Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ trong trường THCS

ập áp dụng: 
1/ x2 – 5 + = 7 
2/ x - 2x = 20
3/ - 3 =20 
4/ = 2x2 – 6x +4
5/ + = 
d. Phương pháp đưa về phương trình tích :
d.1.Các ví dụ : 
Ví dụ 1: Giải phương trình: = 3 + 2 - 6 (1)
 ĐKXĐ : x -3
Phương trình (1) có dạng :
- 3 + 2 +6 = 0
 (-2() =3
 (() =0
 Û Û	 ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 2
Ví dụ 2: Giải phương trình: + =1
 ĐKXĐ : x -2
 Đặt = t 0 Khi dó = 
Phương trình (1) + t = 1
 = 1- t
 3- t3 = (1-t) 3
 t3 - 4t2 + 3t + 2 =0
 (t-2) ( t2 -2t -1) = 0
Từ phương trình này ta tìm được x=2 ; x= 1 + 2là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ3: Giải phương trình: (4x-1) = 2(x2 + 1) + 2x - 1 (1) 
Đặt =y ; y 0
(1) (4x-1) y = 2y2 + 2x -1
 2y2 - (4x -1) y + 2x – 1= 0
 ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) = 0
 (y- 2x+1) (2y- 1) = 0
Giải phương trình này ta tìm được x = 0 ; x = là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ4: Giải phương trình: ()() = 2x
 ĐKXĐ: -1 x 1 (1)
đặt = u (0 u )
suy ra x = u2 -1 phương trình (1) trở thành :
(u -1 ) ( = 2 ( u2 -1)
 (u -1 ){ ( - 2 (u+1)} = 0
 (u-1) ( = 0 
 Û 
 (+) u-1 = 0 u =1 ( thoả mãn u 0 ) suy ra x = 0 thoả mãn (1)
 (+) = 0 = 2u + 1 (thoả mãn vì u 0 ) Û 5u2 + 4u - 1 = 0
ị nên có x = u22 -1 = ()2 – 1 = thoã mãn điều kiện (1)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0 và x = .
d.2.Nhận xét : 
Khi sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau .
+ Tìm tập xác định của phương trình .
+ Dùng các phép biến đổi đại số , đưa phương trình về dạng f(x) g(x) .= 0 (gọi là phương trình tích) . Từ đó ta suy ra f(x) = 0 ; g( x) = 0 ;.. là những phương trình quen thuộc. 
+ Nghiệm của phương trình là tập hợp các nghiệm của các phương trình f(x) = 0 
g( x) = 0 ;. .. thuộc tập xác định .
+ Biết vận dụng,phối hợp một cách linh hoạt với các phương pháp khác như nhóm các số hạng,tách các số hạng hoặc đặt ẩn phụ thay thế cho một biểu thức chứa ẩn đưa về phương trình về dạng tích quen thuộc đã biết cách giải .
d.3.Bài tập áp dụng:
1. = 0
2. - 2 = 
3. x(x+5) = 2
4. 2( x2 + 2x + 3) = 5
e. Phương pháp đưa về hệ phương trình :
e.1.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: - =2 
 ĐKXĐ: 0 x2 15
 Đặt: = a (a 0) (* )
 = b ( b 0) ( ** )
Từ phương trình đã cho chuyển về hệ phương trình :
 Û Û 
Thay vào phương trình (*) ta có :
25 –x2 = x2 = x = (ĐkXĐ ) . 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = .
Ví dụ 2: Giải phương trình: = 2 (1) 
 ĐKXĐ : 3 x 5
 Đặt 
Phương trình (1 ) trở thành hệ phương trình :
 ị ut = 0 Û 
 Û (thõa mãn điều kiện )
 	 Vậy phương trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= 5.
Ví dụ3: Giải phương trình: + = 1
 ĐKXĐ: x 1
 Đặt 
Khi đó ta có u3 = 2 – x ; t2 = x- 1 nên u3 + t3 = 1
Phương trình đã cho được đa về hệ: 
Từ phương trình (1) u = 1 – t .Thay vào phương trình (2) ta có :
( 1 – t )3 + t2 = 1
 t( t2 - 4t + 3 = 0
 Û 
 Từ đó ta được x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x 1 ) là nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ 4: Giải phương trình: + + = 1 
 Đặt: = a ; = b nên ta có: 
a2 = 
 b2 = 
ab = . Ta được phương trình : a2 + b 2 + ab = 1 ( 1)
Ta được phương trình : a3 – b3 = 2 (2)
 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
Từ hệ phương trình ta suy ra a –b = 2 b = a – 2
Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 = 0 a =1
Từ đó ta được x = 0
Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
e.2.Nhận xét : 
Qua 4 ví dụ trên cho ta thấy phương pháp hệ phương trình có những điểm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải tư duy hơn do đó phương pháp này được áp dụng cho học sinh khá , giỏi .Ta cần chú ýmột số điểm sau:
+ Tìm điều kiện tồn tại của phương trình 
+ Biến đổi phương trình để xuất hiện nhân tử chung .
+ Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phương trình về việc giải hệ phương trình quen thuộc .
Ngoài ra người học còn biết kết hợp phương pháp này với phương pháp khác như phương pháp đặt ẩn phụ , phương pháp sử dụng hằng đẳng thức.
e.3.Bài tập áp dụng: 
Giải các phương trình sau : 
1. + = 2
2. 2 = x3+ 1
3. + =1
4. + = 
5. = x
g. Phương pháp bất đẳng thức :
g.1. Phương pháp chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau , khi đó phương trình vô nghiệm .
g.1.1.Các ví dụ :
Ví dụ1: Giải phương trình: - = (1)
 ĐKXĐ: Û 	 Với x 1 thì x < 5x do đó < 
Suy ra vế trái của (1) là số âm , còn vế phải là số không âm .
 Vậy phương trình vô nghiệm .
Ví dụ2: Giải phương trình:
 	 + + = 3 + 
 + + = 3 + (*)
 Mà + + + + 1 = 3 + 
 Vế phải của phương trình đã cho lớn hơn vế trái .
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .
g.1.2.Bài tập áp dụng: 
1. - = 2
2. = x - 2
3. + = x2 - 6x +13
g.2. Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế :
g.2.1.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình: 
 + = 4 – 2x – x2 (1) 
Ta có vế trái của (1)
 + = + + = 5
Vế phải của (1) : 4 -2x –x2 = 5 – (x + 1)2 5
Vậy hai vế đều bằng 5 khi x = -1 .Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1
Ví dụ2: Giải phương trình: + = x2 -10x + 27 (1) 
ĐKXĐ: 4 x 6 
Xét vế phải của (1) ta có :
x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 + 2 2 với mọi x và vế trái của (1) 
()2 =1 hay + 2
Vì vậy phương trình (1) có nghiệm là :
Giải phương trình (*) ta dợc x = 5 giá trị này thoả mãn (**) 
Vậy x =5 là nghiệm của phương trình (1)
g.2.2. Bài tập áp dụng : 
1. + = 5
2. + = 3-4x -2x2 
3. = 
h. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :
h.1.Các ví dụ : 
 Ví dụ1: Giải phương trình : + = 3 (1) 
ĐKXĐ: x 1
Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1) 
Với x > 3 thì > 1 , > 2 nên vế trái của (1) lớn hơn 3.
Với x< 3 và x -1 -1 x 3 thì < 1, < 2 nên vế trái của (1) nhỏ hơn 3.
Vậy x= 3 là nghiệm duy nhất của phương trình (1) 
Ví dụ 2: Giải phương trình : 
 + 2 + + = + 9 (1) 
 ĐKXĐ: 
 Ta thấy x =2 là nghiệm của (1)
h2.Nhận xét : 
Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta chưa biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm của chúng .Rồi tìm cách chứng minh rằng ngoài nghiệm này ra không còn nghiệm nào khác .
h.3.Bài tập áp dụng : 
1. + 3 + = 8
2. + = + 
i. Phương pháp sử dụng điều kiện xảy ra dấu “ =” ở bất đẳng thức không chặt
i.1.Các ví dụ : 
Ví dụ1: Giải phương trình 
 + + = (x+y+z)
 ĐKXĐ : x 2; y -1995; z 1996
Phương trình (1) x+y+z = 2 + 2 + 2 
 + + = 0
Û Û ( thoã mãn ĐKXĐ ).
Là nghiệm của phương trình (1)
Ví dụ 2: Giải phương trình: + = 4 – 2x – x2
 + = 5 – (x+1)2 (*)
Vế trái của (*) + 2 + 3 = 5
Vế phải của (*) 5 – (x+1)2 5
Vì thế phương trình (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi hai vế của
phương trình (*) bằng nhau và bằng 5 x+ 1 = 0 x = -1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1
Ví dụ3: Giải phương trình: + =2 (1)
ĐKXĐ: x>
áp dụng bất đẳng thức 2 với a,b > 0
xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi a =b
Dấu “=” của (1) xảy ra khi x= x2 - 4x +1 = 0 (do x> )
Giải phương trình này ta tìm được x= (thoả mãn ĐKXĐ).
Vậy x= là nghiệm của phương trình.
i.2. Nhận xét : 
Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau : 
 + Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(x) mà f(x) a , g(x) a 
(a là hằng số ) 
Nghiệm của phương trình là các giá trị của x thoả mãn đồng thời 
f(x) =a và g(x) = a
+ Biến đổi phương trình về dạng h(x) = m (m là hằng số ) mà ta luôn có
 h(x) m hoặc h (x) m thì nghiệm của phương trình là các giá trị của x làm cho dấu đẳng thức xảy ra.
+ áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki
i.3. Bài tập áp dụng: 
1. = 3 - 
2. + = x2 -12x + 40
3. + + = 3
4. = 
k. Một số phương pháp khác :
k.1.Phương pháp miền giá trị : 
Ví dụ1: Giải phương trình: + (1)
Ta tìm miền giá trị của hàm số :
y = + trên tập xác định ta có:
y, = > 0 với mọi x 
Do hàm số y liên tục và đồng biến trên nên miền giá trị của hàm số là hay . Suy ra y min = và 
ymax = 2 + với mọi x 
Để phương trình (1) có nghiệm thì y min 9 ymax nhưng điều này không xảy ra vì
y min = < 9 và ymax = 2 +< 9
Do đó phương trình (1) vô nghiệm vì không tồn tại giá trị x để y(xi) = 9
k.2.Phương pháp hàm số:
Ví dụ 2: Giải phương trình: x3 +1 = 2 (1) 
Ta có: (1) 
 Đặt y = hàm số có đạo hàm y, = 0 với mọi x nên đơn điệu tăng và liên tục trong R.
 ịy = có hàm ngược y = (vì y = x = )
 Do đó nghiệm của phương trình là cũng là nghiệm của phương trình = x x3 -2x + 1 = 0 x = 1 hoặc x = .
 Vậy nghiệm của phương trình là x= 1 và x = .
k.3. Nhận xét: 
Phương pháp miền giá trị và phương pháp hàm số ở trên mang nội dung kiến thức ở bậc phổ thông trung học nên không áp dụng vào việc giảng dạy ở bậc THCS mà chỉ dành cho giáo viên dạy ở bậc THCS tham khảo thêm mà nên tìm cách đưa về những phương pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS .
Chẳng hạn như ví dụ 2 ta có thể đa về hệ phương trình nh sau:
 x3 + 1 = 2
Đặt t = 2x -1 = t3 
Ta có hệ: x3 + 1 = 3t 
 2x -1 = t3
Û x3 – t3 + 2 (x-t) = 0
Û x1 =1 ; x2,3 = .
4/ Kết quả.
4.1/ Nhận xét:
Trên đây tôi giới thiệu với các bạn một số phương pháp giải phương trình vô tỉ, kết quả thu được rõ ràng đã có thể vận trong nhiều dạng toán, và ứng dụng của các bài toán này không phải là ít. Nếu như rèn luyện cho học sinh dạng toán này thì chúng ta đã trang bị cho các em lượng kiến thức không phải là nhỏ. Trong chương trình toán phổ thông của chúng ta còn rất nhiều phương pháp nữa. Trên đây tôi chỉ trình bày một số phương pháp thông dụng trong chương trình trung học cơ sở. Tuy nhiên với dạng toán này thì không phải đối tượng nào cũng tiếp thu một cách dễ dàng, vì vậy giáo viên phải khéo léo lồng vào các tiết dạy nhằm thu hút và phát huy sự sáng tạo cho học sinh. Đây là một vấn đề hoàn toàn mới mẻ và hết sức khó khăn cho học sinh ở mức trung bình, giáo viên nên cho các em làm quen dần. Dạng toán này có tác dụng tương hỗ, cao dần từ những kiến thức rất cơ bản trong sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư duy sáng tạo, biết tìm cách giải dạng toán mới, tập trung “Sáng tạo” ra các vấn đề mới.	
4.2. Kết quả sau khi áp dụng đề tài 
	Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng HS trung bình chất lượng được nâng lên rõ rệt.
Điểm dưới 5
Điểm 5 - 6
Điểm 7 - 8
Điểm 9 - 10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
5
12,5%
20
50%
10
25%
5
12,5%
bài soạn thực nghiệm
Luyện tập: Phương trình vô tỉ
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
- Củng cố các kiến thức về phương trình vô tỉ.
2. Kĩ năng:
- Rèn luyện kĩ năng giải phương trình vô tỉ bằng một số phương pháp:
+ Phương pháp nâng lên lũy thừa.
+ Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
+ Phương pháp đặt ẩn phụ.
+ Phương pháp hệ phương trình.
+ Phương pháp bất đẳng thức.
- Phát triển tư duy cho học sinh thông qua việc lựa chọn phương pháp thích hợp để giải từng phương trình.
3.Thái độ:
- Giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong làm việc.
B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: Máy chiếu, giấy trong ghi đề bài tập và lời giải và một số kiến thức cần nhớ – Máy tính bỏ túi – Phiếu học tập.
- Học sinh: Giấy trong, bảng nhóm, bút viết bảng, giấy nháp, ôn tập các phương pháp giải phương trình vô tỉ. Máy tính bỏ túi.
C. Hoạt động dạy học:
Hoạt động của thày
Hoạt động của trò
I, Hoạt động 1 : Kiểm tra và nhắc lại một số kiến thức cơ bản.
HS 1: Thế nào là phương trình vô tỉ. Lấy ví dụ?
Hãy nêu một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
HS 2: Hãy phân tích sai lầm trong lời giải sau:
* Giải phương trình:
Lời giải:
Chuyển vế:
Bình phương hai vế:
Rút gọn:
Bình phương hai vế:
 4 – 14x + 49x2 =
 4(15x2 – 13x + 2)(5)
Rút gọn:
11x2 – 24x +4 = 0
(11x – 2)(x – 2) = 0
GV: Đưa đề bài và lời giải lên màn hình.
GV Gọi HS ở dưới lớp lần lượt nhận xét phần trả lời của HS 1 và HS 2.
GV đưa lời giải đúng trên màn hình để HS dưới lớp theo dõi và rút kinh nghiệm.
GV cho điểm 2 HS
II, Hoạt động 2:
Luyện tập
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa.
GV : đưa bài tập 1 lên màn hình
Gọi 1 HS đọc đề bài
GV cho cả lớp suy nghĩ tìm
phương pháp giải. Nói rõ kiến thức cần áp dụng khi giải phương trình này.
GV cho HS hoạt động theo nhóm (Mỗi nhóm 2 bài).
GV gọi đại diện ba nhóm nêu phương pháp giải của nhóm mình.
GV gọi 1 nhóm cử đại diện đem bảng nhóm lên bảng trình bày (bằng phương pháp nâng lên lũy thừa).
GV : Tại sao trong phương trình này ta không đặt điều kiện cho sự tồn tại của căn thức và không đặt điều kiện trước khi bình phương hai vế.
GV tổng kết.
2. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
GV đưa đề bài tập 2 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc to đề bài
- 1 HS đọc đề bài tập 2.
HS nêu phương pháp giải bài tập 2.
- Cả lớp làm bài vào giấy trong
GV gọi HS nêu phương pháp giải bài tập này.
GV cho HS hoạt động cá nhân, làm BT vào giấy trong.
Gọi 1 HS lên bảng làm bài.
GV thu bài của vài em đưa lên màn hình để cả lớp nhận xét.
GV tiếp tục cho cả lớp nhận xét bài của HS làm trên bảng.
Nêu vấn đề: Ngoài phương pháp trên, ta còn có thể giải phương trình này theo cách nào khác?
GV chốt lại: Đối với bài tập 2 ta nên chọn phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là tốt hơn.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ
GV đưa đề bài tập 3 lên màn hình
Gọi 1 HS đọc to đề bài.
GV cho HS suy nghĩ và hỏi phương pháp giải phương trình này. Theo em ta nên chọn phương pháp nào? Vì sao?
GV gọi 1 HS lên bảng làm.
GV yêu cầu HS cả lớp hoạt động nhóm
- Một nửa lớp làm theo phương pháp đặt ẩn phụ.
- Một nửa lớp thực hiện chuyển vế và bình phương hai vế rồi giải bằng cách quy về phương trình bậc hai.
(Nhờ phương pháp nhẩm nghiệm).
GV gọi nhóm làm theo phương pháp đặt ẩn phụ nhận xét bài làm của bạn trên bảng (bổ sung cho hoàn thiện).
GV gọi nhóm làm theo phương pháp 2 đem bảng nhóm lên bảng trình bày.
Cho cả lớp nhận xét và rút ra phương pháp tối ưu cho cách giải bài tập này.
4. Phương pháp hệ phương trình.
GV đưa bài tập 4 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc to đề bài.
GV cho cả lớp suy nghĩ tìm phương pháp giải.
GV: ở bài tập này có một số cách giải khác nhau, song chúng ta cùng nhau giải theo phương pháp hệ phương trình.
GV gọi 1 HS nêu ĐKXĐ của phương trình.
GV yêu cầu HS đặt ẩn phụ và đưa đến việc giải hệ phương trình.
GV lần lượt gọi HS đứng tại chỗ làm miệng giải phương trình.
GV ghi trên bảng.
5. Phương pháp bất đẳng thức.
GV ghi và đưa đề bài tập 5 lên màn hình.
Gọi 1 HS đọc đề bài.
GV cho HS suy nghĩ 2 phút rồi nêu câu hỏi:
Để giải phương trình này ta có nên dùng phương pháp:
- Nâng lên lũy thừa.
- Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đặt ẩn phụ.được không?
Theo em, ta dùng phương nào hay hơn để giải phương trình này?
Gọi 1 HS lên bảng làm.
Phát 5 phiếu học tập cho 5 học sinh làm.
Yêu cầu cả lớp làm sau đó nhận xét bài của bạn trên bảng.
GV gọi HS nhận xét bổ sung cho bài của bạn trên bảng
Thu 5 phiếu học tập để nhận xét và chấm điểm.
HS 1 lên bảng trả lời
- PTVT là phương trình chứa ẩn trong dấu căn.
VD: Phương trình
- Nêu vài phương pháp giải phương trình vô tỉ.
HS 2 lên bảng phân tích những sai lầm trong lời giải.
- Sai lầm thứ nhất là không chú ý đến điều kiện để căn thức có nghĩa. ở đây ta phải có điều 
kiện x ≥ 1. Do đó giá trị
 không là nghiệm của (1).
- Sai lầm thứ hai là không đặt điều kiện để biến đổi tương đương. Các phương trình (4) và (5) không tương đương. Phương trình (4) tương đương với hệ:
Vì vậy x = 2 cũng không là nghiệm của (1)
HS: Cả lớp theo dõi và nhận xét bài của từng bạn trên bảng.
HS: Cả lớp theo dõi lời giải đúng trên màn hình.
HS đọc to đề bài
HS: Cả lớp suy nghĩ tìm ra phương pháp giải.
Bài tập 1:
Giải phương trình:
Giải :
Lập phương hai vế (áp dụng HĐT):
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Được:
Vậy phương trình có hai nghiệm:
x1= - 1; x2 = 7.
Bài tập 2: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện xác định: x ≥ 1
Ta có: (1)
+ Nếu x > 2
Thì có phương trình:
(không thuộc khoảng đang xét)
+ Nếu 1 ≤ x ≤ 2, ta có phương trình:
Phương trình có vô số nghiệm 
1 ≤ x ≤ 2
Vậy phương trình (1) có nghiệm:
1 ≤ x ≤ 2
 Bài tập 3: Giải phương trình
Giải:
Điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0
Đặt
⇒ x2 + 7x + 7 = y2 (*)
(1) ⇔ 3y2 + 2y – 5 = 0
a + b + c = 3 + 2 – 5 = 0
- Thay y = 1 vào (*), ta có
x2 + 7x + 7 = 1
⇔ x2 + 7x + 6 = 0
 a – b + c = 1 – 7 + 6 = 0
nên x1 = - 1 ; x2 = - 6 (thỏa mãn điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm : x1 = - 1 ; x2 = - 6
Bài tập 4 : Giải phương trình
Giải:
ĐKXĐ: x ≥ - 1 (1)
Đặt
Khi đó x – 2 = y3
 x + 1 = z2 (**)
Nên Z2 – Y3 = 3
Phương trình đã cho đưa được về hệ :
Rút Z từ (2) ta có Z = 3 – y (5). Thay vào (3) ta được :
y3 – y2 + 6y – 6 = 0
⇔ (y – 1)(y2 + 6) = 0
⇔ y = 1 (còn y2 + 6 ≥ 6).
Thay y = 1 vào (5) có Z = 2 (TM (4))
Thay z = 2 vào (**) ⇒ x = 3 (TM (1)).
Bài tập 5: Giải phương trình
Giải:
Vế trái:
Vậy vế trái có giá trị ≥ 5 (1)
Dấu “=” xảy ra ⇔ (x + 1)2 = 0
 ⇔ x = - 1
Vế phải: 
 4 – 2x – x2 = -(x2 + 2x + 1) + 5
 = - (x + 1)2 + 5 ≤ 5 (2)
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = - 1.
Từ (1), (2) ⇒ VP có giá trị bằng VT thì chúng cũng bằng 5.
Tại x = - 1.
Vậy phương trình (*) có nghiệm 
x = - 1.
III. Hoạt động 3: Củng cố
Giáo viên chốt lại :
Chúng ta đã được học về phương trình vô tỉ và cách giải các phương trình vô tỉ. Mỗi phương trình có thể có nhiều cách giải khác nhau, song chúng ta thường gặp một số phương pháp giải cơ bản sau:
- Phương pháp nâng lên lũy thừa.
- Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp đặt ẩn phụ.
- Phương pháp hệ phương trình.
- Phương pháp bất đẳng thức...
Các em cần nghiên cứu sâu sắc các phương pháp này và tùy từng bài tập cụ thể mà sử dụng phương pháp giải cho phù hợp để đạt hiệu quả tốt. Một điều vô cùng quan trọng là ĐKXĐ của phương trình.
IV. Hoạt động 4: Hướng dẫn về nhà.
Xem kĩ các bài tập vừa luyện.
Làm các bài tập sau:	
Bài tập 1: Giải phương trình
Bài tập 2: Giải phương trình
c- kết luận và kiến nghị:
1, Kết luận:
Trên đây là một số phương pháp giải phương trình vô tỉ mà tôi đã áp dụng giảng dạy trên thực tế hiện nay ở trường THCS cho học sinh đại trà cũng như trong quá trình ôn luyện , bồi dưỡng học sinh giỏi .Tôi cùng các đồng nghiệp đã thu được kết quả sau : 
+ Học sinh tiếp thu bài nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực trong học tập và yêu thích bộ môn toán .
+ Học sinh tránh được những sai sót cơ bản, và có kĩ năng vận dụng thành thạo cũng như phát huy được tính tích cực của học sinh .
 Tuy nhiên để đạt được kết quả như mong muốn , đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại bài tập thành từng dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức mới từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó và phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh .
 Người thầy cần phát huy chú trọng tính chủ động tích cực và sáng tạo của học sinh từ đó các em có nhìn nhận bao quát, toàn diện và định hướng giải toán đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường. 
2, Kiến nghị:
Để đề tài tiếp tục được ứng dụng vào công tác giảng dạy ở những năm học tiếp theo, tôi mong ban giám hiệu trường THCS Bảo Khê tiếp tục tạo điều kiện . 
Trong đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế nhất định .Vậy tôi rất mong được sự giúp đỡ cũng như những góp ý của các thầy ,cô giáo cho tôi để tôi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy những năm học sau.
 Để hoàn thành đề tài này ngoài việc tự nghiên cứu tài liệu, qua thực tế giảng dạy tôi còn nhận được sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và các emhọc sinh lớp 9 trường THCS Bảo Khê đã giúp tôi hoàn thành sáng kiến này.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Bảo Khê, ngày 25 tháng 3 năm 2012
 Người thực hiện: 
 Nguyễn Minh Đức
D. tài liệu tham khảo
- SGK Toán 7-Nhà xuất bản GD 2003
- SGK Đại số 9-Nhà xuất bản GD
- Một số vấn đề phát triển Đại số 9-Nhà xuất bản GD 2001
- Toán bồi dưỡng Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 2002
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9- Nhà xuất bản GD 1995
- Để học tốt Đại số 9 - Nhà xuất bản GD 1999
- Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực - Nhà xuất bản GD 2002.
- 23 chuyên đề bài toán sơ cấp - Nhà xuất bản trẻ 2000.
- Những đề thi và những tài liệu khác có liên quan .
 Xác nhận và đánh giá
của ban giám hiệu trường THCS Bảo Khê