Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải phương trình và bất phương trình môn Đại số 8

nh mới tương đương .
Hệ quả 1 ; Nếu xóa hai hạng tử giống nhau ở hai vế của một bất phương trình thì được một bất phương trình tương đương .
Hệ quả 2 : Nếu chuyển hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của nó thì được một bất phương trình tương đương .
+ Định lí 2 : 
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số dương thì được một bất phương trình tuơng đương .
- Nếu nhân hai vế của một bất phương trình với một số âm và đổi chiều của bất phương trình thì được một bất phương đương 
2- Các dạng bài tập 
Dạng 1 : Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn 
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau .
 a) x – 4 - 6
 c ) -2x > -3x +d ) -4x -2 > -5x +6 
 Với bài tập này học sinh có thể giải rễ ràng bằng cách sử dụng các phếp biến đổi tương đương .
Giải
a ) x – 4 < - 8 ↔ x < -8 + 4 ↔ x < - 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x / x < - 4 }
b ) x + 3 > - 6 ↔ x > - 6 – 3 ↔ x > -9 
 Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình đã cho là S = {x / x > - 9 }
c ) -2x > - 3x + 3 ↔ -2x + 3x > 3 ↔x > 3
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = {x / x > 3 }
d) – 4x – 2 .> -5x + 6 ↔ - 4x + 5x > 6 + 2 ↔ x > 8 
 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là : S = {x / x > 8 }
Bài 2 : Giaỉ các bất phương trình sau ;
 a ) (x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) +4
b ) (x + 2 ) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) (x + 8) + 26
 Bài tập này sẽ làm cho học sinh hơi bối rối vì các em thấy lũy thừa của x không là bậc nhất nên không biết làm như thế nào vì vậy giáo viên đưa ra một gợi ý nhỏ cho các em : Hãy thực hiện các phép tính ở hai vế và thu gọn .
Giải
( x + 2 ) 2 < 2x ( x + 2) + 4
↔ x2 + 4x + 4 < 2 x2 + 4x + 4 
↔ x2 0 ↔ x > 0 hoặc x < 0.
Sau khi giải đến bất phương trình x2 > 0 sẽ có nhiều học sinh biến đổi như sau ; x2 > 0 ↔ x > 0 như vậy thì khi kết luận nghiệm thì sẽ thiếu nghiệm của bất phương trình vì vậy cần nhắc lại cho các em lũy thừa chẵn của một số , biểu thức bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng 0 do vậy thay cho việc tìm các gía trị của x để x2 > 0 ta đưa về tìm x để x2 = 0 khi đó những giá trị còn lại của x sẽ làm cho x2 > 0 .
 b ) ( x + 2) ( x + 4 ) > ( x – 2 ) ( x + 8 ) + 26 
↔ x2 + 6x + 8 > x2 + 6x -16 + 26 
↔0 > 2 ( vô lí ) 
→ Bất phương trình vô nghiệm .
 Khi làm xong bài tập 2 giáo viên có thể cho học sinh rút ra các bước làm :
 Bước 1 : Thực hiện các phép tính ở hai vế của bất phương trình .
 Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế , các hạng tử bằng số sang một vế rồi thu gọn bất phương trình 
 Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn.
Bài 3 : Giải các bất phương trình sau : 
 Giáo viên cho học sinh nhận xét các bất phương trình trên có đặc điểm gì và gợi ý học sinh hãy quy đồng và khử mẫu .
Giải
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = {x / x ≤ 15}
 b) 
 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ; S = {x / x ≤ -115}
 Qua bài tập này giáo viên cho học sinh rút ra cách giải bất phương trình có chứa mẫu :
 Bước 1 : Quy đồng và khử mẫu 
 Bước 2 : Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế và các hạng tử bằng số sang một vế và thu gọn bất phương trình .
 Bước 3 : Giải bất phương trình sau khi thu gọn .
Bài 4 : Giải bất phương trình :
 mx + 1 ≥ m2 + x ( với m là tham số ) 
Học sinh có thể biến đổi tương đương bình thường 
 Đến bước này sẽ có nhiều em vội vàng suy ra x ≥ ( m + 1 ) bàng cách chia (m-1)(m+1) cho (m-1) mà quên mất điều kiện để một phép chia có nghĩa là số chia phải khác không và quy tắc chia hai vế của bất phương trình cho một số âm phải đổi chiều bất phương trình . Vậy giáo viên phải hướng dẫn các em phân chia trường hợp của m- 1 là ( m-1) > 0 ; (m – 1 ) <0 ; ( m- 1 ) = 0 và học sinh có thể giải tiếp như sau :
 + Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1 
 + Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1
 + Nếu x = 1 thì bất phương trình có dạng 0x ≥ 0 nghiệm đúng với mọi giá trị của x.
Bài 5 : Giải bất phương trình ( với a là hằng số ) .
 > 
 Đây là bất phương trình có chứa mẫu do đó cần phải tìm điều kiện để cho mẫu có nghĩa sau đó biến đổi và rút gọn bất phương trình .
Giải
 Bất phương trình có nghĩa khi a ≠ 0
 > 
 > 
 > 
Nếu a > - 2 : a ≠ 0 thì nghiệm của bất phương trình là : x >
Nếu a < - 2 thì nghiệm của bất phương trình đã cho là :
Nếu a = -2 thì bất phương trình có dạng 0x > - nghiệm đúng với mọi x 
Bài 6 : Giải bất phương trình :
 Với bài tập này phần lớn học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc đó là quy đồng , rút gọn rồi mới giải bất phương trình , làm như vậy thì các em sẽ khá vất vả hoặc có em thì lại tách thành 
 Làm như vậy cũng rất phức tạp nên giáo viên có thể cho học sinh nhận xét về mối quan hệ giữa tử và mẫu của mỗi phân thức và hướng dẫn học sinh tạo ra các phân thức có tử giống nhau bằng cách cộng thêm vào mỗi phân thức với 1 khi đó ta có :
 Bên cạnh các bài toán với yêu cầu cụ thể là giải bất phương trình thì còn những bài toán mà để giải được nó thì phải đưa về bài toán giải bất phương trình . Bài toán này đòi hỏi học sinh phải có sự tư duy logic , phân tích chặt chẽ .
Bài 7 : Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình 
 và 
 Học sinh phải hiểu các giá trị cần tìm của x chính là nghiệm chung của cả hai bất phương trình và để tìm được thì ta phải đi giải 2 bất phương trình và tìm phần chung trong tập nghiệm của chúng .
 * (1)
 * 
 ( 2) 
 Từ (1) và (2) ta có x 
Bài 8: Tìm các số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình 
 và 
Giải
 Xét bất phương trình : 
 (1)
 Xét bất phương trình : 
 (2)
 Từ (1) và (2) ta có 12 ≤ x <13
Sau khi tìm được các giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình thì học sinh lại thêm bước lựa chọn các giá trị nguyên của x
 Vì x € Z nên x = 12
 Nhận xét : Khi cho bài tập thì giáo viên có thể cho những bài tập tương tự nhau nhưng tập sau phải đòi hỏi cao hơn bài tập trước để tạo cho các em vừa biết lợi dụng các bài tập đã biết để làm tương tự nhưng lại phải tư duy thêm để trả lời được câu hỏi của bài như vậy sẽ tạo cho các em sự hứng thú và say mê học tập .
Bài 9 : tìm số nguyên x lớn nhất thỏa mãn mỗi bất phương trình sau 
5,2 + 0,3x < - 0,5 
1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) <4,4
Giải
5,2 + 0,3x < - 0,5 
 Học sinh khi làm đến đây có nhiều em sẽ không biết vậy x sẽ nhận giái trị nào thì giáo viên có thể gợi ý : Số nguyên nhỏ hơn -19 và gần với -19 nhất là bao nhiêu thì học sinh sẽ tìm được đó là -20
1,2 – ( 2,1 – 0,2x ) < 4,4
 Vậy số nguyên x lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là 26.
Bài 10: Với giá trị nào của x thì 
Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức 
Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức 
Ở bài tập này học sinh phải thiết lập được mối quan hệ giữa các phân thức và đưa về giải bất phương trình.
Giải
Giá trị phân thức lớn hơn giá trị phân thức nghĩa là 
 Vậy giá trị của phân thức lớn hơn giá trị phân thức khi x < 
Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức nghĩa là 
 Vậy với x > - 1 thì Giá trị phân thức nhỏ hơn giá trị phân thức 
 Dạng bài tập này sau khi giải học sinh thường hay kết luận nghiệm của bất phương trình do vậy giáo viên chú ý học sinh hãy kết luận theo yêu cầu của bài .
Bài 11: Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau dương
 Đây là phương trình chứa mẫu vì vậy cần tìm điều kiện để phương trình có nghĩa : Điều kiện x – 1 ≠ 0 suy ra x ≠ 1 
 Là bài toán về phương trình nhưng để trả lời được nó thì lại phải sử dụng đến bất phương trình 
Giải
 - Nếu m = 1 thì phương trình có dạng 0x = 0 phương trình vô nghiệm 
 - Nếu m ≠ 0 thì 
 Vì x ≠ 1 nên 
Nghiệm của phương trình là với m ≠ +-1
 Phương trình có nghiệm dương khi 
Bài 12: Cho biểu thức 
Rút gọn biểu thức A
Tìm x để A > 0
Giải
Điều kiện 
a) 
b) 
Kết hợp với điều kiện ta được x < và x ≠ -1
Vậy với x 0 
 Giáo viên chú ý học sinh với một biểu thức trong đó có liên quan đế giá trị của biểu thức thì bao giờ cũng phải tìm điều kiện để cho biểu thức có nghĩa : các mẫu thức khác 0 ; phân thức chia khác 0. Sau khi tìm được các giá trị của biến thì phải so sánh với điều kiện trước khi kết luận .
Bài 13 : Tìm các số nguyên a và b sao cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < 0
 Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái của bất đẳng thức sau đó đánh giá để tìm được a , b.
Giải
 Do a , b nguyên ta cộng 1 vào vế trái của bất đẳng thức đã cho ta được 
 a2- 2ab + b2 - 4a +7 < 0
Bài 14: Tìm x biết rằng 
 Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên : Phần nguyên của a kí hiệu [a] là số nguyên lớn nhất không vượt quá a 
 Ví d ụ ; [3,135] = 3 ; [-1,47] = -2
Nếu b là phần nguyên của a thì ta có 
 Từ đó học sinh có thể dựa vào đó để giải bài toán .
Giải
Theo đề bài , x là số nguyên lớn nhất không vượt qua . Do đó 
 Giải bất phương trình ta có 
 Ta lại có x € Z do đó x = -2.
Bài 15: Tìm x biết rằng 
 Ta có 2x +1 là số nguyên lớn nhất không vượt quá nên 
 Giải 
 Mặt khác 2x + 1 € Z nên 2x + 1 = 0 hoặc 2x + 1 = 1
 Suy ra x = - hoặc x = 0 
Bài 16 : Cho một dãy các số tự nhiên bắt đầu từ 1 . Người ta xóa đi một số thì trung bình cộng của các số còn lại bằng . Tìm số bị xóa .
Giải
 Giả sử ta có n số tựu nhiên liên tiếp từ 1 đến n :
- Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là 
- Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là 
 Ta có 
 Do n là số tự nhiên nên n = 69 hoặc n = 70 
Nếu n = 70 thì tổng của 69 số còn lại là loại 
Nếu n = 69 thì tổng của 69 số còn lại là số bị xóa là 
 ( 1 + 2 + 3 + ..+ 69 ) – 2408 = 7
Dạng 2 : Bất phương trình chúa ẩn trong dấu GTTĐ .
 Với dạng toán này để giải bất phương trình loại này ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối . Ta nhớ lại rằng : Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu biểu thức không âm , bằng số đối của nó nếu biểu thức âm .
 │A│= A nếu A≥ 0
 -A nếu A < 0
 Do đó để khử dấu giá trị tuyệt đối cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức âm hay không âm . Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất ta cần nhớ định lí sau : 
 Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b ( a ≠ 0 ) 
 Nhị thức ax + b ( a ≠ 0 ) 
 + Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức .
 + Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Bài 1 : Giải các bất phương trình sau 
a) │3x - 1│ > 5 b) │3-2x│ < x + 1
Giải
a) │3x - 1│ > 5 ( 1 ) 
 * Xét khoảng x < thì ( 1) có dạng 
 1 – 3x > 5 
 Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x <
 * Xét khoảng thì (1) có dạng 
 Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là x > 2
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x > 2 : x <
b) │3-2x│ < x + 1
 * Xét khoảng x > ,(2) có dạng 
 Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là 
 * Xét khoảng , ( 2 ) có dạng 
 Vậy bất phương trình có nghiệm trong khoảng này là 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : 
Bài 2 : Giải bất phương trình 
│x│- x + 2 ≤ 2│x - 4│ (1)
│x - 1│+│x - 5│> 8 (2)
Giải
a) Lập bảng xét dấu các biểu thức x và x - 4
x
 0 4
x
 - 0 + │ +
x - 4
 - │ - 0 +
 * Xét khoảng x < 0 ; ( 1) có dạng 
 - x – x + 2 ≤ 2 ( 4 – x ) 
 Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng đang xét x < 0
 * Xét khoảng 0 ≤ x < 4 ,(1) có dạng 
 x – x + 2 ≤ 8 - 2x 
 Nghiệm của bất phương trình đang xét trong khoảng này là 0 ≤ x ≤ 3
 * Xét khoảng x ≥ 4 , (1) có dạng 
 x – x + 2 ≤ 2x – 8 ↔ x ≥ 5 thỏa mãn x ≥ 4
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≤ 3 ; x ≥ 5
b) Lập bảng xét dấu các biểu thức ( x – 1 ) ; ( x – 5 ) 
x
 1 5
x - 1
 - 0 + │ +
x - 5
 - │ - 0 +
 * Xét khoảng x < 1 , (2) có dạng 
 thỏa mãn x < 1
 * Xét khoảng 1 ≤ x < 5 , (2) có dạng 
 không xảy ra với mọi x do đó bất phương trình vô nghiệm trong khoảng đang xét .
 * Xét khoảng x ≥ 5 , ( 2) có dạng 
 nghiệm đúng với mọi x ≥ 5
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x 7.
Nhận xét : Trong cách cách giải trên ta đã khử dấu GTTĐ bằng cách xét từng khoảng giá trị của biến . Trong một số trường hợp , có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chung nói trên bởi các biến đổi tương đương sau : 
 Dạng 1 
Với a là số dương , ta có : │f(x) │ < a
│f(x) │ < g (x) 
Dạng 2 : 
Với số a dương ta có : │f(x) │ > a 
│f(x) │ > g (x) 
Dạng 3 : │f(x)│ > │g(x)│
Bài 3 : Giải bất phương trình 
 a) 3│2x - 1│ < 2x + 1 (1) b) │5x - 3│ < 3x + 2 ( 2) 
Giải
Cách 1 : (Theo phương pháp chung )
 * Xét khoảng x < , (1) có dạng 
 3( 1 – 2x ) <2x + 1 
 Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 
 * Xét khoảng x ≥ ,(1) có dạng 
 Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là 
Cách 2 : Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1b
 3│2x - 1│ < 2x + 1 
│5x - 3│ < 3x + 2 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là x 
Dạng 3 : Bất phương trình tích , bất phương trình thương .
 Với dạng bài tập này học sinh có thể lập bảng để xét dấu nhưng cũng có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương . Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần chú ý : 
Tích (thương ) của hai số cùng dấu là số dương 
Tích ( thương ) của hai số trái dấu là số âm .
Bài 1 : Tìm x sao cho a) (x – 2 ) (x – 5 ) > 0 
 b) < 0
Giải
a) Cách 1 : lập bảng xét dấu x – 2 và x - 5
x
 2 5
x – 2
 - 0 + │ +
x – 5
 - │ - 0 +
(x – 2) ( x – 5 ) 
 + 0 - 0 + 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x 5
Cách 2 : Sử dụng phép biến đổi tương đương .
 ( x – 2 ) ( x – 5 ) > 0 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là : x > 5 ; x < 2 
Lập bảng xét dấu của các nhị thức 
x
 -2 5
x + 2
 - 0 + │ + 
x – 5
 - │ - 0 +
 + 0 - ║ +
 Kết luận : Nghiệm của bất phương trình là x 5
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau 
x2 - 2x + 1 < 9
( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
Giải
a) Cách 1 : 
 x2 - 2x + 1 < 9 
 Cách 2 : Biến đổi bất phương trình về dang bất phương trình tích 
 Lập bảng xét dấu của nhị thức (x + 2 ) , ( x – 4 ) 
x
 -2 4
x + 2
 - 0 + │ +
x – 4
 - │ - 0 +
(x + 2) ( x – 4 ) 
 + 0 - 0 + 
 Nghiệm của bất phương trình là – 2 < x < 4
b) ( x3 -27) ( x3 – 1 ) ( 2x + 3 – x2) ≥ 0
Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 3 , x = - 1
Bài 3 : Giải bất phương trình sau 
a) b) 
Giải
a) (1) 
ĐK ; x ≠ -1 ; x ≠ -2 ; x ≠ 4
 (1) 
x
 -2 -1
x + 2
 - 0 + │ +
x + 1
 - │ - 0 +
(x + 2) ( x + 1 ) 
 + ║ - ║ + 
Kết luận : Nghiệm của bất phương trình đã cho là : x 4
b) (2)
ĐK : x ≠ -1 ; x ≠ -2
 (2) 
Vì (x + 2) > ( x + 1 ) nên ta có (x + 1)( x + 2) > 0 
Kết luận : Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x > -1 , x < - 2 .
Bài 4: Tìm điều kiện của x , y để biểu thức A có giá trị lớn hơn 1
 ĐK : xy ≠ 0 ; x ≠ y ; x ≠ - y 
 = 
 A > 1 
 Vậy A nhận giá trị lớn hơn 1 khi xy < 0 và x + y ≠ 0
 Qua việc tham khảo một số loại sách và đồng nghiệp tôi thấy hầu hết các loại sách được trình bày theo lối : 
 - Đưa ra nội dung kiến thức cơ bản .
 - Đưa ra các dạng toán và hướng giải quyết các dạng toán này .
 - Một số chú ý khi làm các dạng bài toán này .
 - Đưa ra một số bài toán nâng cao và cách giải để học sinh tham khảo . Đó chính là tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà trong các giờ lên lớp giáo viên không thể bồi dưỡng được . Vì kiến thức ở lớp chỉ là các kiến thức cơ bản để cho học sinh từ yếu , kém , trung bình cũng như học sinh khá giỏi nắm đuộc cái can bản của chi thức .
 - Kinh nghiệm đúc rút ra trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi là không những củng cố lại phần kiến thức cơ bản mà học sinh được học ở lớp mà còn củng cố cho học sinh một số kĩ năng , cách giải các bài toán , cách phân tích các bài toán để có thể giải một số bài toán khó nhưng được quy về một số dạng nào đó mà học sinh đã có dịp bồi dưỡng , đặc biệt là rèn luyện cho các em cách tư duy các bài toán , từ dễ đến khó , từ đơn giản đến phức tạp , một số kĩ xảo để giải các bài toán có liên quan đến bất phương trình bậc nhất một ẩn .
 - Rèn cho các em có tinh thần học tập , khả năng tự học tự đọc và tìm lời giải hay , phong phú , tạo hứng thú học tập bộ môn toán mà nhiều người cho là khô khan .
C: KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 
 Tôi so sánh chất lượng học sinh khi chưa áp dụng sáng kiến với khi áp dụng tấy kết quả tăng lên rõ rệt :
 * Khi chưa áp dụng sáng kiến .
 - Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau 
	 + Nhóm những em tiếp thu nhanh , giải quyết vấn đề nhanh , linh hoạt : 25%
	 + Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 50%
	 + Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 25% 
 ( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ môn Toán )
 * Khi áp dụng sáng kiến :
 - Phân chia thành các nhóm tiếp thu kiến thức như sau 
	 + Nhóm những em tiếp thu nhanh , giải quyết vấn đề nhanh , linh hoạt : 32%
	 + Nhóm học sinh biết vận dụng trực tiếp ; 55%
	 + Nhóm học sinh chưa biết vận dụng : 13% 
 ( Phân chia các nhóm tiếp thu về bộ môn Toán )
 D : BÀI HỌC KINH NGHIỆM
 - Khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy đa số học sinh đều lúng túng khi là bài tập , chỉ dừng lại ở những bài tập cơ bản và dễ , các bài toán phải ở sẵn dạng quên thuộc đã là thì học sinh theo dạng đó mới làm được chưa có những suy luận logic , phân tích bài toán hợp lý để giải các bài toán mà nó chưa có sẵn dạng quen thuộc . Nếu có bài tập nâng cao thì làm xong bài nào chỉ biết có bà đó mà không biết cách suy luận để chuyển về những bài toán về dạng đã làm , đã giải , không biết mở rộng những bài toán đã làm 
 - Sau khi áp dụng kinh nghiệm thì tôi thấy : 
 + Học sinh vận dụng kiến thức nhanh vào giải toán .
 + Học sinh giải các bài toán từ cơ bản mở rộng lên những bài toán nâng cao chính xác và nhanh hơn .
 + Tạo điều kiện cho học sinh khả năng tư duy thành thói quen , suy nghĩ , phân tích nội dung và yêu cầu của bài toán một cách cẩn thận chính xác trước khi giải một bài toán nối riêng và các bài toán nói chung .
 + Tạo nếp suy nghĩ , nếp khai thác chiều sâu , hay mở rộng bài toán .
 + Tạo nếp tự học , độc lập suy nghĩ trong đại đa số học sinh , đồng thời có ý thức tham khảo ý kiến đồng nghiệp , các cách làm hay của các em để từ đó rút ra những lời giải hay trong quá trình giải toán .
 + Giúp học sinh say mê , hứng thú trong quá trình học tập bộ môn toán hơn và các môn học khác .
 Bên cạnh những thành công đó thì còn tồn tại một số hạn chế sau : Cách giải các bài toán chưa đa dạng , phong phú . Các bài toán đưa ra chưa thật sự điển hình .Giáo viên cần tìm hiểu thêm nhiều sách tham khảo hơn nữa .
 E : ĐIỀU KIỆN THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 
 - Để thực hiện được sáng kiến này đòi hỏi giáo viên phải tham khảo thêm tài liệu . Học sinh trong lớp phải từ trung bình trở lên , không có học sinh yếu kém . Giáo viên cũng như học sinh phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài nhiều hơn .
 G : KẾT LUẬN 
 Việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực , phát huy tính độc lập của học sinh không thể trong chốc lát mà là cả một quá trình lâu dài từng bước từ thấp đến cao . Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn cho học sinh nắm được nội dung kiến thức của từng tiết học , của từng chương , từng cấp học để học sinh giải các bài toán một cách chặt chẽ , có đủ cơ sở lý luận trong lời giải của mình , học toán và vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như thực tế .
 Vấn đề sách tham khảo trường còn hạn chế chưa đáp ứng được nhu cầu của giáo viên và học sinh vì vậy cần đầu tư thêm về tài liệu học tập cũng như các thiết bị phục vụ cho công tác giảng dạy được tốt hơn , giáo viên chủ động trong công tác giảng dạy và học sinh chủ động trong việc học tập .
 Bản thân tôi cũng đã tham gia giảng dạy được vài năm nhưng kinh nghiệm chưa nhiều nên vẫn còn phải học tập nhiều ở các cô chú đi trước để đạt kết quả cao hơn trong công tác giảng dạy . Mặc dù vậy tôi cũng mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này và vận dụng vào trong giảng dạy và đã ít nhiều có kết quả đối với học sinh tôi được phân công giảng dạy .
 Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các cấp quản lý chuyên môn , các đồng nghiệp để tôi hoàn thành sáng kiến này . Tôi xin chân thành cảm ơn ! 
 Tứ Dân , ngày 10 tháng 1 năm 2010
 Người viết 
 §ç ThÞ H­¬ng 
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA NHÀ TRƯỜNG 
NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ CỦA PHÒNG GIÁO DỤC