Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải toán cực trị

ân thức.
	Bài toán 2 : Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số. f(x,y) = x2 + y2 
	xét trên miền D = (x,y) ; ( x2 - y2 + 1)2 + 4x2y2 - x2 - y2 = 0 
	Giải: Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f(x,y) trên miền D . Điều đó chứng tỏ phương trình ẩn (x,y) sau có nghiệm:
 	 Để (4) ẩn x có nghiệm thì:
 	t2 - 3t0 + 1 0
 	 (5)
 	Với đièu kiện (5) gọi m là nghiệm của (4) và (3) ta có :
 	 4m2 + 4y2 = 4t0- t02 + 3t0 - 1 4y2 = 4t0
 	 4y2 = t20 + t0 + 1 (6)
	 Do t02 + t0 + 1 > 0 t0 với điều kiện (5) thì (6) có nghiệm. 
 	Nghĩa là (5) là điều kiện để hệ (3), (4) tức là hệ (1) , (2) có nghiệm. 
	 Max(x,y) = , Min(x,y) = 
	Tuy nhiên bài toán này ta có thể vận dụng bất đẳng thức để giải. Nhưng với phương pháp này chúng ta có thể vận dụng để giải được nhiều bài và học sinh có thể “máy móc” nhớ được phương pháp giải.
Phương pháp 4
Phương pháp đồ thị và hình học
4.1 Nội dung phương pháp
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) x ẻ D
- Xét các điểm cực đại hoặc cực tiểu trên D từ đó suy ra cực trị của biểu thức: Max f(x) = ycực đại 
Min f(x) = ycực tiểu
4.2 Kiến thức bổ sung :
- Dựa trên tính chất "đơn điệu" của đồ thị hàm số.
- Từ đó suy ra cực đại và cực tiểu của đồ thị.
Để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng phương pháp đồ thị và hình học người ta thường sử dụng các tính chất sau:
	- Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho trước thì đường thẳng nối AB là đường thẳng có độ dài bé nhất. 
	- Trong một tam giác, tổng 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ 3. 
	- Cho điểm M ở ngoaì đường thẳng d cho trước khi đó độ dài kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống d. 
	- Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất.
	Nếu như một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, bằng một phép biến đổi nào đó có thể qui về sự kiện hình học nói trên thì ta nên dùng phương pháp đồ thị hình học để giải chúng. Dĩ nhiên là phương pháp này chỉ thích hợp cho các bài toán trong nội dung của nó đã tiềm ẩn những yếu tố hình học, mà thoạt tiên ta chưa nhìn ra nó, chứ không phải bài nào cũng có thể giải bằng phương pháp này.
	Sau đây tôi sẽ trình bày bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất mà đối với nó phương pháp đồ thị và hình học sẽ tỏ rõ hiệu quả.
4.3Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
K = 
Với x ẻ R
Ta có: K 	= 
	= (1)
Trên mặt phẳng toạ độ đề các xoy xét các điểm
A ; B và C (x,0)
y
x
B
O
C
Nhận xét: Dựa vào hình vẽ ta có K = AC + CB Ê AB
Mà AB2 = + 12 = 4 => AB = 2
Vậy khi đó dấu bằng xảy ra khi A, B, C thẳng hàng 
hay x = 0 (C trùng O(0,0))
Vậy Min K = 2 khi x = 0
. Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = 
nếu
nếu
nếu
Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
D = y = 
 - Vẽ đồ thị hàm số (d1), (d2), (d3) trên trục xác định tương ứng ta được:
y
3
(d1)
(d2)
(d3)
1
1
2
x
-3
O
Hình 1
- Nhận xét:
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số y không có cực đại mà chỉ có cực tiểu 
y = 1 trên 1 Ê x Ê 2 vậy Min D = 1 khi và chỉ khi 1 Ê x Ê 2 
 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
 f(x,y,z ) = x( 1 - y) + y( 1 - z) + z( 1- x) xét trên miền 
 D = (x,y,z) ; 0 x 1 ; 0 y 1 ; 0 z 1
Giải
	Với bài toán này dùng các phương pháp 1; 2; 3 không phải là khó , tuy nhiên nếu sử dụng phương pháp hình học sẽ vừa nhanh vừa hiệu quả.
 	Vẽ tam giác đều ABC cạnh bằng 1 khi đó 
	SABC = (1)
A
B
C
x
y
z
M
N
P
 Đặt trên các cạnh AB , BC , AC các đoạn 
AM = x , BN = z , CP = y( có thể M A nếu x = 0
và M B nếu x = 1 , tương tự với N , P )
 	Vì Sin 600 = áp dụng S = ab SinC . Ta có 
 SAMP = ; SBNM = và SNPC = 
	 Mà ta lại có : SAMP + SBNM + SNPC SABC . Hay từ (1) ta có 
 x(1 - y) + y( 1 - z) + z( 1 - x ) 1
	Như vậy ta có : f(x,y,z) 1 (x,y,z) D
	Và f(0;0;1) = 1 và do (0;0;1) D Max f(x,y,z) = 1
 Bằng phương pháp này ta giải một số bài toán vừa nhanh , vừa khoa học . Tuy nhiên để phát hiện tìm ra phương pháp hợp lí thì không phải học sinh nào cũng có thể làm được . Vì vậy yêu cầu người thầy phải rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh , trước hết là bằng cách cho học sinh làm nhiều dạng tương tự để dần học sinh làm quen và tìm ra được phương pháp giải hợp lí
phần!!
Bài toán cực trị Phần hình học 
I. một số kiến thức cơ bản.
1. Cực trị trong hình học là gì?
Một số bài toán hình học mà trong đó các hình được nêu ra có cùng một tính chất và đòi hỏi ta tìm được hình sao cho có một đại lượng nào đó (số đo góc, độ dài đoạn thẳng, số đo chu vi, số đo diện tích ...) đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hay ghi là (max) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay là ghi (min) được gọi là bài toán cực trị hình học.
1) Lời giải của bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách:
Cách 1: Chỉ ra một hình rồi chứng minh hình đó có đại lượng cần tìm cực trị lớn hơn đại lượng tương ứng của mọi hình khác (nếu bài toán tìm GTLN) và nhỏ hơn đại lượng tương ứng của hình khác (nếu bài toán tìm GTNN).
Cách 2: Thay đại lượng cần tìm cực thành một đại lượng khác tương đương (nếu được) rồi từ đó tìm kiến thức tìm GTLN, GTNN của A. (A là một đại lượng nào đó như góc, đoạn thẳng, ....)
 a) - Ta chứng minh được A ³ m (m không đổi)
- Có một hình sao cho A = m thì GTNN của A là m
 b) Ta chứng minh được A Ê t (t không đổi)
- Có một hình sao cho A = t thì GTLN của A là t
- Từ đó ta xác định được vị trí của các điểm để đạt được cực trị.
Chú ý : Thường trình bày cực trị theo 2 cách:
Phân loại bài tập và ví dụ minh hoạ :
Tìm cực trị dùng bất đẳng thức trong tam giác 
Kiến thức cơ sở: 
Với 3 điểm A,B ,C bất kỳ ta có : ≤ AB ≤ AC + BC
 Dấu “ = “ xảy ra Û C 
- Trong tam giác ABC Có é BAC > é ABC Û BC < AC 
+ Quy tắc n điểm A1A2, ..., An 
Ta có A1An Ê A1A2 + A2A3 + ... An-1An
Dấu "=" xảy ra ÛA1A2, ..., An thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó.
12. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (0; R) , A và B là hai điểm cố định nằm ngoài đường tròn . M là điểm cố định trên đường tròn (0) .
 Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị :
A
B
C
M
O
K
H
D
d
 a) Lớn nhất b) nhỏ nhất 
	Giải
 Vẽ đường thẳng d qua 0 và ^ AB tại K
d cắt đường tròn ( 0 ) tại C và D 
Hạ AH ^ AB 
ị SMAB = 
a) Ta có MH ≤ MK 
Xét 3 điểm M,O ,K ta có 
 MK ≤ OM + OK 
Û MK ≤ OC + OK Û MH ≤ CK 
ị SMAB ≤ ( không đổi ) 
Dấu “ = “ xảy ra Û H K
 Û M C
b) Xét 3 điểm M,O ,H ta có MH ≥ 
Mà OK ≤ OH và OK - OM = OK - OD = DK ị MH ≥ DK 
ị SMAB ≥ ( không đổi ) Dấu “ = “ xảy ra Û M 
 Và M K Û M D 
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R); A là điểm cố định trong đường tròn 
(A ạ O). Xác định vị trí của điểm B trên đường tròn O sao cho góc OBA lớn nhất.
	Giải:
Giả sử có B ẻ (O). Vẽ dây BC của đường tròn (O) qua A ta có OB = OC = R 
A
 => DOBC cân tại O => góc OBC = 
Nên góc OBAmax góc COBmin. 
Trong DCOB có CO = OB = R không đổi
=> éCOB min BCmin = OHmax
Mà OH Ê OA nên OHmax H º A BC ^ OA tại A.	
Vậy OBAmax B ẻ (O) sao cho BC ^ OA tại A.
Ví dụ3: : Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho AM + MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ nhất.
O
M
D
A
C
B
	Giải:
Với 3 điểm M, A, C ta có: MA + MC ³ AC
Dấu "=" xảy ra Û M ẻ AC
Tương tự với ba điểm M, B, D
 ta có MB + MD ³ BD. 
Dấu "=" xảy ra Û M ẻ BD
AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (không đổi).
Dấu "=" xảy ra Û
Vậy min (AM + MB + MC + MD) = AC + BD ÛM º O
1.3. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho góc vuông xOy; điểm A thuộc miền trong của góc. Các diểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox,Oy sao cho góc MAB = 900. Xác định vị trí của M, N để MN có độ dài nhỏ nhất.
Bài 2: Cho 2 đường tròn ở ngoài nhau (O;R) và (O';R'). A nằm trên (O), B nằm trên (O'). Xác định vị trí của điểm A,B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn nhất.
2 / Tìm cực trị dùng quan hệ giữa đường vuông góc với đường xiên 
. 2.1. Kiến thức cơ sở
Ta có AH ^ d; A ẽ d; B,C ẻ d
*.AB ³ AH, dấu "=" xảy ra Û B º H
*.AB Ê AC Û BH Ê HC
2.2. Các ví dụ áp dụng 
Ví dụ1:: Cho DABC (Â = 900) M là điểm chuyển động trên cạnh BC. Vẽ MD ^ AB; ME ^ AC (D ẻ AB, E ẻ AC). Xác định vị trí của M để DE có độ dài nhỏ nhất.
	Giải:
C
D
B
A
A
H
M
E
Vẽ AH ^ BC (H ẻ BC), H cố định và AH không đổi, tứ giác AEMD có Â = Ê = = 900
 => AEMD là hình chữ nhật.	
 => DE = AM mà AM ³ AH (không đổi) 
(theo t/c đường xiên và đường vuông góc). 
Dấu "=" xảy ra Û M ºH. Vậy khi M º H thì DE nhỏ nhất.
 Ví dụ 2 : Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) có khoảng cách từ tâm đến d là OH ³ R. Lấy hai điểm bất kỳ A ẻ d; B ẻ (O;R). Hãy chỉ ra vị trí của A và B sao cho độ dài của AB ngắn nhất? Chứng minh điều đó.
Giải:
Từ tâm (O) kẻ OH ^ d, OH cắt đường tròn (O) tại K. Xét ba điểm A. B. O ta có AB + OB Ê OA mà OA ³ OH (quan hệ đường xiên và đường vuông góc).
=> AB ³ OH - OB = HK không đổi
Vậy min AB = KH Û 
2.3.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho Bạch Mã = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho nửa đường tron (O;R) đường kính AB.M là một điểm trên nửa đường tròn, kẻ MH ^ HB. Xác định vị trí của M để: 
a) SDABC lớn nhất
b) Chu vi của DMAB lớn nhất.
3. Tìm cực trị vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn.
3.1 Kiến thức cơ sở:
 + Trong một đường tròn: đường kính là dây cung lớn nhất.
 + Dây cung lớn hơn Û dây đó gần tâm hơn.
 + Cung lớn hơn Ûdây trương cung lớn hơn
 + Cung lớn hơn Û góc ở tâm lớn hơn
3.2. Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm trong đường tròn đó (M ạ O). Xác định vị trí của dây cung AB của đường tròn (O) qua M sao cho độ dài AB ngắn nhất.
	Giải:
O
M’
A
M
B’
A’
B
 Ta có dây AB ^ OM tại M là dây cung có độ dài nhỏ nhất.
Thật vậy: Qua M vẽ dây A'B' bất kỳ của (O) A'B' không vuông góc với OM. Vẽ OM' ^ A'B'. M' ẻ A'B'; M' ạ M => OM' ^ MM' => OM > OM'
=> AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây).
Ví dụ 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm di động trên đường tròn (O). Xác định vị trí của M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
Ta xét M ẻ cung BC. Trên MA lấy D sao cho MB = MD. Ta chứng minh được: DBMD là tam giác đều.
	=> = 602
Mà = 600 => 
Chứng minh cho DBAD = DBCM (gcg)
=> AD = MC
=> MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA
Mà MA là dây cung của đường tròn (O;R) => MA = 2R
=> max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R ÛMA là đường kính của đường tròn (O) ÛM là điểm chính giữa của cung BC.
Tương tự ta xét M thuộc cung AB và M thuộc cung AC => M là điểm chính giữa cung AB hoặc cung AC thì MA + MB + MC đạt giá trị lớn nhất.
 3.4.Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trên cạnh BC, AC của tam giác đều ABC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho BM = CN. Tìm vị trí của M để MN có giá trị lớn nhất.
Bài 2: Cho tứ gác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O;R) cho trước. tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn nhất.
4 . Tìm cực trị dùng bất đẳng thức đại số 
4.1. Kiến thức bổ sung :
+ Bất đẳng thức côsi cho hai số không âm: a,b
Ta có: . Dấu "=" xảy ra ú a= b
+ Bất đẳng thức côsi tổng quát cho n số không âm
. Dấu "=" xảy ra Û a1 = a2 = ... = an
+ Bất đẳng thức Bunhiacôpski
(ax + by) Ê . Dấu "=" xảy ra Û .
+ Và một số bất đẳng thức quen thuộc khác.
4.2. Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1 Cho đường tròn (0; R) , đường kính AB , M là điểm chuyển động trên đường tròn . Xác định vị trí của M trên đường tròn 
để MA + MB đạt giá trị lớn nhất
Giải :
Ta có : é AMB = 900 ( góc nt chắn nửa đ.tròn)
 D MAB có é M = 900 Theo Pitago ta có : 
A
B
M
MA2 + MB2 = AB2 = 4R2
áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 
MA + MB ≤ = 4R
MA + MB ≤ 4R
Dấu "=" xảy ra Û 
Û tg = = tg600
Û MÂB = 600 nên max(MA + .MB) = 4R Û MÂB = 600
Ví dụ 2 : Cho đoạn thẳng AB , điểm M di chuyển trên đoạn ấy .Vẽ các đường tròn đường kính MA , MB .Xác định vị trí của M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất . 
A
M
B
O
O/
Giải 
 Đặt MA =x , MB = y , ta có : x + y = AB ( 0 < x< y < AB ) 
 Gọi S và S’thứ tự là diện tích của 2 hình tròn có đường kính là MA và MB 
Ta có : S + S’ = 
 áp dụng BĐT : x2 + y2 ≥ ị S + S’ ≥ . = 
 Dấu "=" xảy ra Û x = y Vậy Min (S + S’ ) = 
 Û M là trung điểm của AB
Ví dụ 3 : Cho D ABC có BC = a , AC = b , AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam giác ABC sao cho có giá trị nhỏ nhất . Trong đó x,y,z là khoảng cách từ M đến BC , AC , AB 
Giải
Gọi diện tích D ABC là S . Ta có ax +by + cz = 2S Không đổi 
Ap dụng BĐT Bunhiacopski ta có 
B
A
C
a
c
b
x
z
M
(ax +by + cz ) ( ) ≥ 
ị (ax +by + cz ) ( ) ≥ (a+b+c)2 
ị ( ) ≥ 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất 
Û ( ) = 
Û Û x = y = z Û D ABC là tam giác đều
4.3. Các bài tập áp dụng :
 Bài 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho chu DAMN = 2a. Tìm vị trí của M và N để SDAMN lớn nhất.
Bài 2: Cho DABC ngoại tiếp đường tròn (O;r). Kẻ các tiếp tuyến của đường tròn (O;r) song song với các cạnh của tam giác. Các tiếp tuyến này tạo với các cạnh của tam giác thành 3 tam giác nhỏ có diện tích là S1, S2, S3. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số .
Vài chú ý khi giải bài toán cực trị
1 / Khi giaỉ các bài toán cực trị ta thường biến đỏi tương đương điều kiện của đại lượng này thành điều kiện cực trị của đại lượng khác .
2/ Nhiều bài toán cực trị có liên đến bài toán tìm tập hợp điểm , trong hợp hình có chung một tính chất khi ta cố định một số yếu tố không đỏi của hình , các điểm còn lại của hình có thể chuyển động trên một đường nhất định , theo dõi vị trí của chúng ta tìm được cực trị của bài toán .
giáo án tiết dạy chuyên đề
Bài soạn: Một phương pháp tìm cực trị của một biểu thức đại số
I/ Mục tiêu.
	- Học sinh biết sử dụng các bất đẳng thức đại số để giải các bài toán cực trị trong hình học . Muốn vậy trước hết học sinh phải biết đưa yếu tố đại số vào bài toán hình học, từ đó để giải toán” cực trị” trong hình học ta đi giải toán cực trị trong đại số (đã biết cách làm).
	- Học sinh có kỹ năng đặt một đại lượng hình học nào đó làm ẩn, vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập.
 	- Thông qua việc giải toán phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
II/ Chuẩn bị.
	GV: chọn lựa các bài tập phổ biến trong chương trình ôn thi lớp 9 
	HS: Nắm vững các kiến thức cơ bản như:
	+ Cách giải toán cực trị
	+ Các hằng đẳng thức (đại số)
 + Các BĐT đại số như : /x/ ≥ 0 , x2 ≥ 0 , BĐT cosi ,
 BĐT Bunhiacopski....
III/ Tiến trình lên lớp.
	1. ổn định tổ chức
- GV : chia lớp thành 6 nhóm , mỗi nhóm gồm 8 h/s và phân công các nhốm trưởng - HS : Kiểm tra bút viết và giấy trong 	
2. Kiểm tra bài cũ.
a. Tìm số thứ 2 để biểu thức sau trở thành tổng bình phương của hai số:
 x2 + 3x = x2 + 2. 3/2x
 Vậy số thứ hai là: 3/2
 ị x2 + 2.x.3/2 + 9/4 = ( x + 3/2 )2
b. Chứng minh rằng: x2 - 2x + 5 > 0
HS: Ta có: x2 + 2x - 5 = x2 - 2x.1 + 1 + 4 = ( x - 1 )2 + 4 > 0 x
GV: Với phương pháp tìm số thứ 2 như 2 biểu thức trên, bây giờ cô cùng các em dựa vào cách tách này để ta tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có dạng
 ax2 + bx + c
Ghi bảng
Hoạt động của thầy và trò
I/ Lý thuyết
A2 ≥ 0 ị A2 + m ≥ m. Dấu = xảy ra Û A = 0 
m là GTNN Û A = 0 
* -B2 ≤ 0 ị -B2 +M ≥ M. Dấu = xảy ra Û B = 0
M là GTNN Û B = 0
II/Phân loại bài tập :
Dạng 1: biểu thức có dạng ax2 + bx + c
Ví dụ 1:Tìm GTNN của
P(x) = x - - 5 
 Giải 
 = ( )2 - 2.. + ) - 
 = ( - ≥ -
Dấu = xảy ra Û = Û x = 
Min P(x) = - Û x = 
Ví dụ 2: Tìm chỗ sai trong lời giải sau:
 P(x) = x + - 5 
 Ta có: 
 P(x) = ( )2 +2.. + - 
 = ( + ) - ≥ -
Vậy P(x) Min = -
Chú ý : Khi tìm GTNN , GTLN cần phải tìm :
+ Tìm giá trị tồn tại của biến
+ Trước khi kiểm định GTLN hay GTNN dấu “ = “ có xảy ra hay không?
Ví dụ 3:Tìm GTLN của biểu thức sau:
A = - x2 +2x - 7 
 = -x2 +2x - 1 - 6 
 = - 6 - ( x- 1 )2 ≤ 6
Dấu = xảy ra Û x = 1
Max A = -6 Û x = 1
Nhận xét :Biểu thức dạng: ax2 + bx + c
Có GTNN a > 0
Có GTLN a < 0
Ví dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
 Giải:
A = (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2)
Đặt (x2 + 3x ) = t 
ị A = t ( t + 2) = t2 + 2t 
 = t2 + 2t + 1 - 1 = ( t + 1 )2 - 1 ≥ -1 
MinA = -1 Û x2 + 3x + 1 = 0 
 Û x = 
Dạng 2: Dạng phân thức có mầu là bình phương của một biểu thức
Ví dụ1: Tìm GTNN của:
 A = 
 Giải
.A = 
A = 1 + 
Đặt ị A = 9t2 + 5t +1
A = (3t)2 + 2.3t. + 
 A= ≥ 
Dấu “ = “ xảy ra Û t = - 
Min A = Û t = - 
Û 
Dạng 3: Sử dụng cho biểu thức nhiều hơn 1 biến.
Ví dụ 1: Tìm GTNN của biêu r thức:
F(x,y) = 4x2 + 4y2 - 4xy -3x 
 = 4y2 - 4xy + x2 + 3(x2 - x)
 = (2y - x)2 + 3(x - )2 - ≥ -
Dấu “=” xảy ra Û 
Min f(x, y) = - Û 
Ví dụ 2: Tìm chỗ sai trong lời giải sau:
f(x,y) = x2 - 4xy +4y2 + 2x2 - 4x + 2 + x2 + x - 2
 = (x - 2y)2 +2(x-1)2 + x2 + x - 2 ≥ x2 + x - 2
do g(x) = x2 + x -2 = (x + )2 - ≥ - 
Dấu “=” xảy ra Û x = - 
min f(x.y) = -Û 
GV nhắc lại kiến thức cho học sinh.
BĐT CoSi 
BĐT Bunhiacopski 
Và một số BĐT khác 
(Phần lý thuyết GV ghi vào giấy trong chiếu lên bảng cho h/s quan sát )
GV: Đưa đề bài lên máy chiếu
Em có nhận xét gì về giá trị của x 
 ( x≥ 0 )
Để tính GTNN của bài này ta làm như thế nào ? ( Tương tự VD2 trên bảng ).
GV: Hướng dẫn HS tách (- 5) sao cho P(x) đưa về dạng: A2 + m 
GV: Yêu cầu 1 HS nhóm 1 lên bảng giải, HS các nhóm khác làm vào giấy trong 
GV: thu giấy trong sửa sai và chiếu bài mẫu 
GV: nhận xét đánh giá chung .
Liệu P(x) = x + - 5 thì cách giải có còn tương tự nữa không ? GV đưa ra ví dụ 2, và y/c h/s tìm chỗ sai vào giấy trong 
h/s : dấu “ = “ xảy ra Û = là không tồn tại .
Sau khi tìm chỗ sai GV nhắc nhở các em tránh sai lầm và đưa ra chú ý sau y/c 1 h/s cho biết khi tìm GTNN , GTLN cần phải chú ý điều gì?
h/s :+ Tìm giá trị tồn tại của biến
 + Trước khi kiểm định GTLN hay GTNN dấu “ = “ có xảy ra hay không?
GV: việc tìm GTLN và GTNN có gì khác nhau ? ( GTLN đưa về dạng: - A2 + M ≤ M
h/s: GTNN đưa về dạng: A2 + m ≥ m 
 GTLN đưa về dạng : - B2 + M ≤ M
 Tương tự như việc tìm GTNN y/c cả lớp cùng tìm GTLN của biểu thức sau 
(ví dụ 3 ) 
_ GV : y/c h/s hoạt động nhóm trong 5 phút 
-GV: Kiểm tra đánh giá kết quả của từng nhóm , cho h/s kiểm tra chéo các nhóm với nhau .Yêu cầu h/s rút ra nhận xét “: Một biểu hức có dạng: ax2 + bx + c có GTLN khi nào, có GTNN khi nào ?”
GV: có thể đưa ra một bài toán khác dạng rồi yêu cầu học sinh đưa về dạng 
ax2 + bx + c
GV: Với bài toán này làm thế nào để ta đưa về dạng ax2 + bx + c? 
GV: Hướng dẫn HS đặt ẩn phụ để giải?
GV : Khi đã biến đổi đựơc A == t2 + 2t yêu cầu 1 học sinh lên giải, các nhóm trình bầy vào giấy trong 
GV: nhận xét đánh giá bài của từng nhóm .
Cũng với phương pháp đặt ẩn phụ GV yêu cầu h/s tìm hiểu dạng mới 
GV: Với dạng toán này ta có nhiều phương pháp giải, tuy nhiên phương pháp giải đưa về dạng ax2 + bx + c là đơn giản nhất
Vậy làm như thế nào để có thể đưa về dạng ax2 + bx + c ? 
GV: Hướng dẫn HS làm thế nào để tách A thành 3 phân thức có cùng mẫu mà tử là 1 hằng số ?. Từ đó hướng dẫn h/s đặt ẩn phụ để đưa về dạng ax2 + bx + c
- GV: Sau khi đưa về A = 9t2 + 5t +1 yêu cầu một h/s lên giải 
_ GV: Kiểm tra các nhóm bằng cách chiếu giấy trong cho cả lớp cùng quan sát và sửa sai .
Như vậy qua 3 bài tập trên ta làm quen được phương pháp tìm GTLN và GTNN của biểu thức có dạng ax2 + bx + c và đặc biệt là biểu thức phân có mẫu là bình phương của một biểu thức.
GV: Tuy nhiên ta cũng có thể mở rộng phương pháp này cho biểu thức nhiều biến., đưa ra ví dụ 1.
? Với bài này ta phải biến đổi đưa về dạng nào ? 
h/s : A2 + B2 + m ≥ m
GV: Hướng dẫn H/S tách thêm bớt các hạng tử để tìm GTNN?
 Bài này tìm dấu “=” xảy ra như thế nào?
GV: yêu cầu 1 h/s lên bảng trình bày lời giải.
GV : Tuy nhiên với loại toán này các em cung có thể mắc sai lầm như sau :
GV: Yêu cầu h/s chỉ ra sai lầm của ví dụ mà h/s có thể mắc phải 
GV cho cả lớp quan sát lời giải, và gợi ý để h/s tìm ra sai lầm 
h/s: Sai lầm: Dấu “=” xảy ra ở (1)
 Û Û 
Dấu “=” xảy ra ở (2) Û x = - dấu “=” xảy ra không đồng thời GTNN của g(x) không phải là GTNN của f(x,y)
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của : 
 C = x2 - 2xy + 2y2 + 2x - 10y + 17
 E = x (x+ 1) (x + 2) (x + 3 )
 2) Tìm giá trị lớn nhất của:
 A = - 5x2 - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - 1.
3) Tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của :
 A = B =