh hoạt sử dụng các bước phối hợp giữa các phương pháp như đã hướng dẫn trên từ đó sẽ phân tích theo các phương pháp thông thường.
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức khác.
Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phân tích thành nhân tử thông thường và kết hợp các phương pháp sau để làm các bài toán khó.
+ Phương pháp tách hạng tử.
+ Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Phương pháp dùng hệ số bất định.
+ Phương pháp xét giá trị riêng.
Cụ thể một số phương pháp thông dụng nhất.
2.2.1: Phương pháp tách hạng tử.
Ví dụ 5: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
N = a2 - 6a + 8.
Cách 1: a2 - 4a - 2a + 8 (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a)
= (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử)
= a (a - 4) - 2 (a - 4) (Đặt nhân tử chung)
= (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung)
Có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tử còn lại.
Cách 2: N = a2 - 6a + 9 - 1 (Tách 8 = 9 - 1)
= (a2 - 6a + 9) - 1 (nhóm hạng tử - xuất hiện hằng đẳng tử)
= (a - 3)2 - 1 (Sử dụng hằng đẳng thức)
= (a - 2) (a + 2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC)
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC)
Cách 4: 
N = a2 - 4a + 4 - 2a + 4 (Tách 8 = 4 + 4, - 6x = - 4x + ( - 2x)
= ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm)
= (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng hằng đẳng thức và đặt NTC) 
= (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thàng 2 nhân tử) 
Ta thấy có để tách một hạng tử thành 2 hạng tử khác trong đó 2 cách tách sau là thông dụng nhất;
Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử sao cho đa thức mới được đưa về hiệu hai bình phương (cách 2) hoặc làm xuất hiện hằng đẳng thức và có nhân tử chung với hạng tử còn lại (cách 3).
Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm hạng tử và đặc biệt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)
Ví dụ 6: Trong tam thức bậc hai: ax2 + bx + c 
Tách hệ số b = b1 + b2 sao cho b1. b2 = a.c
Trong thực hành ta làm như sau;
+ Tìm tích a.c
+ Phân tích a.c ra thừa số nguyên với mọi cách
+ Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b
Ngoài ra có thể tách đồng thời cả hai hạng tử (hạng tử tự do và hạng tử bậc nhất) (như cách 4)
2.2.2) Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử
P1	 = x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 	(thêm 4x2, bớt 4x2)
	= (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 	(nhóm hạng tử)
	= (x2 + 2)2 - (2x)2 	(dùng hằng đẳng thức)
	= (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2)
Ví dụ 7: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64
P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 	(thêm 16a2, bớt 16a2)
	= (a2 + 8)2 - (4a)2
	= (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8)
Như vậy việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào để xuất hiện bình phương của 1 tổng và làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được.
ở ví dụ P1 đã có bình phương hạng tử (1) và bình phương hạng tử (2). Vậy muốn là hằng đẳng thức thì còn thiếu 2 lần tích của 2 hạng tử. Do đó ta thêm 2.x2.2 = 4x2 thì đồng thời phải bớt 4x2.
2.2.3) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 8: Phân tích thành nhân tử:
D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 	(nhóm, đặt nhân tử chung)
Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x) đặt y (đổi biến):
D1 = y2 + 4y - 12
Khi đó ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt
D = (y2 - 2y) + (6y - 12) 	(Tách 4y = 6y - 2y sau đó nhân)
D = y (y - 2) (y + 6) 	(đặt nhân tử chung)
Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x
D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)
Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp đã nêu ở trên. Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :
x2 + x + 6 = (x + )2 + 5. Do vậy không phân tích tiếp được nữa
Còn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)
Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)
2.2.4) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d(1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du có: m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chiađa thức ta có:
ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếp được dựa vào các phương pháp nêu ở trên.
Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức.
+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1.
ị chứa nhân tử chung (x- 1)
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1 
ị chứa nhân tử chung (x + 1)
+ Nếu không xét được hệ số ta xét các ước của hệ số tự do
(hệ số không đổi) (Ư(d)) ước nào làm cho đa thức có giá trị bằng 0 thì ước đó là nghiệm của đa thức.
Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E1 = x3 + 3x2 - 4 xét tổng các hệ số ta thấy.
a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0 ị x1 = 1
E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) )
Sau đó dùng các phương pháp đã học để phân tích tiếp
E1 = (x - 1) (x + 2)2
Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử.
E2 = x3 - 3x + 2
Tá thấy tổng và hiệu các hệ số của E2 ạ 0 do đó loại x = ± 1
Xét các Ư(2) = ± 2 có x = -2 là nghiệm của E2
ị E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) 	(Chia E2 cho(x - 2))
E2 = (x + 2) (x -1)2
Các ví dụ trên đây là một số phương pháp để phối kết hợp với các phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích được các bài toán khó thành nhân tử giúp cho quá trình rút gọn phân thức cũng như giải phương trình.
3) Một số bài tập áp dụng.
Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử.
1.a) x2 - 4x + 3 bằng 4 cách (phương pháp tách).
Gợi ý 4 cách làm.
Tách - 4x = - 3x + (-x)
Tách 3 = 4 - 1.
Tách 3 = 12 - 9
Tách -4x = -2x + (-2x) và 3 = 2 + 1
Sau đó có thể nhóm làm xuất hiện hằng đẳng thức hau nhân tử chung.
1b.	81a4 + 4 	(thêm bớt hạng tử)
Gợi ý:	Thêm 2 lần tính đ Hằng đẳng thức cụ thể 36x2
1c:	(x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14(phương pháp đổi biến).
Gợi ý: đặt (x2 + ) = y
1d:	x3 - 2x2 - x + 2	(phương pháp tìm nghiệm).
Gợi ý: Xét tổng các hệ số a + b + c = 0
Ngoài ra có thể sử dụng các phương pháp khác để phân tích các bài tập trên thành nhân tử.
Bài tập 2: Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
M = với a = 102
Gợi ý: 
+ Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ 4 bằng phương pháp nhóm hằng đẳng thức đưa tử thành nhân tử.
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử.
+ Rút gọn nhân tử chung của tử thứcvà mẫu thức.
+ Thay a = 102 vào M đã rút gọn.
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
3.a) 	y2 - 5y + 4 = 0.
Gợi ý: Đưa vế trái thành các nhân tử ị phương trình trởvềphương trình tích.
3b: y3 - 2y2 - 9y + 18 = 0.
Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình đã cho thành phương trình ị giải phương trình tích.
Bài tập 4: Chứng minh rằng đa thức sau.
4a) 	A = (a2 + 3a + 1)2 - 1 chia hết cho 24.
Với a là một số tự nhiên.
Gợi ý: 
+ Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử.
A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)
A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3)
(Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a)
* Lập luận:
+ A đã cho là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ trong ba số tự nhiên liên tiếp ắt phải có một số chia hết cho 3 vậy: A M 3
+ Trong 4 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 2 số chẵn liên tiếp nên mộct trong hai số đó chia hết cho 2 và số còn lại sẽchia hết cho 4. Vậy A M 8
+ Nhưng (3 ; 8) = 1 nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 24.
4b: 	B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24.
Với n là số nguyên dương tuỳ ý.
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12
Gợi ý:
+ Trước hết sử dụng các phương pháp của phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A.
A = x2 - 4x + 4 + y2 +2y + 1 + 7 (tách 12 = 7 + 4 + 1)
A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + 7 (nhóm hạng tử)
A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + 7
* Lập luận.
Vì (x - 2)2 ³ o và (y + 1)2 ³ 0, dấu " = "xảy ra khi a = 2 và y = - 1 nên A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + 7 ³ 7
Vậy AMin = 7 đạt được khi x = 2; y = -1
4) Kết quả đạt được:
 áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Đồng Tiến trong năm học 2005 - 2006 đã thu được các kết quả khả quan.
Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi kỹ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm các dạng toán có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết quả tốt. 100% các em học sinh đã biết sử dụng các phương pháp phân tích thông thường một cách thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững thủ thuật phân tích đa thức dựa vào các phương pháp phân tích đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến thức mới cũng như việc hình thành một số thủ thuật trong quá trình học tập và giải toán khi học bộ môn toán.
III: Kết luận.
Trải qua thực tế giảng dạy vận dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây có kết quả hữu hiệu cho việc học tập và giải toán. Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi và định hướng phương pháp làm bài khi chưa có sự gợi ý của giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo và kết quả tốt từ việc giải toán rút ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì lẽ đó mỗi giáo viên và bản thân tôi nói riêng cần hiểu rõ khả năng tiếp thu bài của các đối tượng học sinh để từ đó đưa ra những bài tập và phương pháp giải toán cho phù hợp giúp học sinh làm được các bài tập, gây hứng thú học tập, say sưa giải toán, yêu thích học toán. Từ đó dần dần nâng cao từ dễ đến khó, có được như vậy thì người thầy giáo cần phải tìm tòi nhiều phương pháp giải toán, có nhiều bài toán hay để hướng dẫn học sinh làm, tung ra cho học sinh cùng làm, cùng phát hiện ra các cách giải khác nhau cũng như cách giải hay, tính tự giác trong học toán, phương pháp giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải toán nhanh, có kỹ năng phát hiện ra các cách giải: Một vài phương pháp phân tích đa thức ở trên đây rất có hữu hiệugiúp học sinh trong quá trình giải toán có sử dụng phân tích đa thức mà tôi đã viết trên đây có lẽ sẽ còn rất nhiều hạn chế. Mong tổ chuyên môn trong trường, đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi có nhiều sáng kiến kinh nghiệm tốt hơn phục vụ cho việc giảng dạy học sinh./.